Distanța punct–dreaptă: formula, tehnologic

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a X-a → ·

Un bazin rotund se așază într-o stație de epurare la o depărtare de gard, iar depărtarea se calculează, nu se apreciază din ochi. Drumul cel mai scurt de la un punct la o dreaptă cade în unghi drept pe ea, iar lungimea lui iese dintr-o formulă care cere ecuația dreptei și coordonatele punctului. Aceeași formulă lucrează la decantoare, conducte îngropate, grajduri și benzi de producție; o înveți în clasa a X-a, la filiera tehnologică. Programa de examen a Bacalaureatului M3 (M_tehnologic) trece la clasa a X-a «calcularea unor distanțe».

Situația de pornire

Comuna extinde stația de epurare cu un decantor circular, un bazin în care apele uzate stau liniștite și se depune nămolul. Bazinul are raza de 9 m. Caietul de sarcini cere o fâșie liberă de cel puțin 6 m între peretele bazinului și gardul stației, ca autocisterna care ridică nămolul să poată trece (valoare din exemplu). Topograful a măsurat pe plan, în metri, două puncte ale gardului rectiliniu, $G_{1}$ și $G_{2}$ , iar proiectantul propune trei poziții pentru centrul bazinului.

Punctul	x (m)	y (m)
$G_{1}$ , pe gard	8	9
$G_{2}$ , pe gard	56	23
$P_{1}$ , centru propus	27	31
$P_{2}$ , centru propus	47	36
$P_{3}$ , centru propus	39	32

Întrebare: la care dintre cele trei poziții rămâne între bazin și gard o fâșie de cel puțin 6 m și ce lățime are fâșia la fiecare?

De la situație la model

Pentru premise, deschide traseul clasei a X-a, filiera tehnologică. Gardul devine o dreaptă, centrul bazinului un punct, iar peretele bazinului un cerc în jurul lui:

În situație	În matematică
gardul stației, prin $G_{1}$ și $G_{2}$	dreapta $g$ , cu ecuația $a x + b y + c = 0$
centrul bazinului	punctul $P (x_{0}; y_{0})$
cel mai scurt drum de la centru la gard	segmentul perpendicular pe $g$ , de lungime $d (P, g)$
peretele bazinului	cercul cu centrul în $P$ și raza $R = 9$ m
fâșia liberă dintre perete și gard	$d (P, g) - R$
condiția din caietul de sarcini	$d (P, g) - R \geq 6$

Distanța punct–dreaptă este lungimea perpendicularei duse din punct pe dreaptă. Orice alt drum din punct până pe dreaptă e mai lung, ca la înălțimea unui triunghi, iar fâșia liberă se măsoară pe același segment, de la perete la gard.

Cum aduci ecuația dreptei la forma $a x + b y + c = 0$ ?

Din $G_{1} (8; 9)$ și $G_{2} (56; 23)$ afli întâi panta, $\frac{23 - 9}{56 - 8} = \frac{7}{24}$ , apoi scrii $y - 9 = \frac{7}{24} (x - 8)$ , ca în lecția despre ecuația dreptei. Înmulțești cu numitorul și muți toți termenii în stânga: $24 y - 216 = 7 x - 56$ devine $7 x - 24 y + 160 = 0$ . Coeficienții sunt $a = 7$ , $b = - 24$ și $c = 160$ , cu semnele lor. Verifică imediat ecuația: cu coordonatele lui $G_{1}$ și ale lui $G_{2}$ , membrul stâng trebuie să dea 0. O dreaptă orizontală, $y = h$ , are $a = 0$ și $b = 1$ , iar una verticală, $x = k$ , are $a = 1$ și $b = 0$ .

Ce spune formula?

Distanța de la $P (x_{0}; y_{0})$ la dreapta $a x + b y + c = 0$ se calculează cu $d (P, g) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{D}, D = a^{2} + b^{2}$ . Numărătorul îl obții înlocuind coordonatele centrului în membrul stâng al ecuației gardului: un punct de pe gard dă 0, iar cu cât centrul stă mai departe de gard, cu atât numărul se depărtează mai mult de 0. Împărțirea la $D$ îl transformă în metri: la gardul din situație $D = 25$ , deci fiecare 25 de unități ale numărătorului înseamnă un metru de depărtare. Modulul păstrează distanța pozitivă, oricare ar fi partea gardului pe care stă centrul. Formula se dă fără demonstrație; Verificarea exemplului 1 o confirmă pe drumul lung, prin piciorul perpendicularei.

Ce faci când ai un bazin, nu un punct?

