Funcția la tehnologic: tabele de tarife

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a IX-a → ·

Același tabel de tarife îl citesc recepția, contabila și programul de rezervări. Aici înveți să-l verifici înainte de tipar: ce intrări acceptă, ce prețuri dă și când două tabele spun același lucru. La tehnologic, noțiunea de funcție intră în programa Bacalaureatului M3 (M_tehnologic) pentru clasa a IX-a, în blocul funcțiilor.

Situația de pornire

O agenție de turism din Predeal duce grupurile de la gară la cabane, cu autoturisme sau cu microbuze. Numărul de persoane hotărăște vehiculul: o mașină ia cel mult trei pasageri, microbuzul de 8 locuri ia până la opt, iar microbuzul de 19 locuri ia până la nouăsprezece. Recepționera dă turiștilor tariful tipărit, pentru grupuri de 1–19 persoane:

Persoane în grup	Vehicul	Preț transfer (lei)
1–3	autoturism	118
4–8	microbuz de 8 locuri	172
8–19	microbuz de 19 locuri	287

Un turist care a rezervat pentru 8 persoane a primit două răspunsuri în aceeași zi: 172 de lei de la recepție, care a citit al doilea rând, și 287 de lei de la contabilă, care a citit ultimul rând. Șefa agenției vrea tabelul corectat, astfel încât fiecare mărime de grup să aibă exact un preț, și vrea să știe ce prețuri poate plăti un grup.

Întrebare: care este prețul corect pentru 8 persoane, cum corectezi tabelul ca fiecare grup de la 1 la 19 persoane să aibă exact un preț și ce prețuri poate plăti un grup?

De la situație la model

Dicționarul tarifului:

În situație	În matematică
numărul de persoane din grup	un element $n$ al domeniului
grupurile pentru care agenția dă preț, de la 1 la 19	domeniul $D = {1, 2, \dots, 19}$
prețul transferului pentru un grup de $n$ persoane	valoarea $f (n)$
sumele în lei pe care le-ar putea cere agenția	codomeniul $B$ , aici mulțimea sumelor în lei
prețurile pe care le plătește efectiv vreun grup	imaginea $Im f$
„4–8 persoane, 172 de lei”	o parte din legea de corespondență

O funcție $f : D \to B$ asociază fiecărui element al mulțimii $D$ , numită domeniu, exact un element al mulțimii $B$ , numită codomeniu. Elementul asociat lui $n$ este valoarea $f (n)$ . „Exact un” cere două lucruri deodată: fiecare element al domeniului are cel puțin o valoare și niciun element nu are două valori diferite. Imaginea $Im f$ este mulțimea valorilor pe care funcția le ia efectiv; ea este inclusă în codomeniu, dar poate fi mai mică.

O funcție se poate descrie printr-un tabel, printr-o diagramă cu săgeți, printr-o formulă pe ramuri, de exemplu $f (n) = 118$ pentru $n \leq 3$ , sau prin puncte $(n; f (n))$ într-un reper, ca în citirea graficului.

Când este un tabel de tarife o funcție?

Când fiecare intrare permisă apare în exact un rând. Un gol lasă intrarea fără valoare, o suprapunere îi dă două, ca la mărimea 8 din situație. Aceeași valoare poate însă apărea la mai multe intrări: 172 de lei la 4, 5, 6, 7 și 8 persoane. De aceea corespondența inversă, de la preț la grup, nu este funcție. Un tabel poate fi funcție pe o mulțime și nu pe alta: cel corectat este funcție pe ${1, \dots, 19}$ , dar nu pe ${1, \dots, 25}$ , fiindcă grupurile de 20–25 de persoane nu au preț.

Când sunt egale două funcții?

La agenție, tariful are două descrieri: tabelul tipărit, cu trei rânduri, și programul de rezervări, cu un rând pentru fiecare mărime. Ele dau aceeași funcție numai dacă primesc aceleași mărimi de grup, de la 1 la 19, răspund în lei și cer același preț la fiecare mărime. Un program care primește și grupuri de 20 de persoane are alt domeniu, deci altă funcție, chiar dacă la 1–19 cere aceleași prețuri. Graficul ca mulțime de puncte urmează în produsul cartezian și cadranele.

