Cotangenta: domeniu, grafic, perioadă, tehnologic

Când un tâmplar taie colțurile unei rame, tăietura nu cade pe lățimea profilului chiar în dreptul capătului: se mută cu o distanță care depinde de unghi. Distanța aceasta se calculează cu cotangenta. Foaia de față, gândită pentru liceul tehnologic, spune ce este cotangenta, unde există, cum arată graficul ei și de ce ea, tangenta, sinusul și cosinusul se repetă pe toată dreapta numerelor reale. Tema este de clasa a IX-a și face parte din programa Bacalaureatului M3 (M_tehnologic).

Situația de pornire

Un atelier de tâmplărie execută rame din profil de stejar lat de 6,8 cm, pentru oglinzi și tablouri. Fiecare latură a ramei se taie oblic la capete, ca două piese vecine să se îmbine fără spațiu în colț. Tâmplarul așază profilul cu muchia lungă pe masă și măsoară unghiul de tăiere de la această muchie, între 0° și 180°. Pentru fiecare unghi el notează deplasarea capătului: cât se mută linia de tăiere, pe direcția muchiei, între marginea de jos și cea de sus a profilului. O foaie veche a atelierului dă trei valori. Comanda unui client cere însă o ramă triunghiulară și o piesă tăiată la un unghi obtuz, iar pentru ele foaia nu are nimic.

Întrebare: ce deplasare au capetele tăiate la 30° și la 120° și cu cât este mai lungă muchia exterioară decât cea interioară la o piesă pentru o ramă triunghiulară?

De la situație la model

Ce este cotangenta unui unghi?

Linia de tăiere trece prin origine și prin punctul $M(\theta )$ al cercului trigonometric. Pe ea, abscisa și ordonata cresc în același raport: dacă ordonata ajunge la lățimea $w$, abscisa devine $w$ înmulțit cu raportul dintre abscisa și ordonata lui $M(\theta )$. Raportul acesta se numește cotangenta unghiului $\theta$, notată $\mathrm{ctg}\theta$. Deplasarea capătului este deci

$$d=w\cdot \mathrm{ctg}\theta$$

Cotangenta există numai când ordonata nu e zero. Pentru unghiurile de bază, valorile sunt:

• la 30°, $\mathrm{ctg}30^{\circ }=\sqrt{3}$;
• la 45°, $\mathrm{ctg}45^{\circ }=1$;
• la 60°, $\mathrm{ctg}60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}$;
• la 90°, $\mathrm{ctg}90^{\circ }=0$.

Produsul tangentei cu cotangenta unui unghi este 1, atunci când există amândouă, iar cotangenta unui unghi este tangenta complementului lui: la 30°, cotangenta egală cu $\sqrt{3}$ este tangenta de 60°.

Unde există cotangenta și cum arată graficul?

Ordonata e zero la 0°, la 180°, la 360° și din 180° în 180°, deci acolo cotangenta nu există: domeniul ei este format din toate numerele reale, în afară de multiplii lui $\pi$. Pe intervalul de la 0° la 180° valorile scad: lângă 0° sunt foarte mari și pozitive, la 90° e zero, iar lângă 180° sunt foarte mari și negative. Pentru un unghi obtuz valoarea e negativă și are același modul ca la unghiul suplementar: $\mathrm{ctg}120^{\circ }=-\mathrm{ctg}60^{\circ }$. În tăietură, un semn negativ înseamnă că linia se înclină înapoi, nu înainte.

De ce se repetă la fiecare 180° și de ce e simetric graficul?

Punctul de la $\theta +180^{\circ }$ e simetricul celui de la $\theta$ față de origine: abscisa și ordonata trec amândouă la valorile opuse, așa că raportul lor nu se schimbă. De aceea cotangenta, ca și tangenta, se repetă din 180° în 180°, adică din $\pi$ în $\pi$; cel mai mic număr pozitiv cu proprietatea aceasta se numește perioadă. Punctul de la unghiul $-\theta$ e simetricul celui de la $\theta$ față de axa $Ox$, deci doar ordonata își schimbă semnul și cotangenta își schimbă semnul: funcția e impară, iar graficul e simetric față de origine. Linia de tăiere de la $\theta$ și cea de la $\theta +180^{\circ }$ sunt aceeași dreaptă, de aceea au aceeași deplasare.

