Puncte comune dreaptă–parabolă: la tehnologic

Un canal de irigații își păstrează panta, dar terenul pe care trece nu e plat: pe alocuri canalul se sapă în pământ, pe alocuri se sprijină pe un rambleu. Fundul canalului e o dreaptă, profilul terenului e o parabolă, iar topograful vrea să știe unde se întâlnesc. Cu matematica de clasa a IX-a a filierei tehnologice, aceste puncte ies dintr-o singură ecuație de gradul al doilea. Tema e în programa Bacalaureatului M3 (M_tehnologic) și a apărut în trei dintre probele oficiale, mereu la cerința a doua din Subiectul I.

Situația de pornire

O asociație de fermieri pregătește un canal de irigații pe gravitație pentru 140 de hectare de culturi de legume. Apa curge singură, deci fundul canalului trebuie să coboare constant; topograful l-a proiectat ca pe o dreaptă care pierde 1 cm de cotă la fiecare 10 m. Terenul de pe traseu nu e plat. Cu cotele măsurate la cinci repere de pe axa canalului, în centimetri față de un reper fix, programul topografului a ajustat parabola $f(x)=-0,002x^2+1,1x+100$, iar fundul canalului este dreapta $g(x)=200-0,1x$, cu $x$ în metri de la priză. Utilajul de săpat lucrează numai acolo unde terenul e mai sus decât fundul proiectat; acolo unde e mai jos, canalul se sprijină pe un rambleu.

Întrebare: între ce puncte ale traseului se sapă canalul în teren, unde se sprijină pe rambleu și cât de adâncă este săpătura în cel mai adânc loc?

De la situație la model

Tabelul arată că la început canalul stă cu 100 cm deasupra terenului, apoi terenul urcă peste el, iar spre capăt canalul iese din nou deasupra. Locurile exacte de trecere se află cu o ecuație. Tabelul de mai jos traduce situația.

Un punct comun este o pereche $(x;y)$ care verifică deodată ecuația dreptei și ecuația parabolei, adică o soluție a sistemului format din cele două ecuații. La canal, sistemul este $y=-0,002x^2+1,1x+100$ și $y=200-0,1x$.

De ce rezolvi o singură ecuație?

Într-un punct comun, ordonata este aceeași pe dreaptă și pe parabolă. Egalezi deci cele două expresii ale lui $y$, adică $f(x)=g(x)$, și muți totul într-un membru:

$$f(x)=g(x)⟺f(x)-g(x)=0$$

Rămâne o ecuație de gradul al doilea. Coeficientul lui $x^2$ este cel al parabolei; coeficientul lui $x$ devine diferența coeficienților lui $x$ din cele două funcții, iar termenul liber, diferența termenilor liberi. Soluțiile ei sunt abscisele punctelor comune. Ordonata o iei din formula dreptei, care e mai scurtă, și o verifici în formula parabolei. La canal, ecuația este $-0,002x^2+1,2x-100=0$.

Câte puncte comune pot exista?

Ecuația de gradul al doilea are zero, una sau două soluții reale, după semnul lui $\Delta$. Deci dreapta și parabola au:

La canal, ridică fundul cu 80 cm: dreapta devine $g(x)=280-0,1x$ și ecuația, înmulțită cu $-500$, este $x^2-600x+90000=0$, cu $\Delta =360000-360000=0$. Canalul atinge terenul într-un singur loc, la $x=300$ m, și nu se mai sapă nicăieri. Ridicat cu 100 cm, ajunge la $x^2-600x+100000=0$, cu $\Delta =-40000<0$: canalul trece pe deasupra, pe tot traseul.

Unde stă parabola deasupra dreptei?

Diferența $f(x)-g(x)$ este un trinom de gradul al doilea, iar semnul ei se citește ca în lecția despre semnul funcției de gradul al doilea. Aici $a=-0,002<0$, deci diferența e pozitivă între cele două rădăcini: terenul e deasupra canalului numai între punctele comune, iar în afara lor canalul e deasupra terenului. Când $a>0$, e invers.

Ce faci cu o soluție fără sens în situație?

