Un șantier închiriază o schelă, iar tabelul dă tariful, în lei pe zi, pentru numărul de zile $$n \in \{1, 2, \ldots, 22\}$$: rândul $$1$$–$$7$$ zile, $$95$$ lei; rândul $$7$$–$$13$$ zile, $$88$$ lei; rândul $$15$$–$$22$$ zile, $$76$$ lei. Rândurile cuprind $$7 + 7 + 8 = 22$$ de zile, cât are domeniul. Care afirmație este adevărată?

Nu este funcție: ziua $$7$$ apare în două rânduri, iar ziua $$14$$ nu are tarif

Este funcție pe $$\{1, \ldots, 22\}$$, fiindcă $$7 + 7 + 8 = 22$$

Nu este funcție: ziua $$14$$ nu are tarif, dar nicio zi nu apare în două rânduri

Nu este funcție: ziua $$7$$ apare în două rânduri, dar fiecare zi are cel puțin un tarif

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Funcția: tabel, imagine, egalitate

Când este un tabel de tarife o funcție?

Tabelul de tarife dă o funcție dacă orice intrare permisă are loc într-un rând și numai într-unul: fără goluri, fără suprapuneri. Exemplu: transport pentru grupuri de $1$ – $15$ persoane, cu rândurile $1$ – $4$ , $5$ – $9$ și $10$ – $15$ ; ele cuprind $4 + 5 + 6 = 15$ mărimi, cât domeniul, fiecare o singură dată. Dacă al doilea rând ar începe la $4$ , mărimea $4$ ar avea două valori.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a IX-a → ·

O funcție asociază fiecărui element al unui domeniu exact o valoare din codomeniu. Un tabel de tarife este funcție atunci când fiecare intrare permisă (mărimea grupului, numărul de zile, masa probei) apare într-un singur rând. Un rând lipsă lasă intrarea fără preț, iar două rânduri pentru aceeași intrare îi dau două prețuri.

Aceeași valoare poate apărea la mai multe intrări; din acest motiv trecerea inversă, de la preț la intrare, nu dă o funcție. Valorile pe care funcția le ia efectiv, scrise fiecare o singură dată, formează imaginea ei. Imaginea este cuprinsă în codomeniu, dar poate fi mai mică decât el.

Pentru două tabele începi cu domeniile și unitățile, iar apoi parcurgi intrările una câte una și compari valorile. Funcțiile sunt egale numai dacă niciun punct nu are valori diferite; o imagine comună nu dovedește nimic. Aceeași regulă pe alt domeniu înseamnă altă funcție.

Ca probă rapidă aduni câte intrări cuprinde fiecare rând și obții numărul elementelor domeniului. Controlezi apoi capetele rândurilor, fiindcă un gol și o suprapunere se pot anula în numărătoare. Închei cu unitatea valorilor, de exemplu lei sau lei pe bucată.

De reținut

fiecare intrare apare în exact un rând
$Im f$ este mulțimea valorilor, scrise o singură dată
două funcții sunt egale când au același domeniu și aceleași valori în fiecare punct

Greșeala tipică

Se numără rândurile și se conchide că tabelul este funcție: rândurile 1–5, 5–10 și 12–15 cuprind $5 + 6 + 4 = 15$ mărimi, dar mărimea 5 apare de două ori, iar mărimea 11 lipsește. Verifici și capetele rândurilor vecine.

Exerciții din această mini-lecție

Un șantier închiriază o schelă, iar tabelul dă tariful, în lei pe zi, pentru numărul de zile $n \in {1, 2, \dots, 22}$ : rândul $1$ – $7$ zile, $95$ lei; rândul $7$ – $13$ zile, $88$ lei; rândul $15$ – $22$ zile, $76$ lei. Rândurile cuprind $7 + 7 + 8 = 22$ de zile, cât are domeniul. Care afirmație este adevărată?
- a) Este funcție pe ${1, \dots, 22}$ , fiindcă $7 + 7 + 8 = 22$
- b) Nu este funcție: ziua $7$ apare în două rânduri, iar ziua $14$ nu are tarif
- c) Nu este funcție: ziua $14$ nu are tarif, dar nicio zi nu apare în două rânduri
- d) Nu este funcție: ziua $7$ apare în două rânduri, dar fiecare zi are cel puțin un tarif
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Nu este funcție: ziua $7$ apare în două rânduri, iar ziua $14$ nu are tarif

