Vectori în coordonate: sumă și scalar, tehnologic

Pe planul unei scări, fiecare treaptă este o mutare: 27 de centimetri înainte și 17,5 în sus. Două numere descriu mutarea, iar numerele se adună și se repetă ca orice alte numere. Geometria în coordonate din clasa a X-a, la profilurile filierei tehnologice, îți cere aici trei operații: scrii un vector prin coordonate, aduni vectori și înmulțești un vector cu un număr. Coordonatele vectorilor sunt în programa Bacalaureatului M3 (M_tehnologic), chiar dacă în probele din 2013–2026 nicio cerință nu le-a avut ca subiect.

Situația de pornire

La o casă cu două niveluri se toarnă o scară interioară de beton, cu două rampe legate printr-un podest. Înainte ca dulgherul să monteze cofrajul, maistrul vrea să verifice pe plan că scara urcă exact cât etajul, iar dulgherul vrea să știe unde cade fiecare capăt de rampă. Planul este o secțiune prin scară. Originea reperului stă în piciorul primei trepte, axa orizontală merge spre etaj, axa verticală merge în sus, iar unitatea este centimetrul.

Întrebare: în ce punct ajunge capătul de sus al scării față de piciorul ei, ce lungime au cele două rampe înclinate și urcă scara exact cât înălțimea dintre pardoseli?

De la situație la model

Fiecare mutare are două componente, una pe orizontală și una pe verticală. Tabelul traduce mutările de pe scară în vectori.

Vectorul $\vec{v}$ al unei mutări se scrie prin coordonatele lui, perechea $(a;b)$ formată din deplasarea pe orizontală și deplasarea pe verticală. Doi vectori cu aceleași coordonate sunt egali, oriunde ar fi desenați: o mutare de 27 cm înainte și 17,5 cm în sus rămâne aceeași la fiecare treaptă, indiferent unde se află treapta. Suma a doi vectori se obține adunând coordonatele de același fel, iar produsul cu un număr $k$ are coordonatele înmulțite fiecare cu $k$. Modulul unui vector este lungimea mutării lui, $|\vec{v}|=\sqrt{a^2+b^2}$.

Cum scrii mutarea de la un punct la altul?

Dacă $A(x_A;y_A)$ și $B(x_B;y_B)$ sunt două puncte, vectorul $\overrightarrow{AB}$ are coordonatele $(x_B-x_A;y_B-y_A)$: scazi punctul de plecare din cel de sosire, pe fiecare axă. Ordinea contează, fiindcă $\overrightarrow{BA}$ are coordonatele opuse. Pentru piciorul scării $A(0;0)$ și capătul primei rampe $B(243;157,5)$ obții $\overrightarrow{AB}(243;157,5)$, iar de la $B$ la $C(348;157,5)$, $\overrightarrow{BC}(105;0)$, adică chiar podestul.

Cum aduni mutările și cum repeți una?

Adunarea merge pe fiecare axă separat: $\vec{u}(a_1;b_1)+\vec{v}(a_2;b_2)$ are coordonatele $(a_1+a_2;b_1+b_2)$. Scăderea lucrează la fel, cu diferențe. Dacă aceeași mutare se repetă de $n$ ori, înmulțești fiecare coordonată cu $n$. Mutările nu se amestecă între axe: orizontala se adună cu orizontala, iar verticala cu verticala. În lecțiile clasei a IX-a, vectorii se dădeau prin lungime și unghi, ca la forțe și deplasări; aici îi dai prin două numere, iar suma lor nu cere desen.

Cum afli cât de lungă este o mutare?

Mutarea de coordonate $(a;b)$ este ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu catetele $|a|$ și $|b|$, deci $|\vec{v}|=\sqrt{a^2+b^2}$. Este aceeași formulă ca la distanța dintre două puncte pe planul de șantier, pentru că lungimea lui $\overrightarrow{AB}$ este distanța $AB$. Lungimea sumei nu este suma lungimilor: dacă drumul își schimbă direcția, linia dreaptă dintre capete este mai scurtă.

