Toți, niciunul, unii: cuantificatori la tehnologic

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a IX-a → ·

Într-o cameră frigorifică nu verifici un singur lot: ai de hotărât enunțuri despre toate loturile sau despre unul dintre ele, iar cele două feluri se dovedesc și se resping diferit. Enunțurile de felul acesta se numesc enunțuri cu cuantificatori; la filiera tehnologică sunt în prima unitate a clasei a IX-a. Programa de examen M_tehnologic (Bacalaureatul M3) trece cuantificatorii în primul ei bloc de conținuturi pentru această clasă.

Situația de pornire

La o fabrică de lactate, camera frigorifică ține șase loturi de iaurt, numerotate în ordinea în care au ieșit de pe linia de ambalare. La intrarea în cameră, laboratorul notează pentru fiecare lot temperatura, aciditatea (pH) și zilele rămase până la expirarea termenului de valabilitate (date din exemplu).

Lotul	Temperatura (°C)	pH	Zile până la expirare
L1	4,1	4,4	21
L2	5,2	4,3	18
L3	3,8	4,5	24
L4	6,4	4,6	12
L5	4,9	4,2	20
L6	5,7	4,4	16

Șefa de calitate a scris cinci enunțuri pe fișa camerei:

Toate loturile au temperatura de cel mult 6 °C.
Există un lot cu pH sub 4,2.
Niciun lot nu are mai puțin de 14 zile până la expirare.
Cel puțin un lot are temperatura peste 6 °C.
Toate loturile au pH de cel mult 4,6.

Controlorul deschide registrul în ordinea L1, L2, … și se oprește de îndată ce poate hotărî un enunț.

Întrebare: care dintre cele cinci enunțuri sunt adevărate și câte loturi trebuie controlate, în ordinea din registru, ca să hotărăști fiecare?

De la situație la model

Tabelul pune cuvintele din fișa camerei lângă cele din matematică.

În situație	În matematică
lista loturilor L1–L6	domeniul $D = {L1, \dots, L6}$ , cu $n = 6$ elemente
„lotul $x$ are temperatura de cel mult 6 °C”	predicatul $t (x)$
loturile care îl verifică	mulțimea de adevăr $M_{t}$ , cu $m$ elemente
„toate loturile …”	cuantificatorul universal $\forall$
„există un lot …”, „cel puțin un lot …”	cuantificatorul existențial $\exists$
un lot care strică un „toate”	contraexemplu

Cuantificatorul universal $\forall$ se citește „oricare ar fi”: enunțul $\forall x \in D, t (x)$ spune că $t (x)$ este adevărat pentru fiecare $x$ din $D$ , adică $M_{t} = D$ . Cuantificatorul existențial $\exists$ se citește „există” și înseamnă „cel puțin un element convine”: $\exists x \in D, t (x)$ spune că $M_{t}$ are cel puțin un element. Un contraexemplu este o valoare din domeniu pentru care $t (x)$ este falsă: unul singur infirmă un enunț cu „toate”. Despre propoziții și predicate vezi lecția despre fișa tehnică, iar despre „și”, „sau”, „nu”, logica garanției.

Cum hotărăști „toate” și „există”?

Pentru „toate” cauți un contraexemplu și te oprești la primul: enunțul 1 cade la L4, după 4 loturi controlate. Dacă nu găsești niciunul, trebuie să fi controlat toate cele 6 loturi, ca la enunțul 5. Pentru „există” cauți un exemplu și te oprești la primul, ca la enunțul 4, tot la L4; ca să-l infirmi, ca la enunțul 2, controlezi toate cele 6 loturi.

Domeniul decide: dacă L4 se retrage din cameră, enunțul 1 devine adevărat pe loturile rămase, fiindcă cea mai mare temperatură este 5,7 °C.

Cum se neagă „toate” și „există”?

Negația unui enunț are valoarea opusă pe orice registru. Negația lui „toate loturile au temperatura de cel mult 6 °C” nu este „niciun lot nu are cel mult 6 °C”, ci „există un lot cu temperatura peste 6 °C”: schimbi cuantificatorul și negi predicatul din interior. Pe mulțimea de adevăr: „toate” cere $m = 6$ , deci negația lui cere $m \leq 5$ , iar „niciun lot nu verifică $t$ ” cere $m = 0$ . Exact unul dintre un enunț și negația lui este adevărat.

