Arbore de variante: configurații la tehnologic

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a X-a → ·

Înainte să tipărească lista de tarife, recepția unei pensiuni trebuie să știe câte rânduri va avea ea. Regulile casei scot unele combinații, așa că răspunsul nu iese dintr-o simplă înmulțire, ci dintr-un desen: arborele variantelor. Elevii de clasa a X-a din filiera tehnologică găsesc aici metoda: construiești arborele, îi numeri frunzele și verifici rezultatul pe alt drum. O aplici la rezervările unei pensiuni, la traseul unei dube de livrări și la oferta unei instalații fotovoltaice. Tema apare în programa Bacalaureatului din 2030.

Situația de pornire

O pensiune de munte are trei tipuri de camere, iar clientul își alege rezervarea în trei pași: camera, masa și transferul de la gară. Programul de rezervări ține câte un rând de tarif pentru fiecare configurație care se poate vinde, deci recepționera trebuie să știe de la început câte rânduri are de încărcat. Regulile casei spun ce mese se pot alege la fiecare tip de cameră. Lista se tipărește o singură dată, la începutul sezonului.

Tip de cameră	Mese care se pot alege	Tarif de bază (lei/noapte)
dublă	fără masă, mic dejun, demipensiune	238
triplă	fără masă, mic dejun	312
apartament	mic dejun, demipensiune	467

La orice rezervare, clientul poate cere sau nu transferul de la gară, cu microbuzul pensiunii.

Întrebare: câte configurații de rezervare (cameră, masă, transfer) poate vinde pensiunea și câte dintre ele includ transferul?

De la situație la model

Clientul alege pe rând, iar fiecare alegere se poate desena. Tabelul traduce situația în limbajul arborelui.

În situație	În matematică
cei trei pași ai rezervării: camera, masa, transferul	trei niveluri ale arborelui, în ordinea alegerilor
o variantă permisă la un pas	o ramură
o rezervare completă, de exemplu apartament cu mic dejun, fără transfer	un drum de la rădăcină la o frunză
apartamentul fără masă, care nu se vinde	o ramură care nu se desenează
numărul de rânduri din lista de tarife	numărul de frunze ale arborelui

Diagrama arborescentă este un desen care pornește dintr-un punct, rădăcina, și se ramifică la fiecare alegere; fiecare drum până la capătul unei ramuri, adică până la o frunză, descrie o configurație completă și diferită de celelalte.

Cum citești un arbore?

Rădăcina este starea de dinainte de orice alegere. Din ea pleacă atâtea ramuri câte variante are primul pas, iar capătul fiecărei ramuri este un nod, din care pleacă variantele pasului următor. Nodurile din care nu mai pleacă nimic sunt frunzele. Informația stă în drumul întreg, nu în frunza luată singură: două frunze cu același nume pot fi capetele unor drumuri diferite, iar fiecare drum se numără o singură dată.

Ce faci când regulile taie ramuri?

La pensiune, din „dublă” pleacă trei ramuri de masă, iar din „triplă” și din „apartament” câte două, fiindcă regulile casei au tăiat câte o masă. Numeri atunci frunzele pe bucăți: sub fiecare tip de cameră, toate nodurile unui nivel au același număr de ramuri, deci acolo înmulțești, $3 \cdot 2$ la dublă și $2 \cdot 2$ la celelalte, iar bucățile le aduni. Dacă și în interiorul unei bucăți nodurile aceluiași nivel au numere diferite de ramuri, o tai din nou, după nivelul următor. Te oprești când fiecare bucată are, pe fiecare nivel, același număr de ramuri din toate nodurile.

Contează ordinea alegerilor?

Ordinea nivelurilor schimbă forma arborelui, nu și numărul frunzelor: cu transferul pus primul, din rădăcină ar pleca două ramuri, iar sub fiecare ar sta aceleași rezervări. Altceva este ordinea elementelor dintr-un drum, când ele se aleg din aceeași mulțime. Traseul B–A–C al unei dube nu este traseul A–B–C, iar fiecare ordine este o frunză separată.