O soluție a ecuației poate să nu aibă sens în situație: o tensiune negativă la un element polarizat sau un colț aflat în afara desenului. Rezolvi ecuația, apoi te întrebi dacă fiecare rădăcină respectă domeniul din enunț. Cea care nu îl respectă se scoate.

Metoda pas cu pas

1. Scrie cele două grafice sub forma $y=\dots$ și numește-le: parabola $f$, dreapta $g$. Dacă dreapta e dată ca $Ax+By=C$ sau ca ecuație dintr-un sistem, o aduci la $y=mx+n$, rezolvând în $y$. Notează acum și domeniul din enunț, de exemplu $0\le x\le 600$, ca să-l ai la îndemână la pasul 4.
2. Egalează $f(x)=g(x)$ și adu ecuația la forma $a{x}^2+bx+c=0$, cu toți termenii într-un membru. Un termen mutat peste semnul egal își schimbă semnul: de aici vin cele mai multe greșeli. Dacă ai zecimale, înmulțește cu un număr care le face întregi, ca la canal, unde înmulțești cu $-500$.
3. Calculează $\Delta =b^2-4ac$. Dacă $\Delta >0$, graficele au două puncte comune; dacă $\Delta =0$, unul singur, în care dreapta atinge parabola; dacă $\Delta <0$, niciunul și te oprești, fiindcă dreapta nu întâlnește parabola.
4. Află abscisele cu formula soluțiilor, apoi ordonatele din formula dreptei. Elimină rădăcinile care nu respectă domeniul din enunț. Dacă se cer doar abscisele sau numerele $a$ pentru care $f(a)=g(a)$, te oprești la abscise; dacă se cer coordonatele, scrii perechile $(x;y)$.
5. Verifică: înlocuiește fiecare abscisă în ambele funcții, care trebuie să dea aceeași ordonată, și compară suma absciselor cu $-\frac{b}{a}$ din ecuația de la pasul 2, ca în lecția despre relațiile lui Viète. La o situație, scrie și unitatea de măsură, iar răspunsul îl formulezi în cuvintele problemei, nu doar prin numere.

Pentru ecuația de gradul al doilea ai nevoie de formula cu $\Delta$. La examen cerința vine fără poveste, iar pasul 1 se reduce la a citi cele două funcții date. Celelalte teme de aici le găsești în hubul matematică tehnologic, clasa a IX-a.

Fișa de buzunar

$$f(x)=g(x)⟺f(x)-g(x)=0$$

$$\Delta >0:\text{doua˘ puncte},\Delta =0:\text{un punct},\Delta <0:\text{niciun punct}$$

Se aplică când dreapta nu e verticală, iar parabola este graficul unei funcții de gradul al doilea. Abscisele sunt soluțiile ecuației de gradul al doilea, ordonata vine din dreaptă, iar o soluție fără sens în situație se elimină. Verificare rapidă: suma absciselor este minus coeficientul lui $x$ împărțit la coeficientul lui $x^2$ din ecuația finală.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Canalul de irigații peste un teren ondulat

Domeniu: agricol.

Enunț. Pentru canalul din situație, $f(x)=-0,002x^2+1,1x+100$ este cota terenului și $g(x)=200-0,1x$ cota fundului canalului, în centimetri, cu $x$ în metri, $0\le x\le 600$. Aflați punctele în care canalul intră în teren și iese din el, lungimea tronsonului săpat și adâncimea maximă a săpăturii.

Rezolvare. Egalăm $f(x)=g(x)$: $-0,002x^2+1,1x+100=200-0,1x$, adică $-0,002x^2+1,2x-100=0$. Înmulțim cu $-500$ și obținem $x^2-600x+50000=0$, cu $\Delta =360000-200000=160000=400^2$. Deci $x=\frac{600\pm 400}{2}$, adică $x_1=100$ și $x_2=500$. Ordonatele vin din dreaptă: $g(100)=190$ și $g(500)=150$. Punctele comune sunt $(100;190)$ și $(500;150)$.