Cum se neagă „și” și „sau”?

Un lot este conform dacă are temperatura de cel mult 6 °C, adică $t (x)$ , și pH de cel mult 4,6, adică $a (x)$ . Nu este conform dacă nu îndeplinește cel puțin una dintre condiții: $\neg (t \land a)$ înseamnă $\neg t \lor \neg a$ . Invers, $\neg (t \lor a)$ înseamnă $\neg t \land \neg a$ . Pe registru, singurul lot care nu verifică $t$ este L4, iar toate loturile verifică $a$ ; deci singurul lot neconform este L4. Pe mulțimi: complementara unei intersecții este reuniunea complementarelor, ca la operațiile cu mulțimi.

Metoda pas cu pas

Scrie predicatul simplu și domeniul lui: ce înseamnă „lotul $x$ verifică $t$ ” și pe ce loturi se aplică. Un singur predicat, o singură condiție, cu pragul din fișă.
Citește cuantificatorul din cuvinte: „toate”, „fiecare”, „oricare” înseamnă $\forall$ ; „există”, „cel puțin un”, „unele” înseamnă $\exists$ ; „niciun” înseamnă „toate … nu”.
Hotărăște enunțul: la $\forall$ cauți un contraexemplu și te oprești la primul, la $\exists$ cauți un exemplu și te oprești la primul. Notezi câte loturi ai controlat. Pentru negație schimbi cuantificatorul și negi predicatul din interior; la „și” și „sau” folosești regulile din fișă.
Verifică: pe același registru, exact unul dintre enunț și negația lui trebuie să fie adevărat; compară și numărul $m$ al loturilor care verifică $t$ cu numărul $n$ al loturilor din domeniu. Refă controlul în ordine inversă: verdictul nu se schimbă, doar numărul de controale.

Fișa de buzunar

$\neg (\forall x \in D, t (x)) ⟺ \exists x \in D, \neg t (x)$

$\neg (\exists x \in D, t (x)) ⟺ \forall x \in D, \neg t (x)$

Enunț	Adevărat când	Negația lui	Adevărată când
toate loturile verifică $t$	$m = n$	există un lot care nu verifică $t$	$m < n$
există un lot care verifică $t$	$m \geq 1$	niciun lot nu verifică $t$	$m = 0$
niciun lot nu verifică $t$	$m = 0$	există un lot care verifică $t$	$m \geq 1$
nu toate loturile verifică $t$	$m < n$	toate loturile verifică $t$	$m = n$

Aici $n$ este numărul loturilor din domeniu, iar $m$ numărul celor care verifică $t$ . Pentru conectori, $\neg (A \land B)$ este $\neg A \lor \neg B$ , iar $\neg (A \lor B)$ este $\neg A \land \neg B$ . Se aplică pe un domeniu dat; dacă se schimbă domeniul, se schimbă $m$ și $n$ . Verificare rapidă: pe orice registru, exact unul dintre un enunț și negația lui este adevărat.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Cele cinci enunțuri ale camerei

Domeniu: alimentar.

Enunț. Ia registrul de loturi de mai sus. Hotărăște cele cinci enunțuri și spune, la fiecare, câte loturi controlezi în ordinea L1, L2, … până poți hotărî. Apoi, la enunțul 2, scrie negația și verifică-o pe registru.

Rezolvare. 1: fals, contraexemplul L4 are 6,4 °C; 4 loturi controlate. 2: fals, cel mai mic pH este 4,2 la L5, nu sub 4,2; toate cele 6 loturi controlate. 3: fals, L4 are 12 zile, sub 14; 4 loturi controlate. 4: adevărat, exemplul L4 are 6,4 °C, peste 6; 4 loturi controlate. 5: adevărat, cel mai mare pH este 4,6 la L4, iar 4,6 nu depășește 4,6; toate cele 6 loturi controlate. Negația enunțului 2 este „toate loturile au pH de cel puțin 4,2”: pH-urile sunt 4,4; 4,3; 4,5; 4,6; 4,2; 4,4, deci negația este adevărată și enunțul 2 este fals.

Capcană. Cine se oprește la L5, cu pH egal cu 4,2, ia „egal” drept „sub” și crede enunțul 2 adevărat, după 5 loturi controlate. Pragul e strict: 4,2 nu este sub 4,2.