Metoda pas cu pas

Pentru orice problemă în care numeri variante, lucrezi în cinci pași.

Scrie alegerile în ordinea în care se fac și hotărăște câte niveluri are arborele: câte unul pentru fiecare alegere. Dacă un pas depinde de altul, îl pui după acela.
Pentru fiecare nod, notează variantele pe care regulile le permit în acel loc; o variantă interzisă nu primește ramură. Regulile le iei din tabelul sau din textul problemei, nu din ce ți se pare firesc.
Desenează arborele până la frunze și scrie lângă fiecare nod câte ramuri pleacă din el. Lângă fiecare frunză poți scrie configurația întreagă, ca listă de control.
Numără frunzele: dacă pe fiecare nivel toate nodurile au același număr de ramuri, înmulțești numerele de ramuri ale nivelurilor; dacă nu, împarți arborele în bucăți după ramurile primului nivel, numeri fiecare bucată la fel, tăind-o din nou dacă e nevoie, și aduni bucățile.
Verifică numărând pe un alt drum, cu alt nivel pus primul sau pe categorii, și compară cu lista scrisă a configurațiilor: frunzele sunt un număr întreg, iar fiecare drum apare o singură dată. Dacă cele două numărători nu coincid, una a pierdut sau a dublat un drum, iar lista scrisă îți arată care.

Când elementele unui drum se aleg din aceeași mulțime și ordinea contează, formulele din lecția Permutări și aranjamente la tehnologic scurtează numărătoarea. Când ordinea nu contează, vezi lecția Combinări la tehnologic: alegeri dintr-o listă. La filiera tehnologică, unitatea se încheie cu binomul până la puterea 5, iar toate lecțiile clasei sunt adunate în traseul clasei a X-a, filiera tehnologică.

Fișa de buzunar

$N = n_{1} \cdot n_{2} \cdot \dots \cdot n_{k}$

$N = N_{1} + N_{2} + \dots + N_{m}$

Prima formulă se aplică numai dacă din toate nodurile nivelului $i$ pleacă același număr $n_{i}$ de ramuri; în a doua, $N_{j}$ sunt frunzele de sub a $j$ -a ramură a primului nivel, numărate cu prima formulă sau, dacă bucata are și ea noduri cu numere diferite de ramuri, tot cu a doua. Verificare rapidă: pune alt nivel primul și numără din nou, iar rezultatul rămâne același.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Rezervările pensiunii

Domeniu: turism.

Enunț. Reluăm pensiunea din situația de pornire, cu mesele din tabel și cu transferul la alegere. a) Câte configurații poate vinde pensiunea? b) Câte includ transferul? c) Câte au demipensiune?

Rezolvare. Arborele are trei niveluri: camera (3 ramuri), masa (3 ramuri sub dublă, 2 sub triplă, 2 sub apartament) și transferul (2 ramuri din fiecare nod).

a) Numerele de ramuri diferă la nivelul al doilea, deci numeri pe camere: dubla dă $3 \cdot 2 = 6$ frunze, tripla $2 \cdot 2 = 4$ , apartamentul $2 \cdot 2 = 4$ , în total $6 + 4 + 4 = 14$ configurații. b) Din fiecare pereche cameră–masă pleacă o ramură cu transfer și una fără, deci jumătate dintre frunze includ transferul: 7. c) Demipensiunea apare sub dublă și sub apartament, câte o dată, iar fiecare are două ramuri de transfer: $2 + 2 = 4$ configurații.

Capcană. Cine înmulțește numerele din tabel, $3 \cdot 3 \cdot 2 = 18$ , numără și rezervări care nu se pot face, de pildă apartamentul fără masă. Lista ar avea 4 rânduri de tarif pentru configurații imposibile.

