Vector pe două direcții date, la tehnologic

Un corp de iluminat atârnă de două cabluri, iar fiecare cablu trage într-o altă direcție. Greutatea corpului este un singur vector, dar o țin două forțe, fiecare pe direcția cablului ei. A afla aceste două forțe înseamnă a descompune vectorul după două direcții. Descompui un vector după doi vectori necoliniari și scrii rezultatul cu două numere, o temă pentru clasa a IX-a, la profilurile tehnologice. Descompunerea e ultimul conținut din blocul de vectori al programei de Bacalaureat M3 (M_tehnologic).

Situația de pornire

O hală de producție, construită pe un teren în formă de paralelogram, are grinzile tavanului pe două direcții, paralele cu pereții: spre est, la 0° față de axa $Ox$ a planului, și la 120° față de est. Sub grinzi sunt prinse canalele de cablu, așa că ele formează o rețea cu ochiuri egale: pe fiecare direcție, două noduri vecine sunt la 2,6 m. Numim canal $a$ orice canal spre est și canal $b$ orice canal la 120°. Tabloul electric $T$ stă într-un nod, iar cablul poate merge numai pe canale, deci fiecare receptor se leagă de $T$ cu pași de 2,6 m pe canale $a$ și pe canale $b$. Planul dă, pentru trei receptoare, distanța în linie dreaptă față de $T$ și unghiul față de $Ox$.

Electricianul comandă cablul după lungimea lui pe canale și vrea să știe câți pași face pe fiecare direcție.

Întrebare: cum se scrie fiecare vector $\overrightarrow{T{R}_k}$ cu pașii $\vec{a}$ și $\vec{b}$ ai canalelor și câți metri de cablu cere fiecare receptor, mergând numai pe canale?

De la situație la model

Notează cu $\vec{a}$ pasul de 2,6 m pe canalul $a$ și cu $\vec{b}$ pasul de 2,6 m pe canalul $b$. Cei doi vectori au direcții diferite, deci sunt necoliniari. Tabelul traduce cuvintele electricianului în cuvinte din matematică.

Descompunerea este scrierea unui vector $\vec{v}$ după doi vectori necoliniari $\vec{a}$ și $\vec{b}$ sub forma $\vec{v}=x\vec{a}+y\vec{b}$, cu $x$ și $y$ numere reale numite coeficienți. Cei doi vectori $\vec{a}$ și $\vec{b}$ formează o bază a planului. Vectorii $x\vec{a}$ și $y\vec{b}$ sunt componentele lui $\vec{v}$ pe cele două direcții. Folosești fără demonstrație faptul următor, valabil pentru orice doi vectori necoliniari: pentru orice vector $\vec{v}$ din plan, descompunerea există, iar coeficienții $x$ și $y$ sunt unici.

Unicitatea are o consecință practică, regula coeficienților: dacă $x\vec{a}+y\vec{b}=x^{\prime }\vec{a}+y^{\prime }\vec{b}$, atunci $x=x^{\prime }$ și $y=y^{\prime }$. Din ea afli coeficienți necunoscuți: compari ce stă lângă $\vec{a}$ și ce stă lângă $\vec{b}$ în cele două scrieri. Regula nu merge dacă $\vec{a}$ și $\vec{b}$ ar fi coliniari: atunci $\vec{b}=k\vec{a}$ și aceeași scriere s-ar putea face în multe feluri. Înmulțirea cu un număr, folosită pentru $x\vec{a}$ și $y\vec{b}$, o găsești în lecția despre înmulțirea cu un număr, iar adunarea în lecția despre rezultanta forțelor.

Cum găsești x și y cu paralelogramul?

Desenezi $\vec{a}$, $\vec{b}$ și $\vec{v}$ cu aceeași origine $O$. Prin vârful lui $\vec{v}$ duci paralela la direcția lui $\vec{a}$ și paralela la direcția lui $\vec{b}$. Se formează un paralelogram cu diagonala $\vec{v}$, iar laturile lui din $O$ sunt $x\vec{a}$ și $y\vec{b}$: regula paralelogramului, folosită invers. Dacă latura de pe direcția lui $\vec{a}$ are sensul lui $\vec{a}$, coeficientul $x$ e pozitiv, iar dacă are sensul opus, $x$ e negativ. Raportul dintre lungimea laturii și $|\vec{a}|$ dă $|x|$.

