Câte loturi controlez la un enunț cu «toate»?
La „toate” te oprești la primul contraexemplu; dacă nu apare, controlezi toate elementele. La „există” te oprești la primul exemplu; dacă nu apare, controlezi tot domeniul. Exemplu: pentru temperaturile ; ; ; ; ; °C, „toate au cel mult °C” cade după controale, iar „există una sub °C” cere toate cele . Proba: al patrulea element, , este chiar contraexemplul.
Un enunț cu cuantificator vorbește despre un domeniu întreg. „Toate” (cuantificatorul universal) cere ca fiecare element să respecte o condiție, iar „există” (cuantificatorul existențial) cere cel puțin un element care o respectă; „niciunul” înseamnă că toate elementele încalcă condiția.
Pe un registru, un „toate” se infirmă printr-un singur contraexemplu, dar se confirmă numai după ce ai controlat tot domeniul; un „există” se confirmă la primul exemplu și se infirmă numai după controlul complet. Dacă elemente respectă condiția dintr-un total de , „toate” înseamnă , iar „există” înseamnă .
Negația schimbă cuantificatorul și neagă condiția din interior: este , iar este . Pentru conectori, și . Negația lui „sub” este „cel puțin”, iar a lui „peste” este „cel mult”.
Controlul final: un enunț și negația lui au mereu valori opuse, pe orice registru. Dacă se schimbă domeniul, se schimbă și , deci se poate schimba și verdictul.
De reținut
- „toate” cade la primul contraexemplu, „există” se confirmă la primul exemplu
- un „toate” adevărat și un „există” fals cer controlul întregului domeniu
- „niciunul” se citește „toate … nu” și cade la primul element care respectă condiția
Greșeala tipică
Se confirmă „toate” după primele valori bune: pentru ; și s-ar scrie „adevărat”, dar al patrulea element, , este contraexemplu. Enunțul cu „toate” se confirmă doar după controlul tuturor celor elemente.
Exerciții din această mini-lecție
Un controlor de calitate scrie despre un lot de piese: „Toate piesele au toleranța sub mm.” Care dintre enunțuri este negația lui?
- a) „Nicio piesă nu are toleranța sub mm.”
- b) „Există o piesă cu toleranța peste mm.”
- c) „Toate piesele au toleranța peste mm.”
- d) „Există o piesă cu toleranța de cel puțin mm.”
Vezi răspunsul
Răspuns corect: d) „Există o piesă cu toleranța de cel puțin mm.”
Negația lui „toate” cere un contraexemplu, deci începe cu „există”, iar negația lui „sub ” este „cel puțin ”. Enunțul cu „nicio piesă” nu este negația, pentru că „toate” și „nicio” pot fi false deodată. Varianta cu „peste” scapă piesa cu toleranța exact mm, iar „toate piesele au toleranța peste” nu schimbă cuantificatorul.
Un service are autoturisme în lucru, cu kilometrajele: ; ; ; ; ; ; km. Care dintre enunțuri este adevărat?
- a) „Toate au cel puțin km.”
- b) „Există unul sub km.”
- c) „Niciunul nu are peste km.”
- d) „Toate au sub km.”
Vezi răspunsul
Răspuns corect: b) „Există unul sub km.”
Autoturismul cu km este un exemplu pentru „există unul sub km”, deci enunțul al doilea este adevărat. Primul cade la același autoturism, cu km, sub . Al treilea și al patrulea cad la autoturismul cu km, care depășește , respectiv .
Un container de compost este conform dacă are umiditatea sub % și impuritățile sub %. Care dintre enunțuri descrie exact un container neconform?
- a) umiditatea peste % și impuritățile peste %
- b) umiditatea de cel puțin % și impuritățile de cel puțin %
- c) umiditatea de cel puțin % sau impuritățile de cel puțin %
- d) umiditatea de cel puțin % sau impuritățile peste %
Vezi răspunsul
Răspuns corect: c) umiditatea de cel puțin % sau impuritățile de cel puțin %
Un container este neconform dacă nu respectă cel puțin una dintre condiții, deci negația lui „și” are „sau”, iar „sub” devine „cel puțin”. Varianta cu „și” cere ambele defecte deodată, iar cea cu „peste” și „și” are în plus greșeala egalității. Varianta „impuritățile peste %” scapă containerul cu impurități exact %.
Întrebări conexe
Câte controale cere «există» dacă enunțul e fals?
Toate, fiindcă niciun exemplu nu apare înainte de ultimul element. Pentru șapte valori ; ; ; ; ; ; și enunțul „există una de peste ”, controlezi toate cele și constați că niciuna nu depășește .
Cum controlez un enunț cu «niciunul»?
Îl citești ca „toate … nu” și te oprești la primul element care respectă condiția, fiindcă acela îl face fals. Pentru temperaturile ; ; ; °C și enunțul „niciun lot nu are peste °C”, al treilea lot îl infirmă, după controale.
Când este adevărat un enunț cu «nu toate»?
Când cel puțin un element nu respectă condiția, adică . Pentru diametrele ; ; ; mm și condiția „cel mult mm”, enunțul „nu toate respectă condiția” este adevărat după controale, fiindcă trece de prag.
Ce înseamnă «cel puțin unul» față de «exact unul»?
„Cel puțin unul” cere , iar „exact unul” cere . Dacă din loturi au temperatura sub °C, cele două enunțuri diferă: „cel puțin unul” este adevărat, iar „exact unul” este fals, fiindcă .
Cum notez numărul controalelor pentru fiecare enunț al fișei?
Faci un tabel cu trei coloane: enunțul, verdictul și numărul de controale. Pentru un lot de valori, un „toate” fals la a treia valoare se scrie „fals, controale”, iar un „toate” adevărat se scrie „adevărat, controale”.
Oamenii mai întreabă și: câte loturi controlez ca să hotărăsc un enunț · când mă opresc la primul contraexemplu · controlul registrului pentru toate și există · câte verificări cere un enunț cu cuantificator