Care dintre următoarele afirmații despre dreptele paralele este corectă?

Două drepte distincte sunt paralele dacă nu au niciun punct comun, oricât le-am prelungi.

Două drepte paralele se intersectează într-un singur punct.

Două drepte paralele formează întotdeauna un unghi de $$90°$$.

Două drepte sunt paralele dacă sunt desenate de aceeași lungime pe foaie.

Fie dreapta $$e$$ și punctul $$T$$, exterior dreptei $$e$$. Prin $$T$$ se pot trasa oricâte drepte dorim. Conform axiomei paralelelor, câte dintre aceste drepte prin $$T$$ pot fi paralele cu $$e$$?

Zero, pentru că printr-un punct exterior nu trece nicio paralelă.

Exact două, una de fiecare parte a dreptei $$e$$.

O infinitate de drepte paralele.

Prin punctul $$P$$, exterior dreptei $$d$$, vrem să construim cu rigla și echerul paralela la $$d$$. Care este procedeul corect?

Așezăm o latură a echerului pe dreapta $$d$$, sprijinim rigla pe o altă latură a echerului și alunecăm echerul de-a lungul riglei, până când prima latură ajunge în $$P$$.

Rotim echerul în jurul punctului $$P$$ până când formează un unghi de $$90°$$ cu dreapta $$d$$.

Unim $$P$$ cu un punct oarecare de pe dreapta $$d$$ și prelungim dreapta obținută.

Trasăm prin $$P$$ o dreaptă care taie dreapta $$d$$ într-un punct foarte îndepărtat.

Ce este axioma paralelelor?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Drepte paralele și axioma paralelelor

Este regula care spune că, printr-un punct aflat în afara unei drepte, se poate duce numai o paralelă la ea, niciodată două și niciodată niciuna. Se numește axiomă fiindcă se acceptă fără demonstrație și stă la temelia întregii geometrii studiate în școală. Două drepte sunt paralele când nu au niciun punct comun, oricât le-ai prelungi, iar acest lucru se scrie $a ∥ b$ .

Două drepte dintr-un plan sunt paralele dacă nu au niciun punct comun, oricât le-am prelungi (le cerem, în plus, să fie distincte). Notăm acest lucru cu simbolul $∥$ : scriem $a ∥ b$ și citim „ $a$ este paralelă cu $b$ ". Paralelismul este simetric: dacă $a ∥ b$ , atunci și $b ∥ a$ . O paralelă se obține printr-o translație: mutăm o dreaptă păstrându-i exact înclinarea, fără nicio rotire. Practic, o construim cu rigla și echerul: ținem rigla fixă ca ghidaj și alunecăm echerul de-a lungul ei până când latura care era pe dreapta inițială trece prin punctul dorit. Cea mai importantă regulă este axioma paralelelor: printr-un punct exterior unei drepte trece o singură dreaptă paralelă cu ea — nu zero, nu mai multe, exact una. Atenție: paralel ( $∥$ ) nu înseamnă perpendicular ( $⊥$ ); perpendicularele se intersectează la $90°$ , paralelele nu se ating niciodată.

De reținut

dintr-un punct din afara unei drepte pleacă numai o paralelă la ea
paralele înseamnă fără niciun punct comun, oricât le-ai prelungi
$a ∥ b$ înseamnă paralel, $a ⊥ b$ înseamnă perpendicular

Greșeala tipică

Se hotărăște din desen că două drepte sunt paralele fiindcă nu se ating pe foaie; ele s-ar putea întâlni mult mai departe, așa că paralelismul se stabilește din date sau printr-un criteriu de unghiuri.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre următoarele afirmații despre dreptele paralele este corectă?
- a) Două drepte paralele se intersectează într-un singur punct.
- b) Două drepte paralele formează întotdeauna un unghi de $90°$ .
- c) Două drepte distincte sunt paralele dacă nu au niciun punct comun, oricât le-am prelungi.
- d) Două drepte sunt paralele dacă sunt desenate de aceeași lungime pe foaie.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) Două drepte distincte sunt paralele dacă nu au niciun punct comun, oricât le-am prelungi.