Peretele bazinului e la distanța $R$ de centru. Pe perpendiculara din $P$ pe gard, fâșia liberă are lungimea $d (P, g) - R$ . Condiția din caietul de sarcini se scrie $d (P, g) - R \geq 6$ , adică $d (P, g) \geq 15$ . La egalitate, fâșia are exact 6 m, iar «cel puțin 6 m» este îndeplinit. Dacă diferența iese negativă, peretele bazinului ar trece peste gard, iar poziția se respinge fără alt calcul.

Metoda pas cu pas

Scrie dreapta sub forma $a x + b y + c = 0$ , cu coeficienți întregi. Din două puncte afli panta și scrii ecuația prin punct și pantă; din $y = m x + n$ înmulțești cu numitorul și muți totul în stânga; la $x = k$ sau $y = h$ citești direct. Notează $a$ , $b$ și $c$ cu semnele lor. La gardul din situație ai $a = 7$ , $b = - 24$ și $c = 160$ .
Înlocuiește coordonatele punctului în $a x + b y + c$ și ia valoarea absolută. Ține semnele: un minus uitat sau o paranteză lipsă la un număr negativ schimbă numărătorul.
Calculează $a^{2} + b^{2}$ și împarte numărătorul la el. Dacă rădăcina iese exactă, ca $625 = 25$ , împărțirea e simplă; dacă nu, păstreaz-o în rezultat și rotunjește abia la sfârșit, cu precizia meseriei, de pildă la centimetru pentru un culoar.
Scrie rezultatul cu unitatea și citește-l în meserie: la un bazin scazi raza, la o zonă de siguranță compari cu limita, iar dacă limita e dată în altă unitate decât planul, treci rezultatul în unitatea limitei și abia apoi compari.
Verifică pe alt drum: afli piciorul perpendicularei, intersectând dreapta cu perpendiculara din punct, și calculezi distanța până la el; sau afli aria triunghiului format de punct și de două puncte ale dreptei și împarți dublul ei la lungimea bazei. Un punct aflat pe dreaptă trebuie să dea numărătorul 0.

Primul pas este cel în care se greșește cel mai des, de aceea merită un control înainte de a merge mai departe: înlocuiește în ecuația scrisă cele două puncte date, iar dacă unul dă altceva decât 0, ai greșit un semn sau un coeficient, ca la panta pârâului din exemplul 4.

Fișa de buzunar

$d (P, g) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{D}, D = a^{2} + b^{2}$

$d (P, g) - R \geq s ⟺ d (P, g) \geq R + s$

Condiții de aplicare: dreapta are toți termenii în membrul stâng, iar $a$ și $b$ nu sunt amândoi zero. La $x = k$ distanța este $∣ x_{0} - k ∣$ , iar la $y = h$ este $∣ y_{0} - h ∣$ . Verificare rapidă: un punct al dreptei dă numărătorul 0, deci distanța 0, iar rezultatul nu depășește niciodată distanța până la un alt punct al dreptei.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Decantorul și gardul stației

Domeniu: mediu.

Enunț. Reia stația de epurare din situația de pornire: gardul trece prin $G_{1} (8; 9)$ și $G_{2} (56; 23)$ , bazinul are raza de 9 m, iar centrele propuse sunt $P_{1} (27; 31)$ , $P_{2} (47; 36)$ și $P_{3} (39; 32)$ , în metri. a) Scrie ecuația gardului sub forma $a x + b y + c = 0$ . b) Calculează distanța de la fiecare centru la gard. c) Ce lățime are fâșia liberă la fiecare poziție și care poziții respectă fâșia de 6 m?

Rezolvare. a) Ca în model, gardul are ecuația $7 x - 24 y + 160 = 0$ , iar $7^{2} + (- 24)^{2} = 625 = 25$ . b) $d (P_{1}, g) = \frac{∣7 \cdot 27 - 24 \cdot 31 + 160∣}{25} = \frac{∣ - 395∣}{25} = 15, 8$ m; $d (P_{2}, g) = \frac{∣7 \cdot 47 - 24 \cdot 36 + 160∣}{25} = \frac{∣ - 375∣}{25} = 15$ m; $d (P_{3}, g) = \frac{∣7 \cdot 39 - 24 \cdot 32 + 160∣}{25} = \frac{∣ - 335∣}{25} = 13, 4$ m. c) Fâșia liberă este $15, 8 - 9 = 6, 8$ m, $15 - 9 = 6$ m și $13, 4 - 9 = 4, 4$ m. Respectă condiția $P_{1}$ și $P_{2}$ (la $P_{2}$ , cu exact 6 m, «cel puțin» este îndeplinit); $P_{3}$ nu o respectă.