Ce faci când unghiul dintre direcții nu e special?

Pentru 120° între direcții și pași egali, rombul de pe vector are diagonala egală cu latura: dacă $\vec{v}$ stă pe bisectoare, $x=y=\frac{|\vec{v}|}{|\vec{a}|}$. Pentru 90° rombul e un pătrat. La alte unghiuri desenezi la scară și măsori laturile, sau folosești teorema sinusurilor, care are lecția ei separată.

Metoda pas cu pas

1. Alege doi vectori necoliniari $\vec{a}$ și $\vec{b}$ pe cele două direcții date și scrie modulul și unghiul fiecăruia, de pildă 2,6 m la 0° și 2,6 m la 120°. Dacă unghiurile sunt egale sau diferă cu 180°, vectorii sunt coliniari și nu merg.
2. Desenează $\vec{v}$ cu aceeași origine ca $\vec{a}$ și $\vec{b}$ și notează modulul și unghiul lui, de pildă 10,4 m la 60°. Dacă vectorul e dat prin puncte, ca $\overrightarrow{TR}$, originea lui este primul punct.
3. Prin vârful lui $\vec{v}$ du paralele la cele două direcții. Obții un paralelogram cu diagonala $\vec{v}$ și laturile $x\vec{a}$ și $y\vec{b}$. Când $\vec{v}$ stă pe bisectoare și pașii sunt egali, paralelogramul e romb, ca la $R_1$.
4. Citește coeficienții: $|x|$ este latura de pe direcția lui $\vec{a}$ împărțită la $|\vec{a}|$, la fel $|y|$; semnul vine din sensul laturii față de $\vec{a}$, respectiv $\vec{b}$.
5. Scrie $\vec{v}=x\vec{a}+y\vec{b}$. Pentru cabluri, pune în plus lungimea mergând pe direcții: $|x|\cdot |\vec{a}|+|y|\cdot |\vec{b}|$, cu modulele coeficienților, fiindcă un cablu nu are lungime negativă.
6. Verifică: recompune suma $x\vec{a}+y\vec{b}$ cu regula paralelogramului și compară cu $\vec{v}$ la modul și la unghi. Dacă două scrieri ale lui $\vec{v}$ diferă, unul dintre ele are coeficienți greșiți, fiindcă descompunerea este unică.

Fișa de buzunar

$$\vec{v}=x\vec{a}+y\vec{b}(\vec{a},\vec{b}\text{necoliniari})$$

$$x\vec{a}+y\vec{b}=x^{\prime }\vec{a}+y^{\prime }\vec{b}⟺x=x^{\prime }\text{și}y=y^{\prime }$$

Se aplică numai cu $\vec{a}$ și $\vec{b}$ necoliniari. Coeficienții sunt unici, iar $x\vec{a}$ și $y\vec{b}$ sunt laturile paralelogramului care are diagonala $\vec{v}$. Lungimea pe direcții este $|x||\vec{a}|+|y||\vec{b}|$. Verificare rapidă: refaci suma și obții exact $\vec{v}$. Dacă vectorul e dat prin forțe în echilibru, suma componentelor este opusul forței date.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Cabluri pe canale, în hală

Domeniu: electric.

Enunț. Reia tabelul de la început. a) Scrie $\overrightarrow{T{R}_1}$, $\overrightarrow{T{R}_2}$ și $\overrightarrow{T{R}_3}$ ca $x\vec{a}+y\vec{b}$. b) Câți metri de cablu cere fiecare receptor, mergând numai pe canale, și câți în total?