Metoda pas cu pas

1. Alege reperul: originea, sensul pozitiv al axelor și unitatea de măsură. La scară, originea e piciorul primei trepte, iar unitatea este centimetrul. Fără reper, aceleași mutări s-ar putea citi cu semne sau cu unități diferite.
2. Scrie fiecare mutare ca vector cu coordonate. Din date, treapta este $\vec{u}(27;17,5)$; din două puncte, folosești regula „sosire minus plecare”. Scrie coordonatele mereu în aceeași ordine, întâi orizontala și apoi verticala.
3. Dacă o mutare se repetă, înmulțește ambele ei coordonate cu numărul de repetări: $9\vec{u}=(243;157,5)$. Nu înmulți doar una dintre coordonate, fiindcă mutarea ar ieși din direcția ei.
4. Adună mutările în ordinea drumului, separat pe orizontală și pe verticală. Ordinea nu schimbă suma, dar îți dă, pe parcurs, fiecare punct intermediar. Dacă datele au unități diferite, convertește-le înainte, de exemplu metrii în centimetri.
5. Dacă ai nevoie de lungime, calculează $\sqrt{a^2+b^2}$, rotunjește abia la sfârșit, cu precizia meseriei, și scrie unitatea. Pentru poziția unui punct, adună vectorul sumă la coordonatele punctului de plecare. Lungimea unei sume se calculează după adunare, nu din lungimile termenilor.
6. Verifică pe alt drum, nu refăcând aceleași adunări: recalculează coordonata verticală sau pe cea orizontală după numărul total de trepte și compară cu datele problemei; controlează ordinul de mărime al lungimii. Dacă rezultatul trebuie să respecte o mărime dată, cum e înălțimea etajului, compară-l direct cu ea.

Fișa de buzunar

$$\overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A),\vec{u}+\vec{v}=(a_1+a_2;b_1+b_2)$$

$$k\vec{u}=(ka;kb),|\vec{u}|=\sqrt{a^2+b^2}$$

Formulele sunt valabile numai dacă toate coordonatele sunt în aceeași unitate și în același reper. Suma și produsul se fac pe fiecare coordonată, iar modulul are unitatea reperului: centimetri pe planul scării, kilometri pe hartă. Verificare rapidă: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}$ trebuie să dea $(0;0)$.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Scara cu podest

Domeniu: constructii.

Enunț. Reia scara din situația de pornire. a) Care sunt coordonatele punctelor $B$, $C$ și $D$, capetele primei rampe, ale podestului și ale celei de-a doua rampe? b) Ce lungime are fiecare rampă înclinată? c) Urcă scara exact cât înălțimea dintre pardoseli?

Rezolvare. a) Treapta este $\vec{u}(27;17,5)$. Prima rampă are 9 trepte: $9\vec{u}=(243;157,5)$, deci $B(243;157,5)$. Podestul este $\vec{p}(105;0)$, deci $C(243+105;157,5+0)=(348;157,5)$. A doua rampă are 8 trepte: $8\vec{u}=(216;140)$, deci $D(348+216;157,5+140)=(564;297,5)$. b) $|9\vec{u}|=\sqrt{243^2+157,5^2}=\sqrt{83855,25}\approx 289,6$ cm, iar $|8\vec{u}|=\sqrt{216^2+140^2}=\sqrt{66256}\approx 257,4$ cm. c) Coordonata verticală a lui $D$ este 297,5 cm, exact înălțimea dintre pardoseli, iar $B$ și $C$ stau la aceeași înălțime, 157,5 cm. Scara urcă cât etajul, iar dulgherul știe unde fixează capetele rampelor în cofraj.

Capcană. Cine uită podestul și înmulțește $17\cdot 27=459$ pe orizontală pune capătul de sus la 459 cm, nu la 564 cm: scara ar ieși mai scurtă cu cei 105 cm ai podestului, iar pe verticală n-ar observa nimic, fiindcă podestul nu urcă.