Metoda pas cu pas

Fixează domeniul: scrie mulțimea intrărilor permise, nu doar pe cele din tabel. La agenție sunt mărimile de grup acceptate la rezervare, de la 1 la 19.
Verifică fiecare intrare: apare în exact un rând? Un rând lipsă dă un gol, iar două rânduri pentru aceeași intrare dau o suprapunere. Numără: la rânduri care nu se suprapun, suma intrărilor din rânduri este egală cu numărul elementelor domeniului. Un gol și o suprapunere se pot compensa în numărătoare, așa că verifică și capetele: fiecare rând începe imediat după cel dinainte.
Citește valoarea pentru intrarea cerută și scrie imaginea ca mulțime, fără repetiții.
La două tabele, compară întâi domeniile și unitățile, apoi valorile la fiecare intrare. Dacă una diferă, notează intrările în care diferă; funcțiile sunt egale numai când nu există nicio astfel de intrare.
Verifică pe alt drum: numărătoarea rândurilor, o valoare dintr-un capăt al domeniului și unitatea de măsură a codomeniului.

Fișa de buzunar

$f : D \to B, fiec \overset{a}{˘} rui x \in D \overset{ı}{ˆ} i corespunde exact un f (x) \in B$

$Im f = {f (x) ∣ x \in D}$

$f = g ⟺ D_{f} = D_{g}, B_{f} = B_{g}, f (x) = g (x) pentru orice x \in D_{f}$

Se aplică numai împreună cu domeniul: aceeași regulă pe alt domeniu este altă funcție. Tabelul dă o funcție dacă fiecare element al lui $D$ apare într-un singur rând. Verificare rapidă: numărul intrărilor din rânduri este egal cu numărul elementelor lui $D$ (când rândurile nu se suprapun), iar $Im f$ nu are mai multe elemente decât $D$ .

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Tariful de transfer al agenției

Domeniu: turism.

Enunț. Reia agenția din situația de pornire. a) Care este prețul corect pentru 8 persoane? b) Corectează tabelul și arată că dă fiecărui grup de la 1 la 19 persoane exact un preț. c) Cât plătește un grup de 12 persoane și care este imaginea? d) Programul de rezervări are un rând pentru fiecare mărime de grup și dă 287 de lei pentru 8 persoane, iar în rest aceleași prețuri ca tabelul corectat. Sunt egale cele două funcții?

Rezolvare. a) Microbuzul de 8 locuri ia exact opt pasageri, deci prețul corect este 172 de lei. b) Ultimul rând devine „9–19”. Rândurile acoperă acum $3 + 5 + 11 = 19$ mărimi, adică tot domeniul, fiecare o singură dată: $f$ este funcție. c) Pentru 12 persoane, $f (12) = 287$ lei. Imaginea este $Im f = {118, 172, 287}$ : trei valori pentru 19 intrări. d) Domeniile și codomeniile coincid (mărimile 1–19, sumele în lei), dar $f (8) = 172$ , în timp ce programul dă 287. Valorile sunt egale în 18 puncte din 19, deci funcțiile nu sunt egale.

Capcană. Cine scrie imaginea ca lista prețurilor tuturor grupurilor, 118, 118, 118, 172, ..., obține 19 valori. Imaginea este mulțimea valorilor fără repetiții și are 3 elemente.

Verificare. Pe alt drum, numeri mărimile din tabelul vechi: $3 + 5 + 12 = 20$ , mai mult decât cele 19 ale domeniului, deci o mărime apărea de două ori. În tabelul corectat, $3 + 5 + 11 = 19$ , exact cât domeniul.

Exemplul 2 — Fișierul de prețuri al unui magazin

Domeniu: comert.

