Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Dreaptă și parabolă: puncte

Unde e cea mai mare distanță dreaptă–parabolă?

Distanța pe verticală este $f (x) - g (x)$ , un trinom; când parabola e deasupra dreptei, maximul este la mijlocul absciselor punctelor comune. Exemplu: $f (x) = - x^{2} + 25 x$ și $g (x) = 3 x + 85$ . Din $x^{2} - 22 x + 85 = 0$ rezultă abscisele $5$ și $17$ , deci maximul este la $x = 11$ , unde distanța este $f (11) - g (11) = 154 - 118 = 36$ , mai mare decât în oricare alt punct dintre cele două puncte comune.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a IX-a → ·

Dreapta și parabola se intersectează în punctele care verifică ambele ecuații. Egalezi $f (x) = g (x)$ și muți totul într-o parte, ceea ce lasă o ecuație de gradul II; soluțiile ei sunt abscisele punctelor comune. Ordonata se ia din formula dreptei, apoi se verifică în cea a parabolei.

Discriminantul decide: $Δ > 0$ dă două puncte, iar dreapta e secantă; $Δ = 0$ dă un punct, iar dreapta e tangentă; $Δ < 0$ nu dă niciunul. Diferența $f (x) - g (x)$ arată și unde parabola e deasupra dreptei: semnul ei se citește ca la un trinom.

Greșelile de calcul vin din termeni mutați fără semn schimbat, din răspunsul dat ca abscisă când se cer coordonatele și din amestecul unităților. În situațiile din meserie o soluție poate ieși din domeniul din enunț, caz în care o elimini.

Verifici punând fiecare abscisă în ambele funcții; ordonatele trebuie să coincidă, iar suma absciselor trebuie să iasă $- \frac{b}{a}$ , calculat din ecuația finală.

De reținut

abscisele punctelor comune se află din $f (x) = g (x)$
$Δ > 0$ două puncte, $Δ = 0$ unul, $Δ < 0$ niciunul
ordonata se ia din formula dreptei

Greșeala tipică

Se mută un termen peste egal fără să i se schimbe semnul. Pentru $x^{2} - 6 x + 5 = 2 x + 5$ se scrie greșit $x^{2} - 4 x + 10 = 0$ , în loc de $x^{2} - 8 x = 0$ .

Exerciții din această mini-lecție

Cheltuielile totale ale unei producții, în mii de lei, sunt $C (x) = x^{2} + x + 156$ , iar venitul este $V (x) = 26 x + 2$ (include un avans de $2$ mii de lei primit la contract), unde $x$ este cantitatea produsă, în tone. Care ecuație are ca soluții cantitățile pentru care cheltuielile egalează venitul?
- a) $x^{2} + 27 x + 154 = 0$
- b) $x^{2} - 25 x + 154 = 0$
- c) $x^{2} - 25 x + 158 = 0$
- d) $x^{2} + 27 x + 158 = 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $x^{2} - 25 x + 154 = 0$

Cheltuielile egalează venitul când $x^{2} + x + 156 = 26 x + 2$ . Mutăm totul în stânga, cu semnele schimbate: $x^{2} + x - 26 x + 156 - 2 = 0$ , adică $x^{2} - 25 x + 154 = 0$ , cu soluțiile $11$ și $14$ . Varianta $x^{2} + 27 x + 154 = 0$ nu schimbă semnul lui $26 x$ , varianta cu $158$ nu schimbă semnul lui $2$ , iar ultima greșește ambele semne.
Pe un șantier, profilul unui versant este parabola $y = x^{2} - 5 x + 19$ , iar cablul unei macarale urmează dreapta $y = 7 x - 22$ , distanțele fiind în metri. Câte puncte comune au profilul și cablul?
- a) un singur punct
- b) două puncte
- c) o infinitate de puncte
- d) niciun punct
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) niciun punct