Verificare. Pe podest înălțimea nu crește, fiindcă a doua coordonată a lui $\vec{p}$ este 0. Pe alt drum, după numărul total de trepte: pe verticală $17\cdot 17,5=297,5$ cm, iar pe orizontală $17\cdot 27+105=564$ cm. Pasul de scară $2\cdot 17,5+27=62$ cm stă în intervalul de 60–64 cm folosit la proiectare (valori din exemplu).

Exemplul 2 — Cursa de livrare

Domeniu: auto.

Enunț. Pe harta unei zone, cu unitatea de 1 km, o autoutilitară pleacă din depozitul $D(0;0)$ la primul client după vectorul $\vec{a}(18;7)$, merge la al doilea client după $\vec{b}(-6;11)$ și la al treilea după $\vec{c}(9;-10)$. Tronsoanele se socotesc drepte, în exemplu. a) Care sunt coordonatele celor trei clienți? b) Cât de departe, în linie dreaptă, este ultimul client de depozit? c) Câți kilometri parcurge autoutilitara pe cele trei tronsoane?

Rezolvare. a) $C_1=(18;7)$, $C_2=(18-6;7+11)=(12;18)$ și $C_3=(12+9;18-10)=(21;8)$. b) Deplasarea netă este $\overrightarrow{D{C}_3}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=(21;8)$, iar $|\overrightarrow{D{C}_3}|=\sqrt{21^2+8^2}=\sqrt{505}\approx 22,5$ km. c) Lungimile sunt $\sqrt{373}\approx 19,3$ km, $\sqrt{157}\approx 12,5$ km și $\sqrt{181}\approx 13,5$ km, deci parcurge $19,3+12,5+13,5=45,3$ km. Kilometrii parcurși și depărtarea de depozit sunt două mărimi diferite: prima însumează lungimile, a doua este lungimea sumei.

Capcană. Cine adună lungimile tronsoanelor ca să afle depărtarea de depozit obține 45,3 km și crede că ultimul client e la 45,3 km. Lungimea sumei nu este suma lungimilor: în linie dreaptă clientul e la 22,5 km, fiindcă drumul își schimbă direcția de două ori.

Verificare. Pe alt drum, $\overrightarrow{C_1{C}_3}=(21-18;8-7)=(3;1)$ și $\vec{b}+\vec{c}=(-6+9;11-10)=(3;1)$, aceeași mutare. Linia dreaptă, 22,5 km, este mai scurtă decât drumul de 45,3 km, cum trebuie.

Exemplul 3 — Traseul unui ghid

Domeniu: turism.

Enunț. Un ghid montan pornește de la o cabană $C(0;0)$ și urmează un traseu cu trei tronsoane drepte, citite de pe hartă în metri: $\vec{a}(1250;480)$ până la o trecătoare, $\vec{b}(-350;910)$ până la un vârf și $\vec{c}(820;-260)$ până la un lac. Refugiul se află pe primul tronson, la două cincimi din drumul până la trecătoare. a) Care sunt coordonatele refugiului? b) La câți kilometri, în linie dreaptă, este lacul de cabană? c) Ce lungime, în kilometri, are traseul?

Rezolvare. a) Refugiul este în punctul $\frac{2}{5}\vec{a}=(\frac{2}{5}\cdot 1250;\frac{2}{5}\cdot 480)=(500;192)$. b) Lacul este în $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=(1250-350+820;480+910-260)=(1720;1130)$. Distanța este $\sqrt{1720^2+1130^2}=\sqrt{4235300}\approx 2058$ m, adică 2,06 km. c) Lungimile sunt $|\vec{a}|\approx 1339$ m, $|\vec{b}|\approx 975$ m și $|\vec{c}|\approx 860$ m, deci $1339+975+860=3174$ m, adică 3,17 km.

Capcană. Cine înmulțește cu $\frac{2}{5}$ doar abscisa obține $(500;480)$, un punct care nu mai e pe potecă. Ambele coordonate se înmulțesc cu același număr, altfel punctul iese din direcția tronsonului.

