Lecția pe scurt · clasa a X-a · Vectorul mutării: sumă și lungime

Cum aflu vectorul care închide un traseu?

Ca un contur să se închidă, ultima latură trebuie să anuleze suma primelor, adică să fie opusul ei. Exemplu, în metri: laturile $(35; 8)$ , $(- 7; 28)$ și $(- 5; - 17)$ dau suma $(35 - 7 - 5; 8 + 28 - 17) = (23; 19)$ . Ultima latură este $(- 23; - 19)$ . Proba: $23 - 23 = 0$ și $19 - 19 = 0$ , deci conturul se închide.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a X-a → ·

Un vector descrie o mutare prin două numere: cât te deplasezi pe orizontală și cât pe verticală. Vectorii cu coordonate identice sunt același vector, indiferent de locul unde îi desenezi, așa că o mutare care se repetă, treapta unei scări sau pasul unui utilaj, se scrie mereu cu aceleași două numere.

Mutarea de la un punct la altul se află scăzând, pe fiecare axă, coordonatele punctului de plecare din cele ale punctului de sosire. Mutările se adună pe axe, separat, iar o mutare repetată de $n$ ori are ambele coordonate înmulțite cu $n$ . Înainte de calcul, toate mărimile se aduc în aceeași unitate.

Lungimea unei mutări cu coordonatele $(a; b)$ este $a^{2} + b^{2}$ , ca ipotenuza unui triunghi dreptunghic. Cele două mărimi de la un traseu nu se confundă: deplasarea netă este lungimea vectorului sumă, iar drumul parcurs este suma lungimilor tronsoanelor, mai mare când traseul își schimbă direcția.

Un contur închis are suma laturilor egală cu $(0; 0)$ , deci latura care lipsește este opusul sumei celorlalte. Pentru control, aduni mutările în altă ordine sau verifici că $A B + B A = (0; 0)$ .

De reținut

suma laturilor unui contur închis este $(0; 0)$
ultima latură este opusul sumei celorlalte
drumul parcurs adună lungimile, iar deplasarea este lungimea vectorului sumă

Greșeala tipică

Se scrie ultima latură egală cu suma celorlalte, nu cu opusul ei: pentru suma $(23; 19)$ se ia $(23; 19)$ și traseul nu se închide. Latura care închide conturul este $(- 23; - 19)$ .

Exerciții din această mini-lecție

Pe planul unui tablou electric, în centimetri, o clemă este în $A (- 12; 35)$ , iar o bornă în $B (18; - 10)$ . Care sunt coordonatele vectorului $A B$ ?
- a) $(- 30; 45)$
- b) $(30; - 45)$
- c) $(6; 25)$
- d) $(30; 45)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(30; - 45)$

Scazi plecarea din sosire pe fiecare axă: $(18 - (- 12); - 10 - 35) = (30; - 45)$ . Varianta $(- 30; 45)$ este $B A$ , cu sensul invers, iar $(6; 25)$ adună coordonatele în loc să le scadă. Varianta $(30; 45)$ scade corect pe orizontală, dar pe verticală scade în ordine inversă.
Un utilaj de irigat mută rampa, la fiecare trecere, cu vectorul $p (18; 7)$ , în metri. Care este mutarea totală după $9$ treceri identice?
- a) $(162; 7)$
- b) $(27; 16)$
- c) $(162; 63)$
- d) $(63; 162)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $(162; 63)$

Mutarea se repetă, deci înmulțești ambele coordonate cu $9$ : $9 \cdot (18; 7) = (162; 63)$ . Varianta $(162; 7)$ înmulțește numai abscisa, iar $(27; 16)$ adună $9$ la fiecare coordonată în loc să o înmulțească. Varianta $(63; 162)$ schimbă între ele cele două coordonate.
Un cap de frezare face trei mutări consecutive, în milimetri: $a (24; - 10)$ , $b (- 9; 17)$ și $c (31; 6)$ . Cu ce vector se deplasează capul față de punctul de plecare?
- a) $(46; 13)$
- b) $(64; 13)$
- c) $(46; 33)$
- d) $(13; 46)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(46; 13)$

Aduni separat pe fiecare axă: $24 - 9 + 31 = 46$ și $- 10 + 17 + 6 = 13$ , deci $(46; 13)$ . Varianta $(64; 13)$ ia $- 9$ drept $+ 9$ la abscisă, iar $(46; 33)$ ia $- 10$ drept $+ 10$ la ordonată. Varianta $(13; 46)$ inversează cele două coordonate.

Întrebări conexe

Cum verific dacă un traseu se închide?

Aduni toate laturile pe axe; dacă ies amândouă zero, traseul se închide. Pentru $(12; 9)$ , $(- 4; 6)$ și $(- 8; - 15)$ , suma este $(12 - 4 - 8; 9 + 6 - 15) = (0; 0)$ , deci se închide. Dacă a treia latură ar fi $(- 8; - 14)$ , ordonata ar fi $9 + 6 - 14 = 1$ , adică traseul rămâne deschis cu o unitate.

Cum scriu o scară cu podest ca vectori?

Scrii treapta ca vector, o înmulțești cu numărul de trepte al fiecărei rampe și adaugi podestul. Pentru treapta $(26; 18)$ , $11$ trepte, un podest $(90; 0)$ și $9$ trepte, suma este $(11 \cdot 26 + 90 + 9 \cdot 26; 20 \cdot 18) = (610; 360)$ , deci urcarea totală este $360$ .

Cum diferă drumul parcurs de deplasare?

Drumul adună lungimile tronsoanelor, iar deplasarea este lungimea vectorului sumă. Pentru $(21; 28)$ și $(21; - 28)$ , drumul este $35 + 35 = 70$ , dar suma este $(42; 0)$ , deci deplasarea este doar $42$ . Cele două sunt egale numai dacă tronsoanele au aceeași direcție.

Cum aflu un tronson care lipsește din traseu?

Scazi din deplasarea totală tronsoanele cunoscute, pe fiecare axă. Dacă traseul pleacă din $(10; 5)$ , ajunge în $(88; 71)$ și are tronsoanele $(30; 20)$ și $(- 12; 18)$ , cel care lipsește este $(88 - 10 - 30 + 12; 71 - 5 - 20 - 18) = (60; 28)$ .

Cum aflu unde ajunge un traseu pornit din alt punct decât originea?

Adaugi vectorul sumă la coordonatele punctului de start, nu la origine. Dacă pornești din $S (120; 45)$ și suma mutărilor este $(- 35; 60)$ , ajungi în $(120 - 35; 45 + 60) = (85; 105)$ . Proba: scazi startul din sosire, $(85 - 120; 105 - 45) = (- 35; 60)$ , adică exact suma.

Oamenii mai întreabă și: latura care lipsește dintr-un contur închis · ultimul tronson al unui traseu poligonal · cum închid un contur cu o ultimă mutare · vectorul opus sumei laturilor