Cum arată sinusul, cosinusul și tangenta pe toată dreapta reală?

Un unghi poate trece de 360° sau poate fi negativ, măsurat în sens invers. Punctul se rotește mai departe pe cerc, iar sinusul și cosinusul, care sunt coordonatele lui, se repetă din 360° în 360° și rămân între $-1$ și $1$. Sinusul e funcție impară, iar cosinusul e pară. Tangenta există numai unde abscisa nu e zero, adică în afara multiplilor impari ai lui $\frac{\pi }{2}$, și are tot perioada $\pi$.

Metoda pas cu pas

1. Scrie funcția cerută cu coordonatele punctului: cotangenta este abscisa împărțită la ordonată, tangenta este ordonata împărțită la abscisă. Verifică întâi că numitorul nu e zero, altfel valoarea nu există și problema nu are răspuns la unghiul acela. Dacă enunțul dă unghiul în radiani, îl poți transforma în grade, cu $\pi$ radiani $=180^{\circ }$.
2. Adu unghiul între 0° și 180°: scazi sau aduni semirotații întregi de 180° pentru tangentă și cotangentă, și rotații întregi de 360° pentru sinus și cosinus. Un unghi negativ îl aduci în intervalul acesta adunând semirotații, fiindcă după fiecare semirotație punctul ajunge în locul opus.
3. Citește valoarea din tabelul unghiurilor de bază, lucrând cu fracții și radicali, nu cu zecimale, cât timp calculul nu cere o valoare măsurată. La un unghi obtuz iei valoarea suplementului, cu semn schimbat; la un unghi negativ, cu semn schimbat la cotangentă, tangentă și sinus.
4. Verifică: produsul tangentei cu cotangenta e 1 când există amândouă, iar semnul urmează cadranul (cotangenta e pozitivă în cadranele I și III). La o mărime măsurată, scrie și unitatea și compară ordinul de mărime cu cel al datelor: o deplasare nu poate depăși lungimea tăieturii de câte ori vrei, deci un rezultat de zeci de metri la o piesă de lemn e semn de greșeală.

Unghiurile de bază le reții din lecția Cercul trigonometric: unghiuri. Reducerea unghiurilor mari e în Unghiuri mari la primul cadran, Formulele pentru sinusul și cosinusul unei sume sunt în Formulele de adunare: sin și cos, iar celelalte lecții ale clasei sunt pe pagina clasei a IX-a, filiera tehnologică.

Fișa de buzunar

$$\mathrm{ctg}\theta =\frac{\text{abscisa}}{\text{ordonata}},d=w\cdot \mathrm{ctg}\theta$$

Cotangenta se aplică doar unde ordonata nu e zero. Verificare rapidă: la 45° cotangenta și tangenta sunt egale, amândouă cu 1, iar produsul lor e 1 la orice unghi unde există ambele.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Capetele unei rame triunghiulare

Domeniu: lemn.

Enunț. Reluăm profilul de stejar lat de 6,8 cm din situația de pornire. Calculați deplasarea capătului la 30° și la 120°, rotunjită la 0,1 cm. Apoi aflați cu cât este mai lungă muchia exterioară decât cea interioară la o piesă a unei rame triunghiulare, la care unul dintre capete e tăiat la 30°, iar celălalt la 150°.

Rezolvare. Deplasarea la 30° este $6,8\cdot \mathrm{ctg}30^{\circ }=6,8\sqrt{3}\approx 11,78$, adică 11,8 cm. Unghiul de 120° e obtuz, deci iei suplementul lui, de 60°, și schimbi semnul: $6,8\cdot \mathrm{ctg}120^{\circ }=-6,8\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}\approx -3,93$, adică $-3,9$ cm, cu linia înclinată înapoi. La capătul tăiat la 150°, deplasarea e opusul celei de la 30°, adică $-11,78$ cm. Cele trei valori noi se trec pe foaia atelierului, lângă cele vechi, ca să nu mai fie calculate la fiecare comandă. Muchia exterioară depășește pe cea interioară cu diferența dintre cele două deplasări: $11,78-(-11,78)=23,56$, adică 23,6 cm.