Verificare. Pe alt drum, restul primului tronson, de la refugiu la trecătoare, este $(1250-500;480-192)=(750;288)$, adică $\frac{3}{5}\vec{a}$, iar $500+750=1250$ și $192+288=480$. Mărimile se potrivesc, iar metrii s-au convertit în kilometri abia la sfârșit, ca să nu rotunjești de două ori. Pe plan, ghidul poate măsura apoi 2,06 km în linie dreaptă și 3,17 km pe potecă.

Exemplul 4 — Problema inversă: ultima latură a unei pășuni

Domeniu: zootehnie.

Enunț. Un crescător de vaci împrejmuiește o pășune cu patru stâlpi, $S_1$, $S_2$, $S_3$ și $S_4$, legați în această ordine și apoi $S_4$ de $S_1$, cu fir de gard electric. Primele trei laturi, citite de pe plan în metri, sunt $\overrightarrow{S_1{S}_2}(46;12)$, $\overrightarrow{S_2{S}_3}(-8;37)$ și $\overrightarrow{S_3{S}_4}(-31;5)$. Ce vector are ultima latură, $\overrightarrow{S_4{S}_1}$, și câți metri de fir îi trebuie?

Rezolvare. Mergând pe tot gardul te întorci de unde ai plecat, deci sumele deplasărilor pe orizontală și pe verticală sunt zero. Gardul se închide, adică cele patru mutări se anulează: $\overrightarrow{S_1{S}_2}+\overrightarrow{S_2{S}_3}+\overrightarrow{S_3{S}_4}+\overrightarrow{S_4{S}_1}=(0;0)$. Primele trei dau $(46-8-31;12+37+5)=(7;54)$, deci $\overrightarrow{S_4{S}_1}=(-7;-54)$. Lungimea este $\sqrt{7^2+54^2}=\sqrt{2965}\approx 54,5$ m.

Capcană. Cine uită minusul scrie $(7;54)$ și pornește din $S_4$ în sens greșit: ajunge la $(7+7;54+54)=(14;108)$, nu în $S_1$.

Verificare. Pe plan, locul lui $S_4$ se află adunând laturile una după alta, iar închiderea gardului se vede pe coordonate. Cu $S_1(0;0)$ rezultă $S_2(46;12)$, $S_3(38;49)$ și $S_4(7;54)$. Atunci $S_4+(-7;-54)=(0;0)$, exact $S_1$.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Se dau punctele $A(-7;12)$ și $B(15;-9)$. Scrie coordonatele vectorilor $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{BA}$.

2. Se dau vectorii $\vec{u}(14;-6)$ și $\vec{v}(-9;17)$. Calculează $\vec{u}+\vec{v}$ și $\vec{u}-\vec{v}$.

3. Pentru $\vec{a}(4;-7)$ și $\vec{b}(-3;5)$ calculează $7\vec{a}-5\vec{b}$.

4. Calculează lungimile: a) vectorului $\vec{w}(-20;21)$; b) vectorului $\overrightarrow{AB}$, cu $A(-4;1)$ și $B(11;9)$.

Nivelul 2 — situații

5. Un tâmplar găurește un montant de dulap în sistemul de 32 mm. Prima gaură este în $P_1(37;96)$, în milimetri, iar următoarele urmează în sus după vectorul $\vec{p}(0;32)$. a) Determină coordonatele găurii a 12-a. b) Montantul are 2 016 mm, iar ultima gaură trebuie să fie la cel puțin 96 mm de capătul de sus. Câte găuri încap?

6. Un tractor cu rampă de stropit lucrează un teren în fâșii. Parcurge o fâșie după $(320;0)$, se mută lateral cu $(0;18)$, parcurge fâșia următoare după $(-320;0)$ și tot așa, în total patru fâșii și trei mutări laterale, în metri. a) Determină deplasarea totală a tractorului. b) Câți metri parcurge tractorul în total?

7. Un robot de sudură trage pe o tablă un cordon drept, din $S_1(240;510)$ în $S_2(790;60)$, coordonate în milimetri, cu viteza de sudare de 600 mm/min. a) Scrie vectorul $\overrightarrow{S_1{S}_2}$. b) Ce lungime are cordonul? c) Cât durează sudarea, în secunde?