Rezolvare. a) $\overrightarrow{T{R}_2}$ are 7,8 m la 0°, deci stă pe canalul $a$: $7,8:2,6=3$ pași, $\overrightarrow{T{R}_2}=3\vec{a}$. $\overrightarrow{T{R}_3}$ are 5,2 m la 120°, deci stă pe canalul $b$: $5,2:2,6=2$ pași, $\overrightarrow{T{R}_3}=2\vec{b}$. $\overrightarrow{T{R}_1}$ are 10,4 m la 60° și nu stă pe niciun canal. Direcțiile 0° și 120° diferă cu 120°, iar 60° este bisectoarea lor, iar $|\vec{a}|=|\vec{b}|$. Deci rombul de pe $\overrightarrow{T{R}_1}$ are diagonala egală cu latura: laturile au 10,4 m, adică $10,4:2,6=4$ pași. Rezultă $\overrightarrow{T{R}_1}=4\vec{a}+4\vec{b}$. b) $R_1$: $(4+4)\cdot 2,6=20,8$ m. $R_2$: $3\cdot 2,6=7,8$ m. $R_3$: $2\cdot 2,6=5,2$ m. În total, $20,8+7,8+5,2=33,8$ m.

Capcană. Cine ia distanțele din tabel ca lungimi de cablu adună $10,4+7,8+5,2=23,4$ m. Pentru $R_2$ și $R_3$ e corect, fiindcă stau pe canale, dar $R_1$ nu stă pe niciun canal: cablul trebuie să facă ocolul pe ambele canale, 20,8 m, nu 10,4 m.

Verificare. Recompunem: $4\vec{a}$ are 10,4 m la 0°, $4\vec{b}$ are 10,4 m la 120°, iar suma lor, cu aceeași regulă a rombului, are 10,4 m la 60°, exact $\overrightarrow{T{R}_1}$.

Exemplul 2 — Firma luminoasă a unui magazin

Domeniu: comert.

Enunț. O firmă luminoasă de 0,48 kN (greutatea ei) atârnă de peretele unui magazin, de două cabluri prinse în același punct al firmei și în două ancore de pe fațadă, câte una de fiecare parte. Fiecare cablu face 30° cu orizontala, în sus: unul la 30°, celălalt la 150° față de $Ox$. Cu ce forță trage fiecare cablu?

Rezolvare. Firma stă pe loc, deci suma forțelor cablurilor este opusul greutății: ${\vec{T}}_1+{\vec{T}}_2=-\vec{G}$, adică 0,48 kN în sus (90°). Vectorul $-\vec{G}$ se descompune după direcțiile de 30° și 150°. Prin vârful lui $-\vec{G}$ duci paralele la cele două direcții; din simetrie, laturile ${\vec{T}}_1$ și ${\vec{T}}_2$ sunt egale, deci paralelogramul e un romb. Direcțiile diferă cu $150^{\circ }-30^{\circ }=120^{\circ }$, iar diagonala rombului dusă din vârful de 120° este egală cu latura. Deci $|{\vec{T}}_1|=|{\vec{T}}_2|=|\vec{G}|=0,48$ kN.

Capcană. Cine crede că fiecare cablu poartă jumătate din greutate obține 0,24 kN. Cablurile sunt înclinate, iar 0,24 kN este doar componenta verticală a fiecăruia.

Verificare. Pe verticală, fiecare cablu dă $0,48\cdot \sin 30^{\circ }=0,24$ kN, deci cele două dau $0,48$ kN, exact greutatea. Pe orizontală, componentele de $0,48\cdot \cos 30^{\circ }$ sunt egale și au sensuri contrare, deci se anulează.

Exemplul 3 — Consola cu tirant și contrafișă

Domeniu: constructii.

Enunț. O consolă de perete are un tirant orizontal, prins sus de zid, și o contrafișă înclinată la 45°, sprijinită jos pe zid. Ele se întâlnesc în nodul în care atârnă un rezervor de 85,6 kg. Se știe că 1 kg cântărește 9,81 N. a) Ce greutate are rezervorul, în kN, rotunjită la 0,01 kN? b) Ce forță dă tirantul și ce forță dă contrafișa, rotunjite la 0,01 kN?