Capcană. Cine folosește tangenta în loc de cotangentă obține pentru 30° deplasarea $6,8\cdot \mathrm{tg}30^{\circ }\approx 3,9$ cm, adică valoarea de la 60°. La un unghi mic linia e culcată și deplasarea trebuie să fie mare, nu mică.

Verificare. Linia de tăiere formează cu muchia unghiul de 30°, deci raportul dintre lățimea profilului și deplasare este tangenta de 30°: $\frac{6,8}{11,78}\approx 0,577$, iar $\mathrm{tg}30^{\circ }\approx 0,577$.

Exemplul 2 — Rândurile unei plantații de viță

Domeniu: agricol.

Enunț. La trasarea rândurilor unei plantații de viță de vie, un topograf măsoară unghiul $\alpha$ al fiecărui rând față de direcția est–vest, de la est în sens trigonometric. Pentru fiecare țăruș se avansează 20 m spre nord, iar deplasarea spre est se calculează cu cotangenta lui $\alpha$ (negativă înseamnă spre vest). Calculați deplasarea pentru rândul de 30° și pentru cel de 135°, rotunjită la 0,1 m, și spuneți ce se întâmplă la un rând est–vest.

Rezolvare. Pentru 30°: $20\cdot \mathrm{ctg}30^{\circ }=20\sqrt{3}\approx 34,64$, adică 34,6 m spre est. Pentru 135°, suplementul e 45°, iar semnul se schimbă: $-20\cdot 1=-20$, adică 20,0 m spre vest. Țărușii se bat apoi din 20 în 20 de metri spre nord, pe aceeași direcție, iar rândul se verifică la capete cu sfoara. Un rând est–vest are unghiul de 0° sau de 180°, unde ordonata e zero și cotangenta nu există: rândul nu avansează deloc spre nord, deci nu mai are sens să măsori 20 m spre nord.

Capcană. Cine scrie deplasarea cu tangenta obține pentru rândul de 30° valoarea $20\cdot \mathrm{tg}30^{\circ }\approx 11,5$ m. Un rând de 30° e mult mai aproape de direcția est decât de nord, deci deplasarea spre est trebuie să fie mai mare de 20 m.

Verificare. La rândul de 30°, raportul dintre avansul spre nord și deplasarea spre est este $\frac{20}{34,64}\approx 0,577$, iar tangenta lui 30° este $0,577$.

Exemplul 3 — Fundul conic al unui decantor

Domeniu: mediu.

Enunț. Decantorul unei stații de epurare are fundul conic, cu unghiul la vârf de 60° și cu raza gurii de 1,4 m. Calculați adâncimea conului, în metri, rotunjită la 0,01 m, scrieți-o în centimetri și exprimați în radiani unghiul pe care îl face peretele conului cu orizontala.

Rezolvare. Fundul conic se toarnă din beton după un plan în care se vede secțiunea conului. Axa conului împarte unghiul la vârf în două unghiuri de 30°, iar raza e catetă opusă. Adâncimea este raza înmulțită cu cotangenta lui 30°: $1,4\cdot \mathrm{ctg}30^{\circ }=1,4\sqrt{3}\approx 2,42$ m, adică 242 cm. Peretele face cu orizontala unghiul $90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$, adică $\frac{\pi }{3}\approx 1,0472$ radiani.

Capcană. Cine ia cotangenta ca pe tangenta obține $1,4\cdot \mathrm{tg}30^{\circ }\approx 0,81$ m. Un con cu unghiul la vârf de 60° e înalt și îngust, deci adâncimea trebuie să depășească raza, nu să fie mai mică.

