Cum calculez deplasarea unei tăieturi oblice?

Cotangenta unui unghi este raportul dintre abscisa și ordonata punctului de pe cercul trigonometric: $\mathrm{ctg}\theta =\frac{\text{abscisa}}{\text{ordonata}}$. Există numai când ordonata nu este zero, deci nu pentru multiplii lui $180^{\circ }$. La o piesă cu capătul tăiat oblic, deplasarea capătului pe lățimea $w$ a profilului este $d=w\cdot \mathrm{ctg}\theta$, cu unghiul măsurat de la muchia lungă.

Valorile de bază se rețin: la $30^{\circ }$ este $\sqrt{3}$, la $45^{\circ }$ este 1, la $60^{\circ }$ este $\frac{\sqrt{3}}{3}$, la $90^{\circ }$ este 0. La un unghi obtuz iei suplementul și schimbi semnul, pentru că linia se înclină înapoi. Tangenta și cotangenta aceluiași unghi au produsul 1, iar cotangenta unui unghi coincide cu tangenta complementului său.

Cotangenta se repetă din $180^{\circ }$ în $180^{\circ }$ și este impară: $\mathrm{ctg}(\theta +180^{\circ })=\mathrm{ctg}\theta$ și $\mathrm{ctg}(-\theta )=-\mathrm{ctg}\theta$. Un unghi negativ sau mare se aduce în intervalul $(0^{\circ };180^{\circ })$ adunând sau scăzând semirotații. Sinusul și cosinusul se repetă din $360^{\circ }$ în $360^{\circ }$.

Capcana frecventă este tangenta în locul cotangentei: la un unghi mic linia e culcată, deci deplasarea trebuie să fie mare. Control: raportul dintre lățime și deplasare este tangenta unghiului.

De reținut

• $\mathrm{ctg}\theta =\frac{\text{abscisa}}{\text{ordonata}}$; deplasarea tăieturii este $d=w\cdot \mathrm{ctg}\theta$
• pentru un unghi obtuz, valoarea unghiului suplementar cu semn opus; perioada este $180^{\circ }$; funcția este impară
• valorile de bază: $\sqrt{3}$, $1$, $\frac{\sqrt{3}}{3}$ la $30^{\circ }$, $45^{\circ }$, $60^{\circ }$

Greșeala tipică

Se folosește tangenta în loc de cotangentă. La un profil lat de 6,0 cm și $30^{\circ }$, deplasarea este $6,0\sqrt{3}\approx 10,4$ cm, nu $6,0\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}\approx 3,5$ cm; la un unghi mic tăietura trebuie să fie lungă.

Exerciții din această mini-lecție

1. Un program pentru tăiat plăci de gresie calculează deplasarea capătului cu formula $d=w\cdot \mathrm{ctg}\theta$, unde $\theta$ este unghiul de tăiere. Pentru care dintre unghiurile de mai jos programul nu poate da un rezultat?

   • a) $30^{\circ }$
   • b) $90^{\circ }$
   • c) $135^{\circ }$
   • d) $180^{\circ }$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $180^{\circ }$

   Cotangenta este abscisa împărțită la ordonată, deci nu există acolo unde ordonata este zero, adică la $180^{\circ }$. La $90^{\circ }$ ordonata este 1 și abscisa 0, deci $\mathrm{ctg}90^{\circ }=0$: valoarea există și dă o deplasare nulă, adică tăietura dreaptă. La $30^{\circ }$ și la $135^{\circ }$ ordonata nu este zero, deci cotangenta există, cu valorile $\sqrt{3}$ și $-1$.

2. Un șablon taie un profil de aluminiu pentru un tablou electric, lat de $w$, la $30^{\circ }$ într-un capăt și la $150^{\circ }$ în celălalt, unghiurile fiind măsurate de la aceeași muchie lungă. Cum sunt deplasările celor două capete?

   • a) egale
   • b) opuse (aceeași valoare absolută, semne contrare)
   • c) a doua este dublul primei
   • d) inverse una alteia
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) opuse (aceeași valoare absolută, semne contrare)

   Deplasările sunt $w\cdot \mathrm{ctg}30^{\circ }=w\sqrt{3}$ și $w\cdot \mathrm{ctg}150^{\circ }=-w\sqrt{3}$, fiindcă $150^{\circ }$ este suplementul lui $30^{\circ }$ și semnul se schimbă. Deci ele sunt opuse. Variantele «egale» și «dublul» ignoră semnul și raportul, iar «inverse» ar cere ca produsul lor să fie 1, în timp ce produsul lor este $-3w^2$.

3. Un tractorist trasează rândurile unei plantații cu un unghi $\alpha$, iar programul de ghidare folosește $\mathrm{ctg}\alpha$. Se știe că $\mathrm{ctg}20^{\circ }\approx 2,75$. Cât este, aproximativ, $\mathrm{ctg}380^{\circ }$?

   • a) $2,75$
   • b) $-2,75$
   • c) $0,36$
   • d) $-0,36$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $2,75$

   Cotangenta se repetă din $180^{\circ }$ în $180^{\circ }$, iar $380^{\circ }-2\cdot 180^{\circ }=20^{\circ }$, deci $\mathrm{ctg}380^{\circ }=\mathrm{ctg}20^{\circ }\approx 2,75$. Varianta $-2,75$ vine din ideea că o semirotație schimbă semnul, ca la sinus și cosinus; la cotangentă, abscisa și ordonata își schimbă amândouă semnul, deci raportul rămâne $2,75$ după orice număr de semirotații. Variantele $0,36$ și $-0,36$ sunt inversul lui 2,75, adică tangenta unghiului, nu cotangenta lui.

Întrebări conexe

Oamenii mai întreabă și: deplasarea capătului la o tăietură în unghi · cotangenta unghiului de tăiere a unui profil · cât se mută linia de tăiere pe lățimea profilului · formula deplasării cu lățimea și cotangenta