Numărătoarea $7 + 7 + 8 = 22$ iese bine, dar un gol și o suprapunere se pot compensa. Ziua $7$ apare în rândurile $1$ – $7$ și $7$ – $13$ , cu două tarife diferite, iar ziua $14$ nu apare în niciun rând. Prima variantă se oprește la numărătoare, a treia vede numai golul, iar a patra numai suprapunerea.
Un service auto afișează prețul unei revizii după kilometrajul mașinii, în mii de km întregi: de la $1$ la $10$ , $180$ lei; de la $11$ la $25$ , $260$ lei; de la $26$ la $60$ , $410$ lei. Patru mașini au $10$ , $11$ , $25$ și $26$ mii km. Care pereche de mașini plătește același preț?
- a) $11$ și $25$
- b) $10$ și $11$
- c) $25$ și $26$
- d) $10$ și $26$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $11$ și $25$

Două mașini plătesc la fel numai dacă kilometrajele cad în același rând. Valorile $11$ și $25$ sunt în rândul $11$ – $25$ , deci plătesc $260$ lei. Valoarea $10$ este ultima din primul rând, iar $26$ este prima din al treilea; perechile $10$ și $11$ , respectiv $25$ și $26$ stau de o parte și de alta a unei limite, iar $10$ și $26$ sunt în rânduri depărtate.
O cofetărie, ai cărei patiseri coc prăjiturile la comandă, pune prețul pe bucată după numărul de bucăți comandate, iar prețul din rândul potrivit se aplică tuturor bucăților: de la $1$ la $5$ bucăți, $6, 5$ lei/buc.; de la $6$ la $12$ , $5, 8$ lei/buc.; de la $13$ la $24$ , $5, 1$ lei/buc. Cât costă o comandă de $9$ prăjituri?
- a) $55, 7$ lei
- b) $58, 5$ lei
- c) $52, 2$ lei
- d) $45, 9$ lei
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $52, 2$ lei

Numărul $9$ cade în rândul $6$ – $12$ , iar prețul din acel rând se aplică tuturor bucăților: $9 \cdot 5, 8 = 52, 2$ lei. Varianta $55, 7$ lei aplică prețuri în trepte, adică $5 \cdot 6, 5 + 4 \cdot 5, 8$ . Varianta $58, 5$ lei folosește prețul primului rând, iar $45, 9$ lei pe cel al ultimului rând.

Întrebări conexe

Ce fac dacă un tarif are un gol între rânduri?

Intrările din gol nu au valoare, deci tabelul nu este funcție pe tot domeniul. Pentru zilele $1$ – $25$ și rândurile $1$ – $8$ , $9$ – $13$ și $16$ – $25$ , zilele $14$ și $15$ lipsesc. Fie prelungești un rând vecin, fie adaugi un rând nou, cu acordul celui care stabilește tariful.

Cum găsesc codurile dublate dintr-un fișier de prețuri?

Numeri rândurile și codurile distincte: dacă fișierul are $8$ rânduri, dar numai $7$ coduri distincte, un cod apare de două ori. Sortezi codurile și cauți vecinii egali. Apoi păstrezi rândul cu data cea mai recentă, fiindcă un cod trebuie să aibă un singur preț.

Cum scriu un tarif pe ramuri, cu formule?

Scrii o ramură pentru fiecare rând, cu condiția pe intrare: $f (n) = 38$ pentru $1 \leq n \leq 3$ , $f (n) = 50$ pentru $4 \leq n \leq 8$ și $f (n) = 66$ pentru $9 \leq n \leq 16$ . Condițiile nu se suprapun și acoperă toate intrările de la $1$ la $16$ .

Poate un tarif să scadă când intrarea crește?

Da. Definiția cere o singură valoare pentru fiecare intrare, dar nu cere ca valorile să crească. La un preț pe bucată care depinde de mărimea comenzii, valoarea poate coborî de la $6$ lei la $5$ lei și apoi la $4, 5$ lei pe măsură ce comanda crește.

Cum arată graficul unui tarif cu intrări întregi?

Fiecare intrare dă un punct $(n; f (n))$ , deci graficul este o mulțime de puncte izolate, așezate pe trepte orizontale. Pentru rândurile $1$ – $5$ , $6$ – $9$ și $10$ – $18$ , cu valorile $22$ , $31$ și $47$ de lei, cele $18$ puncte stau pe trei nivele, cu $5$ , $4$ , respectiv $9$ puncte.

Oamenii mai întreabă și: tabel de tarife funcție · când un tabel nu este funcție · fiecare intrare într-un singur rând · tarife cu goluri sau suprapuneri