Rezolvare. a) $85,6\cdot 9,81=839,736$ N, adică 0,839736 kN, deci 0,84 kN. b) Forțele tirantului $\vec{T}$ (spre zid, 180°) și contrafișei $\vec{S}$ (în sus și spre dreapta, 45°) au suma opusă greutății: $\vec{T}+\vec{S}=-\vec{G}$, adică vectorul de 0,84 kN în sus. Descompunem $\vec{S}$ pe verticală și pe orizontală: componenta verticală trebuie să echilibreze greutatea, deci are 0,84 kN. La 45°, triunghiul dreptunghic al componentelor este isoscel, deci componenta orizontală are și ea 0,84 kN, iar ipotenuza $|\vec{S}|=0,84\sqrt{2}\approx 1,19$ kN. Tirantul anulează componenta orizontală, deci $|\vec{T}|=0,84$ kN.

Capcană. Cine uită să transforme kilogramele în newtoni calculează cu 85,6 în loc de 839,7 și obține forțe de aproape zece ori prea mici. Unitatea de forță se verifică înainte de împărțirea pe direcții.

Verificare. Cu valoarea exactă 0,839736 kN, tirantul are 0,84 kN și contrafișa $0,839736\cdot \sqrt{2}=1,1876$ kN, adică 1,19 kN. Iar $|\vec{S}{|}^2=2|\vec{T}{|}^2$ este relația de la un triunghi dreptunghic isoscel.

Exemplul 4 — Problema inversă: cât cântărește butoiul

Domeniu: alimentar.

Enunț. O cramă ridică un butoi cu must cu două cabluri prinse în același punct, câte unul de o parte și de alta, fiecare la 60° cu orizontala (la 60° și la 120° față de $Ox$). Dinamometrele arată 0,70 kN pe fiecare cablu. Mergi invers: din forțele cablurilor afli greutatea. a) Ce greutate are butoiul, în kN, rotunjită la 0,01 kN? b) Ce masă are, în kg, rotunjită la kg, cu 1 kg = 9,81 N?

Rezolvare. a) Suma celor două forțe este opusul greutății, vertical în sus. Direcțiile cablurilor diferă cu $120^{\circ }-60^{\circ }=60^{\circ }$, iar paralelogramul de pe ele este un romb cu latura de 0,70 kN și unghiul de 60° la origine. Diagonala scurtă împarte rombul în două triunghiuri echilaterale de latura 0,70 kN, iar diagonala dusă din vârful de 60° are dublul înălțimii unuia dintre ele: $2\cdot 0,70\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=0,70\sqrt{3}\approx 1,2124$ kN, deci greutatea este 1,21 kN. b) $1212,4:9,81\approx 123,6$, adică 124 kg.

Capcană. Cine adună forțele cablurilor obține $0,70+0,70=1,40$ kN, fiindcă uită că ele nu sunt pe aceeași dreaptă. Pe verticală fiecare cablu dă doar $0,70\cdot \sin 60^{\circ }\approx 0,61$ kN.

Verificare. Pe un alt drum: $2\cdot 0,70\cdot \sin 60^{\circ }=1,40\cdot 0,8660=1,2124$ kN, același rezultat. Iar $1,40>1,2124>0$ arată că greutatea stă între 0 și suma modulelor.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Vectorii $\vec{a}$ și $\vec{b}$ sunt necoliniari. Scrie sub forma $x\vec{a}+y\vec{b}$: a) $2(\vec{a}+\vec{b})-\vec{b}$; b) $\frac{1}{2}\left(4\vec{a}-6\vec{b}\right)+\vec{b}$; c) $-(\vec{a}-3\vec{b})+2\vec{a}$.

2. Vectorul $\vec{a}$ are 3,5 cm la 15°, iar $\vec{b}$ are 3,5 cm la 135°. Scrie vectorul $\vec{v}$ de 10,5 cm la 255° sub forma $x\vec{a}+y\vec{b}$ și află $|x|\cdot |\vec{a}|+|y|\cdot |\vec{b}|$.

3. Vectorii $\vec{a}$ și $\vec{b}$ sunt necoliniari. Determină numerele $m$ și $n$ pentru care $(m+2)\vec{a}+(3-n)\vec{b}=5\vec{a}+4\vec{b}$.

