Se știe că dreptele $$p$$ și $$q$$ satisfac relația $$p \cap q = \varnothing$$. Ce se poate spune despre ele?

Sunt drepte paralele, nu au niciun punct comun

Sunt drepte concurente, tăindu-se într-un punct

Care dintre următoarele exemple din realitate ilustrează cel mai bine două drepte concurente?

Acele unui ceas, care pornesc din centrul cadranului

Cele două șine ale unei căi ferate

Cele două margini lungi ale unei rigle

Laturile opuse ale unui dreptunghi

Dreptele $$c$$ și $$d$$ au un singur punct comun, notat $$M$$. Cum se numesc aceste drepte și cum se scrie corect relația dintre ele?

Sunt concurente, $$c \cap d = \{M\}$$

Sunt paralele, $$c \cap d = \varnothing$$

Sunt confundate (aceeași dreaptă), $$c \cap d = c$$

Nu se poate preciza relația dintre ele

Ce sunt dreptele concurente și paralele?

Lecția pe scurt · clasa a V-a · Drepte concurente și paralele

Două drepte așezate în același plan au numai două situații posibile. Sunt concurente când se taie, având un singur punct comun, numit punct de intersecție. Sunt paralele când nu se ating nicăieri, oricât le-ai prelungi. A treia variantă nu există, fiindcă două drepte deosebite nu se pot întâlni de două ori. Capcana este că unele drepte par depărtate pe foaie, dar prelungite s-ar întâlni undeva.

Două drepte dintr-un plan pot avea doar două poziții relative. Sunt concurente dacă au exact un punct comun, numit punct de intersecție; dacă dreptele $a$ și $b$ se taie în $O$ , scriem $a \cap b = {O}$ . Sunt paralele dacă nu au niciun punct comun, oricât le-am prelungi; notăm $a ∥ b$ , adică $a \cap b = \emptyset$ . Două drepte diferite nu pot avea două puncte comune, fiindcă printr-o pereche de puncte trece o singură dreaptă. Atenție la capcană: două drepte care „nu se ating pe foaie" pot fi totuși concurente, dacă prelungite s-ar întâlni undeva.

Exemplu. Dreptele $m$ și $n$ se intersectează în punctul $P$ . Cum notăm? Răspuns: $m \cap n = {P}$ , adică „ $m$ și $n$ sunt concurente în $P$ ".

De reținut

concurente = un singur punct comun, numit punct de intersecție
paralele = niciun punct comun, oricât le-ai prelungi
prin două puncte trece o singură dreaptă

Greșeala tipică

Dreptele care nu se ating în desen sunt socotite paralele, deși ele se apropie treptat. Verifică distanța în două locuri: dacă scade, dreptele se vor tăia dincolo de marginea foii.

Exerciții din această mini-lecție

Se știe că dreptele $p$ și $q$ satisfac relația $p \cap q = \emptyset$ . Ce se poate spune despre ele?
- a) Sunt drepte concurente, tăindu-se într-un punct
- b) Sunt drepte paralele, nu au niciun punct comun
- c) Sunt de fapt aceeași dreaptă
- d) Au exact două puncte comune
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Sunt drepte paralele, nu au niciun punct comun

Simbolul $\emptyset$ înseamnă mulțimea vidă, deci intersecția celor două drepte nu conține niciun punct. Aceasta este exact definiția dreptelor paralele: $p \cap q = \emptyset$ se notează și $p ∥ q$ .
Care dintre următoarele exemple din realitate ilustrează cel mai bine două drepte concurente?
- a) Cele două șine ale unei căi ferate
- b) Acele unui ceas, care pornesc din centrul cadranului
- c) Cele două margini lungi ale unei rigle
- d) Laturile opuse ale unui dreptunghi
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Acele unui ceas, care pornesc din centrul cadranului

Acele ceasului pornesc din același punct (centrul cadranului), deci au un punct comun — sunt concurente. Șinele, marginile riglei și laturile opuse ale dreptunghiului rămân la distanță constantă, deci sunt exemple de drepte paralele.
Dreptele $c$ și $d$ au un singur punct comun, notat $M$ . Cum se numesc aceste drepte și cum se scrie corect relația dintre ele?
- a) Sunt paralele, $c \cap d = \emptyset$
- b) Sunt concurente, $c \cap d = {M}$
- c) Sunt confundate (aceeași dreaptă), $c \cap d = c$
- d) Nu se poate preciza relația dintre ele
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Sunt concurente, $c \cap d = {M}$

Un singur punct comun este exact definiția dreptelor concurente. Notăm punctul de intersecție într-o mulțime cu acolade: $c \cap d = {M}$ . Dacă nu ar avea niciun punct comun ar fi paralele ( $\emptyset$ ), iar dacă ar avea toate punctele comune ar fi de fapt aceeași dreaptă.

Întrebări conexe

Cum desenez o paralelă printr-un punct dat?

Așezi echerul cu o latură pe dreapta dată și sprijini rigla pe cealaltă latură. Ținând rigla nemișcată, aluneci echerul până latura lui ajunge la punctul cerut, apoi trasezi. Linia obținută păstrează aceeași înclinare, deci nu va tăia niciodată dreapta inițială.

Unde vedem drepte paralele în jurul nostru?

Șinele de tren, marginile unei uși, liniile caietului sau dungile trecerii de pietoni: peste tot unde două linii țin aceeași distanță una față de alta oricât ar merge. Stâlpii de pe marginea drumului par că se apropie în depărtare, dar asta ține de desen, nu de linii.

Cum verific paralelismul cu echerul?

Măsori distanța dintre cele două linii în două locuri depărtate. Dacă iese aceeași valoare, dreptele sunt paralele; dacă distanța scade într-o parte, ele se apropie și, prelungite, se vor tăia undeva.

Ce înseamnă că două drepte sunt confundate?

Înseamnă că sunt de fapt aceeași dreaptă, trasată de două ori sau numită cu litere diferite. Ele au toate punctele comune, nu doar unul, deci nu intră nici la concurente, nici la paralele. Este cazul pe care îl excludem când vorbim despre drepte deosebite.

Ce unghi fac între ele două drepte perpendiculare?

Fac patru unghiuri drepte, fiecare de $90°$ . Perpendicularitatea este un caz aparte de intersecție, marcat cu un pătrățel la punctul unde liniile se taie. Fără acel unghi, dreptele rămân doar concurente.

Cum notez că dreptele a și b se taie în P?

Se folosește semnul de intersecție, iar rezultatul se scrie ca mulțimea formată din acel singur punct, între acolade. Pentru drepte paralele, aceeași scriere dă mulțimea goală, fiindcă nu au niciun punct comun.

Oamenii mai întreabă și: drepte concurente definiție · ce sunt dreptele paralele · poziția a două drepte în plan · drepte care se intersectează