Capcană. Cine compară cu 6 m distanța până la centru, nu fâșia, acceptă toate cele trei poziții, fiindcă 15,8, 15 și 13,4 sunt peste 6. Ar accepta și $P_{3}$ , la care peretele bazinului ajunge la 4,4 m de gard. Din distanța la centru trebuie scăzută raza.

Verificare. Pe alt drum, pentru $P_{2}$ : perpendiculara din $P_{2}$ pe gard are panta $- \frac{24}{7}$ , deci $y = - \frac{24}{7} x + \frac{1380}{7}$ . Din $\frac{7}{24} x + \frac{20}{3} = - \frac{24}{7} x + \frac{1380}{7}$ rezultă $625 x = 32000$ , deci $x = 51, 2$ și $y = 21, 6$ . Piciorul $F (51, 2; 21, 6)$ verifică ecuația gardului, $7 \cdot 51, 2 - 24 \cdot 21, 6 + 160 = 0$ , și stă între $G_{1}$ și $G_{2}$ . Distanța $P_{2} F = (51, 2 - 47)^{2} + (21, 6 - 36)^{2} = 17, 64 + 207, 36 = 225 = 15$ m, aceeași ca prin formulă.

Exemplul 2 — Tractorul peste o conductă de gaze

Domeniu: agricol.

Enunț. Pe un câmp se face o afânare adâncă, cu un subsolier tras de tractor. Pe planul câmpului, în metri, conducta de gaze îngropată urmează dreapta $y = \frac{3}{4} x - 12$ . Tractorul pornește din $S (8; 24)$ și merge drept, cu viteza constantă de $(2; 1)$ metri pe secundă, deci după $t$ secunde e în $(8 + 2 t; 24 + t)$ . Regula fermei: la mai puțin de 6 m de conductă, subsolierul se ridică. a) Ce distanță separă tractorul de conductă după $t$ secunde? b) Între ce momente trebuie ridicat subsolierul? c) Ce drum face tractorul cu subsolierul ridicat?

Rezolvare. a) Conducta are ecuația $3 x - 4 y - 48 = 0$ (am înmulțit cu 4), iar $3^{2} + (- 4)^{2} = 5$ . Distanța este $\frac{∣3 ( 8 + 2 t ) - 4 ( 24 + t ) - 48∣}{5} = \frac{∣2 t - 120∣}{5}$ . b) Cerem $\frac{∣2 t - 120∣}{5} < 6$ , adică $∣2 t - 120∣ < 30$ , deci $45 < t < 75$ . Subsolierul se ridică între secunda 45 și secunda 75, pe 30 de secunde. c) Viteza are lungimea $2^{2} + 1^{2} = 5$ m/s, iar în 30 de secunde tractorul face $305 \approx 67, 1$ m.

Capcană. Cine uită să împartă la 5 rezolvă $∣2 t - 120∣ < 6$ și obține $57 < t < 63$ : o fereastră de 6 secunde, nu de 30. Subsolierul ar fi ridicat cu 12 secunde prea târziu, adică după ce tractorul a trecut deja de 6 m de conductă, pe aproape 27 m.

Verificare. Pe alt drum, prin înlocuire: la $t = 45$ tractorul e în $(98; 69)$ , la $t = 75$ în $(158; 99)$ , iar distanțele lor la conductă sunt $\frac{∣3 \cdot 98 - 4 \cdot 69 - 48∣}{5} = \frac{30}{5} = 6$ și $\frac{∣3 \cdot 158 - 4 \cdot 99 - 48∣}{5} = \frac{30}{5} = 6$ . La $t = 60$ tractorul e în $(128; 84)$ , pe conductă: $3 \cdot 128 - 4 \cdot 84 - 48 = 0$ .

Exemplul 3 — Malaxorul și banda de ambalare

Domeniu: alimentar.

Enunț. La o brutărie, planul halei are unitatea de 1 dm. Marginea benzii de ambalare dinspre utilaje trece prin $B_{1} (12; 11)$ și $B_{2} (61; 39)$ . Colțul malaxorului cel mai apropiat de bandă stă în $M (26; 32)$ , iar al cuptorului în $C (27; 43)$ . Culoarul liber dintre bandă și un utilaj trebuie să fie de cel puțin 1,5 m (valoare din exemplu). a) Calculează distanța de la fiecare colț la marginea benzii, în decimetri și în metri, rotunjită la centimetru. b) Care utilaj respectă culoarul, iar la celălalt cât lipsește?

