Ecuația dreptei pentru tehnologic: tarife

Un afiș cu doar două sau trei prețuri ascunde regula după care se calculează toate celelalte. Cu ecuația dreptei o găsești: afli cât costă o unitate în plus și ce taxă fixă e inclusă în fiecare preț. Ești în clasa a IX-a, la un liceu tehnologic? Atunci lecția asta te ajută și la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), unde ecuația dreptei sau un punct de pe ea a apărut în 5 din cele 83 de probe oficiale 2013–2026.

Situația de pornire

Agenția de turism dintr-o stațiune montană pregătește oferte pentru grupuri de elevi și de angajați. Fiecare grup își alege singur numărul de zile de schi, iar agenția trebuie să dea un preț exact pentru skipass, oricare ar fi numărul ales. Pe afișul pârtiei sunt trecute doar trei prețuri, pe care recepționera agenției le-a așezat într-un tabel. În fiecare preț intră și cartela reîncărcabilă pe care o primește turistul, o taxă care nu depinde de numărul de zile. Tariful pe zi e același în tot sezonul. Un grup a cerut 4 zile, dar în tabel nu există un astfel de rând, iar agenția nu vrea să aștepte răspunsul casei de bilete.

Întrebare: cât costă un skipass pe 4 zile și cât din fiecare preț reprezintă cartela?

De la situație la model

Fiecare mărime de pe afiș are un loc într-un reper cartezian: numărul de zile pe orizontală, prețul pe verticală. Din tabel alegi două rânduri, ca două puncte; al treilea rând rămâne pentru verificare.

Ecuația unei drepte este o relație între $x$ și $y$ pe care o verifică coordonatele fiecărui punct al dreptei și ale niciunui alt punct: un punct e pe dreaptă dacă și numai dacă coordonatele lui verifică ecuația. Pentru un tarif, asta înseamnă că perechea (zile, preț) corectă satisface ecuația, iar o pereche greșită nu o satisface.

Cum scrii ecuația când cunoști un punct și panta?

Fie $A(x_A;y_A)$ un punct al dreptei și $m$ panta ei. Un punct oarecare $(x;y)$ e pe dreaptă atunci când panta dintre $A$ și el este tot $m$, adică $\frac{y-y_A}{x-x_A}=m$. Înmulțești cu $x-x_A$ și obții

$$y-y_A=m(x-x_A)$$

Desfaci paranteza și îl treci pe $y_A$ în dreapta: $y=mx+n$, cu $n=y_A-m{x}_A$. Forma $y=mx+n$ e cea mai la îndemână, pentru că din ea citești direct panta și partea fixă.

Cum scrii ecuația când cunoști două puncte?

Calculezi întâi panta, $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$, apoi folosești unul dintre puncte în formula de mai sus. Nu contează care: dacă ai calculat bine, ambele dau aceeași ecuație. Dacă $x_A=x_B$, dreapta e verticală: nu are pantă, iar ecuația ei e $x=x_A$. Într-un tarif nu întâlnești această situație, fiindcă un preț nu poate fi două valori diferite pentru același număr de zile.

Ce citești din ecuația $y=mx+n$?

Panta $m$ spune cât se schimbă $y$ la fiecare unitate în plus de $x$: într-un tarif, prețul unei unități. Ordonata la origine $n$ e valoarea lui $y$ pentru $x=0$: într-un tarif, partea fixă. Dreapta taie axa $Oy$ în $(0;n)$, iar axa $Ox$ în punctul în care $y=0$, adică în $\left(-\frac{n}{m};0\right)$, dacă $m\ne 0$.

Pentru ce valori ale lui x e bun modelul?

Ecuația e cunoscută doar pe zona măsurată. Între cele două puncte date, calculul ține cât timp tariful pe zi e același. Dincolo de ele, calculul e o prelungire a dreptei și ține numai dacă regula nu se schimbă: un tarif pe zi se poate modifica de la un anumit număr de zile în sus. De aceea intersecția cu axa $Ox$ e adesea doar un punct al dreptei, fără sens în situație.