Punctele comune verifică $x^{2} - 5 x + 19 = 7 x - 22$ , adică $x^{2} - 12 x + 41 = 0$ . Discriminantul este $Δ = 144 - 164 = - 20$ , negativ, deci ecuația nu are soluții reale și profilul nu întâlnește cablul. „Un singur punct” ar cere $Δ = 0$ , iar „două puncte” ar cere $Δ > 0$ . O infinitate de puncte ar apărea doar dacă cele două expresii ar fi identice.
Temperatura soluției dintr-un reactor de laborator este $T (t) = - 0, 5 t^{2} + 6 t + 22$ , iar a apei de răcire este $R (t) = t + 22$ , ambele în °C, cu $t$ în minute, $0 \leq t \leq 10$ . La ce moment diferența $T (t) - R (t)$ este cea mai mare?
- a) $6$
- b) $12, 5$
- c) $5$
- d) $10$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $5$

Diferența este $T (t) - R (t) = - 0, 5 t^{2} + 6 t - t = - 0, 5 t^{2} + 5 t$ , o parabolă cu ramurile în jos și rădăcinile $0$ și $10$ . Maximul este la mijlocul rădăcinilor, $t = \frac{0 + 10}{2} = 5$ minute, unde diferența este $- 12, 5 + 25 = 12, 5$ °C. Varianta $6$ este vârful lui $T$ , $\frac{6}{2 \cdot 0 , 5} = 6$ , care nu coincide cu vârful diferenței, $12, 5$ este valoarea maximă, nu momentul, iar $10$ este capătul intervalului, unde diferența este $0$ .

Întrebări conexe

Cum aflu lungimea porțiunii de dreaptă dintre punctele comune?

Calculezi diferențele de abscisă și de ordonată dintre cele două puncte, apoi aplici teorema lui Pitagora. Pentru punctele $(5; 100)$ și $(17; 136)$ diferențele sunt $12$ și $36$ , deci lungimea este $144 + 1296 = 1440 \approx 37, 95$ . Rezultatul se scrie cu unitatea desenului.

Ce fac dacă dreapta și parabola au același termen liber?

Ecuația de intersecție nu are termen liber și se rezolvă prin factor comun. Pentru $f (x) = x^{2} + 14 x + 9$ și $g (x) = 5 x + 9$ obții $x^{2} + 9 x = 0$ , adică $x (x + 9) = 0$ , deci $x = 0$ sau $x = - 9$ . Nu împărți la $x$ , ca să nu pierzi soluția $0$ .

Cum văd că o dreaptă taie parabola, fără să calculez Δ?

Dacă dreapta trece printr-un punct aflat deasupra parabolei cu ramuri în sus, ea o taie în două puncte, oricare i-ar fi panta, cu excepția verticalei. Parabola $y = 3 x^{2} - 18 x + 40$ are în $x = 3$ valoarea $13$ , iar punctul $(3; 20)$ este deasupra ei, deci orice dreaptă neverticală prin $(3; 20)$ o taie în două puncte.

Ce fac cu un punct comun care iese din desen?

Îl elimini după ce verifici intervalul din enunț. Profilul $y = 0, 5 x^{2}$ pe $0 \leq x \leq 10$ și conducta $y = 11, 5 x - 38$ dau $x^{2} - 23 x + 76 = 0$ , cu soluțiile $x = 4$ și $x = 19$ . Doar $x = 4$ aparține intervalului, deci punctul este $(4; 8)$ .

Cum apare dreapta și parabola în probele oficiale?

Poziția unei drepte față de o parabolă a apărut în 3 probe M_tehnologic din 2013–2026, la Subiectul I. Se cer abscisele punctelor comune sau valorile reale ale lui $a$ cu $f (a) = g (a)$ , deci egalezi cele două formule și rezolvi ecuația de gradul II care rezultă.

Oamenii mai întreabă și: distanța maximă între o parabolă și o dreaptă · punctele comune dreaptă parabolă la tehnologic · diferența f(x) minus g(x) maximă · adâncimea maximă între teren și canal