Fie $$M = \{6, 12\}$$ și $$N = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$$, cu $$M \subseteq N$$. Care este $$M \setminus N$$?

$$\{1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11\}$$

Cum se calculează diferența a două mulțimi?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Diferența a două mulțimi

Iei mulțimea scrisă în stânga barei și scoți din ea fiecare element care se regăsește în mulțimea din dreapta; ce rămâne formează diferența. Pentru $A = {1, 2, 3, 4, 5}$ și $B = {2, 4, 6}$ obții $A ∖ B = {1, 3, 5}$ , fiindcă doar $2$ și $4$ sunt în amândouă. Elementul $6$ nu contează, pentru că nu se afla în stânga. Ordinea contează: $B ∖ A = {6}$ , un rezultat cu totul diferit.

Diferența a două mulțimi $A$ și $B$ , notată $A ∖ B$ , este mulțimea elementelor care aparțin lui $A$ și nu aparțin lui $B$ : $A ∖ B = {x ∣ x \in A ș i x \in / B}$ . Regula practică: pornești de la mulțimea din stânga barei (rezervorul) și tai din ea orice element care apare și în mulțimea din dreapta (filtrul). Diferența nu este comutativă: în general $A ∖ B \neq = B ∖ A$ , la fel cum $7 - 3 \neq = 3 - 7$ . Exemplu: dacă $A = {1, 2, 3, 4, 5}$ și $B = {2, 4, 6}$ , atunci $A ∖ B = {1, 3, 5}$ (scoatem 2 și 4, care sunt și în $B$ ), iar $B ∖ A = {6}$ (scoatem 2 și 4, rămâne 6). Cazuri speciale: dacă $A$ și $B$ sunt disjuncte, $A ∖ B = A$ ; dacă $A \subseteq B$ , atunci $A ∖ B = \emptyset$ .

De reținut

$A ∖ B$ = elementele din $A$ care nu sunt în $B$
operația nu este comutativă: $A ∖ B \neq = B ∖ A$
dacă $A \subseteq B$ , atunci $A ∖ B = \emptyset$

Greșeala tipică

Se trec în rezultat și elemente din mulțimea a doua care nu apăreau în prima; diferența nu adaugă nimic nou, ci doar îndepărtează, așa că orice element al rezultatului trebuie să vină din mulțimea din stânga.

Exerciții din această mini-lecție

Fie $A = {2, 5, 8, 11, 14}$ și $B = {5, 11, 20, 25}$ . Calculează $A ∖ B$ .
- a) ${2, 8, 14}$
- b) ${5, 11}$
- c) ${20, 25}$
- d) ${2, 5, 8, 11, 14}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) ${2, 8, 14}$

Pornim de la mulțimea $A$ (rezervorul) și verificăm fiecare element: 2 nu e în $B$ → păstrăm; 5 e în $B$ → tăiem; 8 nu e în $B$ → păstrăm; 11 e în $B$ → tăiem; 14 nu e în $B$ → păstrăm. Rămân ${2, 8, 14}$ .
Fie $M = {6, 12}$ și $N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}$ , cu $M \subseteq N$ . Care este $M ∖ N$ ?
- a) Mulțimea vidă $\emptyset$
- b) $M$
- c) $N$
- d) ${1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Mulțimea vidă $\emptyset$

Deoarece toate elementele lui $M$ (6 și 12) se găsesc și în $N$ , se taie ambele elemente și nu rămâne nimic. Acesta este cazul special $M \subseteq N \Rightarrow M ∖ N = \emptyset$ .
Fie $C = {3, 6, 9, 12, 15}$ și $D = {6, 15, 20}$ . Calculează $C ∖ D$ .
- a) ${3, 9, 12}$
- b) ${6, 15}$
- c) ${20}$
- d) ${3, 6, 9, 12, 15}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) ${3, 9, 12}$

Pornim de la mulțimea $C$ (rezervorul) și verificăm fiecare element: 3 nu e în $D$ → păstrăm; 6 e în $D$ → tăiem; 9 nu e în $D$ → păstrăm; 12 nu e în $D$ → păstrăm; 15 e în $D$ → tăiem. Rămân ${3, 9, 12}$ .

Întrebări conexe

Ce se obține când cele două mulțimi nu au niciun element comun?

Diferența rămâne chiar mulțimea din stânga, nemodificată. Dacă $A = {1, 3, 5}$ și $B = {2, 4}$ , nu ai ce tăia, deci $A ∖ B = A$ . Situația se recunoaște ușor pe diagramă: cele două cercuri nu se suprapun deloc, iar mulțimile se numesc disjuncte.

Cum se citește simbolul de diferență dintre mulțimi?

Bara oblică inversată se citește fără sau minus, deci $A ∖ B$ se rostește A fără B. Formularea ajută la înțelegerea ordinii: pornești de la ce este numit primul și îndepărtezi ce este numit al doilea, exact cum sună propoziția.

Ce legătură există între diferența mulțimilor și scăderea numerelor?

Amândouă îndepărtează ceva dintr-un întreg și nu sunt comutative. Când mulțimea din dreapta este cuprinsă în cea din stânga, numărul elementelor rămase se află chiar prin scădere: dacă $A$ are $12$ elemente și $B \subseteq A$ are $5$ , atunci diferența are $7$ elemente.

Cum folosesc diferența mulțimilor într-o problemă de numărare?

Îți dă numărul celor care fac un lucru și nu îl fac pe celălalt. Dacă $20$ de elevi merg la înot, $8$ dintre ei merg și la șah, atunci cei care fac doar înot sunt $20 - 8 = 12$ . Pe diagramă este felia din cercul înotului rămasă în afara suprapunerii.

Ce este complementara unei mulțimi față de o mulțime dată?

Este cazul special în care scazi dintr-o mulțime totală, considerată întreg. Dacă lucrezi cu cifrele de la $0$ la $9$ și mulțimea cifrelor pare, complementara ei conține cifrele impare. Se notează adesea cu o liniuță deasupra literei sau prin diferența față de mulțimea totală.

Cum verific rezultatul unei diferențe de mulțimi?

Iei pe rând elementele rezultatului și te asiguri că fiecare apare în mulțimea din stânga și lipsește din cea din dreapta. Apoi verifici că nu ai uitat pe nimeni: numărul elementelor rămase plus numărul celor tăiate trebuie să dea totalul din mulțimea de plecare.

Oamenii mai întreabă și: diferența a două mulțimi · A minus B mulțimi · ce înseamnă A fără B · cum scot elementele comune din două mulțimi