Rezolvare. a) Panta benzii este $\frac{39 - 11}{61 - 12} = \frac{4}{7}$ , deci $y - 11 = \frac{4}{7} (x - 12)$ , adică $4 x - 7 y + 29 = 0$ , cu $4^{2} + 7^{2} = 65 \approx 8, 06$ . Pentru malaxor: $\frac{∣4 \cdot 26 - 7 \cdot 32 + 29∣}{65} = \frac{91}{65} \approx 11, 29$ dm, adică $1, 13$ m. Pentru cuptor: $\frac{∣4 \cdot 27 - 7 \cdot 43 + 29∣}{65} = \frac{164}{65} \approx 20, 34$ dm, adică $2, 03$ m. b) Cuptorul respectă culoarul, $2, 03 \geq 1, 5$ . Malaxorul nu: lipsesc $1, 5 - 1, 13 = 0, 37$ m, adică 37 cm.

Capcană. Cine compară direct 11,29 cu 1,5 ia decimetri drept metri și crede că malaxorul e la mai bine de 11 m de bandă. Rezultatul iese în unitatea planului, decimetri, și se convertește înainte de comparare: 11,29 dm înseamnă 1,13 m.

Verificare. Pe alt drum, pentru malaxor: perpendiculara din $M$ are panta $- \frac{7}{4}$ și taie banda în $F (31, 6; 22, 2)$ , care verifică ecuația benzii, $4 \cdot 31, 6 - 7 \cdot 22, 2 + 29 = 0$ . Atunci $M F = (31, 6 - 26)^{2} + (22, 2 - 32)^{2} = 31, 36 + 96, 04 = 127, 4 \approx 11, 29$ dm, aceeași valoare. Piciorul stă între $B_{1}$ și $B_{2}$ .

Exemplul 4 — Problema inversă: cât de aproape de pârâu au ajuns adăposturile

Domeniu: zootehnie.

Enunț. O fermă are cinci adăposturi pentru animale. Pe porțiunea fermei pârâul e regularizat și curge drept; pe plan, în metri, el trece prin $K_{1} (27; 97)$ și $K_{2} (75; 61)$ , iar adăposturile sunt în $A_{1} (28; 44)$ , $A_{2} (41; 41)$ , $A_{3} (39; 49)$ , $A_{4} (26; 39)$ și $A_{5} (44; 36)$ . Autorizația cere ca niciun adăpost să nu fie la mai puțin de 30 m de pârâu (valoare din exemplu). Inspectorul de mediu nu notează cinci distanțe, ci una singură: depărtarea adăpostului celui mai apropiat, adică distanța minimă asigurată de toată ferma. Cât este ea și ce rezervă lasă față de limita din autorizație?

Rezolvare. Panta pârâului este $\frac{61 - 97}{75 - 27} = - \frac{3}{4}$ , deci $y - 97 = - \frac{3}{4} (x - 27)$ , adică $3 x + 4 y - 469 = 0$ , cu $3^{2} + 4^{2} = 5$ . Distanțele sunt $\frac{∣3 \cdot 28 + 4 \cdot 44 - 469∣}{5} = 41, 8$ m pentru $A_{1}$ , $\frac{∣3 \cdot 41 + 4 \cdot 41 - 469∣}{5} = 36, 4$ m pentru $A_{2}$ , $\frac{∣3 \cdot 39 + 4 \cdot 49 - 469∣}{5} = 31, 2$ m pentru $A_{3}$ , $\frac{∣3 \cdot 26 + 4 \cdot 39 - 469∣}{5} = 47$ m pentru $A_{4}$ și $\frac{∣3 \cdot 44 + 4 \cdot 36 - 469∣}{5} = 38, 6$ m pentru $A_{5}$ . Cea mai mică este 31,2 m, la $A_{3}$ . Cum $31, 2 \geq 30$ , condiția este respectată, cu o rezervă de $31, 2 - 30 = 1, 2$ m.

Capcană. Cine scrie panta pârâului $\frac{3}{4}$ , fără minus, deși pârâul coboară de la $K_{1}$ la $K_{2}$ , obține dreapta $3 x - 4 y + 307 = 0$ , pe care $K_{2}$ nu stă: $3 \cdot 75 - 4 \cdot 61 + 307 = 288$ . Cu ea, cea mai mică distanță ar ieși 43 m, la $A_{1}$ , iar ferma ar părea că are 13 m de rezervă. Controlul din pasul 1, cu ambele puncte ale pârâului, prinde greșeala înainte de orice distanță.