Verificare. Pe alt drum, cu mulțimea de adevăr: loturile cu pH sub 4,2 sunt 0, deci $m = 0$ și „există” este fals; loturile cu pH de cel mult 4,6 sunt 6, deci $m = n = 6$ și „toate” este adevărat.

Exemplul 2 — Cuburile de beton

Domeniu: constructii.

Enunț. La un șantier, șase cuburi de beton au fost rupte la 28 de zile, cu rezistențele la compresiune (date din exemplu), în N/mm²: 28,4; 31,2; 26,9; 24,7; 29,8; 33,5. Fișa lotului cere „Toate cuburile au cel puțin 25 N/mm²”. a) Este adevărat enunțul? b) Scrie negația lui și spune dacă este adevărată. c) Este adevărat „Niciun cub nu are sub 20 N/mm²”?

Rezolvare. a) Cubul de 24,7 N/mm² este contraexemplu, deci enunțul este fals. b) Negația este „există un cub cu mai puțin de 25 N/mm²”: cubul de 24,7 N/mm² o face adevărată. c) „Niciun cub nu are sub 20” înseamnă că toate cuburile au cel puțin 20 N/mm²: cea mai mică valoare, 24,7, trece de 20, deci enunțul este adevărat.

Capcană. Cine ia drept negație „niciun cub nu are cel puțin 25 N/mm²” găsește enunțul fals, fiindcă cinci cuburi au cel puțin 25 N/mm², și trage concluzia greșită că enunțul inițial este adevărat. Negația lui „toate” nu este „niciunul”.

Verificare. Pe alt drum, numeri: cuburile de 28,4; 31,2; 26,9; 29,8 și 33,5 N/mm² (5 din 6) sunt cel puțin 25, deci $m = 5 < n = 6$ și „toate” este fals, iar negația lui este adevărată.

Exemplul 3 — Parcele de floarea-soarelui, în kg și în tone

Domeniu: agricol.

Enunț. Contractul unei cooperative cere „Toate parcelele dau cel puțin 3 t/ha” (date din exemplu). Recoltele a cinci parcele, cântărite și raportate la hectar, au dat, în kg/ha, producțiile: 2 840; 3 120; 2 970; 3 340; 3 205. a) Este adevărat enunțul? b) Este adevărat „Există o parcelă cu peste 3,3 t/ha”? c) Este adevărat „Rotunjite la tonă, toate parcelele dau 3 t/ha”?

Rezolvare. Convertești întâi: 1 t = 1000 kg, deci producțiile sunt 2,84; 3,12; 2,97; 3,34 și 3,205 t/ha. a) Parcelele de 2,84 și 2,97 t/ha sunt contraexemple: enunțul este fals. b) Parcela de 3,34 t/ha este peste 3,3: enunțul este adevărat. c) Rotunjirile la tonă sunt 3; 3; 3; 3 și 3, deci enunțul este adevărat, deși a) este fals.

Capcană. Cine compară direct 2 840 cu 3 găsește toate parcelele peste prag și socotește a) adevărat. Fără conversie, kg/ha nu se compară cu t/ha.

Verificare. Pe alt drum, treci pragul în kg: 3 t/ha înseamnă 3000 kg/ha, iar în coloana producțiilor două valori, 2 840 și 2 970, sunt sub 3000.

Exemplul 4 — Problema inversă: ce concentrație a ținut lotul

Domeniu: chimie.

Enunț. Aici problema se pune invers: din date afli numărul din enunț. Fișa produsului cere ca soluția de acid citric pentru detartrare să aibă cel puțin 14 %. Laboratorul măsoară cinci probe din lot: 14,2; 15,8; 13,9; 16,4 și 15,1 % (date din exemplu). a) Care este cel mai mare $t$ pentru care „Toate probele au cel puțin $t$ %” este adevărat, adică cea mai mică concentrație dintre probe? b) Respectă lotul fișa? Scrie negația enunțului pentru $t = 14$ .

Rezolvare. a) „Toate probele au cel puțin $t$ %” cere ca cea mai mică dintre valori să fie cel puțin $t$ . Cea mai mică este 13,9 %, deci $t \leq 13, 9$ , iar cel mai mare $t$ este 13,9. b) Pentru $t = 14$ enunțul este fals, fiindcă 13,9 < 14, iar negația „există o probă cu mai puțin de 14 %” este adevărată: lotul nu respectă fișa.