Semnul diferenței $f(x)-g(x)$ se citește la mijloc: la $x=300$, $250-170=80>0$, deci terenul e deasupra canalului între cele două puncte. Canalul se sapă între 100 m și 500 m, adică pe $500-100=400$ m. Primii 100 m și ultimii 100 m sunt în rambleu. Adâncimea maximă a săpăturii e la mijlocul celor două rădăcini, $x=300$ m, unde diferența este 80 cm.

Capcană. Creasta terenului, vârful parabolei $f$, e la $x=\frac{1,1}{0,004}=275$ m, nu la 300 m. Acolo diferența este $251,25-172,5=78,75$ cm, mai mică decât 80 cm. Deci cea mai adâncă săpătură nu e sub creasta terenului, ci la mijlocul tronsonului.

Verificare. $f(100)=-20+110+100=190=g(100)$ și $f(500)=-500+550+100=150=g(500)$. Suma absciselor, $100+500=600$, este chiar minus coeficientul lui $x$ din ecuația $x^2-600x+50000=0$.

Exemplul 2 — Punctul de funcționare al unui element neliniar

Domeniu: electric.

Enunț. Un element neliniar dintr-un circuit de automatizare are caracteristica $I=0,01U^2$, cu tensiunea $U\ge 0$ în volți și curentul $I$ în amperi. El este alimentat de la o sursă de 48 V printr-un rezistor de 25 Ω, deci $U$ și $I$ verifică sistemul $\{\begin{array}{l}I=0,01U^2\\ U+25I=48\end{array}$. Aflați punctul de funcționare, adică $U$ și $I$.

Rezolvare. Parabola are $U$ pe orizontală și $I$ pe verticală. Din a doua ecuație, $I=\frac{48-U}{25}=1,92-0,04U$. Egalăm cu prima: $0,01U^2=1,92-0,04U$, adică $0,01U^2+0,04U-1,92=0$. Înmulțim cu 100: $U^2+4U-192=0$, cu $\Delta =16+768=784=28^2$, deci $U=\frac{-4\pm 28}{2}$, adică $12$ sau $-16$. Elementul lucrează numai la $U\ge 0$, deci tensiunea e $U=12$ V, iar $I=0,01\cdot 144=1,44$ A.

Capcană. Soluția $U=-16$ există matematic: ea dă $I=0,01\cdot 256=2,56$ A și verifică și ecuația rezistorului, $-16+25\cdot 2,56=48$. Dar caracteristica elementului e valabilă doar pentru $U\ge 0$, deci punctul $(-16;2,56)$ nu e un regim real de funcționare.

Verificare. Pe alt drum, prin puteri: sursa dă $48\cdot 1,44=69,12$ W, rezistorul consumă $25\cdot 1,44^2=51,84$ W, iar elementul $12\cdot 1,44=17,28$ W. Într-adevăr, $51,84+17,28=69,12$.

Exemplul 3 — Colțurile unei plăci tăiate cu laserul

Domeniu: mecanica.

Enunț. Un atelier taie cu laserul o placă de oțel. În desenul tehnic, cu axele în milimetri și cu $x$ între 0 și 300, placa e mărginită jos de un arc al parabolei $y=0,004x^2$ și sus de o muchie dreaptă, pe dreapta $7x-5y=500$. Programul mașinii cere coordonatele colțurilor, adică ale punctelor în care muchia dreaptă întâlnește arcul, fiindcă acolo laserul trece de pe o linie de tăiere pe cealaltă. Aflați-le, apoi lungimea muchiei drepte dintre ele.

Rezolvare. Aducem muchia la forma $y=mx+n$: din $7x-5y=500$ rezultă $5y=7x-500$, deci $y=1,4x-100$. Egalăm cu arcul: $0,004x^2=1,4x-100$, adică $0,004x^2-1,4x+100=0$. Înmulțim cu 250 și obținem $x^2-350x+25000=0$, cu $\Delta =122500-100000=22500=150^2$. Deci $x=\frac{350\pm 150}{2}$, adică 100 și 250. Ordonatele vin din dreaptă: $1,4\cdot 100-100=40$ și $1,4\cdot 250-100=250$. Colțurile sunt $(100;40)$ și $(250;250)$, în milimetri. Între ele muchia stă deasupra arcului: la $x=175$, muchia are $1,4\cdot 175-100=145$ mm, iar arcul $0,004\cdot 175^2=122,5$ mm, deci placa e porțiunea dintre muchie și arc. De la un colț la celălalt, muchia urcă 210 mm pe 150 mm, deci are, cu teorema lui Pitagora, $\sqrt{150^2+210^2}=\sqrt{66600}\approx 258,1$ mm.