Verificare. Pe alt drum, pentru $A_{3}$ , prin arie: triunghiul $K_{1} K_{2} A_{3}$ stă într-un pătrat de $75 - 27 = 48$ m pe $97 - 49 = 48$ m, adică 2304 m², iar în afara lui rămân trei triunghiuri dreptunghice, $\frac{48 \cdot 36}{2} = 864$ m², $\frac{36 \cdot 12}{2} = 216$ m² și $\frac{12 \cdot 48}{2} = 288$ m², deci triunghiul are $2304 - 864 - 216 - 288 = 936$ m². Cum $K_{1} K_{2} = 4 8^{2} + 3 6^{2} = 60$ m, distanța este $\frac{2 \cdot 936}{60} = 31, 2$ m.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Calculează distanța de la $P (7; 6)$ la dreapta $8 x + 15 y - 61 = 0$ .

2. Află distanța de la $P (13; - 2)$ la dreapta $y = \frac{5}{12} x + \frac{7}{3}$ .

3. Calculează distanța de la $P (- 3; 8)$ la dreapta $y = 6 x - 19$ , rotunjită la sutimi.

4. Calculează distanța de la $P (- 5; 12)$ la dreptele $x = 9$ și $y = - 4$ , apoi verifică rezultatele cu formula.

Nivelul 2 — situații

5. (Problemă aplicată.) La o pensiune turistică, piscina circulară are centrul în $P (20; 31)$ , iar gardul trece prin $F_{1} (14; 22)$ și $F_{2} (62; 42)$ , în metri. Între peretele piscinei și gard trebuie să rămână cel puțin 1,5 m. Ce rază maximă poate avea piscina?

6. (Problemă aplicată.) La un service auto, pe șasiul unei remorci lovite, un fir întins între $R_{1} (150; 420)$ și $R_{2} (6150; 2420)$ , în milimetri, e dreapta de referință. Patru repere, $M_{1} (1660; 920)$ , $M_{2} (3140; 1420)$ , $M_{3} (4540; 1890)$ și $M_{4} (5460; 2190)$ , trebuie să fie la cel mult 5 mm de fir (valoare din exemplu). a) Scrie ecuația firului. b) Află abaterea fiecărui reper, la zecimi de milimetru. c) Care repere sunt în toleranță?

7. (Problemă aplicată.) Un geam triunghiular pentru frontonul unei verande are vârfurile, în centimetri, $A (14; 9)$ , $B (94; 27)$ și $C (40; 62)$ . Sticlarul îl pune în ladă cu latura cea mai lungă de-a lungul ei, cu câte 2 cm de polistiren pe margini. a) Care latură e cea mai lungă? b) Scrie ecuația ei. c) Ce lățime interioară trebuie să aibă lada? d) Încape într-o ladă lată de 48 cm și lungă de 95 cm?

8. (Problemă aplicată.) Într-o fabrică de vopsea, conducta de abur $A$ trece prin $(4; 10)$ și $(12; 4)$ , iar conducta $B$ prin $(6; 2)$ și $(11; 14)$ , în metri. Un tablou electric de lângă recipientele cu solvent trebuie să stea la cel puțin 1,2 m de fiecare conductă (valoare din exemplu). Care dintre pozițiile $T_{1} (6; 7)$ , $T_{2} (7; 6)$ , $T_{3} (9; 4)$ și $T_{4} (7; 7)$ sunt bune?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) Lotul de răsaduri al unei sere este triunghiul $A B C$ , cu vârfurile $A (33; 57)$ , $B (63; 41)$ și $C (39; 64)$ , în metri. a) Scrie ecuația dreptei $A B$ . b) Calculează distanța de la $C$ la $A B$ și aria lotului. c) Află centrul de greutate $G$ și arată că $d (G, A B) = d (C, A B) : 3$ .

10. (Sinteză.) Un teren triunghiular are vârfurile $P (7; 6)$ , $Q (31; 6)$ și $R (7; 38)$ , în metri, cu unghi drept în $P$ . În el se sapă cel mai mare iaz circular care încape. a) Arată că $I (15; 14)$ e egal depărtat de cele trei laturi și află raza iazului, cu centrul în $I$ . b) Cât de departe de vârful $P$ ajunge peretele iazului?

11. (Sinteză.) Marginile unei parcele pornesc din colțul $K (100; 60)$ spre $E (300; 210)$ și spre $F (0; 300)$ , în metri, iar fântâna $W (120; 150)$ e în parcelă. Un pivot de irigat udă un cerc de 140 m rază, care trebuie să atingă ambele margini fără să le depășească. a) Scrie ecuațiile dreptelor $K E$ și $K F$ . b) Ce semn dă fiecare ecuație în $W$ ? c) Află centrul $S$ al pivotului.