Enunț. Fișierul de prețuri al unui magazin de bricolaj are șase rânduri de forma (cod produs; preț în lei): (6310; 17,80), (6314; 5,95), (6322; 24,30), (6314; 6,45), (6331; 5,95) și (6348; 17,80). Rândul al patrulea a apărut la ultima actualizare. Casa de marcat citește codul și afișează prețul. a) Este „cod → preț” o funcție? b) Scoate un rând ca să fie funcție și scrie imaginea. c) Este „preț → cod” o funcție? d) Cu cât diferă încasarea la 40 de bucăți din produsul 6314 dacă rămâne prețul vechi?

Rezolvare. a) Nu: codul 6314 are două prețuri, 5,95 și 6,45, deci nu primește „exact un” preț. Domeniul are 5 coduri distincte, deși fișierul are 6 rânduri. b) Prețul în vigoare este cel de la ultima actualizare, deci se scoate rândul vechi, (6314; 5,95). Rămâne o funcție pe ${6310, 6314, 6322, 6331, 6348}$ , cu imaginea ${17, 80; 6, 45; 24, 30; 5, 95}$ : patru valori pentru cinci coduri. c) Nu: prețul 17,80 corespunde codurilor 6310 și 6348, deci un preț nu identifică un produs. d) La prețul nou încasezi $40 \cdot 6, 45 = 258$ lei, iar la cel vechi $40 \cdot 5, 95 = 238$ lei, deci diferența este de 20 de lei.

Capcană. Cine scoate rândul nou, (6314; 6,45), obține tot o funcție, dar cu un preț greșit: casa de marcat ar încasa 5,95 în loc de 6,45 și ar pierde 20 de lei la 40 de bucăți. Un tabel poate fi funcție și totuși greșit.

Verificare. După scoaterea rândului vechi, fișierul are 5 rânduri și 5 coduri distincte, deci fiecare cod apare o dată. Înainte avea 6 rânduri și tot 5 coduri: unul apărea de două ori.

Exemplul 3 — Prețul laptelui după grăsime

Domeniu: zootehnie.

Enunț. Un centru de colectare plătește laptele pe litru după grăsimea afișată de aparat, cu o zecimală, între 3,0 % și 4,5 %. Tabelul centrului dă 1,92 lei/l pentru 3,0–3,4 %, 2,08 lei/l pentru 3,5–3,9 % și 2,26 lei/l pentru 4,0–4,5 %. Contractul unui fermier dă 1,92 lei/l până la 3,5 % inclusiv, 2,08 lei/l de la 3,6 % la 3,9 % și 2,26 lei/l de la 4,0 % la 4,5 %. Fermierul livrează 12,6 hl, iar aparatul afișează 3,5 %. a) Câte valori are domeniul comun? b) În câte puncte coincid cele două funcții și sunt ele egale? c) Cum se compară imaginile? d) Cu cât diferă plata pentru livrare?

Rezolvare. a) Domeniul este ${3, 0; 3, 1; \dots; 4, 5}$ , adică $\frac{4 , 5 - 3 , 0}{0 , 1} + 1 = 16$ valori. b) Funcția $f$ a centrului și funcția $g$ din contract diferă numai la 3,5 %: $f (3, 5) = 2, 08$ , dar $g (3, 5) = 1, 92$ . Coincid în 15 puncte din 16, deci nu sunt egale. c) Ambele au imaginea ${1, 92; 2, 08; 2, 26}$ : aceeași imagine, funcții diferite. d) Livrarea este de $12, 6 \cdot 100 = 1260$ l. Centrul plătește $1260 \cdot 2, 08 = 2620, 80$ lei, iar contractul ar da $1260 \cdot 1, 92 = 2419, 20$ lei, deci diferența este de 201,60 lei.

Capcană. Cine compară numai imaginile, identice, conchide că funcțiile sunt egale. Egalitatea cere aceeași valoare în fiecare punct, iar la 3,5 % tabelele plătesc diferit, cu 201,60 lei la acest lot.