Verificare. Cu transferul pus primul, arborele are 2 ramuri în rădăcină și câte 7 rezervări sub fiecare, deci $2 \cdot 7 = 14$ . Cele 4 rânduri din 18 care lipsesc sunt tripla cu demipensiune (2) și apartamentul fără masă (2).

Exemplul 2 — Traseul dubei cu piese

Domeniu: auto.

Enunț. Un depozit de piese auto livrează dimineața la trei service-uri, A, B și C, cu o singură dubă. Șoferul alege ordinea, iar tura pornește și se termină la depozit, D. Distanțele pe drum, în kilometri, sunt:

Perechea de puncte	D–A	D–B	D–C	A–B	A–C	B–C
Distanța (km)	18,5	10,7	12,8	13,3	6,2	9,8

a) Câte trasee are dubla? b) Care este cel mai scurt și câți kilometri are? c) Cu cât este mai lung traseul șoferului care merge mereu la cel mai apropiat service nevizitat?

Rezolvare. Ordinea contează: primul service se alege în 3 moduri, al doilea în 2, ultimul într-unul singur, deci $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ trasee. Lungimile, cu tot cu întoarcerea la D, sunt:

A–B–C: $18, 5 + 13, 3 + 9, 8 + 12, 8 = 54, 4$ km;
A–C–B: $18, 5 + 6, 2 + 9, 8 + 10, 7 = 45, 2$ km;
B–A–C: $10, 7 + 13, 3 + 6, 2 + 12, 8 = 43, 0$ km;
B–C–A: $10, 7 + 9, 8 + 6, 2 + 18, 5 = 45, 2$ km;
C–A–B: $12, 8 + 6, 2 + 13, 3 + 10, 7 = 43, 0$ km;
C–B–A: $12, 8 + 9, 8 + 13, 3 + 18, 5 = 54, 4$ km.

b) Cel mai scurt traseu are 43,0 km: B–A–C sau C–A–B, același drum parcurs în sens opus. c) Din D, cel mai aproape este B (10,7 km); din B, cel mai aproape este C (9,8 km, față de 13,3 km până la A); rămâne A. Traseul B–C–A are 45,2 km, cu $45, 2 - 43, 0 = 2, 2$ km mai mult decât minimul.

Capcană. Cine merge mereu la cel mai apropiat punct vede la fiecare pas doar ramurile care pleacă din nodul în care se află, nu tot arborele. Fiecare alegere pare cea mai bună, dar traseul întreg iese mai lung.

Verificare. Traseele se grupează câte două, dus și întors, deci cele 6 frunze dau trei lungimi: 54,4, 45,2 și 43,0 km. În aceste trei trasee, fiecare distanță din tabel apare de două ori, deci suma lor e dublul sumei din tabel: $54, 4 + 45, 2 + 43, 0 = 142, 6 = 2 \cdot 71, 3$ .

Exemplul 3 — Oferta pentru o instalație fotovoltaică

Domeniu: electric.

Enunț. Un electrician face oferte pentru instalații fotovoltaice pe case. Clientul alege 10, 12 sau 14 panouri de câte 430 W, apoi un invertor de 4 kW, 5 kW sau 6 kW; numai la cel de 5 kW, care e hibrid, poate cere și o baterie. Regula firmei (valori din exemplu): puterea panourilor este cel puțin cât a invertorului și o depășește cu cel mult 25%. a) Câte configurații (panouri, invertor, baterie) poate oferi electricianul? b) Câte au baterie? c) Cu cât la sută depășește puterea a 14 panouri puterea invertorului de 5 kW?