4. Adevărat sau fals, cu motivare: a) dacă $\vec{a}$ și $\vec{b}$ sunt necoliniari, orice vector din plan se scrie în mod unic $x\vec{a}+y\vec{b}$; b) dacă $\vec{a}$ și $\vec{b}$ sunt coliniari, orice vector din plan se scrie $x\vec{a}+y\vec{b}$; c) pentru $\vec{a}$ și $\vec{b}$ necoliniari, din $x\vec{a}+y\vec{b}=\vec{0}$ rezultă $x=y=0$; d) vectorul $x\vec{a}+0\cdot \vec{b}$ este coliniar cu $\vec{a}$.

Nivelul 2 — situații

5. O parcelă agricolă are forma paralelogramului $ABCD$, cu $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$ de 120 m și $\overrightarrow{AD}=\vec{b}$ de 80 m. Pompa $F$ stă pe $[AB]$, la o treime din lungime de la $A$, iar bazinul de udare $P$ stă pe $[DC]$, la un sfert din lungime de la $D$. a) Scrie $\overrightarrow{AF}$ și $\overrightarrow{AP}$. b) Scrie $\overrightarrow{FP}$ ca $x\vec{a}+y\vec{b}$. c) Ca să nu taie pieziș rândurile culturii, conducta se îngroapă numai pe direcții paralele cu laturile. Ce lungime are?

6. O placă prefabricată de beton de 2,9 t se ridică cu macaraua, cu o chingă cu două ramuri prinse în același cârlig. Fiecare ramură face 60° cu orizontala: una e la 60°, cealaltă la 120° față de $Ox$. Cu 1 kg = 9,81 N, ce forță preia fiecare ramură, rotunjită la 0,1 kN? De ce nu e jumătate din greutate?

7. Un pachet de țiglă de 120 kg stă pe acoperișul unei case, înclinat la 30° față de orizontală. Greutatea lui, cu 1 kg = 9,81 N, se descompune în componenta de-a lungul acoperișului și componenta perpendiculară pe el. Află cele două componente, în kN, rotunjite la 0,01 kN.

8. Pe rețeaua de canale din situație, receptorul nou $R_5$ se montează la mijlocul segmentului $[R_1{R}_2]$. a) Scrie $\overrightarrow{T{R}_5}$ sub forma $x\vec{a}+y\vec{b}$, pornind de la $\overrightarrow{T{R}_5}=\overrightarrow{T{R}_2}+\frac{1}{2}\overrightarrow{R_2{R}_1}$. b) Stă $R_5$ pe un canal $a$? c) Câți metri de cablu cere, mergând numai pe canale?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) Vectorii $\vec{a}$ și $\vec{b}$ sunt necoliniari, $\vec{c}=2\vec{a}+\vec{b}$ și $\vec{d}=\vec{a}-3\vec{b}$. Scrieți $\vec{a}$ și $\vec{b}$ în funcție de $\vec{c}$ și $\vec{d}$, rezolvând un sistem de două ecuații.

10. (Sinteză.) Pe schița unei hale de producție, cu reperul $xOy$ în metri, se dau $O(0;0)$, $A(4;1)$ și $B(1;3)$. Punctul $D$ este al patrulea vârf al paralelogramului $OADB$, iar $C$ este simetricul lui $O$ față de mijlocul lui $[AD]$. a) Determinați coordonatele lui $D$ și $C$ cu ajutorul mijloacelor diagonalelor. b) Arătați că $\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$. c) Calculați $|\overrightarrow{OC}|$.

11. (Sinteză.) Un cablu merge $x$ pași pe canalul $a$ (cu $x$ negativ, înapoi) și 5 pași pe canalul $b$, iar un pas are 2,6 m. Lungimea cablului pe canale este $2,6(|x|+5)$ metri și nu poate depăși 23,4 m. Determinați valorile lui $x$ ca interval și numărul valorilor întregi.

12. (Sinteză.) Vectorii $\vec{a}$ și $\vec{b}$ sunt necoliniari, iar $\vec{v}=(m-3)\vec{a}+(m^2-23m+102)\vec{b}$. a) Pentru ce valori ale lui $m$ este $\vec{v}$ coliniar cu $\vec{a}$? b) Pentru ce valoare a lui $m$ este $\vec{v}$ coliniar cu $\vec{b}$? c) Poate fi $\vec{v}=\vec{0}$?

