Câte bacterii sunt după n dublări?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Capitalizare și numărarea perioadelor

După $n$ dublări complete, numărul inițial se înmulțește cu $2^{n}$ : $N_{n} = N_{0} \cdot 2^{n}$ . Numărul $n$ se află împărțind durata la timpul unei dublări. Exemplu: o cultură de $500$ de bacterii se dublează la fiecare $20$ de minute. În $2$ ore au loc $120 : 20 = 6$ dublări, deci modelul dă $500 \cdot 2^{6} = 32000$ de bacterii. Formula este valabilă doar cât timp mediul permite creșterea neîngrădită.

La dobânda compusă, câștigul rămas în cont participă la calculul dobânzii viitoare. Pentru rata de $p %$ aferentă unei perioade, soldul este actualizat prin multiplicarea cu $1 + p /100$ . Repetarea operației de $n$ ori conduce la $C_{n} = C_{0} (1 + p /100)^{n}$ , dacă nu apar alte mișcări de bani.

Indicele indică perioade încheiate. Fotografia inițială a contului nu este o capitalizare; dintre două înregistrări îndepărtate trebuie numărate intervalele, chiar dacă lipsesc rânduri din registru. Unitatea duratei trebuie corelată cu perioada ratei.

O depunere nouă produce dobândă numai începând cu perioadele la care participă. Desenează evenimentele în ordine: capitalizare, adăugare sau retragere, apoi noua capitalizare. Pentru reconstituirea unui sold anterior fără alte operații, împarte la factorul pozitiv.

La populații, regula multiplicativă reprezintă o ipoteză pentru intervalul declarat. Creșterea netă include efectul tuturor schimbărilor relevante, nu numai nașterile. O estimare fracționară nu este o numărătoare de indivizi: păstrează valoarea modelului și menționează separat rotunjirea finală. Verifică pozitivitatea, momentul observației și sensul rezultatului înainte să îl interpretezi.

De reținut

după $n$ perioade: $N_{n} = N_{0} \cdot q^{n}$ (pentru dublare, $q = 2$ )
numărul perioadelor este durata împărțită la lungimea unei perioade
dobânda compusă: $C_{n} = C_{0} (1 + \frac{p}{100})^{n}$

Greșeala tipică

Se numără dublările după ore, nu după perioada modelului; la dublare la $20$ de minute, în $2$ ore au loc $6$ dublări, nu $2$ .

Exerciții din această mini-lecție

Un capital de $2800$ lei este capitalizat o dată, cu rata de $1, 5%$ . Care este soldul după capitalizare?
- a) $42$ lei
- b) $2800$ lei
- c) $2842$ lei
- d) $2884$ lei
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $2842$ lei

Soldul se calculează prin $2800 \cdot 1, 015 = 2842$ lei. Cei $42$ lei reprezintă numai dobânda.
După un an, un sold este $1573$ lei. Rata compusă anuală este $10%$ , fără alte operații. Care a fost capitalul inițial?
- a) $1430$ lei
- b) $1415, 7$ lei
- c) $1730, 3$ lei
- d) $1563$ lei
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $1430$ lei

Împărțim la factorul anual: $1573/1, 1 = 1430$ lei. Scăderea a zece procente din soldul final ar folosi altă bază.
O simulare pornește de la $36$ indivizi și dublează efectivul la fiecare $25$ de minute, numai în primele $75$ de minute. Ce efectiv dă la sfârșit?
- a) $144$ indivizi
- b) $108$ indivizi
- c) $576$ indivizi
- d) $288$ indivizi
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $288$ indivizi

Sunt $75/25 = 3$ perioade. Efectivul este $36 \cdot 2^{3} = 288$ indivizi în simularea precizată.

Întrebări conexe

În câți ani se dublează un capital la dobândă compusă de $10%$ ?

Cauți cel mai mic $n$ cu $1, 1^{n} \geq 2$ . Calculând, $1, 1^{7} \approx 1, 949$ , încă sub $2$ , iar $1, 1^{8} \approx 2, 144$ . Deci capitalul se dublează abia după $8$ ani. La dobândă simplă de $10%$ dublarea ar cere exact $10$ ani.

Cum calculez masa rămasă dintr-o substanță radioactivă?

La fiecare timp de înjumătățire masa se înmulțește cu $\frac{1}{2}$ . Dacă ai $64$ g și timpul de înjumătățire este de $8$ zile, după $24$ de zile au trecut $3$ perioade, deci rămân $64 \cdot (\frac{1}{2})^{3} = 8$ g.

Cu cât crește o mărime după două creșteri succesive de câte $10%$ ?

Factorii se înmulțesc: $1, 1 \cdot 1, 1 = 1, 21$ , deci creșterea totală este de $21%$ , nu de $20%$ . A doua creștere se aplică unei baze deja mărite. Pentru $1000$ de lei obții $1100$ , apoi $1210$ lei.

Cum aflu rata netă de creștere a unei populații din două numărători?

Împarți efectivul nou la cel vechi: de la $12000$ la $12600$ de indivizi într-un an, factorul este $\frac{12 600}{12 000} = 1, 05$ . Rata netă este deci $5%$ pe an. Ea cuprinde și nașterile, și decesele sau plecările.

De ce un model de creștere prin dublare nu funcționează la nesfârșit?

Pentru că resursele sunt limitate. Cultura de $500$ de bacterii care se dublează la $20$ de minute ar ajunge, după o singură zi, la $500 \cdot 2^{72}$ , un număr uriaș, fizic imposibil. Modelul se folosește doar pe intervalul pentru care a fost verificat.

Oamenii mai întreabă și: numărul de bacterii după dublări · creșterea unei culturi de bacterii · populație care se dublează periodic · formula dublării unei populații