Care dintre următoarele afirmații despre generatoarea $$G$$ a unui con circular drept este corectă?

$$G$$ este ipotenuza triunghiului dreptunghic $$VOM$$, deci $$G>R$$ și $$G>h$$ întotdeauna

$$G$$ este o catetă a triunghiului $$VOM$$, deci poate fi mai mică decât $$R$$ sau $$h$$

$$G$$ este paralelă cu planul bazei conului

Ce este generatoarea unui con?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Conul: raza, înălțimea, generatoarea

Generatoarea unește vârful conului cu un punct oarecare de pe cercul bazei și se notează cu $G$ ; lungimea ei este aceeași, indiferent ce punct alegi. Împreună cu raza și cu înălțimea formează un triunghi dreptunghic în care ea joacă rolul ipotenuzei, deci $G = R^{2} + h^{2}$ . La o rază de $6$ cm și o înălțime de $8$ cm iese $G = 10$ cm. Fiind ipotenuză, depășește mereu și raza, și înălțimea.

Conul circular drept are trei părți: baza (un disc de rază $R$ ), vârful $V$ (situat exact deasupra centrului bazei) și suprafața laterală, curbă. Cele trei elemente ale conului sunt raza $R$ , înălțimea $h$ (segmentul $V O$ , perpendicular pe bază) și generatoarea $G$ (segmentul de la vârf la marginea bazei). Dacă privești triunghiul $V O M$ ( $O$ = centrul bazei, $M$ = un punct de pe cerc), observi că el este dreptunghic în $O$ , cu catetele $h$ și $R$ și ipotenuza $G$ . De aici, teorema lui Pitagora dă relația-cheie: $G^{2} = R^{2} + h^{2} .$ Cum $G$ este mereu ipotenuza, ea este întotdeauna cea mai mare dintre cele trei: $G > R$ și $G > h$ .

Exemplu. Pentru $R = 6$ cm și $h = 8$ cm: $G = 6^{2} + 8^{2} = 100 = 10$ cm.

De reținut

$G^{2} = R^{2} + h^{2}$ , cu $G$ ipotenuză
$G > R$ și $G > h$ întotdeauna
vârful stă exact deasupra centrului bazei

Greșeala tipică

Se confundă generatoarea cu înălțimea și se scriu egale. Ele coincid doar dacă raza ar fi zero, ceea ce nu se întâmplă: înălțimea intră în corp, iar generatoarea merge pe suprafața lui.

Exerciții din această mini-lecție

Un con circular drept are raza bazei $R = 9$ cm și înălțimea $h = 12$ cm. Cât este generatoarea $G$ ?
- a) $15$ cm
- b) $21$ cm
- c) $3$ cm
- d) $225$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $15$ cm

$G = R^{2} + h^{2} = 9^{2} + 1 2^{2} = 81 + 144 = 225 = 15$ cm.
Care dintre următoarele afirmații despre generatoarea $G$ a unui con circular drept este corectă?
- a) $G$ este o catetă a triunghiului $V O M$ , deci poate fi mai mică decât $R$ sau $h$
- b) $G$ este ipotenuza triunghiului dreptunghic $V O M$ , deci $G > R$ și $G > h$ întotdeauna
- c) $G = R + h$ pentru orice con
- d) $G$ este paralelă cu planul bazei conului
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $G$ este ipotenuza triunghiului dreptunghic $V O M$ , deci $G > R$ și $G > h$ întotdeauna

În triunghiul dreptunghic $V O M$ (dreptunghic în $O$ ), catetele sunt $h = V O$ și $R = O M$ , iar ipotenuza este generatoarea $G = V M$ . Fiind ipotenuză, $G$ este mereu cea mai mare latură: $G > R$ și $G > h$ .
Un con circular drept are raza bazei $R = 20$ cm și înălțimea $h = 21$ cm. Cât este generatoarea $G$ ?
- a) $29$ cm
- b) $19$ cm
- c) $39$ cm
- d) $20$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $29$ cm

$G = R^{2} + h^{2} = 2 0^{2} + 2 1^{2} = 400 + 441 = 841 = 29$ cm (tripletul pitagoreic $20$ - $21$ - $29$ ). Variantele (b) și (c) vin din greșeli de calcul la extragerea radicalului, iar (d) confundă generatoarea cu raza.

Întrebări conexe

Ce formă are baza unui con circular drept?

Baza este un disc, adică un cerc plin, cu centrul chiar sub vârf. Raza acestui cerc se notează cu $R$ și intră în toate formulele conului. Din cauza bazei rotunde, corpul nu are muchii drepte, ci o singură margine curbă.

Câte fețe are un con și de ce nu are muchii drepte?

Are două suprafețe: discul bazei și fața laterală curbă, care se întâlnesc pe cercul de la margine. Nu apare nicio muchie dreaptă, fiindcă marginea este un cerc, nu un segment. Din același motiv conul se numără printre corpurile rotunde.

De ce vârful conului circular drept stă deasupra centrului bazei?

Tocmai asta înseamnă cuvântul drept: înălțimea coborâtă din vârf cade fix în centrul cercului. Dacă ar cădea în altă parte, conul ar fi oblic, generatoarele n-ar mai fi egale între ele și relația cu teorema lui Pitagora nu s-ar mai putea folosi.

Ce corp obțin dacă tai vârful conului cu un plan paralel cu baza?

Rămâne un trunchi de con, mărginit de două discuri paralele de raze diferite. Partea de sus, care se desprinde, este tot un con, mai mic, dar de aceeași formă. Trunchiul are propriile formule, cu ambele raze și cu generatoarea lui.

Ce obiecte din jur au forma unui con circular drept?

Un coif de petrecere, o pâlnie, un cornet de înghețată sau un con de semnalizare rutieră. Toate au o margine rotundă jos și se strâng într-un singur punct sus. Recunoașterea formei este primul pas când traduci un obiect real într-o problemă.

Cum notez corect raza, înălțimea și generatoarea pe desenul conului?

Pui $V$ în vârf, $O$ în centrul bazei și $M$ pe cerc. Atunci $V O$ este înălțimea, $O M$ este raza, iar $V M$ este generatoarea. Notarea aceasta îți arată din prima triunghiul dreptunghic $V O M$ , în care lucrezi tot restul problemei.

Oamenii mai întreabă și: generatoarea conului · cum aflu generatoarea unui con · ce înseamnă generatoare la con · formula generatoarei conului · con desfășurat generatoare