Verificare. Raportul dintre rază și adâncime este tangenta semiunghiului: $\frac{1,4}{2,42}\approx 0,579$, aproape de $\mathrm{tg}30^{\circ }\approx 0,577$; diferența vine din rotunjirea adâncimii.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: tangente și cotangente de bază

Domeniu: chimie.

Enunț. Cerința 6 din Subiectul I cere, în două din probele oficiale, să arăți egalități cu tangente și cotangente de bază. Aici unghiurile 30°, 45° și 60° vin de pe scara unui goniometru de laborator. a) Arătați că $\mathrm{tg}45^{\circ }\cdot \mathrm{ctg}30^{\circ }+\mathrm{ctg}45^{\circ }\cdot \mathrm{tg}60^{\circ }=2\sqrt{3}$. b) Arătați că $\sin 45^{\circ }+\mathrm{ctg}45^{\circ }=\cos 45^{\circ }+\mathrm{tg}45^{\circ }$.

Rezolvare. Mai întâi scriem valorile pe rânduri separate, ca să se vadă ce aparține cărei funcții. a) Din tabel, $\mathrm{tg}45^{\circ }=1$, $\mathrm{ctg}30^{\circ }=\sqrt{3}$, $\mathrm{ctg}45^{\circ }=1$ și $\mathrm{tg}60^{\circ }=\sqrt{3}$. Suma este $1\cdot \sqrt{3}+1\cdot \sqrt{3}=2\sqrt{3}$. b) $\sin 45^{\circ }=\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$ și $\mathrm{ctg}45^{\circ }=\mathrm{tg}45^{\circ }=1$. Cei doi membri sunt egali cu $\frac{\sqrt{2}}{2}+1$.

Capcană. La a), cine confundă $\mathrm{ctg}30^{\circ }$ cu $\frac{\sqrt{3}}{3}$ obține $\frac{\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$, nu $2\sqrt{3}$. Valoarea $\frac{\sqrt{3}}{3}$ aparține lui $\mathrm{ctg}60^{\circ }$.

Verificare. Rezultatul de la a) e în jur de 3,46, iar $\mathrm{ctg}30^{\circ }\approx 1,732$ și $\mathrm{tg}60^{\circ }\approx 1,732$, deci $1,732+1,732=3,464$ și $2\sqrt{3}\approx 3,464$.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Calculează cotangenta unghiului de $60^{\circ }$ și pe cea a unghiului de $135^{\circ }$.

2. Care dintre numerele $0$, $\frac{\pi }{6}$, $\frac{\pi }{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi }{2}$ și $2\pi$ nu aparțin domeniului cotangentei? Dar domeniului tangentei?

3. Calculează $\mathrm{ctg}405^{\circ }$, $\mathrm{ctg}\left(-45^{\circ }\right)$ și $\sin \left(-30^{\circ }\right)$, folosind perioada și paritatea funcțiilor.

4. Tangenta unui unghi ascuțit, citită de un tehnician pe un șablon, este 0,35. Calculează cotangenta lui, rotunjită la sutimi, și spune dacă unghiul e mai mic sau mai mare decât unghiul de 45°.

Nivelul 2 — situații

5. Un tehnician electrician măsoară pe o instalație de curent alternativ puterea activă de 24 kW și puterea reactivă de 18 kvar. Raportul dintre puterea reactivă și cea activă este tangenta unghiului de defazaj. Calculează tangenta și cotangenta acestui unghi și spune care dintre ele e mai mare ca 1.

6. Un atelier de tâmplărie taie ramele de oglinzi dintr-un profil lat de 5,2 cm. Compară deplasările capătului la 30° și la 60°: de câte ori e mai mare prima decât a doua și cât este fiecare, în centimetri? Depinde raportul lor de lățimea profilului?

7. Un agitator dintr-un rezervor al unei stații de epurare a apei are două brațe diametral opuse. Brațul $A$ face unghiul de 60° cu axa $Ox$, iar brațul $B$ cel de 240°. Calculează cotangenta fiecărui unghi și explică de ce rezultatele coincid.

