Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Ecuația dreptei: panta și partea fixă

Cum aflu parametrul dacă mijlocul e pe dreaptă?

Calculezi întâi coordonatele mijlocului, ca medii ale capetelor, apoi le înlocuiești în ecuația dreptei și rezolvi ecuația în parametru. Exemplu: dreapta $y = - 3 x + a$ și capetele $A (- 13; 2)$ , $B (5; 16)$ au mijlocul $(- 4; 9)$ , deci $9 = - 3 \cdot (- 4) + a$ și $a = - 3$ . Proba: pentru $x = - 4$ , dreapta $y = - 3 x - 3$ dă $- 3 \cdot (- 4) - 3 = 9$ , ordonata mijlocului.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a IX-a → ·

Ecuația dreptei leagă două mărimi care se schimbă uniform: $y = m x + n$ . Panta $m$ spune cu cât crește $y$ la fiecare unitate în plus de $x$ , iar $n$ este valoarea lui $y$ pentru $x = 0$ . Într-un tarif, $m$ este prețul unei unități, iar $n$ este partea fixă, plătită oricâte unități ai cumpăra.

Pentru dreapta prin două puncte calculezi mai întâi $m = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ , cu punctele luate în aceeași ordine în ambele scăderi. Apoi folosești un singur punct: $y - y_{A} = m (x - x_{A})$ , de unde $n = y_{A} - m x_{A}$ . Dacă dreapta e dată prin punct și pantă, treci direct la a doua relație.

Axele sunt tăiate în $(0; n)$ și, pentru $m \neq = 0$ , în $(- \frac{n}{m}; 0)$ . Un punct aparține dreptei dacă, punând abscisa lui în ecuație, obții ordonata lui; tot așa afli un parametru, fie că stă în coordonatele punctului, fie în ecuație.

Capcanele frecvente: panta cu diferențele luate în ordine diferită, partea fixă uitată, coordonatele celor două puncte amestecate în aceeași relație și verificarea făcută cu un singur punct. Ecuația se controlează cu ambele puncte date și rămâne valabilă doar pe zona măsurată. La final scrii unitatea: lei, litri sau grade.

De reținut

mijlocul are coordonatele egale cu mediile coordonatelor capetelor
un punct aparține dreptei dacă ordonata lui verifică ecuația cu abscisa lui
parametrul rezultă dintr-o ecuație de gradul I

Greșeala tipică

Se înlocuiește un capăt al segmentului în loc de mijloc: cu $A (- 13; 2)$ s-ar scrie $2 = - 3 \cdot (- 13) + a$ , adică $a = - 37$ . Corect se folosește mijlocul $(- 4; 9)$ , care dă $a = - 3$ .

Exerciții din această mini-lecție

Un electrician calculează costul $y$ (în lei) al unei lucrări în funcție de numărul $x$ de ore lucrate cu ecuația $y = 85 x + 120$ , unde $120$ lei reprezintă deplasarea. Care dintre perechile $(x; y)$ de mai jos descrie o comandă care respectă ecuația?
- a) $(4; 460)$
- b) $(4; 340)$
- c) $(460; 4)$
- d) $(4; 205)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(4; 460)$

Pentru $x = 4$ ore costul este $85 \cdot 4 + 120 = 460$ lei, deci perechea $(4; 460)$ verifică ecuația. Perechea $(4; 340)$ uită deplasarea, iar $(460; 4)$ scrie coordonatele în ordine inversă. Perechea $(4; 205)$ adună panta la partea fixă în loc să o înmulțească cu numărul de ore.
Un salon oferă un abonament de masaj: $12, 5$ lei pe ședință, plus o taxă de înscriere. Pentru $14$ ședințe, clientul plătește în total $295$ lei. Care este taxa de înscriere?
- a) $470$ lei
- b) $282, 5$ lei
- c) $120$ lei
- d) $21, 07$ lei
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $120$ lei