8. Pe o linie de ambalare a unei fabrici de conserve, o bandă are trei secțiuni, după vectorii $(210;70)$, $(160;0)$ și $(130;-40)$, în centimetri. a) Determină vectorul total. b) La ce înălțime față de început este capătul benzii? c) Ce lungime are banda?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) O proptea reglabilă sprijină înclinat cofrajul unui perete. Capul ei e prins de cofraj în $A(60;270)$, în centimetri, iar direcția ei, spre pardoseală, este dată de vectorul $\vec{v}(30;-45)$. a) Arătați că punctul $A+6\vec{v}$ se află pe pardoseală, adică are ordonata 0. b) Determinați lungimea proptelei de la $A$ până la acest punct.

10. (Sinteză.) Un utilaj execută mutarea $\vec{a}(30;40)$ și apoi mutarea $\vec{b}(m;-15)$. a) Determinați numărul real $m$ pentru care deplasarea totală este pe verticală. b) Pentru acest $m$, arătați că distanța în linie dreaptă de la start este mai mică decât suma lungimilor celor două mutări.

11. (Sinteză.) Un etaj are 286 cm între pardoseli, iar o treaptă are 27 cm adâncime. a) Câte trepte are scara dacă înălțimea unei trepte este cât mai apropiată de 17,5 cm, iar numărul de trepte este întreg? b) Determinați înălțimea exactă a unei trepte. c) Determinați vectorul rampei drepte cu toate treptele și lungimea ei.

12. (Sinteză.) În planul unei hale, în metri, se montează stâlpi pe segmentul $AB$, cu $A(0;0)$ și $B(60;25)$, la distanțe egale, cu stâlpi în $A$ și în $B$ și 10 intervale între ei. a) Determinați vectorul $\overrightarrow{AB}$ și lungimea lui. b) Determinați vectorul de la un stâlp la următorul. c) Determinați coordonatele celui de-al patrulea stâlp, numărat de la $A$.

Răspunsuri și verificări

1. $\overrightarrow{AB}(15-(-7);-9-12)=(22;-21)$, iar $\overrightarrow{BA}(-22;21)$. Verificare: $(22;-21)+(-22;21)=(0;0)$.

2. $\vec{u}+\vec{v}=(14-9;-6+17)=(5;11)$ și $\vec{u}-\vec{v}=(14+9;-6-17)=(23;-23)$. Verificare: $(23;-23)+(-9;17)=(14;-6)=\vec{u}$, iar $(5;11)-(-9;17)=(14;-6)=\vec{u}$.

3. $7\vec{a}=(28;-49)$ și $5\vec{b}=(-15;25)$, deci $7\vec{a}-5\vec{b}=(28+15;-49-25)=(43;-74)$. Verificare: $(43;-74)+(-15;25)=(28;-49)=7\vec{a}$.

4. a) $|\vec{w}|=\sqrt{(-20{)}^2+21^2}=\sqrt{841}=29$. b) $\overrightarrow{AB}(15;8)$, deci $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17$. Verificare: $29^2=841$ și $17^2=289$.

5. a) $P_{12}=P_1+11\vec{p}=(37;96+11\cdot 32)=(37;448)$ mm. b) Ordonata găurii $k$ este $96+32(k-1)\le 2016-96=1920$, deci $k-1\le 57$ și $k\le 58$. Încap 58 de găuri. Verificare: $P_{58}=(37;96+57\cdot 32)=(37;1920)$, iar $2016-1920=96$ mm.

6. a) Deplasarea totală este $(320-320+320-320;18+18+18)=(0;54)$, adică 54 m pe verticală. b) Tractorul parcurge $4\cdot 320+3\cdot 18=1334$ m. Verificare: deplasarea de 54 m este mult mai mică decât 1334 m, fiindcă fâșiile se întorc una peste alta.

7. a) $\overrightarrow{S_1{S}_2}(790-240;60-510)=(550;-450)$. b) $|\overrightarrow{S_1{S}_2}|=\sqrt{550^2+450^2}=\sqrt{505000}\approx 710,63$ mm. c) Durata este $710,63:600\approx 1,184$ min, adică aproximativ 71,1 s. Verificare: în 71 s robotul parcurge $600\cdot \frac{71}{60}=710$ mm, aproape cât cordonul.