Metoda pas cu pas

1. Notează datele: două puncte $A(x_A;y_A)$ și $B(x_B;y_B)$, sau un punct și panta. Pune pe orizontală mărimea care se schimbă (zile, mA, grade) și pe verticală rezultatul (lei, milimetri, m²), fiecare într-o singură unitate: dacă timpul e dat în minute și viteza în ore, aduci totul la ore.
2. Dacă ai două puncte, calculează panta $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$, scăzând în aceeași ordine sus și jos.
3. Scrie ecuația cu un punct cunoscut, $y-y_A=m(x-x_A)$, și desfă paranteza până ajungi la $y=mx+n$. Alege punctul cu coordonatele cele mai simple, ca să greșești mai puțin la calcul.
4. Citește rezultatul: $m$ e raportul dintre schimbarea lui $y$ și a lui $x$, iar $n$ e valoarea la $x=0$. Pentru intersecții pui $x=0$ (axa $Oy$) sau $y=0$ (axa $Ox$).
5. Folosește ecuația pentru ce cere problema: pentru un $x$ dat calculezi $y$; pentru un $y$ dat rezolvi o ecuație de gradul I în $x$; pentru un parametru, înlocuiești coordonatele punctului în ecuație și rezolvi.
6. Verifică: ambele puncte date trebuie să verifice ecuația, iar un al treilea punct, dacă există, la fel; semnul pantei trebuie să corespundă cu creșterea sau scăderea; scrie unitatea. Un rezultat fără unitate, de pildă „539” în loc de „539 lei”, e un rezultat nefinisat.

Dacă ai nevoie de panta ca raport, o ai în lecția despre panta unei drepte, iar mijlocul unui segment, de la reperul cartezian. Graficul unei drepte îl citești ca în lecția despre citirea graficului, iar aceeași lege, privită ca funcție de gradul I, apare în lecția despre consum și debit. Restul lecțiilor clasei au un loc în traseul clasei a IX-a pentru tehnologic.

Fișa de buzunar

$$m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$$

$$y-y_A=m(x-x_A)⟹y=mx+n,n=y_A-m{x}_A$$

Dreapta taie axele în $(0;n)$ și în $\left(-\frac{n}{m};0\right)$. Se aplică numai când dreapta nu e verticală, adică $x_B\ne x_A$, iar $m\ne 0$ pentru intersecția cu $Ox$. Verificare rapidă: coordonatele ambelor puncte date verifică ecuația scrisă, iar panta pozitivă înseamnă că $y$ crește odată cu $x$.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Skipass-ul pe orice număr de zile

Domeniu: turism.

Enunț. Reluăm afișul din situația de pornire: două prețuri, 289 lei pentru 2 zile și 664 lei pentru 5 zile. Agenția are nevoie de ecuație ca să calculeze prețul pentru orice număr de zile din sezon. Scrieți ecuația care dă prețul $y$, în lei, în funcție de numărul de zile $x$. Calculați prețul pentru 4 zile și partea fixă a prețului, apoi verificați ecuația cu al treilea preț, 914 lei pentru 7 zile.

Rezolvare. Alegem primele două prețuri ca puncte, $A(2;289)$ și $B(5;664)$, și păstrăm al treilea preț pentru verificare. Panta e prețul unei zile în plus:

$$m=\frac{664-289}{5-2}=\frac{375}{3}=125$$

Cu punctul $A$ scriem $y-289=125(x-2)$, de unde $y=125x-250+289$, adică $y=125x+39$. Pentru 4 zile, $y=125\cdot 4+39=539$ lei. Partea fixă e ordonata la origine: cartela costă 39 lei, iar fiecare zi costă 125 lei.

Capcană. Cine uită cartela scrie $y=125x$ și obține 500 lei pentru 4 zile, cu 39 lei mai puțin decât prețul real. Cine împarte prețul la numărul de zile obține valori diferite, $\frac{289}{2}=144,5$ și $\frac{664}{5}=132,8$ lei, pentru că partea fixă se împarte la mai multe zile.

Verificare. Orice rând din tabel trebuie să se regăsească în ecuație. Ambele puncte date o verifică: $125\cdot 2+39=289$ și $125\cdot 5+39=664$. Al treilea preț, nefolosit la construcție, se potrivește și el: $125\cdot 7+39=914$ lei.

Exemplul 2 — Montajul plăcilor de gips-carton

Domeniu: constructii.

Enunț. O echipă montează plăci de gips-carton pe pereții unui bloc nou, cu un ritm constant de 62 m² pe zi (valoare din exemplu). La sfârșitul zilei a 7-a de lucru, șeful de echipă notează că mai sunt de montat 806 m². Scrieți ecuația suprafeței rămase $R$, în m², în funcție de numărul $x$ al zilelor de lucru încheiate, verificați cu ea suprafața totală din deviz, de 1 240 m², și aflați după ce zi se termină montajul.