Rezolvare. Puterile se compară în aceeași unitate: 10 panouri dau $10 \cdot 430 = 4300$ W, adică 4,3 kW, 12 panouri dau 5,16 kW, iar 14 panouri 6,02 kW. Regula cere ca puterea panourilor să fie între puterea invertorului și ea înmulțită cu 1,25: la 4 kW, între 4 și 5 kW; la 5 kW, între 5 și 6,25 kW; la 6 kW, între 6 și 7,5 kW.

a) Sub 10 panouri merge numai invertorul de 4 kW, fără baterie: 1 configurație. Sub 12 panouri merge numai cel de 5 kW, cu sau fără baterie: 2 configurații. Sub 14 panouri merg invertoarele de 5 kW și de 6 kW, dar nu au la fel de multe ramuri: cel de 5 kW are 2 ramuri de baterie, cel de 6 kW una, deci $2 + 1 = 3$ configurații. În total, $1 + 2 + 3 = 6$ configurații. b) Bateria apare numai sub invertorul de 5 kW, care se potrivește cu 12 și cu 14 panouri: 2 configurații. c) $6, 02 : 5 = 1, 204$ , deci puterea panourilor depășește puterea invertorului cu 20,4%, sub limita de 25%.

Capcană. Cine verifică numai prima jumătate a regulii, că panourile dau cel puțin puterea invertorului, păstrează și 12 sau 14 panouri pe invertorul de 4 kW și numără 8 configurații. La 14 panouri pe 4 kW, panourile ar avea cu 50,5% mai mult decât invertorul, care n-ar prelua, la soare puternic, tot ce produc ele.

Verificare. Pune invertorul primul: la 4 kW se potrivesc doar 10 panouri, 1 configurație; la 5 kW, 12 sau 14 panouri, fiecare cu sau fără baterie, $2 \cdot 2 = 4$ configurații; la 6 kW, doar 14 panouri, 1 configurație. Rezultă tot $1 + 4 + 1 = 6$ .

Exemplul 4 — Problema inversă: câte finisaje încap pe foaie

Domeniu: lemn.

Enunț. Un atelier de tâmplărie vinde uși interioare. O ușă se alege după model (patru modele), lățime (70 cm sau 80 cm) și finisaj. Modelul cu geam se face numai în lățimea de 80 cm. Lista de prețuri trebuie să încapă pe o singură foaie, cu 36 de rânduri, câte unul pentru fiecare ușă diferită. Care este cel mai mare număr de finisaje pe care îl poate oferi atelierul?

Rezolvare. Aici se cunoaște capacitatea foii și se caută numărul de ramuri de la ultimul nivel. Fără finisaj, ușile se numără pe modele: trei modele în două lățimi dau $3 \cdot 2 = 6$ uși, iar modelul cu geam o singură ușă, în total 7. Cu $f$ finisaje, lista are $7 f$ rânduri și trebuie să avem $7 f \leq 36$ , deci $f \leq 5, 14 \dots$ . Cum $f$ este întreg, atelierul poate oferi cel mult 5 finisaje, iar lista are $7 \cdot 5 = 35$ de rânduri.

Capcană. Cine uită regula modelului cu geam socotește $4 \cdot 2 = 8$ uși și rezolvă $8 f \leq 36$ . Obține $f \leq 4$ și renunță fără rost la un finisaj.

Verificare. Cu 5 finisaje lista are 35 de rânduri, deci încape pe foaie. Cu 6 finisaje ar avea $7 \cdot 6 = 42$ de rânduri, mai mult decât cele 36 ale foii.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Un banc de probă pentru frâne lucrează la 3 viteze (38, 67 și 94 km/h) și la 2 încărcări pe axă (55% și 85%); o probă este o viteză cu o încărcare. Câte probe sunt?

2. Arborele unei comenzi de furaje: din rădăcină pleacă „porci” și „păsări”; sub „porci” sunt 3 ramuri (starter, creștere, finisare), sub „păsări” 2 (ouătoare, carne), iar din fiecare dintre cele 5 pleacă încă 2 (saci sau vrac). a) Câte frunze are arborele? b) Câte sunt pentru păsări?

3. Un electrician alege un corp de iluminat: LED, cu 3 puteri, în lumină caldă sau rece, ori fluorescent, cu 2 puteri, numai în lumină rece. Câte corpuri poate alege?