8. a) Vectorul total este $(210+160+130;70+0-40)=(500;30)$. b) Capătul benzii este la 30 cm deasupra începutului. c) Lungimile secțiunilor sunt $\sqrt{210^2+70^2}\approx 221,4$ cm, $160$ cm și $\sqrt{130^2+40^2}\approx 136,0$ cm, deci banda are $221,4+160+136,0=517,4$ cm. Verificare: $|(500;30)|\approx 500,9$ cm este mai mică decât 517,4 cm.

9. a) $A+6\vec{v}=(60+180;270-270)=(240;0)$, ordonata este 0, deci punctul e pe pardoseală. b) Lungimea este $6|\vec{v}|=6\sqrt{30^2+45^2}=6\sqrt{2925}\approx 324,5$ cm. Verificare: $\sqrt{(240-60{)}^2+(0-270{)}^2}=\sqrt{32400+72900}=\sqrt{105300}\approx 324,5$ cm.

10. a) Deplasarea totală este $(30+m;40-15)$, adică pe verticală dacă $30+m=0$, deci $m=-30$. Atunci $\vec{a}+\vec{b}=(0;25)$. b) Lungimile sunt $|\vec{a}|=\sqrt{900+1600}=50$ și $|\vec{b}|=\sqrt{900+225}=\sqrt{1125}\approx 33,54$, cu suma $\approx 83,54$, iar distanța în linie dreaptă este $|(0;25)|=25<83,54$. Verificare: $25^2=625$, iar $625<83,54^2$.

11. a) Din $286:17,5\approx 16,34$, cel mai apropiat număr întreg este 16, deci scara are 16 trepte. b) Înălțimea exactă a unei trepte este $286:16=17,875$ cm. c) Rampa este $16\cdot (27;17,875)=(432;286)$, cu lungimea $\sqrt{432^2+286^2}=\sqrt{268420}\approx 518,1$ cm. Verificare: $2\cdot 17,875+27=62,75$ cm, în intervalul 60–64 cm, iar $16\cdot 17,875=286$ cm.

12. a) $\overrightarrow{AB}(60-0;25-0)=(60;25)$, iar $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{3600+625}=\sqrt{4225}=65$ m. b) Vectorul de la un stâlp la următorul este $\frac{1}{10}\overrightarrow{AB}=(6;2,5)$. c) Al patrulea stâlp este la 3 intervale de $A$: $3\cdot (6;2,5)=(18;7,5)$. Verificare: $|(6;2,5)|=\sqrt{36+6,25}=6,5$ m, iar $10\cdot 6,5=65$ m.

Așa vine la Bac M3

Scrierea vectorilor prin coordonate este în programa de examen, dar nu a apărut în probele 2013–2026. Primul rând de conținuturi al blocului de geometrie din programa M_tehnologic, la clasa a X-a, așază laolaltă reperul cartezian, coordonatele unui vector în plan, ale sumei vectoriale și ale produsului dintre un vector și un număr real, coordonatele unui punct și distanța dintre două puncte. Cuvântul „vector” nu apare în niciunul dintre enunțurile celor 83 de probe. Geometria în reper există totuși în toate: cerința 5 din Subiectul I cere, în fiecare probă, ceva despre puncte date prin coordonate, în 36 de probe mijlocul unui segment, iar în 39 o lungime de segment sau o distanță între două puncte.

Nu avem nicio cerință reală cu vectori de arătat, deci secțiunea nu poartă jetoane și nu inventează cerințe-model. Exercițiile 9–12, notate (Sinteză.), leagă coordonatele vectorilor de dreapta determinată de un punct și o direcție, de distanța dintre puncte și de aproximarea unui număr de trepte. Diferențele de coordonate de aici revin în lecția despre paralele și perpendiculare. Lecțiile vecine stau pe pagina clasei a X-a de la tehnologic.