12. (Sinteză.) Malurile drepte ale unui canal de desecare trec unul prin $A (6; 4)$ și $B (76; 28)$ , celălalt prin $C (65; 20)$ și $D (100; 32)$ , în metri. a) Arată că malurile sunt paralele. b) Cât de departe e $A$ de celălalt mal? Aceasta e lățimea canalului, adică lungimea celei mai scurte pasarele. c) Drumul de câmp vine pe verticala $x = 70$ . Ce lungime ar avea o pasarelă în prelungirea drumului?

Răspunsuri și verificări

1. $\frac{∣8 \cdot 7 + 15 \cdot 6 - 61∣}{8 ^{2} + 1 5 ^{2}} = \frac{85}{17} = 5$ . Verificare: $U (2; 3)$ și $V (17; - 5)$ sunt pe dreaptă, iar aria lui $P U V$ e $165 - 7, 5 - 55 - 60 = 42, 5$ , deci $2 \cdot 42, 5 : U V = 85 : 17 = 5$ .

2. Din $12 y = 5 x + 28$ rezultă $5 x - 12 y + 28 = 0$ , iar distanța este $\frac{∣5 \cdot 13 - 12 \cdot ( - 2 ) + 28∣}{5 ^{2} + 1 2 ^{2}} = \frac{117}{13} = 9$ . Verificare: $U (4; 4)$ și $V (16; 9)$ sunt pe dreaptă, iar cu Pitagora $P U^{2} - 81 + P V^{2} - 81 = 6 + 7 = 13 = U V$ .

3. Dreapta este $6 x - y - 19 = 0$ , deci $\frac{∣6 \cdot ( - 3 ) - 8 - 19∣}{6 ^{2} + 1} = \frac{45}{37} \approx 7, 40$ . Verificare: $U (3; - 1)$ și $V (4; 5)$ sunt pe dreaptă, iar aria lui $P U V$ e $63 - 27 - 3 - 10, 5 = 22, 5$ , deci $2 \cdot 22, 5 : U V = 45 : 37 \approx 7, 40$ .

4. Pentru $x = 9$ ( $x - 9 = 0$ ): $\frac{∣ - 5 - 9∣}{1} = 14$ . Pentru $y = - 4$ ( $y + 4 = 0$ ): $\frac{∣12 + 4∣}{1} = 16$ . Verificare: diferențele $∣ - 5 - 9∣$ și $∣12 - (- 4) ∣$ dau aceleași valori.

5. Gardul are panta $\frac{42 - 22}{62 - 14} = \frac{5}{12}$ și ecuația $5 x - 12 y + 194 = 0$ . Distanța de la centru este $\frac{∣5 \cdot 20 - 12 \cdot 31 + 194∣}{13} = \frac{78}{13} = 6$ m. Raza maximă este $6 - 1, 5 = 4, 5$ m. Verificare: cu Pitagora, $P F_{1}^{2} - 36 + P F_{2}^{2} - 36 = 81 + 1849 = 9 + 43 = 52 = F_{1} F_{2}$ .

6. a) Panta firului este $\frac{2420 - 420}{6150 - 150} = \frac{1}{3}$ , deci $x - 3 y + 1110 = 0$ . b) Abaterea este $\frac{∣ x - 3 y + 1110∣}{10}$ mm: $M_{1}$ dă $\frac{10}{10} \approx 3, 2$ mm; $M_{2}$ dă tot $3, 2$ mm; $M_{3}$ dă $\frac{20}{10} \approx 6, 3$ mm; $M_{4}$ stă pe fir. c) În toleranță sunt $M_{1}$ , $M_{2}$ și $M_{4}$ ; $M_{3}$ depășește 5 mm. Verificare: perpendiculara din $M_{1}$ , de pantă $- 3$ , taie firul în $(1659; 923)$ , la $1^{2} + 3^{2} \approx 3, 2$ mm.

7. a) $A B = 8 0^{2} + 1 8^{2} = 82$ cm, iar $A C \approx 59, 0$ cm și $B C \approx 64, 4$ cm. b) Panta lui $A B$ este $\frac{18}{80} = \frac{9}{40}$ , deci $9 x - 40 y + 234 = 0$ . c) Geamul ocupă pe lățime $\frac{∣9 \cdot 40 - 40 \cdot 62 + 234∣}{41} = \frac{1886}{41} = 46$ cm, iar cu polistirenul $46 + 4 = 50$ cm. d) Nu: 48 cm e sub 50 cm, deși lungimea ajunge pentru $82 + 4 = 86$ cm. Verificare: aria geamului e $4240 - 720 - 945 - 689 = 1886$ cm², iar $3772 : 82 = 46$ .