Capcană. Cine ia media, 15,08 %, drept concentrația lotului găsește 15,08 ≥ 14 și declară lotul conform. Media ascunde proba de 13,9 %: enunțul vorbește despre toate probele, deci contează cea mai mică.

Verificare. Pe alt drum, numeri probele de cel puțin 14 %: sunt 4 din 5 (14,2; 15,8; 16,4 și 15,1), deci $m = 4 < n = 5$ și „toate” este fals pentru $t = 14$ . Pentru $t = 13, 9$ le verifică pe toate cele 5.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Hotărăște, pe registrul din situația de pornire: a) „Toate loturile au cel puțin 12 zile până la expirare.” b) „Există un lot cu temperatura de cel mult 3,8 °C.” c) „Niciun lot nu are pH de cel puțin 4,5.”

2. Scrie negația în cuvinte și spune dacă este adevărată: a) „Toate loturile au temperatura sub 6,4 °C.” b) „Există un lot cu mai puțin de 13 zile până la expirare.” c) „Niciun lot nu are pH sub 4,0.”

3. Pe domeniul $D = {L1, \dots, L6}$ , scrie cu simboluri și hotărăște: a) „Toate loturile au pH de cel puțin 4,3.” b) „Există un lot cu 20 de zile până la expirare.”

4. Lotul L4 este retras din cameră. Pe loturile rămase, hotărăște enunțurile 1–5 din situația de pornire.

Nivelul 2 — situații

5. O tâmplărie are cinci modele de taburete din lemn, cu prețurile 184, 213, 197, 238 și 226 lei. Hotărăște: a) „Toate modelele costă cel puțin 190 lei.” b) „Există un model de peste 230 lei.” c) Scrie negația lui a).

6. La o fermă de porci, cinci scroafe au fătat 11, 9, 13, 10 și 12 purcei. Hotărăște: a) „Nu toate au fătat peste 10 purcei.” b) „Niciuna nu a fătat sub 9 purcei.” c) Scrie negația lui b).

7. Un electrician are șase intervenții programate într-o săptămână, cu durate de 2, 3, 3, 5, 7 și 4 ore. Hotărăște: a) „Toate intervențiile durează cel mult 5 ore.” b) „Există o intervenție de 3 ore.” Scrie și negația lui a) în cuvinte.

8. Un magazin trimite coletele care au sub 22 kg și valoarea sub 310 lei. Coletele: C1, 19 kg și 345 lei; C2, 26 kg și 285 lei; C3, 17 kg și 264 lei. Care nu pleacă? Scrie în cuvinte condiția „nu pleacă”.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) Controlezi registrul din situația de pornire în ordinea inversă, L6, L5, …, L1. Pentru fiecare dintre enunțurile 1–5, câte loturi controlezi până poți hotărî?

10. (Sinteză.) Fie $t (x)$ : „lotul $x$ are temperatura de cel mult 5,5 °C”. Scrie $M_{t}$ și $m$ , apoi hotărăște, folosind $m$ și $n$ , enunțurile „Toate loturile verifică $t$ ”, „Există un lot care verifică $t$ ”, „Niciun lot nu verifică $t$ ” și „Nu toate loturile verifică $t$ ”.

11. (Sinteză.) Care este cel mai mare număr de loturi de la L1 încolo, în ordinea registrului, pentru care „Toate au temperatura de cel mult 5,5 °C” rămâne adevărat? Ce lot îl strică?

12. (Sinteză.) Un lot pleacă la magazine doar dacă are $A$ : „temperatura de cel mult 5,5 °C” și $B$ : „cel puțin 19 zile până la expirare”. Scrie $M_{A}$ , $M_{B}$ și $M_{A} \cap M_{B}$ , loturile care pleacă. Scrie apoi în două feluri loturile care rămân: ca complementară a lui $M_{A} \cap M_{B}$ în $D$ și ca reuniune a complementarelor lui $M_{A}$ și $M_{B}$ .

Răspunsuri și verificări

1. a) Adevărat: cel mai mic număr de zile este 12. b) Adevărat: L3 are 3,8 °C. c) Fals: L3 are pH 4,5. Verificare: toate trei sunt cazuri de margine.

2. a) Există un lot cu cel puțin 6,4 °C; adevărată (L4). b) Toate au cel puțin 13 zile; falsă (L4 are 12). c) Există un lot cu pH sub 4,0; falsă. Verificare: a) inițial fals, b) și c) adevărate.