Greșeli care costă puncte

• Uiți podestul la suma pe orizontală și pui capătul de sus la 459 cm → scara ar fi cu 105 cm prea scurtă; cum o prinzi: numeri toate mutările din desen, rampă, podest, rampă, și adaugi câte una pe rând.
• Scrii ultima latură a pășunii egală cu suma primelor trei, $(7;54)$, nu cu opusul ei → firul ar pleca din $S_4$ spre $(14;108)$, departe de $S_1$; cum o prinzi: aduni latura găsită la $S_4$ și trebuie să ajungi în $S_1$.
• Înmulțești cu o fracție doar una dintre coordonate → refugiul ar ieși în $(500;480)$, în afara potecii; cum o prinzi: refaci cealaltă parte, $(750;288)$, și vezi că cele două părți însumează tronsonul întreg.
• La exercițiul 6 iei deplasarea tractorului, 54 m, drept drumul parcurs → timpul de lucru și motorina s-ar socoti pe 54 m, nu pe 1 334 m; cum o prinzi: drumul adună lungimile tronsoanelor, iar deplasarea leagă doar startul de capăt.
• Amesteci unitățile, de pildă podestul de 1,05 m cu rampa în centimetri → podestul ar conta 1,05 cm; cum o prinzi: aduci toate mărimile în aceeași unitate înainte de adunare.

Programa și examenul

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: scrierea vectorilor prin coordonate, cu produsul lor cu un număr real și cu suma lor, face parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a X-a), deși programa nouă a clasei a X-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu o conține sau o conține doar în parte. În probele oficiale 2013–2026 nu a apărut încă; fiind în programă, poate fi cerută. Pentru Bacalaureatul din 2030 (MAT_P3–MAT_P6) tema nu este în programa de examen.

Întrebări frecvente

Se schimbă capătul de sus al scării dacă rampele au 10 și 7 trepte, nu 9 și 8? Nu. Suma $10\vec{u}+\vec{p}+7\vec{u}$ are aceleași coordonate ca $9\vec{u}+\vec{p}+8\vec{u}$, fiindcă sunt tot 17 trepte și același podest: capătul rămâne în $D(564;297,5)$. Se mută doar podestul, din $C(348;157,5)$ în $(10\cdot 27+105;10\cdot 17,5)=(375;175)$. Suma nu depinde de felul în care împarți treptele între rampe.

Cum afli vectorul de la podest la capătul de sus, fără să numeri treptele? Scazi coordonatele: $\overrightarrow{CD}(564-348;297,5-157,5)=(216;140)$. Rezultatul este chiar $8\vec{u}$, adică cele 8 trepte ale celei de-a doua rampe, deci cele două drumuri duc la același vector. Regula „sosire minus plecare” e mai sigură decât numărătoarea treptelor, mai ales când rampele sunt lungi.

Ce lungime de armătură comanzi pentru prima rampă, dacă adaugi 5 % rezervă? Rampa are $|9\vec{u}|\approx 289,6$ cm. Cu rezerva de 5 % comanzi $289,6\cdot 1,05\approx 304,1$ cm. Lungimea se ia din vectorul rampei, nu din numărul de trepte înmulțit cu adâncimea unei trepte, care ar da doar 243 cm, adică proiecția pe orizontală. Armătura urmează planul înclinat al rampei.

Cum își dă seama maistrul că treapta de 27 cm pe 17,5 cm e comodă? Verifică regula pasului de scară, $2h+a$, cu $h=17,5$ cm înălțimea și $a=27$ cm adâncimea: $2\cdot 17,5+27=62$ cm, în intervalul de 60–64 cm folosit la proiectare. La o treaptă de 20 cm înălțime și 27 cm adâncime ar ieși 67 cm, prea mult.

Lângă ce teme pune programa M_tehnologic coordonatele vectorilor? La clasa a X-a, în primul rând al blocului de geometrie, lângă reperul cartezian, coordonatele unui punct și distanța dintre două puncte. Indexul celor 83 de probe din 2013–2026 nu are nicio cerință cu vectori, dar cerința 5 din Subiectul I a lucrat în fiecare probă cu puncte date prin coordonate. Fiind în programă, tema poate fi cerută.