Capcană. Cine greșește semnul când scoate $y$ și scrie $y=1,4x+100$ ajunge la $x^2-350x-25000=0$, cu rădăcinile aproximativ $-61$ și $411$. Amândouă cad în afara desenului, care merge de la 0 la 300 mm: semnul greșit se vede imediat, înainte ca laserul să taie ceva.

Verificare. Pe alt drum, cu forma din desen a muchiei: $7\cdot 100-5\cdot 40=500$ și $7\cdot 250-5\cdot 250=500$. Pe arc: $0,004\cdot 100^2=40$ și $0,004\cdot 250^2=250$. Suma absciselor, $100+250=350$, este minus coeficientul lui $x$ din ecuația $x^2-350x+25000=0$.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: coordonatele punctelor de intersecție

Domeniu: turism.

Enunț. Pornim de la o cerință de forma celor din Subiectul I al Bacalaureatului M3, cu date de pe o pârtie: $x$ în hectometri și $y$ în metri. Profilul versantului este graficul funcției $f(x)=x^2+7x-9$, iar cablul telescaunului, graficul funcției $g(x)=27x-93$. Determinați coordonatele punctelor în care se intersectează graficele celor două funcții.

Rezolvare. Egalăm $x^2+7x-9=27x-93$ și mutăm totul în stânga: $x^2-20x+84=0$. Avem $\Delta =400-336=64$, deci $x=\frac{20\pm 8}{2}$, adică $6$ și $14$. Ordonatele vin din dreaptă: $g(6)=69$ și $g(14)=285$. Punctele sunt $(6;69)$ și $(14;285)$: stațiile telescaunului, la 600 m și la 1 400 m pe orizontală, cu o diferență de nivel de $285-69=216$ m.

Capcană. Cine scade $27x-93$ fără paranteză scrie $x^2+7x-9-27x-93=x^2-20x-102$, cu $\Delta =808$, care nu e pătrat perfect. Când cerința anunță puncte cu coordonate întregi, un $\Delta$ care nu iese pătrat perfect arată o greșeală de semn.

Verificare. $f(6)=36+42-9=69=g(6)$ și $f(14)=196+98-9=285=g(14)$. Suma absciselor, $6+14=20$, este minus coeficientul lui $x$ din $x^2-20x+84=0$.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Rezolvă sistemul $\{\begin{array}{l}9x-y=17\\ y=x^2-12x+73\end{array}$ și scrie punctele în care dreapta taie parabola.

2. Parabola $y=x^2-17x+213$ și dreptele a) $y=9x+53$; b) $y=9x+44$; c) $y=9x+37$. Pentru fiecare dreaptă, spune după $\Delta$ câte puncte comune are cu parabola și află punctele, dacă există.

3. Determină numărul real $n$ pentru care dreapta $y=5x+n$ trece prin vârful parabolei $y=x^2-18x+85$. Pentru acest $n$, află toate punctele comune ale dreptei și parabolei.

4. Pentru ce valori ale lui $x$ se află graficul funcției $f(x)=-x^2+23x-11$ deasupra graficului funcției $g(x)=8x+33$?

Nivelul 2 — situații

5. Un depozit de marfă prelucrează zilnic $n$ paleți, cu $n\le 40$. Costul zilnic, în lei, este $C(n)=0,5n^2+9n+114$ (114 lei fix, 9 lei pe palet și un spor care crește cu aglomerarea), iar depozitul încasează 31 lei pe palet. a) La ce numere de paleți încasările egalează costul? b) Între ce numere de paleți ziua are profit? c) Câștigă sau pierde depozitul într-o zi cu 40 de paleți, și cu cât?