Verificare. Pe alt drum, numeri valorile pe ramuri: $f$ are $5 + 5 + 6 = 16$ , iar $g$ are $6 + 4 + 6 = 16$ . Ramurile diferă numai la 3,5 %, aflat în $f$ pe ramura a doua, iar în $g$ pe prima.

Exemplul 4 — Problema inversă: orele de apă ale unui sector

Domeniu: agricol.

Enunț. Întrebarea se întoarce: din valoare afli intrările. O asociație de irigații împarte apa din canal pe ore: sectorul Nord o primește între 21:00 și 05:00, sectorul Est între 05:00 și 14:00, iar sectorul Sud între 14:00 și 21:00. Notăm cu $h \in {0, 1, \dots, 23}$ ora de la începutul unui interval de o oră, de pildă ora 4 înseamnă 04:00–05:00, și cu $s (h)$ sectorul care primește apă. a) În ce ore primește apă sectorul Nord? b) Pompa unui fermier din Nord trebuie să meargă 6 ore fără pauză. La ce ore poate porni? c) Câte ore are fiecare sector și ce arată suma lor?

Rezolvare. a) Intervalul sectorului Nord trece peste miezul nopții, așa că sectorul primește apă în orele 21, 22, 23, 0, 1, 2, 3 și 4, în total opt ore. b) Pornită la ora $p$ , pompa ocupă orele $p, p + 1, \dots, p + 5$ . Pentru $p = 21$ sunt orele 21, ..., 2, pentru $p = 22$ orele 22, ..., 3, iar pentru $p = 23$ orele 23, ..., 4, toate ale sectorului Nord. Pentru $p = 0$ se ajunge la ora 5, a sectorului Est, iar $p = 20$ începe în orele sectorului Sud. Deci pompa poate porni la 21:00, la 22:00 sau la 23:00. c) Nord are 8 ore, Est are orele 5–13, adică 9, iar Sud orele 14–20, adică 7. Suma $8 + 9 + 7 = 24$ arată că fiecare oră are exact un sector.

Capcană. Cine scrie intervalul sectorului Nord ca $21 \leq h \leq 4$ nu găsește nicio oră, fiindcă niciun număr nu este și cel puțin 21, și cel mult 4, și ar conchide că sectorul nu primește apă deloc. Intervalul trece peste miezul nopții și se scrie $h \geq 21$ sau $h \leq 4$ , adică opt ore.

Verificare. Cele trei mulțimi de ore nu se suprapun și acoperă domeniul: $8 + 9 + 7 = 24$ . Cu $p = 0$ , ora 5, a șasea, iese din intervalul sectorului Nord.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Manopera unei revizii, în lei, după vechimea mașinii (de la 0 la 15 ani): 0–2 ani, 85; 3–6 ani, 110; 7–10 ani, 134; 12–15 ani, 151. Pentru ce vechime nu există preț? Este corespondența funcție pe ${0, 1, \dots, 15}$ ? Cum o repari?

2. Perechile (clientă; oră) dintr-un salon sunt (Ana; 9), (Bia; 10), (Cora; 9), (Ana; 11) și (Dana; 12). Sunt funcții „clientă → oră” și „oră → clientă”? Dar „clientă → număr de programări”? Scrie imaginea acesteia.

3. Cantuirea plăcilor, în lei pe metru, după grosime: 19 mm, 3,40; 24 mm, 3,40; 27 mm, 4,10; 32 mm, 4,10; 38 mm, 4,90. Scrie imaginea și spune ce grosimi are placa plătită cu 4,10 lei/m.

4. Taxa de debitare, în lei, după diametru. Fișa A: Ø10 și Ø12 mm, 6,40; Ø14 și Ø16 mm, 8,10. Fișa B: aceleași diametre, 6,40; 6,40; 8,10; 8,90. Fișa C: Ø10, Ø12, Ø14, Ø16 și Ø18 mm, 6,40; 6,40; 8,10; 8,10; 8,10. Care fișe descriu aceeași funcție?