8. Într-o brutărie, baghetele coapte se feliază oblic pentru bruschete. O baghetă are 6,4 cm lățime, iar mașina de feliat taie la 120° față de axa ei. Calculează deplasarea capătului tăieturii pe lățimea baghetei, rotunjită la 0,1 cm, și spune în ce sens se mută.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Arătați că ${\mathrm{ctg}}^{2}30^{\circ }-{\mathrm{ctg}}^{2}60^{\circ }=\frac{8}{3}$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Arătați că $\cos 60^{\circ }+\mathrm{ctg}60^{\circ }=\sin 30^{\circ }+\mathrm{tg}30^{\circ }$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Arătați că $\mathrm{tg}60^{\circ }\cdot \mathrm{ctg}45^{\circ }-\mathrm{ctg}60^{\circ }\cdot \mathrm{tg}45^{\circ }=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

12. (Sinteză.) Un program al atelierului primește unghiul de tăiere $\theta$ și dă deplasarea $d=4,6\cdot \mathrm{ctg}\theta$, în centimetri. a) Calculează $d$ la $\frac{\pi }{6}$, la $\frac{\pi }{2}$ și la $\frac{5\pi }{6}$, rotunjit la 0,1 cm. b) Pentru ce unghiuri din $(0,\pi )$ deplasarea e pozitivă și pentru care e negativă? c) Un operator tastează din greșeală $\theta +\pi$ în loc de $\theta$, iar altul $-\theta$. Se schimbă deplasarea? Justifică folosind perioada și paritatea.

Răspunsuri și verificări

1. $\mathrm{ctg}60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Unghiul de 135° e obtuz, deci iei suplementul lui și schimbi semnul: $\mathrm{ctg}135^{\circ }=-\mathrm{ctg}45^{\circ }=-1$. Verificare: unghiul obtuz dă o valoare negativă, iar 45° și 135° sunt suplementare.

2. Cotangenta nu există la $0$, $\pi$ și $2\pi$, unde ordonata e zero. Tangenta nu există la $\frac{\pi }{2}$ și $\frac{3\pi }{2}$, unde abscisa e zero. Verificare: punctele de la $0$, $\pi$ și $2\pi$ sunt pe axa $Ox$, iar cele de la $\frac{\pi }{2}$ și $\frac{3\pi }{2}$ sunt pe axa $Oy$.

3. $405^{\circ }=360^{\circ }+45^{\circ }$, iar cotangenta se repetă din 180° în 180°, deci $\mathrm{ctg}405^{\circ }=\mathrm{ctg}45^{\circ }=1$. Cotangenta e impară: $\mathrm{ctg}\left(-45^{\circ }\right)=-1$. Sinusul e impar: $\sin \left(-30^{\circ }\right)=-\frac{1}{2}$. Verificare: $405^{\circ }-180^{\circ }-180^{\circ }=45^{\circ }$.

4. Cotangenta este inversul tangentei: $\frac{1}{0,35}=\frac{20}{7}\approx 2,86$. Cum tangenta e sub 1, unghiul e mai mic decât 45°. Verificare: $0,35\cdot \frac{20}{7}=1$.

5. $\mathrm{tg}\phi =\frac{18\text{kvar}}{24\text{kW}}=\frac{3}{4}$ (raportul nu are unitate), iar $\mathrm{ctg}\phi =\frac{4}{3}\approx 1,33$. Cotangenta e mai mare ca 1, fiindcă puterea reactivă e mai mică decât cea activă. Verificare: $\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{3}=1$.

6. La 30° deplasarea este $5,2\sqrt{3}\approx 9,01$, adică 9,0 cm, iar la 60° este $5,2\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}\approx 3,00$ cm. Raportul lor este $\sqrt{3}:\frac{\sqrt{3}}{3}=3$ și nu depinde de lățime, fiindcă lățimea apare în ambele deplasări. Verificare: $3,00\cdot 3=9,00$, aproape de 9,01 (diferența vine din rotunjire).