Rezolvare. Avem un punct, $(7;806)$, și panta $m=-62$, negativă, pentru că suprafața rămasă scade de la o zi la alta. Scriem $R-806=-62(x-7)$, de unde $R=-62x+434+806$, adică

$$R=-62x+1240$$

Ordonata la origine, 1 240 m², e suprafața rămasă înainte de prima zi de lucru, adică toată suprafața din deviz. Montajul se termină când $R=0$: $62x=1240$, deci $x=20$, la sfârșitul zilei a 20-a de lucru.

Capcană. Cine uită semnul minus scrie $R-806=62(x-7)$, adică $R=62x+372$. Atunci suprafața rămasă ar crește de la o zi la alta, iar la început ar fi fost doar 372 m², nu 1 240 m².

Verificare. Pe alt drum: după ziua a 7-a mai sunt $806:62=13$ zile de lucru, iar $7+13=20$. În primele 7 zile s-au montat $7\cdot 62=434$ m², iar $434+806=1240$ m², cât scrie în deviz.

Exemplul 3 — Un senzor de nivel, de la miliamperi la litri

Domeniu: chimie.

Enunț. Tehnicianul vrea să citească nivelul fără să deschidă rezervorul. Un senzor montat pe un rezervor cu o soluție transmite un curent între 4 mA, rezervor gol, și 20 mA, nivel de 250 cm. Între aceste valori, nivelul depinde liniar de curent. Scrieți ecuația nivelului $L$, în centimetri, în funcție de curentul $I$, în mA. Aflați nivelul la o citire de 11,3 mA și volumul de soluție, în litri, știind că baza rezervorului are 1,2 m².

Rezolvare. Punctele de calibrare sunt $(4;0)$ și $(20;250)$. Panta e $m=\frac{250-0}{20-4}=\frac{250}{16}=15,625$ cm pe mA. Cu punctul $(4;0)$ obținem $L-0=15,625(I-4)$, deci $L=15,625(I-4)$. Pentru $I=11,3$ mA:

$$L=15,625\cdot 7,3=114,0625\approx 114,1$$

adică 114,1 cm.

Înălțimea de 114,0625 cm înseamnă 1,140625 m, deoarece un metru are o sută de centimetri, iar volumul e $1,2\cdot 1,140625=1,36875$ m³, adică 1 368,75 l, aproximativ 1 369 l.

Capcană. Cine tratează 4 mA ca 0 mA scrie $L=15,625I$ și obține $176,6$ cm la 11,3 mA, cu 62,5 cm peste nivelul real.

Verificare. Ecuația dă $L=15,625\cdot 16=250$ cm la 20 mA și $L=0$ la 4 mA, adică chiar cele două puncte de calibrare. La jumătatea domeniului, 12 mA, dă $15,625\cdot 8=125$ cm, jumătate din 250 cm.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: stația de încărcare pe linia robotului

Domeniu: comert.

Enunț. Într-un depozit de marfă, un robot de inventar urmează o linie trasată pe pardoseală, de ecuație $d:y=3x+a$, unde $a$ este număr real; coordonatele sunt în metri, pe planul depozitului. Stația lui de încărcare se montează la mijlocul culoarului dintre rafturile $A(-6;5)$ și $B(4;11)$ și trebuie să fie chiar pe linie. a) Determinați coordonatele mijlocului $M$ al segmentului $AB$. b) Determinați numărul real $a$, știind că mijlocul $M$ aparține dreptei $d$.

Rezolvare. a) Coordonatele mijlocului sunt mediile coordonatelor capetelor: $M\left(\frac{-6+4}{2};\frac{5+11}{2}\right)=M(-1;8)$. b) Punctul $M$ e pe $d$ dacă coordonatele lui verifică ecuația: $8=3\cdot (-1)+a$, deci $8=-3+a$ și $a=11$.

Capcană. Cine inversează coordonatele lui $M$ pune $x=8$ și $y=-1$ și scrie $-1=3\cdot 8+a$, de unde $a=-25$, o linie care nu trece prin stația de încărcare.

Verificare. Cu $a=11$ linia are ecuația $y=3x+11$, iar pentru $x=-1$ obținem $3\cdot (-1)+11=8$, ordonata lui $M$. Stația de încărcare de la mijlocul culoarului se află deci pe linia robotului.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Scrie ecuația dreptei care trece prin $A(-6;11)$ și $B(2;-5)$.