6. Marginea curbă a unui blat de masă este, într-un sistem de axe cu unitatea 1 cm, arcul de parabolă $y=0,02x^2$. Tâmplarul trasează dreapta de tăiere $y=0,9x-8$. a) În ce puncte taie dreapta marginea curbă? Rotunjește coordonatele la milimetru. b) Ce lungime are, pe orizontală, partea tăiată?

7. O stație de pompare ridică apă într-un rezervor. Caracteristica pompei este $H_p(Q)=62-0,5Q^2$, în metri, iar a conductei, aproximată printr-o dreaptă pe domeniul de lucru, $H_c(Q)=18+1,5Q$, în metri, cu $Q$ în litri pe secundă. a) Află debitul la care cele două caracteristici dau aceeași înălțime și înălțimea respectivă. b) Transformă debitul în m³/h și află volumul pompat în 5 ore.

8. Într-un tunel de răcire, temperatura din miez, măsurată cu sonda, a unui lot de cozonaci este $T_1(x)=0,05x^2-2x+86,2$, iar a unui lot de pâine, $T_2(x)=84-0,8x$, ambele în °C, cu $x$ în minute după intrarea în tunel, pentru $0\le x\le 20$. a) În ce moment au loturile aceeași temperatură? b) Care lot e mai rece la sfârșitul celor 20 de minute și cu câte grade?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcțiile $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+8x+53$ și $g(x)=25x+11$. Determinați abscisele punctelor în care se intersectează graficele funcțiilor $f$ și $g$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcțiile $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+36x+258$ și $g(x)=6x+33$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a)=g(a)$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcțiile $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+14x-23$ și $g(x)=5x-23$. Determinați numerele reale $a$ pentru care $f(a)=g(a)$.

12. (Sinteză.) Profilul unei coaste de vie, în metri, este parabola $y=x^2+bx+c$. O cărare dreaptă o întâlnește în punctele $A(4;11)$ și $B(9;36)$. a) Scrie ecuația cărării. b) Determină $b$ și $c$.

Răspunsuri și verificări

1. Din prima ecuație, $y=9x-17$. Atunci $x^2-12x+73=9x-17$, adică $x^2-21x+90=0$, cu $\Delta =441-360=81$ și $x=6$ sau $x=15$. Punctele sunt $(6;37)$ și $(15;118)$. Verificare: $36-72+73=37$ și $225-180+73=118$.

2. Egalăm cu parabola. a) $x^2-26x+160=0$, $\Delta =36$, deci două puncte, $(10;143)$ și $(16;197)$. b) $x^2-26x+169=0$, $\Delta =0$, un punct, $(13;161)$. c) $x^2-26x+176=0$, $\Delta =-28$, niciun punct. Verificare: la b), $169-221+213=161=117+44$.

3. Vârful are abscisa $\frac{18}{2}=9$ și ordonata $81-162+85=4$, deci $V(9;4)$. Din $4=5\cdot 9+n$ rezultă $n=-41$. Apoi $x^2-18x+85=5x-41$ dă $x^2-23x+126=0$, cu $\Delta =25$ și $x=9$ sau $x=14$, deci punctele $(9;4)$ și $(14;29)$. Verificare: $196-252+85=29=70-41$, iar $9+14=23$, minus coeficientul lui $x$.

4. $-x^2+23x-11>8x+33$ dă $-x^2+15x-44>0$, adică $x^2-15x+44<0$, cu rădăcinile 4 și 11: $x\in (4;11)$. Verificare: la $x=7$, $f(7)=101$ și $g(7)=89$, iar $101>89$.

5. $31n=0,5n^2+9n+114$ dă $n^2-44n+228=0$, cu $\Delta =1024$ și $n=6$ sau $n=38$ paleți. b) Încasările depășesc costul între ele: de la 7 la 37 de paleți. c) La 40 de paleți încasările sunt 1 240 lei, iar costul 1 274 lei, deci pierderea e de 34 lei. Verificare: la 6 paleți, $186=18+54+114$.

6. $0,02x^2=0,9x-8$ dă $x^2-45x+400=0$, cu $\Delta =425$ și $x=\frac{45\pm \sqrt{425}}{2}\approx 12,2$ sau $32,8$ cm. Din dreaptă, $y\approx 3,0$ și $y\approx 21,5$ cm. b) Lungimea pe orizontală e $\sqrt{425}\approx 20,6$ cm. Verificare: $0,02\cdot 12,19^2\approx 2,97$, iar $0,9\cdot 12,19-8\approx 2,97$.