7. $\mathrm{ctg}60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}$, iar $\mathrm{ctg}240^{\circ }=\mathrm{ctg}(60^{\circ }+180^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Brațele sunt diametral opuse, deci punctele sunt opuse față de origine, iar raportul coordonatelor rămâne același. Verificare: $240^{\circ }-60^{\circ }=180^{\circ }$, perioada cotangentei.

8. $6,4\cdot \mathrm{ctg}120^{\circ }=-6,4\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}\approx -3,70$, adică $-3,7$ cm: capătul se mută cu 3,7 cm înapoi față de direcția muchiei. Verificare: valoarea de la 60° ar fi $+3,7$ cm, iar la 120° semnul se schimbă.

9. $\mathrm{ctg}30^{\circ }=\sqrt{3}$, deci ${\mathrm{ctg}}^{2}30^{\circ }=3$. $\mathrm{ctg}60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}$, deci ${\mathrm{ctg}}^{2}60^{\circ }=\frac{1}{3}$. Diferența este $3-\frac{1}{3}=\frac{8}{3}$. Verificare: $3=\frac{9}{3}$, iar $\frac{9}{3}-\frac{1}{3}=\frac{8}{3}$.

10. $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ și $\mathrm{ctg}60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}$, deci primul membru este $\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}$. $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$ și $\mathrm{tg}30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}$, deci al doilea membru este $\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}$. Cei doi membri coincid. Verificare: $\mathrm{ctg}60^{\circ }$ și $\mathrm{tg}30^{\circ }$ sunt egale, fiindcă 60° și 30° sunt complementare.

11. $\mathrm{tg}60^{\circ }\cdot \mathrm{ctg}45^{\circ }=\sqrt{3}\cdot 1=\sqrt{3}$. $\mathrm{ctg}60^{\circ }\cdot \mathrm{tg}45^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 1=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Diferența este $\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$. Verificare: $1,732-0,577=1,155$, iar $\frac{2\sqrt{3}}{3}\approx 1,155$.

12. a) $4,6\cdot \mathrm{ctg}\frac{\pi }{6}=4,6\sqrt{3}\approx 8,0$ cm, $4,6\cdot \mathrm{ctg}\frac{\pi }{2}=0$, adică tăietura dreaptă, și $4,6\cdot \mathrm{ctg}\frac{5\pi }{6}=-4,6\sqrt{3}\approx -8,0$ cm. b) Deplasarea e pozitivă între $0$ și $\frac{\pi }{2}$, adică în cadranul I, și negativă între $\frac{\pi }{2}$ și $\pi$. c) Cu $\theta +\pi$ deplasarea nu se schimbă, fiindcă perioada cotangentei este $\pi$; cu $-\theta$ își schimbă semnul, fiindcă cotangenta e impară. Verificare: $\mathrm{ctg}\frac{7\pi }{6}=\sqrt{3}=\mathrm{ctg}\frac{\pi }{6}$, iar $\mathrm{ctg}\left(-\frac{\pi }{6}\right)=-\sqrt{3}$.

Așa vine la Bac M3

Cotangenta e trecută în programa de examen a Bacalaureatului M3 (M_tehnologic): programa o definește pe intervalul de la 0 la $\pi$, apoi, împreună cu tangenta, pe numerele reale fără punctele în care nu există. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în două probe, ambele simulări, la cerința 6 din Subiectul I, cu câte 5 puncte. Niciuna nu e din 2022–2026. Cele două cerințe sunt:

• Simularea din 2015, Subiectul I, exercițiul 6: enunțul dă o sumă de două produse de tangente și cotangente de bază și îi cere valoarea $\frac{10}{3}$, deci la pasul 3 citești valorile din tabel (3 puncte în baremul probei), apoi aduni produsele (2 puncte).
• Simularea din 2017, Subiectul I, exercițiul 6: enunțul pune față în față o sumă cu sinus și tangentă și una cu cosinus și cotangentă, iar tu arăți egalitatea lor, deci la pasul 3 observi că 60° și 30° sunt complementare, deci sinusul de 60° e cosinusul de 30° (2 puncte în baremul probei), iar tangenta de 45° e cotangenta de 45° (3 puncte).

