Cum se schimbă coordonatele dacă mut originea?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Repere, orientare și distanțe

Dacă axele își păstrează direcțiile și unitatea, scazi din coordonatele punctului coordonatele noii origini. Pe o masă de laborator cu originea într-un colț, chiuveta este în $R (4, 2)$ , iar un vas în $P (10, 7)$ . Față de chiuvetă, vasul are coordonatele $(10 - 4, 7 - 2) = (6, 5)$ . Vasul nu s-a mișcat: s-a schimbat doar descrierea, iar distanțele dintre obiecte rămân aceleași.

Un reper de poziționare are nevoie de origine, orientarea axelor și unitatea folosită. Pe o hartă locală, sensurile cardinale se citesc din legendă. Semnul unei coordonate indică unul dintre cele două sensuri ale axei respective; el nu înseamnă pretutindeni aceeași direcție geografică.

Reexprimarea unei poziții față de o origine nouă se face scăzând coordonatele acelei origini din cele vechi ale punctului, dacă direcțiile și unitățile sunt păstrate. Locul fizic nu se deplasează prin simpla modificare a descrierii. Dacă schimbi unitatea, adaptează ambele coordonate și păstrează semnele.

Pentru axe perpendiculare cu unități spațiale egale, distanța directă rezultă din diferențele coordonatelor și teorema lui Pitagora. Un traseu alcătuit din mai multe segmente cere adunarea lungimilor tuturor porțiunilor. Când revii la plecare, distanța dintre poziția finală și cea inițială este nulă, deși drumul poate fi pozitiv.

Verifică ce reprezintă axele înainte de orice interpretare. Timpul și presiunea dintr-un grafic nu sunt două coordonate ale unui teren. O valoare calculată trebuie însoțită de unitatea potrivită întrebării, iar rotunjirea se amână până la obținerea rezultatului.

De reținut

cu aceleași direcții și unități: coordonate noi = coordonate vechi $-$ originea nouă
schimbarea reperului nu mută obiectele și nu schimbă distanțele
semnul unei coordonate se citește din legendă

Greșeala tipică

Se adună coordonatele noii origini în loc să se scadă; punctul $(10, 7)$ față de originea $(4, 2)$ devine $(6, 5)$ , nu $(14, 9)$ .

Exerciții din această mini-lecție

Sensul pozitiv al primei axe este vestul, iar al celei de-a doua este nordul. O unitate are $3$ m. Cum interpretezi poziția $P (- 2; 5)$ ?
- a) $6$ m vest și $15$ m nord
- b) $6$ m est și $15$ m nord
- c) $15$ m est și $6$ m nord
- d) $6$ m est și $15$ m sud
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $6$ m est și $15$ m nord

Abscisa negativă indică sensul opus vestului: est. Avem $2 \cdot 3 = 6$ m spre est și $5 \cdot 3 = 15$ m spre nord.
Noua origine este $R (- 3; 4)$ în vechiul reper. Punctul este $P (5; 1)$ . Păstrăm direcțiile și unitatea. Care sunt noile coordonate?
- a) $P^{'} (2; 5)$
- b) $P^{'} (- 8; 3)$
- c) $P^{'} (8; - 3)$
- d) $P^{'} (5; 1)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $P^{'} (8; - 3)$

Scădem coordonatele noii origini: $5 - (- 3) = 8$ și $1 - 4 = - 3$ . Poziția fizică a punctului rămâne aceeași.
Un cursor parcurge segmentele traseului $A (1; 1)$ , $B (6; 1)$ , $C (6; 13)$ , $A (1; 1)$ . O unitate are $2$ cm. Cât măsoară drumul?
- a) $0$ cm
- b) $34$ cm
- c) $26$ cm
- d) $60$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $60$ cm

Lungimile sunt $5$ , $12$ și $13$ unități. Drumul are $(5 + 12 + 13) \cdot 2 = 60$ cm, deși cursorul revine la plecare.

Întrebări conexe

Cum schimb coordonatele unui punct dacă trec de la metri la centimetri?

Înmulțești ambele coordonate cu $100$ și păstrezi semnele. Punctul $(2, 5; - 1, 2)$ exprimat în metri devine $(250; - 120)$ în centimetri. Originea și direcțiile axelor rămân aceleași, doar unitatea s-a schimbat.

Ce coordonate are un loc aflat la $30$ m sud și $40$ m est de origine?

Dacă axa $O x$ indică estul și $O y$ nordul, iar unitatea este metrul, punctul este $(40, - 30)$ : sudul este sensul negativ al lui $O y$ . Distanța în linie dreaptă până la origine este $1600 + 900 = 50$ m.

Cum calculez distanța dintre două puncte date față de origini diferite?

Le aduci întâi în același reper. Dacă $A (3, 4)$ este măsurat față de $O$ , iar $B (1, 1)$ față de o origine $O^{'} (5, 0)$ , atunci față de $O$ punctul $B$ este $(6, 1)$ . Distanța este $9 + 9 = 32$ unități.

Ce înseamnă o coordonată negativă pe planul unei clădiri?

Înseamnă sensul opus celui marcat pozitiv în legendă. Dacă axa verticală a planului crește spre nord, ordonata $- 5$ indică $5$ unități spre sud față de origine. Semnul nu desemnează mereu vestul sau sudul; totul depinde de legendă.

Cum aflu unde este noua origine dacă știu un punct în ambele repere?

Cu aceleași direcții și unități, coordonatele vechi minus cele noi dau originea nouă. Dacă punctul are $(7, 3)$ în reperul vechi și $(2, - 1)$ în cel nou, originea nouă se află în $(7 - 2, 3 - (- 1)) = (5, 4)$ în reperul vechi.

Oamenii mai întreabă și: schimbarea originii unui reper · coordonatele față de o origine nouă · aceeași poziție în repere diferite · mutarea originii pe un plan