Definiția paralelismului cere ca dreptele să nu aibă niciun punct comun, indiferent cât de mult le-am prelungi. Varianta (a) descrie de fapt drepte care se intersectează; (b) descrie perpendicularitatea ( $⊥$ ); (d) nu are legătură cu paralelismul, fiindcă lungimea desenată pe foaie nu spune nimic despre ce se întâmplă când prelungim dreptele.
Fie dreapta $e$ și punctul $T$ , exterior dreptei $e$ . Prin $T$ se pot trasa oricâte drepte dorim. Conform axiomei paralelelor, câte dintre aceste drepte prin $T$ pot fi paralele cu $e$ ?
- a) Zero, pentru că printr-un punct exterior nu trece nicio paralelă.
- b) Exact una.
- c) Exact două, una de fiecare parte a dreptei $e$ .
- d) O infinitate de drepte paralele.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Exact una.

Axioma paralelelor spune clar: printr-un punct exterior unei drepte trece o singură dreaptă paralelă cu ea. Nu există zero (există cel puțin una, cea construită cu rigla și echerul) și nu există mai multe (orice altă dreaptă prin $T$ , diferită de aceasta, va tăia dreapta $e$ la un moment dat).
Prin punctul $P$ , exterior dreptei $d$ , vrem să construim cu rigla și echerul paralela la $d$ . Care este procedeul corect?
- a) Așezăm o latură a echerului pe dreapta $d$ , sprijinim rigla pe o altă latură a echerului și alunecăm echerul de-a lungul riglei, până când prima latură ajunge în $P$ .
- b) Rotim echerul în jurul punctului $P$ până când formează un unghi de $90°$ cu dreapta $d$ .
- c) Unim $P$ cu un punct oarecare de pe dreapta $d$ și prelungim dreapta obținută.
- d) Trasăm prin $P$ o dreaptă care taie dreapta $d$ într-un punct foarte îndepărtat.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Așezăm o latură a echerului pe dreapta $d$ , sprijinim rigla pe o altă latură a echerului și alunecăm echerul de-a lungul riglei, până când prima latură ajunge în $P$ .

Paralela se obține prin translație: rigla stă fixă ca ghidaj, iar echerul alunecă de-a lungul ei fără să se rotească deloc, deci latura care era pe $d$ își păstrează exact înclinarea până ajunge în $P$ . Varianta (b) descrie construcția perpendicularei din $P$ pe $d$ , nu a paralelei. La (c), dreapta obținută are un punct comun cu $d$ (chiar punctul ales), deci nu e paralelă. La (d), o dreaptă care taie pe $d$ are un punct comun cu ea oricât de departe ar fi acesta — paralelele nu se întâlnesc niciodată.

Întrebări conexe

Ce s-ar întâmpla dacă printr-un punct ar trece două paralele?

S-ar prăbuși multe rezultate cunoscute, printre care și faptul că unghiurile unui triunghi adună $180°$ . Există geometrii construite pe alte reguli, folosite în studiul spațiului și al timpului, dar ele nu descriu foaia de hârtie pe care lucrăm la școală.

Ce unghiuri egale apar când o secantă taie două drepte paralele?

Cele corespondente, cele alterne interne și cele alterne externe au aceleași măsuri. Perechile aflate de aceeași parte a secantei, ambele înăuntru sau ambele în afară, adună $180°$ . Din cele opt unghiuri formate apar doar două valori diferite.

Dacă două drepte sunt paralele cu a treia, ce se poate spune despre ele?

Sunt paralele și între ele. Proprietatea se numește tranzitivitate și se justifică prin axioma paralelelor: dacă s-ar întâlni, prin punctul lor comun ar trece două paralele la aceeași dreaptă, ceea ce nu se poate.

Ce înseamnă că paralelismul este o relație simetrică?

Înseamnă că ordinea în care numești dreptele nu contează: dacă prima este paralelă cu a doua, atunci și a doua este paralelă cu prima. Simbolul folosit, format din două liniuțe alăturate, sugerează chiar această egalitate de tratament.

Unde întâlnesc drepte paralele în viața de zi cu zi?

La șinele de cale ferată, la marginile unei rigle, la rândurile dintr-un caiet, la treptele unei scări sau la marcajele de pe șosea. Toate păstrează aceeași depărtare pe tot parcursul lor, ceea ce este chiar înțelesul paralelismului.

Cum trasez o paralelă cu rigla și echerul?

Așezi o latură a echerului pe dreapta dată și lipești rigla de altă latură a lui. Ținând rigla nemișcată, împingi echerul de-a lungul ei până ajunge în dreptul punctului dorit, apoi trasezi linia. Înclinarea se păstrează, deci dreapta obținută este paralelă.

Oamenii mai întreabă și: axioma paralelelor · câte paralele trec printr-un punct · drepte paralele · semnul de paralelism