7. $62-0,5Q^2=18+1,5Q$ dă $Q^2+3Q-88=0$, cu $\Delta =361$ și $Q=8$ sau $Q=-11$. Debitul nu e negativ, deci $Q=8$ L/s, la $H=30$ m. b) $8\cdot 3,6=28,8$ m³/h, iar în 5 ore, $28,8\cdot 5=144$ m³. Verificare: $62-32=30=18+12$.

8. $0,05x^2-2x+86,2=84-0,8x$ dă $x^2-24x+44=0$, cu $\Delta =400$ și $x=2$ sau $x=22$. Domeniul e 0–20, deci loturile se egalează la $x=2$ min, la 82,4 °C. b) La $x=20$, $T_1=66,2$ și $T_2=68$ °C: cozonacii sunt mai reci cu 1,8 °C. Verificare: $T_1(2)=0,2-4+86,2=82,4=84-1,6$.

9. Egalăm $x^2+8x+53=25x+11$, adică $x^2-17x+42=0$. Avem $\Delta =289-168=121$, deci $x=3$ sau $x=14$. Verificare: $f(3)=86=g(3)$ și $f(14)=361=g(14)$.

10. $x^2+36x+258=6x+33$ dă $x^2+30x+225=0$, adică $(x+15{)}^2=0$. Deci $\Delta =0$ și $a=-15$ este singurul număr; graficele au un singur punct comun. Verificare: $f(-15)=225-540+258=-57=g(-15)$.

11. $x^2+14x-23=5x-23$ dă $x^2+9x=0$, adică $x(x+9)=0$. Termenii liberi sunt egali, deci ecuația nu are termen liber și $a=0$ sau $a=-9$. Verificare: $f(-9)=-68=g(-9)$ și $f(0)=-23=g(0)$.

12. a) Panta cărării e $\frac{36-11}{9-4}=5$, deci $y=5x-9$. b) Abscisele 4 și 9 sunt rădăcinile lui $x^2+(b-5)x+c+9=0$. Suma lor, 13, este $-(b-5)$, deci $b=-8$, iar produsul, 36, este $c+9$, deci $c=27$. Verificare: parabola $y=x^2-8x+27$ dă $16-32+27=11$ la $x=4$ și $81-72+27=36$ la $x=9$.

Așa vine la Bac M3

În programa pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), poziția relativă a unei drepte față de o parabolă este al treilea și ultimul conținut al blocului despre interpretarea geometrică a funcției de gradul al II-lea, după monotonie și puncte de extrem și după poziționarea parabolei față de axa $Ox$, semnul funcției și inecuațiile de gradul al II-lea. Probele oficiale 2013–2026 sunt 83, iar tema a apărut în 3 dintre ele, de fiecare dată la cerința a doua din Subiectul I. Cele trei cerințe reale arată trei forme:

• Simularea din 2015, Subiectul I, exercițiul 2: se dau o parabolă și o dreaptă, iar cerința este să determini abscisele punctelor de intersecție a graficelor; baremul probei aduce egalitatea la o ecuație de gradul al doilea cu rădăcinile 1 și 2 (3 puncte), apoi scrie abscisele (2 puncte). Pasul 2 din Metodă dă ecuația, iar pasul 4 abscisele.
• Modelul din 2018, Subiectul I, exercițiul 2: se cere numărul real $a$ pentru care $f(a)=g(a)$, la singular; baremul scrie $f(a)$ și $g(a)$ (2 puncte), apoi aduce egalitatea la un pătrat perfect egal cu zero, deci $a=1$ (3 puncte). Singularul spune că graficele au un singur punct comun, adică $\Delta =0$ la pasul 3 din Metodă.
• Simularea din 2022, Subiectul I, exercițiul 2: se cer numerele reale $a$, la plural, pentru care $f(a)=g(a)$; baremul aduce egalitatea la o ecuație fără termen liber (3 puncte), apoi scrie $a=-1$ sau $a=0$ (2 puncte). Cele două funcții au același termen liber, deci ecuația nu are termen liber, iar la pasul 4 din Metodă abscisele se pot afla și scoțând factorul comun.