Cerințele sunt scurte: greutatea stă în a ști care valoare aparține cotangentei și care tangentei. La examen scrii valorile pe rânduri separate și numești funcția la fiecare rând, ca să se vadă ce ai folosit. Exercițiile 9–11 din lecția aceasta au aceleași forme.

Greșeli care costă puncte

• Iei cotangenta drept inversul sinusului → cum o prinzi: la 30° cotangenta este $\sqrt{3}$, nu 2, iar în cadran se citește ca abscisă împărțită la ordonată.
• Folosești tangenta în loc de cotangentă la deplasarea unei tăieturi → cum o prinzi: la 60° deplasarea e mică, 3,9 cm la profilul de 6,8 cm, nu mare.
• Spui că cotangenta există la 0° sau la 180° → cum o prinzi: acolo ordonata e zero, iar împărțirea la zero nu are sens.
• Crezi că perioada cotangentei e 360° → cum o prinzi: 30° și 210° sunt opuse față de origine și au aceeași cotangentă, deci perioada e 180°.
• Uiți semnul minus la un unghi obtuz → cum o prinzi: la 120° linia de tăiere se înclină înapoi, deci deplasarea e negativă.

Programa și examenul

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: funcția cotangentă face parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a IX-a), deși programa nouă a clasei a IX-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu o conține sau o conține doar în parte. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 2 probe, la Subiectul I. Pentru Bacalaureatul din 2030 (MAT_P3–MAT_P6) tema nu este în programa de examen.

Întrebări frecvente

Cum verifici deplasarea de 11,8 cm de la capătul tăiat la 30°? Împarți lățimea profilului la deplasare: $\frac{6,8}{11,78}\approx 0,577$, iar acesta este numărul pe care îl are tangenta de 30°. Dacă raportul ar ieși 1,73, ai fi folosit cotangenta pe dos, adică valoarea de la 60°, iar tăietura ar ieși prea scurtă.

Ce se schimbă dacă profilul are 8,4 cm lățime? Deplasările se înmulțesc cu 8,4 în loc de 6,8, iar unghiurile rămân aceleași. La 30° deplasarea devine $8,4\sqrt{3}\approx 14,55$ cm, la 45° e 8,4 cm, iar la 60° e aproximativ 4,85 cm. Muchia exterioară a unei piese de ramă triunghiulară o depășește pe cea interioară cu 29,1 cm.

De ce iese negativă deplasarea la 120°? La 120° linia de tăiere se înclină înapoi, spre începutul profilului, nu înainte. Cotangenta unghiului de 120° este opusul celei de 60°, adică $-\frac{\sqrt{3}}{3}$, deci deplasarea la profilul de 6,8 cm este $-3,9$ cm, cu semn minus.

De ce la o ramă pătrată diferența dintre muchii este dublul lățimii, la orice profil? Cele două capete ale unei piese sunt tăiate la 45° și la 135°, iar cotangenta lui 45° este 1, deci fiecare capăt se mută cu o lățime de profil. Diferența dintre muchii este două lățimi: la profilul de 6,8 cm, 13,6 cm.

Se cere cotangenta la Bacalaureatul M3? E în programa de examen M_tehnologic, dar în probele oficiale 2013–2026 a apărut în două probe, ambele simulări, la cerința 6 din Subiectul I. Fiind în programă, poate fi cerută. Forma întâlnită: o egalitate cu tangente, cotangente, sinusuri sau cosinusuri ale unghiurilor de 30°, 45° și 60°.

Poate fi o tăietură la 180°? La 180° linia de tăiere ar fi chiar muchia lungă a profilului, deci n-ar traversa deloc lățimea lui. Ordonata punctului e zero, iar cotangenta nu există, la fel ca la 0° și la 360°. Aceste unghiuri nu se pun niciodată pe șablonul de tăiere.