Răspunsuri și verificări

1. a) $2\vec{a}+2\vec{b}-\vec{b}=2\vec{a}+\vec{b}$. b) $2\vec{a}-3\vec{b}+\vec{b}=2\vec{a}-2\vec{b}$. c) $-\vec{a}+3\vec{b}+2\vec{a}=\vec{a}+3\vec{b}$. Verificare: pentru $\vec{b}=\vec{a}$ expresiile dau $3\vec{a}$, $\vec{0}$ și $4\vec{a}$, la fel ca la început.

2. Opusul lui $\vec{v}$ are 10,5 cm la 75°, fiindcă $255^{\circ }=75^{\circ }+180^{\circ }$, deci stă pe bisectoarea direcțiilor 15° și 135°, care diferă cu 120°. Rombul are diagonala egală cu latura, deci $-\vec{v}=3\vec{a}+3\vec{b}$, fiindcă $10,5:3,5=3$. Rezultă $\vec{v}=-3\vec{a}-3\vec{b}$ și $3\cdot 3,5+3\cdot 3,5=21$ cm. Verificare: coeficienții negativi dau sens contrar ambilor vectori, iar 255° e opusul bisectoarei de 75°.

3. Din regula coeficienților, $m+2=5$ și $3-n=4$. Rezultă $m=3$ și $n=-1$. Verificare: $(3+2)\vec{a}+(3-(-1))\vec{b}=5\vec{a}+4\vec{b}$.

4. a) Adevărat. b) Fals: dacă $\vec{b}=k\vec{a}$, vectorii $x\vec{a}+y\vec{b}$ stau toți pe dreapta lui $\vec{a}$. c) Adevărat, din regula coeficienților. d) Adevărat. Verificare: la b), un vector perpendicular pe $\vec{a}$ nu se poate scrie.

5. a) $\overrightarrow{AF}=\frac{1}{3}\vec{a}$ și $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DP}=\vec{b}+\frac{1}{4}\vec{a}$. b) $\overrightarrow{FP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AF}=\vec{b}+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\right)\vec{a}=-\frac{1}{12}\vec{a}+\vec{b}$. c) $\frac{1}{12}\cdot 120+1\cdot 80=10+80=90$ m. Verificare: $F$ e la 40 m de $A$, $P$ la 30 m de $D$, iar $40-30=10$ m.

6. $G=2900\cdot 9,81=28449$ N, adică 28,449 kN. Din simetrie, ramurile trag la fel, iar suma lor e opusul greutății, vertical în sus. Paralelogramul de pe ele e un romb cu unghiul de 60° la cârlig, a cărui diagonală are $\sqrt{3}$ ori latura, deci fiecare ramură preia $\frac{28,449}{\sqrt{3}}\approx 16,43$ kN, adică 16,4 kN. E mai mult decât jumătatea greutății, 14,2 kN, fiindcă ramurile sunt înclinate. Verificare: pe verticală, $2\cdot 16,425\cdot \sin 60^{\circ }\approx 28,45$ kN.

7. $G=120\cdot 9,81=1177,2$ N, adică 1,1772 kN. De-a lungul acoperișului: $1,1772\cdot \sin 30^{\circ }=0,5886$, adică 0,59 kN. Perpendicular pe el: $1,1772\cdot \cos 30^{\circ }\approx 1,0195$, adică 1,02 kN. Verificare: componentele sunt perpendiculare, iar $0,5886^2+1,0195^2\approx 1,3858\approx 1,1772^2$.

8. a) $\overrightarrow{R_2{R}_1}=\overrightarrow{T{R}_1}-\overrightarrow{T{R}_2}=4\vec{a}+4\vec{b}-3\vec{a}=\vec{a}+4\vec{b}$, deci $\overrightarrow{T{R}_5}=3\vec{a}+\frac{1}{2}\left(\vec{a}+4\vec{b}\right)=3,5\vec{a}+2\vec{b}$. b) Da: coeficientul lui $\vec{b}$ e întreg, deci $R_5$ stă pe canalul $a$ care trece prin nodul aflat la 2 pași pe $\vec{b}$ de $T$, la jumătatea dintre două noduri. c) $(3,5+2)\cdot 2,6=14,3$ m. Verificare: coeficienții lui $R_5$ sunt mediile celor ai lui $R_1$ și $R_2$, $\frac{4+3}{2}=3,5$ și $\frac{4+0}{2}=2$.