3. a) $\forall x \in D, pH (x) \geq 4, 3$ , fals (L5 are 4,2). b) $\exists x \in D, zile (x) = 20$ , adevărat (L5). Verificare: la a), L2 are exact 4,3, deci nu el strică enunțul.

4. Pe L1, L2, L3, L5, L6: 1 adevărat (maximul este 5,7 °C), 2 fals, 3 adevărat (minimul este 16 zile), 4 fals, 5 adevărat. Verificare: 1, 3 și 4 își schimbă valoarea; 2 și 5 rămân la fel.

5. a) Fals: 184 < 190. b) Adevărat: 238 > 230. c) Există un model sub 190 lei. Verificare: doar modelul de 184 lei strică a).

6. a) Adevărat: 9 și 10 nu sunt peste 10. b) Adevărat: minimul este 9. c) Există o scroafă cu sub 9 purcei; falsă. Verificare: b) adevărat, c) fals.

7. a) Fals: 7 ore. b) Adevărat: sunt două de 3 ore. Negația lui a): există o intervenție de peste 5 ore. Verificare: 7 ore e singura.

8. C1 nu pleacă: 345 ≥ 310 lei. C2 nu pleacă: 26 ≥ 22 kg. C3 pleacă. „Nu pleacă” înseamnă cel puțin 22 kg sau cel puțin 310 lei. Verificare: C3 are 17 kg și 264 lei.

9. Enunțul 1: 3 loturi (L6, L5, L4). Enunțul 2: 6. Enunțul 3: 3 (L4 are 12 zile). Enunțul 4: 3. Enunțul 5: 6. Contraexemplul L4 apare al treilea, nu al patrulea. Verificare: enunțurile 2 și 5 cer 6 controale, în orice ordine.

10. $M_{t} = {L1, L2, L3, L5}$ , $m = 4$ , $n = 6$ . Toate: fals, $m \neq = 6$ . Există: adevărat. Niciun: fals, $m \neq = 0$ . Nu toate: adevărat, $m < 6$ . Verificare: „toate” și „nu toate” au valori opuse.

11. Trei loturi: L1, L2 și L3 au 4,1; 5,2 și 3,8 °C. L4 strică enunțul, cu 6,4 °C. Verificare: L2, cu 5,2 °C, e sub 5,5 °C, deci nu L2 strică enunțul.

12. $M_{A} = {L1, L2, L3, L5}$ (cel mult 5,5 °C), $M_{B} = {L1, L3, L5}$ , deci $M_{A} \cap M_{B} = {L1, L3, L5}$ . Complementara ei în $D$ este ${L2, L4, L6}$ ; complementarele lui $M_{A}$ și $M_{B}$ sunt ${L4, L6}$ și ${L2, L4, L6}$ , iar reuniunea lor este tot ${L2, L4, L6}$ . Verificare: cele două mulțimi coincid, cu 3 elemente.

Așa vine la Bac M3

Cuantificatorii sunt numiți în programa de examen, la rândul „Propoziție, predicat, cuantificatori” din blocul care deschide clasa a IX-a; tema lor nu a apărut în probele 2013–2026. Sintagma „reguli de negare” nu e în programa de examen, care trece doar „negație” printre operațiile logice elementare; regulile din lecție rămân unelte de lucru, nu parte numită a programei. Formula „pentru orice” se găsește în 117 cerințe dintr-un total de 1 494, de pildă „Arătați că … pentru orice număr real $x$ ”, dar indexul leagă o cerință de o lecție numai când metoda oficială de rezolvare cere conținutul ei, iar pentru lecția aceasta nu leagă nicio cerință. Secțiunea nu poate cita o cerință oficială pe tema aceasta și nu propune cerințe-model.

Pentru exercițiile 9–12 nu există model oficial; ele poartă marcajul (Sinteză.) și te pun să numeri controale, să folosești mulțimea de adevăr și să treci de la complementară la reuniune. Drumul clasei continuă în traseul de matematică al clasei a IX-a, tehnologic.

