Într-o livadă, vectorul $$\vec a$$ este pasul dintre doi pomi de pe același rând, iar $$\vec b$$ este pasul dintre două rânduri vecine; ei nu sunt coliniari. Pomul $$P$$ se află față de pomul $$O$$ la $$\overrightarrow{OP}=7\,\vec a-4\,\vec b$$. Cum ajungi de la $$O$$ la $$P$$?

7 pași în sensul lui $$\vec a$$ și 4 pași în sens opus lui $$\vec b$$

4 pași în sensul lui $$\vec a$$ și 7 pași în sens opus lui $$\vec b$$

7 pași în sensul lui $$\vec a$$ și 4 pași în sensul lui $$\vec b$$

11 pași în sensul lui $$\vec a$$

Un tâmplar are nevoie de doi vectori de bază pentru șinele unui banc de lucru. Mutările posibile sunt date prin lungime și unghi față de $$Ox$$. Care dintre perechile de mai jos poate fi folosită ca bază, adică are vectori necoliniari?

60 mm la $$40^\circ$$ și 60 mm la $$130^\circ$$

50 mm la $$20^\circ$$ și 90 mm la $$200^\circ$$

40 mm la $$75^\circ$$ și 40 mm la $$255^\circ$$

30 mm la $$90^\circ$$ și 70 mm la $$90^\circ$$

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Vector pe două direcții date

Cât cablu cer dacă merge doar pe două direcții?

Cablul urmează canalele, deci lungimea lui este suma pașilor de pe fiecare direcție, nu distanța în linie dreaptă. Dacă un receptor e la $x$ pași pe un canal și la $y$ pași pe celălalt, cablul are $(∣ x ∣ + ∣ y ∣) \cdot p$ metri, cu $p$ lungimea unui pas. Exemplu: 3 pași înainte pe un canal și 5 pași înapoi pe celălalt, la 2,4 m pasul, cer $(3 + 5) \cdot 2, 4 = 19, 2$ m.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a IX-a → ·

Când ai doi vectori $a$ și $b$ care nu sunt coliniari, orice alt vector din plan se scrie într-un singur fel ca $x a + y b$ . Numerele $x$ și $y$ sunt coeficienții, iar termenii $x a$ și $y b$ sunt componentele. Practic, parcurgi un drum pe două direcții: $x$ pași pe prima și $y$ pași pe a doua.

Pe desen, prin vârful vectorului duci paralele la cele două direcții. Paralelogramul obținut are vectorul drept diagonală, iar laturile lui sunt componentele. Semnul unui coeficient vine din sensul laturii față de vectorul de bază, iar valoarea absolută din raportul lungimilor. Dacă pașii sunt egali și direcțiile fac $12 0^{\circ}$ , rombul are diagonala egală cu latura.

Unicitatea dă o regulă utilă: dacă $x a + y b = x^{'} a + y^{'} b$ , atunci $x = x^{'}$ și $y = y^{'}$ . Cu ea determini coeficienți necunoscuți: compari numerele care însoțesc fiecare vector de bază. Regula cere vectori de bază necoliniari.

Lungimea unui cablu care merge numai pe cele două direcții este $∣ x ∣ ∣ a ∣ + ∣ y ∣ ∣ b ∣$ , nu distanța în linie dreaptă. La forțe, descompunerea se folosește invers: suma componentelor trebuie să fie opusul greutății. Verifici refăcând suma.

De reținut

$v = x a + y b$ , cu $a$ și $b$ necoliniari
coeficienții rămân aceiași la orice scriere a vectorului
lungimea pe direcții: $∣ x ∣ ∣ a ∣ + ∣ y ∣ ∣ b ∣$

Greșeala tipică

Se folosește distanța în linie dreaptă în locul pașilor de pe direcții. Pentru 3 pași și 5 pași de câte 2 m, cablul pe canale are $(3 + 5) \cdot 2 = 16$ m, iar distanța în linie dreaptă, $6^{2} + 1 0^{2} \approx 11, 7$ m pe canale perpendiculare, ar fi prea puțin.

Exerciții din această mini-lecție

Într-o livadă, vectorul $a$ este pasul dintre doi pomi de pe același rând, iar $b$ este pasul dintre două rânduri vecine; ei nu sunt coliniari. Pomul $P$ se află față de pomul $O$ la $O P = 7 a - 4 b$ . Cum ajungi de la $O$ la $P$ ?
- a) 7 pași în sensul lui $a$ și 4 pași în sens opus lui $b$
- b) 4 pași în sensul lui $a$ și 7 pași în sens opus lui $b$
- c) 7 pași în sensul lui $a$ și 4 pași în sensul lui $b$
- d) 11 pași în sensul lui $a$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) 7 pași în sensul lui $a$ și 4 pași în sens opus lui $b$