8. Conducta $A$ are panta $- \frac{3}{4}$ , deci $3 x + 4 y - 52 = 0$ ; conducta $B$ are panta $\frac{12}{5}$ , deci $12 x - 5 y - 62 = 0$ . $T_{1}$ : $\frac{6}{5} = 1, 2$ și $\frac{25}{13} \approx 1, 92$ , bună. $T_{2}$ : $\frac{7}{5} = 1, 4$ și $\frac{8}{13} \approx 0, 62$ , nu. $T_{3}$ : $\frac{9}{5} = 1, 8$ și $\frac{26}{13} = 2$ , bună. $T_{4}$ : $\frac{3}{5} = 0, 6$ și $\frac{13}{13} = 1$ , nu. Verificare: $T_{1}$ are exact 1,2 m, iar «cel puțin» admite egalitatea.

9. a) Panta lui $A B$ este $\frac{41 - 57}{63 - 33} = - \frac{8}{15}$ , deci $8 x + 15 y - 1119 = 0$ . b) $d (C, A B) = \frac{∣8 \cdot 39 + 15 \cdot 64 - 1119∣}{17} = \frac{153}{17} = 9$ m, $A B = 3 0^{2} + 1 6^{2} = 34$ m, iar aria este $\frac{34 \cdot 9}{2} = 153$ m². c) $G (45; 54)$ și $d (G, A B) = \frac{∣8 \cdot 45 + 15 \cdot 54 - 1119∣}{17} = \frac{51}{17} = 3 = \frac{9}{3}$ . Verificare: aria prin dreptunghi, $30 \cdot 23 - 240 - 276 - 21 = 153$ m².

10. a) Dreapta $QR$ este $4 x + 3 y - 142 = 0$ . Distanțele lui $I$ la $P Q$ ( $y = 6$ ), la $P R$ ( $x = 7$ ) și la $QR$ sunt $∣14 - 6∣ = 8$ , $∣15 - 7∣ = 8$ și $\frac{∣4 \cdot 15 + 3 \cdot 14 - 142∣}{5} = \frac{40}{5} = 8$ , deci raza iazului este 8 m. b) $I P = (15 - 7)^{2} + (14 - 6)^{2} = 82 \approx 11, 31$ m, iar peretele ajunge la $11, 31 - 8 \approx 3, 31$ m de $P$ . Verificare: cercul atinge catetele în $(7; 14)$ și $(15; 6)$ , la 8 m de $I$ .

11. a) $K E$ are panta $\frac{210 - 60}{300 - 100} = \frac{3}{4}$ , deci $3 x - 4 y - 60 = 0$ ; $K F$ are panta $\frac{300 - 60}{0 - 100} = - \frac{12}{5}$ , deci $12 x + 5 y - 1500 = 0$ . b) În $W$ ies $- 300$ , negativ, și $690$ , pozitiv. c) De partea fântânii: $3 x - 4 y - 60 = - 700$ și $12 x + 5 y - 1500 = 1820$ , de unde $21 y = 5880$ , $y = 280$ , $x = 160$ : $S (160; 280)$ . Verificare: $\frac{∣480 - 1120 - 60∣}{5} = 140$ m și $\frac{∣1920 + 1400 - 1500∣}{13} = 140$ m, cu semnele fântânii.

12. a) Pantele sunt egale, $\frac{28 - 4}{76 - 6} = \frac{32 - 20}{100 - 65} = \frac{12}{35}$ , iar $A$ nu e pe al doilea mal. b) Al doilea mal: $12 x - 35 y - 80 = 0$ , cu $1 2^{2} + 3 5^{2} = 37$ ; $\frac{∣12 \cdot 6 - 35 \cdot 4 - 80∣}{37} = \frac{148}{37} = 4$ m. c) Pe $x = 70$ , primul mal ( $12 x - 35 y + 68 = 0$ ) are $y = \frac{908}{35}$ , al doilea $y = \frac{760}{35}$ : pasarela are $\frac{148}{35} \approx 4, 23$ m. Verificare: capătul ei de sus e tot la $\frac{∣840 - 908 - 80∣}{37} = 4$ m de celălalt mal.