Greșeli care costă puncte

Negi „toate” cu „niciunul” → socotești fals „niciun lot nu are cel mult 6 °C” și tragi concluzia că „toate” e adevărat, deși L4 are 6,4 °C; cum o prinzi: negația lui „toate” cere un contraexemplu, deci începe cu „există”.
Confirmi „toate” după trei loturi bune → declari camera conformă fără să vezi L4, cel de-al patrulea; cum o prinzi: „toate” cere controlul tuturor celor 6 loturi sau un contraexemplu.
Negi „sub 4,2” cu „peste 4,2” → lotul L5, cu pH egal cu 4,2, nu e nici sub, nici peste și scapă din ambele; cum o prinzi: negația lui „sub 4,2” este „cel puțin 4,2”.
Scrii $\neg (A \land B)$ ca $\neg A \land \neg B$ → lotul L4, cu pH bun, dar cu temperatura peste 6 °C, ar fi socotit conform; cum o prinzi: negația lui „și” are „sau”.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru trunchiul comun, filiera tehnologică (OMEC 6930/2025, Anexa 3), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și la clasa a X-a din 2027–2028. Elevii intrați în clasa a IX-a din 2026–2027 încoace dau Bacalaureatul din 2030 încolo, unde matematica este una dintre disciplinele la alegere (OMEC 4138/2026), pe programa de examen MAT_P3, MAT_P4, MAT_P5 sau MAT_P6, după profil și domeniu (OMEC 5077/2026). Elevii intrați în clasa a IX-a în 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026 sunt pe programele vechi și dau Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 2027, 2028 și 2029 (programa de examen OMEN 4430/2014); pentru ei, tema cuantificatorilor face parte din programa de examen doar în parte: programa de examen numește cuantificatorii, dar nu numește regulile de negare. În probele oficiale 2013–2026 nu a apărut încă; fiind în programă, poate fi cerută.

Întrebări frecvente

Ce enunțuri din fișă se pot schimba dacă intră în cameră un lot nou, L7? Doar enunțurile 2 și 5, și numai prin pH-ul noului lot. Enunțurile 1, 3 și 4 se sprijină pe L4, care rămâne în cameră: un „toate” fals sau un „există” adevărat nu își schimbă valoarea când adaugi loturi. Un L7 cu pH 4,1 face adevărat enunțul 2; unul cu pH 4,8 face fals enunțul 5.

Cum hotărăști cu $m$ și $n$ enunțul 3, fără să deschizi registrul în ordine? Scrii predicatul $z (x)$ : „lotul $x$ are cel puțin 14 zile”. Mulțimea lui de adevăr este ${L1, L2, L3, L5, L6}$ , deci $m = 5$ și $n = 6$ . „Niciun lot nu are mai puțin de 14 zile” cere $m = n$ ; cum $5 \neq = 6$ , enunțul este fals, iar lotul care lipsește din mulțime este L4.

Dacă toate loturile au pH de cel mult 4,6, e adevărat și „Există un lot cu pH de cel mult 4,6”? Da. Enunțul cu „există” cere un singur lot martor, iar aici oricare dintre cele 6 loturi poate fi martor: $m = 6 \geq 1$ . Când registrul are măcar un lot, un „toate” adevărat aduce mereu un „există” adevărat. Invers nu: enunțul 4 e adevărat, dar „Toate loturile au peste 6 °C” e fals.

De ce enunțurile 1 și 4 de pe fișă nu pot fi adevărate amândouă? Enunțul 4, „cel puțin un lot are temperatura peste 6 °C”, este chiar negația enunțului 1, „toate loturile au temperatura de cel mult 6 °C”. Pe orice registru exact unul dintre ele e adevărat: aici 1 e fals și 4 adevărat, amândouă hotărâte de L4, cu 6,4 °C. Dacă L4 iese din cameră, se schimbă amândouă.

Ce se întâmplă cu enunțul 1 dacă pragul de temperatură urcă la 6,5 °C? Devine adevărat: cea mai mare temperatură, 6,4 °C la L4, nu depășește 6,5 °C. Fără contraexemplu nu te mai poți opri la L4, iar controlul cere toate cele 6 loturi. Aceeași frază trece din „4 controale, fals” în „6 controale, adevărat” numai prin schimbarea pragului.

Sunt cuantificatorii în programa pentru Bacalaureatul M3? Parțial. Programa de examen M_tehnologic numește cuantificatorii, dar nu și regulile de negare. Indexul făcut din cele 83 de probe din 2013–2026 nu leagă nicio cerință de această temă. Pentru că tema e în programă, poate fi cerută; regulile de negare te ajută oricum la exercițiile 9–12.