9. Din $\vec{c}=2\vec{a}+\vec{b}$ și $\vec{d}=\vec{a}-3\vec{b}$ înmulțești prima egalitate cu 3 și o aduni la a doua: $3\vec{c}+\vec{d}=7\vec{a}$, deci $\vec{a}=\frac{3}{7}\vec{c}+\frac{1}{7}\vec{d}$. Apoi $\vec{c}-2\vec{d}=7\vec{b}$, deci $\vec{b}=\frac{1}{7}\vec{c}-\frac{2}{7}\vec{d}$. Verificare: $\frac{3}{7}(2\vec{a}+\vec{b})+\frac{1}{7}(\vec{a}-3\vec{b})=\frac{7}{7}\vec{a}+0\cdot \vec{b}=\vec{a}$.

10. a) Diagonalele paralelogramului $OADB$ au același mijloc: $[AB]$ are mijlocul $(2,5;2)$, deci acesta este și mijlocul lui $[OD]$, de unde $D(5;4)$. Mijlocul lui $[AD]$ este $(4,5;2,5)$, la fel ca al lui $[OC]$, de unde $C(9;5)$. b) În paralelogramul $OADB$, $\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$. Segmentele $[OC]$ și $[AD]$ au același mijloc, deci $OACD$ este paralelogram și $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$. c) $|\overrightarrow{OC}|=\sqrt{9^2+5^2}=\sqrt{106}\approx 10,30$ m. Verificare: $2\cdot 4+1=9$ și $2\cdot 1+3=5$, adică aceleași numere ca în coordonatele lui $C$.

11. Condiția este $2,6(|x|+5)\le 23,4$, adică $|x|+5\le 9$ și $|x|\le 4$. Rezultă $x\in [-4;4]$, cu valorile întregi $-4,-3,\dots ,4$, adică 9 valori. Verificare: la $x=4$ lungimea e $2,6\cdot 9=23,4$ m, iar la $x=5$ ar fi $2,6\cdot 10=26$ m, peste limită.

12. Coeficienții sunt $m-3$ și $m^2-23m+102$; regula coeficienților spune că $\vec{v}$ e coliniar cu $\vec{a}$ exact când coeficientul lui $\vec{b}$ e zero, și cu $\vec{b}$ exact când coeficientul lui $\vec{a}$ e zero. a) $m^2-23m+102=0$ are $\Delta =529-408=121$ și rădăcinile $m=\frac{23\pm 11}{2}$, adică $m=6$ și $m=17$. b) $m-3=0$ dă $m=3$. c) $\vec{v}=\vec{0}$ cere ambii coeficienți zero; la $m=3$ al doilea este $9-69+102=42\ne 0$, iar la $m=6$ și $m=17$ primul este 3, respectiv 14. Deci nu. Verificare: $m=3$ nu e rădăcină a trinomului.

Așa vine la Bac M3

Descompunerea unui vector după doi vectori necoliniari nu a apărut în probele 2013–2026, deși programa de examen o conține. În programa pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), descompunerea închide blocul al șaptelea al clasei a IX-a, imediat după condiția de coliniaritate; blocul următor este trigonometria. Din cele 83 de probe oficiale, indexul cerințelor nu reține nicio cerință cu această temă, iar cuvintele «descompunerea» și «necoliniari» nu se găsesc în textul vreunui subiect. Așadar secțiunea nu citează cerințe reale și nu inventează niciuna.

Exercițiile 9–12, marcate (Sinteză.), folosesc sistemele de două ecuații pentru schimbarea vectorilor de bază, reperul cartezian pentru puncte, modulul unui număr real pentru limita de cablu și ecuația de gradul al II-lea pentru coliniaritate. Pentru rezultanta forțelor, folosită invers aici, vezi lecția de adunare; ansamblul clasei e în hubul clasei a IX-a, filiera tehnologică.

