Lecția pe scurt · clasa a X-a · Distanța de la punct la dreaptă

Cum aflu fâșia liberă dintre un bazin și gard?

Calculezi distanța de la centrul bazinului la gard, cu ecuația gardului scrisă $a x + b y + c = 0$ , apoi scazi raza: fâșia liberă este $d - R$ . Exemplu: gardul $5 x + 12 y - 100 = 0$ și centrul $(2; 1)$ dau $\frac{∣5 \cdot 2 + 12 \cdot 1 - 100∣}{13} = \frac{78}{13} = 6$ m. Pentru raza de $2, 5$ m, fâșia este $6 - 2, 5 = 3, 5$ m. Distanța de $6$ m este până la centru, nu până la peretele bazinului.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a X-a → ·

Cât de departe e un punct de o dreaptă se măsoară pe perpendiculara coborâtă din punct pe dreaptă, care este și cel mai scurt drum dintre ele. Ca să afli lungimea ei, scrii mai întâi dreapta sub forma $a x + b y + c = 0$ , cu coeficienți întregi, și verifici ecuația înlocuind punctele date: membrul stâng trebuie să dea $0$ .

Apoi înlocuiești coordonatele punctului în membrul stâng, ții seama de toate semnele, iei valoarea absolută și împarți la $a^{2} + b^{2}$ . Pentru o dreaptă orizontală sau verticală nu ai nevoie de formulă: distanța este diferența dintre coordonatele care contează.

În meserii, punctul este adesea centrul unui bazin, al unei piscine sau al unui rezervor. Peretele este la distanța $R$ de centru, deci fâșia liberă până la gard este $d - R$ . O cerință de felul „cel puțin $s$ ” se scrie $d - R \geq s$ , iar egalitatea este permisă.

Rezultatul rămâne în unitatea planului, așa că îl convertești înainte de a-l compara cu o limită dată în alte unități. Rotunjești abia la sfârșit. Pentru control, afli piciorul perpendicularei sau construiești un triunghi cu baza pe dreaptă și vârful în punctul dat, apoi împarți dublul ariei la lungimea bazei.

De reținut

distanța: valoarea absolută din $a x_{0} + b y_{0} + c$ , împărțită la $a^{2} + b^{2}$ , cu dreapta scrisă $a x + b y + c = 0$
fâșia liberă dintre un cerc și dreaptă este $d - R$
la $x = k$ distanța este $∣ x_{0} - k ∣$ , iar la $y = h$ este $∣ y_{0} - h ∣$

Greșeala tipică

Se compară cu limita distanța până la centrul bazinului, nu fâșia dintre perete și gard: pentru un centru la $6$ m de gard și raza de $2, 5$ m, fâșia este $6 - 2, 5 = 3, 5$ m, nu $6$ m. Distanța se micșorează cu raza.

Exerciții din această mini-lecție

Pe o placă de tablă, în milimetri, muchia dreaptă a plăcii trece prin punctele $G_{1} (5; 2)$ și $G_{2} (17; 7)$ . Care este ecuația muchiei, scrisă sub forma $a x + b y + c = 0$ ?
- a) $12 x - 5 y - 50 = 0$
- b) $5 x + 12 y - 49 = 0$
- c) $5 x - 12 y - 1 = 0$
- d) $5 x - 12 y + 1 = 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $5 x - 12 y - 1 = 0$

Panta este $\frac{7 - 2}{17 - 5} = \frac{5}{12}$ , deci $y - 2 = \frac{5}{12} (x - 5)$ , adică $5 x - 12 y - 1 = 0$ . Verifici cu ambele puncte: $5 \cdot 5 - 12 \cdot 2 - 1 = 0$ și $5 \cdot 17 - 12 \cdot 7 - 1 = 0$ . Ecuația $12 x - 5 y - 50 = 0$ trece prin $G_{1}$ , dar are panta inversată, iar cea cu $+ 12 y$ trece tot prin $G_{1}$ și schimbă semnul lui $b$ . Ecuația cu $+ 1$ nu trece prin niciunul dintre puncte.
Pe planul unui tablou electric, în centimetri, un cablu urmează dreapta $8 x + 6 y - 35 = 0$ , iar un contor este în $P (7; 9)$ . Cât este distanța de la contor la cablu, în centimetri?
- a) $7, 5$
- b) $75$
- c) $0, 75$
- d) $14, 5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $7, 5$