Coeficientul lui $a$ este 7, pozitiv, deci faci 7 pași în sensul lui $a$ ; coeficientul lui $b$ este $- 4$ , deci faci 4 pași, dar în sens opus lui $b$ . Varianta cu 4 pași în sensul lui $b$ ignoră semnul minus. Varianta cu 4 și 7 inversează coeficienții. Varianta cu 11 pași adună valorile absolute pe o singură direcție, deși ele aparțin unor direcții diferite.
Un tâmplar are nevoie de doi vectori de bază pentru șinele unui banc de lucru. Mutările posibile sunt date prin lungime și unghi față de $O x$ . Care dintre perechile de mai jos poate fi folosită ca bază, adică are vectori necoliniari?
- a) 50 mm la $2 0^{\circ}$ și 90 mm la $20 0^{\circ}$
- b) 40 mm la $7 5^{\circ}$ și 40 mm la $25 5^{\circ}$
- c) 60 mm la $4 0^{\circ}$ și 60 mm la $13 0^{\circ}$
- d) 30 mm la $9 0^{\circ}$ și 70 mm la $9 0^{\circ}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) 60 mm la $4 0^{\circ}$ și 60 mm la $13 0^{\circ}$

Vectorii sunt necoliniari când unghiurile nu sunt egale și nu diferă cu $18 0^{\circ}$ . În varianta c) unghiurile diferă cu $13 0^{\circ} - 4 0^{\circ} = 9 0^{\circ}$ , deci direcțiile sunt diferite. În a) diferența este $20 0^{\circ} - 2 0^{\circ} = 18 0^{\circ}$ , deși lungimile sunt 50 mm și 90 mm, în b) este $25 5^{\circ} - 7 5^{\circ} = 18 0^{\circ}$ , iar în d) unghiurile sunt amândouă de $9 0^{\circ}$ , pentru vectorii de 30 mm și 70 mm; în toate trei vectorii sunt coliniari, iar egalitatea modulelor din b) nu schimbă nimic.
Într-un adăpost pentru păsări, conductele de apă merg numai pe două direcții perpendiculare, spre est și spre nord. Adăpătoarea $A$ se află față de rezervor la 1,95 m spre est și 2,80 m spre nord. Câți metri de conductă sunt necesari între rezervor și $A$ ?
- a) 0,85 m
- b) 2,80 m
- c) 3,41 m
- d) 4,75 m
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) 4,75 m

Conducta merge pe direcții, deci lungimea ei este suma pașilor de pe fiecare direcție: $1, 95 + 2, 80 = 4, 75$ m. Valoarea 3,41 m este distanța în linie dreaptă, $1, 9 5^{2} + 2, 8 0^{2}$ , pe care conducta nu o poate urma. Valoarea 0,85 m scade cele două lungimi, iar 2,80 m păstrează numai tronsonul mai lung.

Întrebări conexe

Cum aflu câți pași are traseul dintre două receptoare?

Scazi coeficienții celor două capete, vector de bază cu vector de bază. Dacă $T R_{1} = 7 a + b$ și $T R_{2} = 3 a + 5 b$ , atunci $R_{1} R_{2} = - 4 a + 4 b$ . Traseul are $4 + 4 = 8$ pași, deci, la 1,5 m pasul, între cele două receptoare trebuie 12 m de cablu.

Cum verific o descompunere refăcând suma?

Aduni componentele și compari cu vectorul dat. Dacă $a$ are 2 m la $0^{\circ}$ , $b$ are 2 m la $9 0^{\circ}$ și traseul e $3 a + 2 b$ , componentele sunt 6 m spre est și 4 m spre nord. Suma lor are $6^{2} + 4^{2} \approx 7, 2$ m, iar aceeași valoare trebuie să iasă din măsurarea directă.

Cât costă cablul dacă merge pe canale?

Înmulțești lungimea de cablu pe canale cu prețul pe metru. Pentru 17 pași de câte 1,2 m, lungimea este $17 \cdot 1, 2 = 20, 4$ m; la 8,50 lei pe metru, costul este $20, 4 \cdot 8, 50 = 173, 40$ lei. Cu distanța în linie dreaptă, comanda ar fi prea mică și ar lipsi cablu.

Cum aflu lungimea unui pas dintr-un traseu cunoscut?

Împarți lungimea cablului la numărul total de pași, adică la $∣ x ∣ + ∣ y ∣$ . Un traseu $4 a + 3 b$ are 7 pași, iar dacă cere 25,2 m de cablu, un pas are $25, 2 : 7 = 3, 6$ m.

De ce un receptor are o singură descompunere?

Pentru că vectorii de bază sunt necoliniari: orice altă scriere ar avea aceiași coeficienți. Dacă $2 a + 5 b$ și $p a + q b$ descriu același receptor, rezultă $p = 2$ și $q = 5$ . Traseul pe cele două direcții este deci același oricum l-ai scrie, iar lungimea lui nu depinde de ordinea pașilor.

Oamenii mai întreabă și: lungime de cablu pe canale perpendiculare sau oblice · cablu pe canale față de distanța în linie dreaptă · câți pași are traseul unui cablu pe două direcții · coeficienții x și y ai unui traseu pe canale