Cum adun două forțe date prin coordonate?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a X-a → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Coordonatele unui vector

Aduni abscisele între ele și ordonatele între ele, apoi, dacă se cere mărimea, calculezi modulul rezultantei. Exemplu: pentru $F_{1} (3, 4)$ N și $F_{2} (5, - 10)$ N, rezultanta are coordonatele $(3 + 5, 4 - 10) = (8, - 6)$ , iar mărimea ei este $64 + 36 = 10$ N. Mărimile forțelor sunt $5$ N și $125 \approx 11, 18$ N, deci rezultanta nu este suma lor: modulele nu se adună.

Programa de examen M2 cere la geometrie coordonatele unui vector în plan și calcularea unor distanțe, pornind de la puncte date prin coordonate.

Coordonatele. Sunt cele două numere unice $x$ și $y$ cu $v = x i + y j$ , în care $i$ și $j$ notează versorii axelor; scrierea prescurtată este $v (x, y)$ . Pentru $A B$ ele sunt $(x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A})$ , adică vârf minus origine; dacă întorci capetele, amândouă își schimbă semnul.

Operațiile. Aduni coordonată cu coordonată și înmulțești cu un număr real pe fiecare coordonată. Egalitatea a doi vectori revine la egalitatea coordonatelor, deci o relație vectorială se preface în două ecuații numerice — pe drumul acesta se află al patrulea vârf al unui paralelogram. Modulul este $∥ v ∥ = x^{2} + y^{2}$ și, la $A B$ , coincide cu distanța $A B$ .

Coliniaritatea se decide fără să cauți factorul: $u (x_{1}, y_{1})$ și $v (x_{2}, y_{2})$ sunt coliniari precis când $x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0$ — înmulțiri în cruce, nu $x_{1} y_{1} - x_{2} y_{2}$ . Trei puncte sunt coliniare când $A B$ și $A C$ ies coliniari. Și reține: modulul sumei nu este suma modulelor.

De reținut

suma a doi vectori se face coordonată cu coordonată
$∥ v ∥ = x^{2} + y^{2}$ , iar modulul sumei nu este suma modulelor
$A B (x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A})$

Greșeala tipică

Se adună mărimile forțelor, $5 + 11, 18$ , în loc să se adune coordonatele; rezultanta lui $(3, 4)$ și $(5, - 10)$ are $10$ N, nu $16, 18$ N.

Exerciții din această mini-lecție

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (- 2, 5)$ și $B (4, - 3)$ . Care sunt coordonatele vectorului $A B$ ?
- a) $(- 6, 8)$
- b) $(6, - 8)$
- c) $(2, 2)$
- d) $(6, 8)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(6, - 8)$

Vârf minus origine: $(4 - (- 2), - 3 - 5) = (6, - 8)$ . Varianta a) scade în ordine inversă (adică dă $B A$ ), c) adună coordonatele, iar d) pierde semnul celei de-a doua.
Cât este modulul vectorului $v (- 8, 15)$ ?
- a) $7$
- b) $23$
- c) $17$
- d) $289$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $17$

$∥ v ∥ = (- 8)^{2} + 1 5^{2} = 64 + 225 = 289 = 17$ . Varianta a) adună coordonatele ( $- 8 + 15$ ), b) adună modulele lor ( $8 + 15$ ), iar d) uită rădăcina.
Determină numărul real $m$ pentru care vectorii $u (2, - 3)$ și $v (m, 6)$ sunt coliniari.
- a) $m = - 4$
- b) $m = 4$
- c) $m = - 12$
- d) $m = 9$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $m = - 4$

Condiția este $x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0$ , adică $2 \cdot 6 - m \cdot (- 3) = 0$ , deci $12 + 3 m = 0$ și $m = - 4$ . Control: $v (- 4, 6) = - 2 u$ .

Întrebări conexe

Cum aflu mijlocul unui segment cu ajutorul vectorilor?

Mijlocul $M$ verifică egalitatea $A M = M B$ , iar scrisă pe coordonate ea arată că fiecare coordonată a lui $M$ este media coordonatelor capetelor. Pentru $A (- 3, 4)$ și $B (5, 10)$ rezultă $M (\frac{- 3 + 5}{2}, \frac{4 + 10}{2})$ , adică punctul $M (1, 7)$ .

Cum verific dacă trei puncte sunt coliniare folosind coordonatele?

Calculezi vectorii $A B$ și $A C$ , care pornesc din același punct, și verifici condiția de coliniaritate cu produsele în cruce. Pentru $A (1, 1)$ , $B (3, 5)$ , $C (6, 11)$ obții $A B (2, 4)$ și $A C (5, 10)$ , iar $2 \cdot 10 - 5 \cdot 4 = 0$ , deci cele trei puncte sunt coliniare.

Cum arăt cu coordonate că un triunghi este isoscel?

Calculezi lungimile laturilor ca module de vectori. Pentru $A (0, 0)$ , $B (4, 0)$ , $C (2, 5)$ : $A C = 4 + 25 = 29$ și $B C = (- 2)^{2} + 5^{2} = 29$ , iar $A B = 4$ . Două laturi sunt egale, deci triunghiul este isoscel cu baza $A B$ .

Cum aflu un parametru dintr-o egalitate de vectori?

Egalitatea a doi vectori se desface în două ecuații, câte una pentru fiecare coordonată. Din $u (m + 1, 4) = v (3, 2 n)$ obții $m + 1 = 3$ și $4 = 2 n$ , deci $m = 2$ și $n = 2$ . Fiecare coordonată dă o ecuație separată.

Cum aflu coordonatele vectorului $2 u - 3 v$ ?

Înmulțești fiecare vector cu numărul lui, apoi scazi rezultatele coordonată cu coordonată, cu atenție la semne. Pentru $u (1, 4)$ și $v (- 2, 1)$ obții $2 u (2, 8)$ și $3 v (- 6, 3)$ , deci vectorul $2 u - 3 v$ are coordonatele $(2 + 6, 8 - 3) = (8, 5)$ .

Cum obțin un vector de lungime $1$ pe direcția unui vector dat?

Împarți vectorul la modulul lui. Pentru $v (6, 8)$ , modulul este $36 + 64 = 10$ , deci vectorul de lungime $1$ cu aceeași direcție și același sens are coordonatele $(0, 6; 0, 8)$ . Verificare: $0, 36 + 0, 64 = 1$ .

Oamenii mai întreabă și: rezultanta a două forțe cu coordonate · suma a doi vectori forță · cum calculez rezultanta pe componente · adunarea forțelor pe axe · modulul rezultantei a două forțe