Nivelul 2 — situații

5. Două firme transportă recolta pe 17, 26, 33, 41, 55 și 62 km. Firma A cere 138 de lei la 17 și 26 km, 197 la 33 și 41 km, 264 la 55 și 62 km; firma B cere, în ordine, 121, 138, 197, 226, 264 și 299 de lei. Pentru ce distanțe costă la fel? Sunt egale funcțiile? Când este A mai ieftină?

6. Pe raft, becurile LED au prețurile (5 W; 8,90 lei), (9 W; 11,40), (12 W; 13,90), (15 W; 16,30). Programul casei le are pe acestea și încă (18 W; 19,80). Sunt egale funcțiile? Pe ce mulțime de puteri cer amândouă aceleași prețuri?

7. Figura arată consumul unui autoturism în funcție de viteză. a) Citește consumul la 85 și la 125 km/h. b) Scrie imaginea. c) La ce viteză consumul este de 7,6 l/100 km? d) Este figura graficul unei funcții?

8. Figura arată turbiditatea apei din oră în oră (orele 1–5), cu două măsurători în ora 2. a) Poate fi graficul unei funcții? b) Ce punct elimini, dacă a doua măsurătoare e cea corectă? c) Scrie imaginea.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) Cu tariful corectat din Exemplul 1, arătați că $f (a) + f (b) > f (a + b)$ pentru orice $a, b \geq 1$ cu $a + b \leq 19$ , apoi determinați cea mai mică economie.

10. (Sinteză.) Reducerea după numărul de bucăți $n \in {1, 2, \dots, 12}$ are trei descrieri. T: 0 % pentru 1–4 bucăți, 6 % pentru 5–9, 9 % pentru 10–12. F: $r (n) = 0$ pentru $n \leq 4$ , $r (n) = 6$ pentru $5 \leq n \leq 9$ , $r (n) = 9$ pentru $n \geq 10$ . L: perechile $(n; r)$ din program, $(1; 0), (2; 0), (3; 0), (4; 0), (5; 6), (6; 6), (7; 5), (8; 6), (9; 6), (10; 9), (11; 9), (12; 9)$ . Care descrieri sunt egale, unde diferă L de T și câte elemente au imaginile?

11. (Sinteză.) O stație de sortare primește cartofii cu diametrul $d$ mm (milimetri întregi) pentru care $∣ d - 52 ∣ \leq 14$ ; ceilalți merg la industrializare. Prețul este 0,85 lei/kg la 38–46 mm, 1,25 lei/kg la 47–57 mm și 1,55 lei/kg la 58–66 mm. Scrieți domeniul ca interval și ca mulțime de valori întregi, arătați că tabelul îl acoperă exact și spuneți dacă un cartof de 67 mm are preț.

12. (Sinteză.) Cu firmele A și B de la exercițiul 5, fie $M$ mulțimea distanțelor cu același preț și $N$ cea a distanțelor de cel mult 41 km. Scrieți $M$ , $N$ , $M \cap N$ , arătați că pe $M$ firmele cer aceleași prețuri și aflați prețurile cerute de A pe $N ∖ M$ .

Răspunsuri și verificări

1. Vechimea de 11 ani nu are preț, deci corespondența e funcție numai pe ${0, \dots, 10} \cup {12, \dots, 15}$ . O repari trecând 11 ani în rândul 7–10 sau 12–15. Verificare: $3 + 4 + 4 + 4 = 15$ din 16.

2. Primele două nu sunt funcții (Ana: 9 și 11; ora 9: Ana și Cora). „Clientă → număr de programări” este: Ana 2, celelalte 1, imaginea ${1, 2}$ . Verificare: $2 + 1 + 1 + 1 = 5$ programări.

3. Imaginea este ${3, 40; 4, 10; 4, 90}$ , iar la 4,10 lei/m placa are 27 sau 32 mm. Verificare: $2 + 2 + 1 = 5$ grosimi.