4. Un laborator alege din patru loturi de iaurt două diferite: primul pentru analiza microbiologică, al doilea pentru cea fizico-chimică. a) Câte alegeri sunt? b) Câte perechi, dacă analiza nu contează?

Nivelul 2 — situații

5. Un producător de vopsele are vopsea acrilică (ambalaje de 0,75 L, 2,5 L și 10 L) și alchidică (0,75 L și 2,5 L). „Crem” există numai la acrilică; alb, gri și bej, la ambele. a) Câte produse are catalogul? b) Câte sunt în ambalajul de 0,75 L?

6. La o stație de epurare se fac zilnic, în trei puncte de prelevare, 2, 2 și 3 determinări, de câte 35 de minute. a) Câte determinări se fac pe zi? b) Cât durează ele, în ore și minute?

7. Un încărcător de baterii lucrează în trei etape, în regim LENT, MEDIU sau RAPID; RAPID nu urmează după RAPID. a) Câte programe există? b) Câte au RAPID în etapa a doua?

8. Un service montează cârlige de remorcare fixe, demontabile sau rabatabile, cu priză de 7 sau de 13 pini. Fixul merge numai cu 7 pini, rabatabilul numai cu 13 pini, iar la 13 pini service-ul oferă și un modul pentru luminile remorcii. a) Câte montaje diferite oferă? b) Câte au priză de 13 pini?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) Pensiunea din lecție adaugă masa „pensiune completă”, la dublă și la apartament. a) Câte rânduri are lista? b) Apoi adaugă o cameră familială, cu mic dejun sau demipensiune: câte rânduri are acum?

10. (Sinteză.) Un atelier montează instalații cu motor de 1,1, 1,5, 2,2 sau 3,0 kW. Reductoarele R1, R2 și R3 admit motoare până la 1,65, 2,45, respectiv 3,35 kW (valori din exemplu), cu frână sau fără. a) Câte instalații poate monta? b) Câte au motor de cel puțin 2,2 kW?

11. (Sinteză.) Un drum are fundația de 20, 25 sau 30 cm, baza de 6, 8 sau 10 cm și uzura de 4 sau 5 cm; grosimea totală nu poate depăși 39 cm, ca drumul să rămână la nivelul bordurilor existente. a) Câte structuri ar fi fără limită? b) Câte respectă limita?

12. (Sinteză.) Un magazin pune în cutii-cadou câte două scule din patru tipuri (șurubelniță, ciocan, cheie, clește), câte una în fiecare dintre cele două compartimente. Câte cutii diferite sunt posibile dacă: a) contează compartimentul, iar tipul se poate repeta; b) contează compartimentul, fără repetare; c) nu contează compartimentul, fără repetare; d) nu contează compartimentul, cu repetare?

Răspunsuri și verificări

1. $3 \cdot 2 = 6$ probe. Verificare: cu încărcarea pusă prima, $2 \cdot 3 = 6$ ; lista începe cu (38; 55%), (38; 85%).

2. a) $3 \cdot 2 + 2 \cdot 2 = 10$ frunze. b) $2 \cdot 2 = 4$ frunze. Verificare: $5 \cdot 2 = 10$ .

3. $3 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 8$ corpuri. Verificare: 3 au lumină caldă (numai LED) și $3 + 2 = 5$ au lumină rece, iar $3 + 5 = 8$ .

4. a) $4 \cdot 3 = 12$ alegeri. b) $12 : 2 = 6$ perechi. Verificare: perechea L1–L2 apare și ca L2–L1 în lista de 12.

5. a) Acrilica: $3 \cdot 4 = 12$ , alchidica: $2 \cdot 3 = 6$ , în total 18 produse. b) $4 + 3 = 7$ produse. Verificare: fără regula „crem” ar fi $5 \cdot 4 = 20$ , iar $20 - 2 = 18$ .

6. a) $2 + 2 + 3 = 7$ determinări. b) $7 \cdot 35 = 245$ de minute, adică 4 ore și 5 minute. Verificare: $4 \cdot 60 + 5 = 245$ .

