Lecția pe scurt · clasa a X-a · Arbore de variante și reguli

Cum număr configurațiile cu variante excluse?

Împarți arborele după prima alegere și numeri frunzele fiecărei bucăți, apoi le aduni. Un atelier face rochii în 5 mărimi: modelul simplu în 3 culori, cel cu dantelă numai în 2. Modelul simplu dă $3 \cdot 5 = 15$ , cel cu dantelă $2 \cdot 5 = 10$ , în total 25. Dacă ai înmulți $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$ , ai număra și 5 configurații care nu există.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a X-a → ·

O diagramă arborescentă numără configurațiile unei alegeri făcute în pași. Rădăcina are o ramură pentru fiecare variantă a primului pas, iar fiecare nod primește ramurile pasului următor. Un drum complet, de la rădăcină la o frunză, este o configurație, deci numărul frunzelor este numărul căutat.

Dacă din toate nodurile unui nivel pleacă același număr $n_{i}$ de ramuri, înmulțești: $N = n_{1} \cdot n_{2} \cdot \dots \cdot n_{k}$ . Când regulile taie ramuri și numerele diferă de la un nod la altul, împarți arborele în bucăți după prima alegere, numeri frunzele fiecărei bucăți și le aduni: $N = N_{1} + N_{2} + \dots + N_{m}$ .

Înmulțirea tuturor numerelor din tabelul de reguli numără și configurații care nu se pot vinde, iar înmulțirea într-o bucată cu noduri neegale dă un total prea mare. De aceea notezi lângă fiecare nod numărul ramurilor care ies din el. Alegerea variantei „celei mai bune” la fiecare nod nu dă minimul întregului drum, așa că numeri toate frunzele.

Pui un alt nivel pe primul loc: forma arborelui se schimbă, dar numărul frunzelor rămâne același. Mărimile din reguli se trec în aceeași unitate înainte să fie comparate. Metoda ajută la liste de tarife, la oferte cu mai multe opțiuni și la trasee cu puține puncte.

De reținut

nivel cu același număr de ramuri: se înmulțește
ramuri neegale: numeri pe bucăți și aduni
ordinea nivelurilor nu schimbă numărul frunzelor

Greșeala tipică

Se înmulțesc toate numerele din tabelul de reguli, deși unele variante nu se pot alege împreună. Corect, numeri frunzele pe bucăți, după prima alegere, și aduni bucățile.

Exerciții din această mini-lecție

Un laborator are arborele analizelor: din rădăcină pleacă 5 ramuri, câte una pentru fiecare temperatură, iar din fiecare temperatură pleacă 3 ramuri, câte una pentru fiecare concentrație. Câte frunze, adică analize, are arborele?
- a) 8
- b) 15
- c) 125
- d) 30
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) 15

Din fiecare dintre cele 5 temperaturi pleacă aceleași 3 ramuri, deci frunzele sunt $5 \cdot 3 = 15$ . Varianta 8 adună numerele de ramuri în loc să le înmulțească. Varianta 125 este $5^{3}$ , adică tratează arborele ca pe unul cu trei niveluri de câte 5 ramuri, iar 30 dublează rezultatul, ca și cum ordinea celor două alegeri ar da alte analize.
O fabrică de mobilă configurează un dulap: culoarea (2 variante), numărul de uși (5 variante) și tipul de mâner (4 variante). Lista este un arbore desenat cu nivelurile în această ordine. Un coleg desenează arborele cu mânerul pe primul nivel. Câte frunze are arborele lui?
- a) 10
- b) 11
- c) 40
- d) 80
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) 40

Ordinea nivelurilor schimbă forma arborelui, nu numărul frunzelor: $4 \cdot 2 \cdot 5 = 40$ , ca și în $2 \cdot 5 \cdot 4$ . Varianta 10 uită nivelul cu mânerele, iar varianta 11 adună numerele de ramuri. Varianta 80 dublează totalul, ca și cum noua ordine ar produce configurații în plus.
O cooperativă vinde semințe în configurații formate din soi, ambalaj și tratament. Soiurile sunt în număr necunoscut, ambalajele au 4 mărimi, iar tratamentul are 2 variante. Catalogul are 48 de rânduri, câte unul pentru fiecare configurație. Câte soiuri oferă cooperativa?
- a) 6
- b) 12
- c) 24
- d) 40
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) 6

Numărul de rânduri este $s \cdot 4 \cdot 2 = 48$ , deci $s = 48 : 8 = 6$ soiuri. Varianta 12 împarte la 4 și uită tratamentul, varianta 24 împarte la 2 și uită ambalajele, iar varianta 40 scade 8 din 48, ca și cum celelalte niveluri ar adăuga rânduri, nu le-ar înmulți.

Întrebări conexe

Câte configurații includ o variantă anume?

Fixezi varianta și numeri doar bucata care o conține. În exemplul cu rochiile, modelul cu dantelă apare în $2 \cdot 5 = 10$ configurații din 25. Restul, cele fără dantelă, sunt $25 - 10 = 15$ , adică exact bucata modelului simplu.

Ce fac dacă o regulă depinde de două alegeri deodată?

Tai bucata în care se aplică regula și o numeri separat. La un atelier de rame foto cu dreptunghi în 5 culori și 2 mărimi, iar oval în 3 culori și 2 mărimi, regula „negru nu se face în mărimea mare la dreptunghi” scoate o configurație: $(5 \cdot 2 - 1) + 3 \cdot 2 = 15$ .

Se schimbă totalul dacă adaug un nivel cu o singură variantă?

Nu, fiindcă înmulțirea cu 1 lasă numărul neschimbat. Un meniu cu $4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$ de configurații rămâne cu 24 dacă îi adaugi o garanție cu o singură variantă. Abia a doua variantă dublează totalul, la 48.

De ce nu înmulțesc toate numerele din tabelul de reguli?

Pentru că tabelul arată variantele permise pe fiecare tip, iar numerele nu sunt aceleași peste tot. Cu trei tipuri de produs având 3, 5 și 1 variante și cu 4 opțiuni de livrare, corect este $(3 + 5 + 1) \cdot 4 = 36$ , nu $3 \cdot 5 \cdot 1 \cdot 4 = 60$ .

Câte variante în plus aduce o opțiune pusă la un singur model?

Aduni numai frunzele ramurii adăugate, nu înmulțești tot arborele. La o tâmplărie, masa pătrată se face în 3 esențe de lemn, iar cea rotundă în 2, fiecare în 4 dimensiuni: $(3 + 2) \cdot 4 = 20$ . O esență nouă numai la masa rotundă aduce $1 \cdot 4 = 4$ variante, deci 24; pusă la ambele mese, ar aduce $2 \cdot 4 = 8$ .

Oamenii mai întreabă și: numărul configurațiilor când unele variante nu se vând · cum numeri frunzele unui arbore cu ramuri tăiate · câte rânduri are lista de tarife cu variante excluse · arbore de variante cu reguli de excludere