Greșeli care costă puncte

• Aduni forțele cablurilor ca numere, $0,70+0,70=1,40$ kN → greutatea iese prea mare; cum o prinzi: forțele nu sunt coliniare, deci greutatea stă între diferența și suma modulelor și se află din romb.
• Iei jumătate din greutate pe fiecare cablu înclinat, 0,24 kN în loc de 0,48 kN → cablul se alege prea slab; cum o prinzi: 0,24 kN este doar componenta verticală, iar cablul trage în lungul lui.
• Calculezi lungimea cablului pe canale cu distanța în linie dreaptă, 10,4 m în loc de 20,8 m → comanzi cablu prea puțin; cum o prinzi: $|x||\vec{a}|+|y||\vec{b}|$ cere pașii pe fiecare canal.
• Descompui după doi vectori coliniari → nu poți scrie un vector perpendicular pe ei; cum o prinzi: verifici întâi că unghiurile nu sunt egale și nu diferă cu 180°.
• Uiți conversia kg → N, cu 85,6 în loc de 839,7 → forțele ies de zece ori prea mici; cum o prinzi: înmulțești cu 9,81 înainte de orice împărțire pe direcții.

Programa și examenul

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: descompunerea unui vector după doi vectori necoliniari face parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a IX-a), deși programa nouă a clasei a IX-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu o conține sau o conține doar în parte. În probele oficiale 2013–2026 nu a apărut încă; fiind în programă, poate fi cerută. Pentru Bacalaureatul din 2030 (MAT_P3–MAT_P6) tema nu este în programa de examen.

Întrebări frecvente

Contează în ce ordine face cablul pașii spre presă? Nu pentru lungime: 4 pași pe $a$ și apoi 4 pe $b$, sau întâi cei pe $b$, dau tot $4\vec{a}+4\vec{b}$ și tot 20,8 m, fiindcă adunarea vectorilor e comutativă. Pe rețea, cele două trasee sunt laturile opuse ale aceluiași romb. Ordinea contează doar la montaj, după locul liber din canale.

De ce cere presa $R_1$ cablu de 20,8 m, nu de 10,4 m? Distanța de 10,4 m este în linie dreaptă, dar cablul merge numai pe canale: 4 pași pe canalul $a$ și 4 pași pe canalul $b$, câte 10,4 m fiecare. Lungimea pe canale este $(4+4)\cdot 2,6=20,8$ m, dublul distanței directe, fiindcă unghiul dintre canale este 120°.

Pot avea coeficientul negativ, de exemplu $-2\vec{a}$? Da. Un receptor aflat în spatele lui $T$ pe canalul $a$, la 5,2 m de el, se scrie $-2\vec{a}$: 2 pași, dar în sens contrar lui $\vec{a}$. Lungimea de cablu pe canal rămâne $|-2|\cdot 2,6=5,2$ m, fiindcă folosești modulul coeficientului.

Ce se schimbă dacă pasul canalelor devine 2 m? Pașii devin $\vec{a}$ și $\vec{b}$ de 2 m, iar coeficienții cresc: $10,4:2=5,2$ pași pentru $R_1$ pe fiecare canal, deci $\overrightarrow{T{R}_1}=5,2\vec{a}+5,2\vec{b}$, iar lungimea pe canale rămâne 20,8 m, fiindcă $(5,2+5,2)\cdot 2=20,8$. Descompunerea depinde de pasul ales, dar lungimea de cablu nu depinde.

Cum aflu coeficienții dacă unghiul dintre canale nu e 120°? Desenezi la scară paralelogramul și măsori laturile, apoi împarți fiecare la pasul canalului, cu semn după sens. Pentru calcul exact folosești teorema sinusurilor, din lecția ei. Regula coeficienților rămâne valabilă la orice unghi, atât timp cât canalele nu sunt coliniare.

Se poate cere la Bacalaureatul M3 descompunerea unui vector? Programa de examen include descompunerea la sfârșitul blocului al șaptelea al clasei a IX-a. Nicio cerință din cele 83 de probe oficiale 2013–2026 nu pornește de la ea, după indexul făcut pe aceste probe. Rămâne totuși un conținut al programei, deci poate fi cerută, iar lecția o exersează în exercițiile 9–12.