4. Nicio pereche nu e egală: A și B diferă la Ø16 (8,10 față de 8,90), iar C are alt domeniu, deși pe Ø10–Ø16 dă aceleași taxe ca A. Verificare: A și C coincid în patru puncte.

5. La 26, 33 și 55 km costă la fel; A e mai ieftină la 41 și 62 km, B la 17 km; funcțiile nu sunt egale. Verificare: $3 + 2 + 1 = 6$ distanțe.

6. Nu sunt egale, fiindcă domeniile diferă prin 18 W. Pe mulțimea ${5, 9, 12, 15}$ W cer amândouă aceleași prețuri. Verificare: prețurile coincid în patru puncte.

7. a) 6,4 și 9,3 l/100 km. b) ${6, 9; 6, 0; 6, 4; 7, 6; 9, 3}$ . c) La 105 km/h. d) Da: fiecare viteză are un singur punct. Verificare: cinci viteze, cinci puncte.

8. a) Nu: ora 2 are (2; 16) și (2; 21). b) Elimini (2; 16). c) Imaginea este ${12; 21; 27; 32}$ . Verificare: cele 5 ore au câte un punct, iar 27 apare de două ori.

9. Dacă $a + b \leq 8$ , atunci $f (a + b) \leq 172 < 236 \leq f (a) + f (b)$ . Dacă $a + b \geq 9$ , atunci $f (a + b) = 287$ , iar un termen e cel puțin 5, deci costă cel puțin 172; suma e cel puțin $118 + 172 = 290 > 287$ . Economia minimă este 3 lei, de exemplu la $a = 1$ , $b = 8$ . Verificare: $f (1) + f (8) = 290$ , iar $f (9) = 287$ .

10. T și F sunt egale: același domeniu, aceeași unitate, aceleași valori în cele 12 puncte. L diferă de T numai la $n = 7$ (5 în loc de 6), deci nu e egală cu T. Imaginile sunt ${0, 6, 9}$ pentru T și F și ${0, 5, 6, 9}$ pentru L, cu 3, respectiv 4 elemente. Verificare: L coincide cu T în 11 puncte din 12.

11. Domeniul este $[38; 66]$ , iar în milimetri întregi ${38, \dots, 66}$ , cu 29 de valori. Rândurile acoperă $9 + 11 + 9 = 29$ de valori, deci fiecare diametru are exact un preț. Pentru 67 mm, $∣ 67 - 52 ∣ = 15 > 14$ , deci nu are preț. Verificare: 38 și 66 sunt $52 \mp 14$ .

12. $M = {26, 33, 55}$ , $N = {17, 26, 33, 41}$ , $M \cap N = {26, 33}$ . Pe $M$ ambele firme cer 138, 197 și 264 de lei, deși funcțiile nu sunt egale. $N ∖ M = {17, 41}$ , iar A cere acolo 138 și 197 de lei. Verificare: $A (17) = 138$ , $A (41) = 197$ .

Așa vine la Bac M3

Programa de examen M_tehnologic așază funcția în al treilea bloc al clasei a IX-a, „Funcții; lecturi grafice”, la al doilea punct de conținuturi, după reperul cartezian și produsul cartezian. Punctul numește definiția, exemplele, corespondențele care nu sunt funcții, modurile de descriere, egalitatea a două funcții și imaginea. În toate cele 83 de probe 2013–2026 apare cel puțin o funcție, dar dată gata prin formulă, ca $f : R \to R$ , $f (x) = \dots$ , urmată de un calcul. Definiția funcției și egalitatea a două funcții sunt în programa de examen, dar nu a apărut în probele 2013–2026 nicio cerință pe ele: indexul nu leagă nicio cerință de lecția de față, iar cuvintele „codomeniu” și „domeniul de definiție” nu apar în niciun enunț. Imaginea unei funcții a fost cerută o singură dată, într-o problemă de clasa a XI-a. Lipsind cerințele reale, secțiunea nu trimite la probe și nu dă cerințe-model.