7. a) $27 - 5 = 22$ programe. b) $2 \cdot 1 \cdot 2 = 4$ programe. Verificare: cele 5 programe scoase sunt RRL, RRM, RRR, LRR și MRR.

8. a) Fixul dă 1 montaj, demontabilul 1 cu 7 pini și 2 cu 13 pini, rabatabilul 2: $1 + 3 + 2 = 6$ montaje. b) $2 + 2 = 4$ montaje. Verificare: pe prize, 7 pini dau 2 montaje, iar 13 pini $2 \cdot 2 = 4$ ; $2 + 4 = 6$ .

9. a) Dubla: $4 \cdot 2 = 8$ ; tripla: $2 \cdot 2 = 4$ ; apartamentul: $3 \cdot 2 = 6$ . Lista are $8 + 4 + 6 = 18$ rânduri. b) Familiala adaugă $2 \cdot 2 = 4$ rânduri, deci lista are 22 de rânduri. Verificare: $14 + 4 = 18$ și $18 + 4 = 22$ .

10. a) Motoarele de 1,1 și 1,5 kW merg cu toate cele 3 reductoare: $2 \cdot 3 = 6$ perechi. Cel de 2,2 kW merge cu R2 și R3 (2 perechi), cel de 3,0 kW numai cu R3 (1 pereche). Sunt $6 + 2 + 1 = 9$ perechi și $9 \cdot 2 = 18$ instalații. b) Motoarele de cel puțin 2,2 kW dau $2 + 1 = 3$ perechi, deci $3 \cdot 2 = 6$ instalații. Verificare: R1 admite 2 motoare, R2 admite 3, R3 admite 4, iar $2 + 3 + 4 = 9$ .

11. a) Fără limită: $3 \cdot 3 \cdot 2 = 18$ structuri. b) Cu fundația de 30 cm, minimul este $30 + 6 + 4 = 40$ cm, peste limită: nicio structură. Cu 20 cm, maximul este $20 + 10 + 5 = 35$ cm, deci toate cele $3 \cdot 2 = 6$ structuri convin. Cu 25 cm, baza și uzura trebuie să dea cel mult 14 cm: $6 + 4$ , $6 + 5$ , $8 + 4$ , $8 + 5$ , $10 + 4$ convin, iar $10 + 5$ nu. Total $6 + 5 = 11$ structuri. Verificare: cele 5 structuri cu fundația de 25 cm au grosimile 35, 36, 37, 38 și 39 cm, toate până la limită.

12. a) Fiecare compartiment se completează în 4 moduri: $4 \cdot 4 = 16$ cutii. b) $4 \cdot 3 = 12$ cutii. c) Fiecare pereche apare de două ori în lista de 12: $12 : 2 = 6$ cutii. d) Cele 6 perechi diferite plus cele 4 cu două scule de același tip: $6 + 4 = 10$ cutii. Verificare: $16 = 12 + 4$ , iar $10 = 6 + 4$ .

Așa vine la Bac M3

Din cele 83 de probe oficiale 2013–2026, indexul cerințelor nu reține nicio cerință care să ceară o diagramă arborescentă. Programa pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) numește la metode de numărare doar permutările, aranjamentele, combinările și numărul tuturor submulțimilor unei mulțimi cu $n$ elemente. Lecția nu are deci cerințe reale de citat. Tema reapare în programa Bacalaureatului din 2030, la unitatea «X.2. Metode de numărare» din MAT_P3–MAT_P6.

