Se poate construi un triunghi cu laturile $$5$$ cm, $$7$$ cm și $$13$$ cm?

Nu, deoarece $$13 > 5 + 7 = 12$$

Da, deoarece toate laturile sunt numere pozitive

Da, deoarece $$13 < 5 \cdot 7$$

Cum construiesc un triunghi cu compasul?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Construcția triunghiurilor: LUL, ULU, LLL

Compasul se folosește atunci când cunoști lungimi. La cazul cu trei laturi date desenezi întâi cea mai lungă cu rigla, apoi din fiecare capăt trasezi câte un arc cu deschiderea egală cu celelalte două laturi; punctul în care arcele se taie este al treilea vârf. La cazul cu două laturi și unghiul dintre ele, raportorul dă direcția, iar compasul măsoară a doua latură pe ea. Înainte de orice arc verifici că latura mare rămâne sub suma celorlalte două.

Un triunghi are șase elemente (trei laturi, trei unghiuri), dar trei elemente bine alese sunt suficiente pentru a-l construi unic. Sunt trei cazuri:

LUL (latură-unghi-latură): două laturi și unghiul dintre ele. Ordinea instrumentelor: riglă → raportor → compas → riglă.
ULU (unghi-latură-unghi): o latură și cele două unghiuri de la capetele ei. Folosești doar riglă → raportor → raportor; vârful apare din intersecția a două semidrepte, fără compas.
LLL (latură-latură-latură): toate cele trei laturi, cu riglă → compas → compas → riglă, fără raportor.

La LLL trebuie verificată întâi inegalitatea triunghiului: cea mai lungă latură trebuie să fie mai mică decât suma celorlalte două, altfel arcele nu se întâlnesc și triunghiul nu există.

Exemplu (LUL): pentru $A B C$ cu $A B = 6$ cm, $∠ A = 50°$ , $A C = 4$ cm: desenezi $A B$ , construiești $50°$ în $A$ , marchezi $C$ la $4$ cm pe semidreaptă cu compasul, apoi unești $B$ cu $C$ .

De reținut

trei elemente potrivite determină triunghiul: LUL, ULU sau LLL
la LLL se folosesc rigla și compasul, fără raportor
la ULU se folosesc rigla și raportorul, fără compas
latura cea mai lungă trebuie să rămână sub suma celorlalte două

Greșeala tipică

Se trag arcele fără verificarea prealabilă a lungimilor, iar ele nu se întâlnesc niciodată. Compararea laturii mari cu suma celorlalte două se face înaintea desenului, nu după.

Exerciții din această mini-lecție

Pentru triunghiul $X Y Z$ se cunosc $X Y = 8$ cm, $X Z = 5$ cm și unghiul $∠ X = 65°$ , cuprins între cele două laturi. Ce caz de construcție se aplică?
- a) LUL
- b) ULU
- c) LLL
- d) Datele nu sunt suficiente
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) LUL

Sunt date două laturi ( $X Y$ și $X Z$ ) și unghiul $∠ X$ cuprins între ele, ambele pornind din vârful $X$ . Acesta este exact tiparul cazului LUL (latură, unghi, latură).
Se poate construi un triunghi cu laturile $5$ cm, $7$ cm și $13$ cm?
- a) Da, deoarece toate laturile sunt numere pozitive
- b) Nu, deoarece $13 > 5 + 7 = 12$
- c) Da, deoarece $13 < 5 \cdot 7$
- d) Nu, deoarece $5 = 7 - 2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Nu, deoarece $13 > 5 + 7 = 12$

Inegalitatea triunghiului cere ca cea mai lungă latură să fie mai mică decât suma celorlalte două. Aici $13 > 5 + 7 = 12$ , deci cele două arce trasate cu compasul nu s-ar întâlni și triunghiul nu se poate construi.
Pentru triunghiul $K L M$ se cunosc $K L = 10$ cm, $∠ K = 48°$ și $∠ L = 62°$ , cele două unghiuri fiind la capetele laturii $K L$ . Ce caz de construcție se aplică?
- a) LUL
- b) ULU
- c) LLL
- d) Datele nu sunt suficiente
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) ULU

Este dată o latură ( $K L$ ) și cele două unghiuri de la capetele ei ( $∠ K$ și $∠ L$ ), fără nicio altă latură. Acesta este exact tiparul cazului ULU (unghi, latură, unghi): construiești $K L$ , apoi trasezi $48°$ în $K$ și $62°$ în $L$ , iar $M$ apare din intersecția celor două semidrepte.

Întrebări conexe

Câte triunghiuri diferite ies din trei laturi date?

Unul singur ca formă și mărime, oricum ai începe construcția. Poți schimba latura de la care pornești sau partea în care duci arcele, dar figurile obținute se suprapun toate. De aceea cazul cu trei laturi se numește caz de congruență.

Ce desenez întâi când construiesc un triunghi?

Latura pe care o cunoști cel mai bine, așezată orizontal, ca să ai un sprijin pentru rest. Pe ea se măsoară unghiurile sau se trag arcele. O latură desenată strâmb de la început face ca toată figura să iasă înclinată și greu de citit.

Cât măsoară al treilea unghi dacă două au $55°$ și $75°$ ?

Suma unghiurilor unui triunghi fiind $180°$ , al treilea are $180° - 55° - 75° = 50°$ . La construcția cu o latură și două unghiuri alăturate, această verificare arată din start dacă figura este posibilă: suma celor două unghiuri date trebuie să rămână sub $180°$ .

Cum așez corect raportorul pe desen?

Pui centrul lui exact peste vârful unghiului și potrivești linia de zero peste latura deja trasată. Apoi citești pe șirul de numere care pornește de la acea latură și marchezi cu un punct valoarea cerută. O așezare strâmbă schimbă unghiul cu câteva grade.

De ce la construcția cu trei laturi nu ai nevoie de raportor?

Fiindcă lungimile hotărăsc singure forma figurii, iar unghiurile ies de la sine. Compasul transportă fiecare latură, iar întâlnirea arcelor fixează al treilea vârf. Din acest motiv trei laturi date determină un triunghi și doar unul.

Oamenii mai întreabă și: construcția unui triunghi cu compasul · cum desenez un triunghi cu trei laturi date · construcție LLL · cum construiesc un triunghi