Cele patru exerciții de la sfârșit, marcate (Sinteză.), așază noțiunea lângă vecinii ei din programă: vezi că un tarif nu se adună, compari trei descrieri ale aceleiași funcții, scrii un domeniu cu modulul unui număr real și lucrezi cu mulțimi de distanțe, ca în operațiile cu mulțimi. Celelalte teme ale clasei stau în hubul clasei a IX-a, filiera tehnologică.

Greșeli care costă puncte

Scrii imaginea cu toate valorile din tabel, repetate → 19 valori în loc de 3 pentru tariful agenției; cum o prinzi: imaginea este o mulțime, deci o valoare apare o singură dată.
Scoți dintr-o listă cu un cod dublat rândul nou, nu pe cel vechi → un preț greșit, cu 20 de lei pierduți la 40 de bucăți; cum o prinzi: citești data fiecărei actualizări înainte să alegi rândul.
Declari egale două funcții fiindcă au aceeași imagine → același lot de lapte plătit cu 201,60 lei mai puțin; cum o prinzi: compari valoarea în fiecare punct al domeniului, nu mulțimile de valori.
Scrii intervalul sectorului Nord ca $21 \leq h \leq 4$ → nicio oră, deși sunt opt; cum o prinzi: aduni orele celor trei sectoare și verifici că dau 24.
Compari două tabele numai pe valorile comune → fișa cu Ø18 pare egală cu cea fără; cum o prinzi: compari întâi domeniile, apoi valorile.

Programa și examenul

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: definiția funcției, cu domeniul, codomeniul și egalitatea a două funcții, face parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a IX-a), deși programa nouă a clasei a IX-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu o conține sau o conține doar în parte. În probele oficiale 2013–2026 nu a apărut încă; fiind în programă, poate fi cerută. În programa Bacalaureatului din 2030 tema reapare, parțial, în unitatea XII.1 (derivate) la profilul MAT_P3.

Întrebări frecvente

Ce se schimbă dacă agenția primește și grupuri de 20–30 de persoane, cu un autocar de 30 de locuri la 410 lei? Domeniul devine ${1, \dots, 30}$ , deci funcția este alta. Tabelul vechi, singur, nu mai este funcție pe noul domeniu, fiindcă grupurile de 20–30 de persoane rămân fără preț. Cu rândul „20–30, 410 lei” se obține o funcție nouă, care la 1–19 cere aceleași prețuri ca acum; imaginea primește valoarea 410.

Ce preț plătesc două grupuri de câte 5 persoane dacă se unesc într-unul de 10? Separat plătesc $2 \cdot 172 = 344$ de lei, iar împreună $f (10) = 287$ de lei, adică 57 de lei mai puțin. Prețul nu crește proporțional cu mărimea grupului, deci valoarea la o sumă de intrări nu este suma valorilor: citești prețul noii mărimi direct din tabel.

Dacă un client a plătit 172 de lei, câte persoane erau în grup? Se poate afla numai o mulțime: orice mărime de la 4 la 8, deci cinci posibilități. De la preț la grup, corespondența nu este funcție, pentru că aceeași valoare vine de la mai multe intrări. Ai nevoie de altă informație, de pildă numărul de locuri ocupate.

Ce se schimbă dacă microbuzul de 8 locuri intră în service și grupurile de 4–8 persoane merg cu cel de 19? Rândul „4–8, 172 de lei” dispare, iar rândul microbuzului mare devine „4–19, 287 de lei”. Funcția are același domeniu, de la 1 la 19, dar ia acum numai două valori, deci imaginea devine ${118, 287}$ . Un grup de 4–8 persoane plătește cu 115 lei mai mult.

În ce fel apar funcțiile în probele de Bacalaureat M3? În toate cele 83 de probe 2013–2026 există o funcție dată gata prin formulă, urmată de un calcul. Definiția funcției și egalitatea a două funcții nu au fost cerute în aceste probe, iar imaginea doar o dată, la clasa a XI-a. Programa M_tehnologic le trece în blocul de funcții al clasei a IX-a, deci pot fi cerute.