Greșeli care costă puncte

Înmulțești toate numerele din tabel, fără să ții seama de reguli → cauți în listă o rezervare care nu se vinde, ca apartamentul fără masă.
Înmulțești în interiorul unei bucăți, deși și ea are noduri cu numere diferite de ramuri: la cele 14 panouri scrii $2 \cdot 2 = 4$ configurații în loc de 3 → scrii lângă fiecare nod câte ramuri pleacă din el; dacă pe un nivel al bucății apar numere diferite, o tai din nou.
Alegi la fiecare pas varianta care pare cea mai bună și crezi că ai găsit minimul → numeri toate frunzele: din același punct pleacă traseul B–C–A, de 45,2 km, și traseul B–A–C, de 43,0 km.
Compari puteri scrise în unități diferite, 4300 W cu 5 kW, și crezi că 10 panouri depășesc invertorul de 5 kW → treci totul în kilowați înainte de comparare: 4,3 kW este sub 5 kW.
Pui fiecare motor cu fiecare reductor, fără să compari puterea lui cu limita reductorului, și numeri 12 perechi în loc de 9 → scrii, pentru fiecare reductor, motoarele pe care le admite, 2, 3 și 4, și le aduni.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru trunchiul comun, filiera tehnologică (OMEC 6930/2025, Anexa 3), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și la clasa a X-a din 2027–2028. Elevii intrați în clasa a IX-a din 2026–2027 încoace dau Bacalaureatul din 2030 încolo, unde matematica este una dintre disciplinele la alegere (OMEC 4138/2026), pe programa de examen MAT_P3, MAT_P4, MAT_P5 sau MAT_P6, după profil și domeniu (OMEC 5077/2026). Elevii intrați în clasa a IX-a în 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026 sunt pe programele vechi și dau Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 2027, 2028 și 2029 (programa de examen OMEN 4430/2014); construirea diagramelor arborescente de numărare nu se cere la acel examen, fiindcă programa de examen din 2014 nu o conține. Tema intră în programa Bacalaureatului din 2030, în unitatea «X.2. Metode de numărare» din MAT_P3–MAT_P6.

Întrebări frecvente

Apar diagramele arborescente în programa Bacalaureatului din 2030?

Da, în unitatea X.2, Metode de numărare, din MAT_P3–MAT_P6 (OMEC 5077/2026, Anexele 4.3–4.6). Subiectele pentru 2030 nu există încă, deci lecția nu spune nimic despre forma cerințelor. Ea te învață să numeri variantele oricărei situații cu un desen pe care îl poți verifica.

Cum folosește programul de rezervări arborele pensiunii?

La fiecare pas, programul arată clientului doar ramurile permise din nodul ales. După „apartament” apar numai micul dejun și demipensiunea, deci clientul nu poate ajunge la „apartament fără masă”. Cele 14 frunze sunt exact rezervările pe care le poate face.

Ce se întâmplă cu lista dacă, în sezon, pensiunea scoate varianta „fără masă”?

Dispar ramurile „fără masă” de la dublă și de la triplă: dubla rămâne cu două mese, tripla cu una, apartamentul cu două. Cu transferul, lista are $(2 + 1 + 2) \cdot 2 = 10$ rânduri, în loc de 14, deci recepționera tipărește o listă mai scurtă de sezon.

Câte trasee ar avea dubla dacă ar livra la șase service-uri?

Primul se alege în 6 moduri, al doilea în 5 și așa mai departe: $6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720$ de trasee. Ca la cele trei service-uri, ele se grupează câte două, dus și întors, deci au cel mult 360 de lungimi diferite, prea multe pentru o comparare de mână.

Ce se schimbă în ofertă dacă furnizorul aduce și un invertor hibrid de 6 kW?

Sub 14 panouri, invertorul de 6 kW primește și el două ramuri, cu baterie și fără baterie, deci bucata celor 14 panouri ajunge la $2 + 2 = 4$ configurații. Oferta are atunci $1 + 2 + 4 = 7$ configurații, dintre care 3 cu baterie: se adaugă o singură frunză.

Arborele arată și câte camere libere are pensiunea?

Nu. Arborele numără configurațiile care se pot vinde, nu locurile rămase. Dacă toate camerele duble sunt ocupate, cele 6 rânduri ale dublei rămân în listă, dar nu se mai pot rezerva; disponibilitatea se urmărește separat, camera cu camera.