Taxa este ordonata la origine: $n = y_{A} - m x_{A}$ , adică $295 - 12, 5 \cdot 14 = 295 - 175 = 120$ lei. Varianta $470$ lei adună cei $175$ de lei în loc să-i scadă, iar $282, 5$ lei scade prețul unei singure ședințe. Varianta $21, 07$ lei este prețul mediu pe ședință, $\frac{295}{14}$ , în care taxa e împărțită la toate ședințele.
La o fermă de porci, greutatea unui purcel crește aproximativ liniar în primele luni: $5$ kg în ziua a $10$ -a și $22, 5$ kg în ziua a $60$ -a. Care este ecuația greutății $y$ (în kg) în funcție de ziua $x$ ?
- a) $y = 0, 35 x$
- b) $y = - 0, 35 x + 8, 5$
- c) $y = 0, 35 x - 16$
- d) $y = 0, 35 x + 1, 5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $y = 0, 35 x + 1, 5$

Panta este $m = \frac{22 , 5 - 5}{60 - 10} = 0, 35$ kg pe zi, iar $n = 5 - 0, 35 \cdot 10 = 1, 5$ kg, adică greutatea la naștere. Ecuația $y = 0, 35 x$ uită partea fixă, iar $y = - 0, 35 x + 8, 5$ scade în ordine inversă la numărător și la numitor. Ecuația $y = 0, 35 x - 16$ amestecă coordonatele celor două puncte, adică ziua $60$ cu greutatea din ziua $10$ .

Întrebări conexe

Cum aflu parametrul dacă apare chiar în coordonatele punctului?

Înlocuiești coordonatele punctului în ecuație, iar parametrul apare în ambii membri, așa că îl aduni într-o singură parte. Pentru $A (a; 2 a + 5)$ pe dreapta $y = 3 x - 4$ rezultă $2 a + 5 = 3 a - 4$ , deci $a = 9$ . Proba: $A (9; 23)$ și $3 \cdot 9 - 4 = 23$ .

Ce fac dacă parametrul stă la panta dreptei?

Înlocuiești coordonatele punctului și rezolvi ecuația de gradul I în parametru. Pentru dreapta $y = a x + 7$ care trece prin $P (3; 19)$ ai $19 = 3 a + 7$ , deci $3 a = 12$ și $a = 4$ . Proba: $4 \cdot 3 + 7 = 19$ , ordonata lui $P$ .

Cum verific valoarea parametrului după ce am aflat-o?

Pui valoarea găsită în ecuația dreptei și calculezi ordonata pentru abscisa mijlocului: trebuie să obții ordonata mijlocului. Pentru dreapta $y = 5 x + a$ și mijlocul $M (- 2; 1)$ ai găsit $a = 11$ , iar $5 \cdot (- 2) + 11 = 1$ confirmă rezultatul.

Cum scriu ecuația dreptei care trece prin mijlocul unui segment?

Afli mijlocul, apoi scrii ecuația cu acel punct și cu panta cerută. Pentru $A (2; - 6)$ , $B (10; 2)$ mijlocul este $M (6; - 2)$ ; dreapta de pantă $\frac{1}{2}$ prin $M$ are ecuația $y + 2 = \frac{1}{2} (x - 6)$ , adică $y = \frac{1}{2} x - 5$ .

Ce fac dacă mijlocul trebuie să fie pe axa Ox?

Mijlocul stă pe axa Ox când ordonata lui este $0$ . Pentru $A (2; a)$ și $B (6; - 4)$ , ordonata mijlocului este $\frac{a - 4}{2}$ , deci $a - 4 = 0$ și $a = 4$ . Proba: mijlocul $(4; 0)$ are ordonata $0$ , deci este pe axă.

Cum apare ecuația dreptei în probele oficiale?

Ecuația dreptei a apărut în 5 probe M_tehnologic din 2013–2026, în Subiectul I. O formă cere parametrul din ecuație când mijlocul unui segment aparține dreptei, iar altele cer ecuația prin două puncte sau valoarea lui $a$ pentru un punct de pe dreaptă.

Oamenii mai întreabă și: parametrul a când mijlocul segmentului e pe dreaptă · termenul liber al dreptei prin mijlocul unui segment · valoarea parametrului din ecuația dreptei · mijlocul unui segment aparține dreptei cu parametru