În toate cele trei, $f$ este de gradul al doilea, iar $g$ de gradul I. Verbul cerinței spune ce scrii la sfârșit: abscise, valori ale lui $a$ sau perechi de coordonate. Exercițiile 9–11 din lecția aceasta repetă cele trei forme.

Greșeli care costă puncte

• Muți un termen peste semnul egal fără să-i schimbi semnul → cum o prinzi: pasul 5 din Metodă; punând soluția în ambele funcții, trebuie să obții aceeași ordonată.
• Scrii doar abscisele când cerința cere coordonatele, sau invers → cum o prinzi: citești verbul cerinței înainte de a scrie răspunsul final.
• Crezi că $\Delta =0$ înseamnă că nu există puncte comune → cum o prinzi: la $\Delta =0$ ecuația are o soluție dublă, deci dreapta atinge parabola într-un punct, ca în cerința cu „numărul real $a$”, la singular, din secțiunea despre examen.
• Păstrezi o soluție fără sens în situație, ca tensiunea negativă sau un colț din afara desenului → cum o prinzi: după rezolvare verifici domeniul din enunț.
• Amesteci unitățile, centimetri și metri, în aceeași ecuație → cum o prinzi: convertești înainte să scrii ecuația și verifici că punctul găsit e în limitele reale ale piesei.

Programa și examenul

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: poziția relativă a unei drepte față de o parabolă face parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a IX-a), deși programa nouă a clasei a IX-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu o conține sau o conține doar în parte. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 3 probe, la Subiectul I. În programa Bacalaureatului din 2030 tema reapare, parțial, în unitatea IX.4 (funcții, lecturi grafice) la toate cele patru profiluri (MAT_P3–MAT_P6).

Întrebări frecvente

Cât de lung ar fi șanțul dacă fundul canalului ar fi ridicat cu 60 cm? Dreapta devine $g(x)=260-0,1x$, iar ecuația, înmulțită cu $-500$, este $x^2-600x+80000=0$, cu $\Delta =40000$. Rădăcinile sunt 200 și 400, deci se sapă numai pe 200 m, iar în mijloc, la 300 m, săpătura are doar $250-230=20$ cm adâncime.

Cât de adâncă e săpătura la 400 m de priză, fără să rezolv din nou ecuația? Scazi cota fundului din cota terenului, adică $f(400)-g(400)$. Terenul are $-0,002\cdot 160000+440+100=220$ cm, iar fundul canalului $200-40=160$ cm, deci săpătura are 60 cm. Diferența e pozitivă, iar 400 m cade între 100 m și 500 m, adică în tronsonul săpat, ca în semnul diferenței de la exemplul 1.

De ce rădăcina $U=-16$ nu este o soluție a circuitului? Matematic verifică sistemul, fiindcă $-16+25\cdot 2,56=48$. Dar elementul din circuit funcționează numai la tensiuni nenegative, deci doar $U=12$ V are sens. Rădăcina negativă ține de formulă, nu de aparat, așa că se scoate înainte de a scrie răspunsul final.

Ce se schimbă dacă muchia dreaptă a plăcii coboară cu 10 mm? Muchia devine $7x-5y=550$, adică $y=1,4x-110$, iar ecuația este $x^2-350x+27500=0$, cu $\Delta =12500$. Colțurile ajung la $x\approx 119,1$ și $x\approx 230,9$ mm, deci placa se îngustează de la 150 mm la aproximativ 111,8 mm pe orizontală. Suma absciselor rămâne 350, fiindcă panta muchiei nu s-a schimbat.

Câte probe de la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) au avut o dreaptă și o parabolă, și când? Trei din cele 83 de probe oficiale 2013–2026: simularea din 2015, modelul din 2018 și simularea din 2022, toate la cerința a doua din Subiectul I. În fiecare, $f$ este de gradul al doilea și $g$ de gradul I; se cer abscisele punctelor de intersecție sau numerele reale $a$ pentru care $f(a)=g(a)$.