Așa vine la Bac M3

Programa de examen cuprinde distanțele din plan, dar distanța de la un punct la o dreaptă nu a apărut în probele 2013–2026. Blocul de geometrie al clasei a X-a, în programa M_tehnologic, scrie «calcularea unor distanțe și a unor arii»; formularea nu numește formula, însă distanța de la un punct la o dreaptă este una dintre distanțele din plan. Nicio cerință din indexul celor 83 de probe oficiale nu are această temă: cele care pomenesc «distanța» cer distanța dintre două puncte sau de la un punct la mijlocul unui segment.

Secțiunea nu trimite deci la nicio cerință reală și nu dă nicio cerință-model. Exercițiile 9–12, marcate (Sinteză.), leagă formula de centrul de greutate și de înălțimea din liniile importante ale triunghiului, de cercul înscris, de semnul ecuației unei drepte și de malurile paralele ale unui canal; nu copiază probe și nu prevestesc cum ar arăta o cerință. Restul blocului e în lecțiile clasei a X-a la tehnologic.

Greșeli care costă puncte

Compari cu 6 m distanța până la centrul bazinului, nu fâșia → accepți și poziția $P_{3}$ , la care peretele ajunge la 4,4 m de gard; cum o prinzi: scazi raza și verifici pe perpendiculară.
Uiți să împarți la $a^{2} + b^{2}$ → subsolierul se ridică între secundele 57 și 63, nu între 45 și 75; cum o prinzi: la limita ferestrei, distanța recalculată trebuie să dea 6 m.
Compari decimetri cu metri → malaxorul pare la 11,29 m de bandă, nu la 1,13 m; cum o prinzi: scrii unitatea la fiecare rezultat și convertești înainte de comparare.
Scrii panta pârâului fără minus, deși el coboară → cea mai mică distanță iese 43 m, la $A_{1}$ , nu 31,2 m, la $A_{3}$ ; cum o prinzi: înlocuiești în ecuație ambele puncte ale pârâului, iar $K_{2}$ dă 288 în loc de 0.

Programa și examenul

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: calcularea distanței de la un punct la o dreaptă face parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a X-a), deși programa nouă a clasei a X-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu o conține sau o conține doar în parte. În probele oficiale 2013–2026 nu a apărut încă; fiind în programă, poate fi cerută. În programa Bacalaureatului din 2030 tema reapare, parțial, în unitatea XI.3 (geometrie analitică) la profilul MAT_P3.

Întrebări frecvente

Care dintre P1 și P2 e poziția mai bună, dacă amândouă respectă fâșia? $P_{1}$ . Acolo fâșia are 6,8 m, cu 0,8 m peste cerință. La $P_{2}$ are exact 6 m: condiția e îndeplinită pe hârtie, dar o abatere de trasare de câțiva centimetri spre gard ar lăsa-o sub 6 m. De aceea proiectantul preferă poziția care păstrează o rezervă.

Cu cât trebuie mutat centrul P3 ca bazinul să respecte fâșia? La $P_{3}$ distanța este 13,4 m, iar condiția cere cel puțin 15 m. Lipsesc $15 - 13, 4 = 1, 6$ m, deci centrul se mută cu 1,6 m pe perpendiculara pe gard, în sens opus gardului. O mutare pe oblică ar cere mai mult.

Mai trece P3 dacă primăria mută gardul cu 2 m mai departe, paralel cu el? Da. Toate punctele gardului nou sunt cu 2 m mai departe de bazin, deci distanța de la $P_{3}$ crește de la 13,4 m la 15,4 m, iar fâșia devine $15, 4 - 9 = 6, 4$ m, peste cei 6 m ceruți. Gardul nou are ecuația $7 x - 24 y + 110 = 0$ : termenul liber scade cu $2 \cdot 25 = 50$ .

Cum afli dacă o poziție propusă este de partea cealaltă a gardului? După semnul numărătorului $7 x_{0} - 24 y_{0} + 160$ . Pentru $P_{1}$ , $P_{2}$ și $P_{3}$ iese negativ, deci cele trei centre sunt de aceeași parte a gardului. Un punct ca $(55; 17)$ dă $137$ , pozitiv, deci stă de partea cealaltă, la $\frac{137}{25} = 5, 48$ m de gard: modulul ascunde partea, nu o schimbă.

Ce distanțe au cerut probele de Bacalaureat M3 (M_tehnologic) din 2013–2026? Numai distanțe între două puncte: între capetele unui segment, de la un punct la mijlocul unui segment, între două mijloace sau între punctele în care un grafic taie axa. Indexul celor 83 de probe nu are nicio cerință cu distanța la o dreaptă. Formula e totuși în programa clasei a X-a, la «calcularea unor distanțe și a unor arii», deci poate fi cerută.