Numărătorul este $∣8 \cdot 7 + 6 \cdot 9 - 35∣ = 75$ , iar numitorul $8^{2} + 6^{2} = 10$ , deci distanța este $\frac{75}{10} = 7, 5$ cm. Varianta $75$ uită împărțirea la radical, iar $0, 75$ împarte la $100$ , adică la $a^{2} + b^{2}$ fără rădăcină. Varianta $14, 5$ pune greșit semnul lui $c$ în numărător.
Pe planul unui șantier, în metri, gardul rectiliniu are ecuația $5 x - 12 y + 20 = 0$ . O fundație circulară de beton, cu raza de $3, 5$ m, are centrul în $P (29; 4)$ . Cât este fâșia liberă dintre fundație și gard, în metri?
- a) $9$
- b) $5, 5$
- c) $12, 5$
- d) $117$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $5, 5$

Distanța de la centru la gard este $\frac{∣5 \cdot 29 - 12 \cdot 4 + 20∣}{5 ^{2} + 1 2 ^{2}} = \frac{117}{13} = 9$ m, iar fâșia se măsoară de la perete, deci este $9 - 3, 5 = 5, 5$ m. Varianta $9$ este distanța până la centru, $12, 5$ adaugă raza în loc să o scadă, iar $117$ uită împărțirea la $13$ .

Întrebări conexe

Cum aflu raza maximă a unui bazin lângă un gard?

Scazi fâșia liberă cerută din distanța de la centru la gard. Pentru gardul $12 x + 5 y - 123 = 0$ și centrul $(4; 2)$ , distanța este $\frac{∣12 \cdot 4 + 5 \cdot 2 - 123∣}{13} = \frac{65}{13} = 5$ m. Cu fâșia de $1, 3$ m, raza maximă este $5 - 1, 3 = 3, 7$ m.

Cum aflu distanța până la un gard paralel cu o axă?

Nu ai nevoie de formulă: la gardul $x = 14$ , distanța de la punctul $(9; 6)$ este $∣9 - 14∣ = 5$ m, iar la gardul $y = 2$ este $∣6 - 2∣ = 4$ m. Formula dă același lucru: $x - 14 = 0$ are $a = 1$ și $b = 0$ , deci $\frac{∣9 - 14∣}{1} = 5$ m.

Ce înseamnă o fâșie liberă negativă?

Înseamnă că peretele bazinului trece peste gard. Dacă distanța de la centru la gard este $4, 2$ m, iar raza este $5$ m, fâșia este $4, 2 - 5 = - 0, 8$ m: bazinul depășește gardul cu $0, 8$ m, deci poziția se respinge fără alt calcul.

Cum compar distanța de pe plan cu o limită în centimetri?

Convertești distanța în unitatea limitei. Pe un plan cu unitatea de $1$ dm, dreapta $7 x - 24 y + 62 = 0$ și punctul $(33; 7)$ dau $\frac{∣7 \cdot 33 - 24 \cdot 7 + 62∣}{25} = \frac{125}{25} = 5$ dm, adică $50$ cm. Limita de $40$ cm este respectată.

Ce arată semnul numărătorului din formula distanței?

Arată de ce parte a dreptei stă punctul, înainte de valoarea absolută. Pentru dreapta $3 x + 4 y - 29 = 0$ , punctul $(2; 3)$ dă $- 11$ , iar punctul $(7; 6)$ dă $16$ : sunt de părți diferite, la $\frac{11}{5} = 2, 2$ și la $\frac{16}{5} = 3, 2$ de dreaptă.

Oamenii mai întreabă și: fâșia liberă dintre un rezervor circular și un gard · distanța de la peretele unui bazin la gard · cât de aproape de gard poate fi un bazin circular · centrul bazinului la distanță de gard cu fâșie liberă