2. Scrie ecuația dreptei de pantă $-\frac{3}{4}$ care trece prin $P(8;-5)$.

3. Află punctele în care dreapta $6x+11y-66=0$ taie axele de coordonate.

4. Verifică dacă punctele $K(3;14)$ și $L(-2;-52)$ aparțin dreptei $y=13x-25$.

Nivelul 2 — situații

5. Într-o plantație de brazi, un pădurar măsoară diametrul unui arbore la 1,30 m de la sol: 18,4 cm la vârsta de 25 de ani și 27,1 cm la 40 de ani; între aceste vârste, diametrul crește aproximativ liniar. a) Scrie ecuația diametrului în funcție de vârstă. b) Ce arată panta? c) La ce vârstă ajunge arborele la diametrul de tăiere de 36 cm, la același ritm?

6. O fișă tehnică dă, pentru o bară de oțel, lungimea $L=0,018T+1499,64$, cu $L$ în milimetri și $T$ în °C. a) Ce arată numerele $0,018$ și $1499,64$? b) Ce lungime are bara la 45 °C? c) La ce temperatură are 1 500,900 mm? d) Cu cât crește lungimea între 20 °C și 80 °C?

7. Un atelier de confecții metalice are de cheltuit 2 400 lei pe tablă, la 48 lei pe m², și pe electrozi de sudură, la 30 lei pe kg. Dacă ia $x$ m² de tablă și $y$ kg de electrozi și cheltuie toată suma, atunci $48x+30y=2400$. a) Scrie $y$ în funcție de $x$ și spune ce arată panta. b) Află punctele în care dreapta taie axele și ce înseamnă ele. c) Câte kg de electrozi mai poate lua atelierul dacă îi trebuie 35 m² de tablă?

8. Un camion trece prin dreptul bornei kilometrice 91 la 30 de minute după plecarea din depozit și merge cu viteza constantă de 76 km/h. a) Scrie ecuația bornei în funcție de timpul în ore. b) La ce bornă se află depozitul? c) Când ajunge camionul la borna 281?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Punctele $A(-4;5)$ și $B(8;14)$ sunt date în reperul cartezian $xOy$. Determinați ecuația dreptei $AB$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Punctul $A(a;2a+9)$ se află, într-un reper cartezian $xOy$, pe dreapta de ecuație $y=7x-16$. Determinați numărul real $a$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Punctele $A(-8;-3)$ și $B(2;9)$ sunt date în reperul cartezian $xOy$, iar dreapta $d$ are ecuația $y=4x+a$, cu $a$ număr real. Determinați numărul real $a$, știind că mijlocul segmentului $AB$ aparține dreptei $d$.

12. (Sinteză.) O grindă rectilinie trece, pe planul unui șantier, prin $A(9;4)$ și are panta $-\frac{4}{9}$. a) Scrie ecuația ei. b) Află punctele în care taie axele. c) Calculează lungimea segmentului dintre aceste puncte.

Răspunsuri și verificări

1. $m=\frac{-5-11}{2-(-6)}=\frac{-16}{8}=-2$, apoi $y-11=-2(x+6)$, deci $y=-2x-1$. Verificare: pentru $B$, $-2\cdot 2-1=-5$, ordonata lui $B$.

2. $y+5=-\frac{3}{4}(x-8)$, deci $y=-\frac{3}{4}x+1$. Verificare: pentru $x=8$, $-\frac{3}{4}\cdot 8+1=-5$, ordonata lui $P$.

3. Pentru $y=0$ rezultă $6x=66$, deci $x=11$: punctul $(11;0)$. Pentru $x=0$ rezultă $11y=66$, deci $y=6$: punctul $(0;6)$. Verificare: $6\cdot 11+11\cdot 0-66=0$ și $6\cdot 0+11\cdot 6-66=0$.

4. Pentru $K$: $13\cdot 3-25=14$, egal cu ordonata lui $K$, deci $K$ aparține dreptei. Pentru $L$: $13\cdot (-2)-25=-51$, diferit de $-52$, deci $L$ nu aparține. Verificare: dreapta trece prin punctul $(0;-25)$, iar $K$ e la 3 unități spre dreapta, cu $13\cdot 3=39$ mai sus, adică $-25+39=14$.

5. a) $m=\frac{27,1-18,4}{40-25}=\frac{8,7}{15}=0,58$ cm pe an, apoi $y-18,4=0,58(x-25)$, deci $y=0,58x+3,9$. b) Diametrul crește cu 0,58 cm pe an, adică cu 5,8 cm la fiecare 10 ani. c) $0,58x+3,9=36$ dă $x=\frac{32,1}{0,58}\approx 55,3$, deci arborele trece de 36 cm în al 56-lea an. Modelul ține doar în jurul vârstelor măsurate: la vârsta 0 ar da 3,9 cm, deși un puiet abia are câțiva milimetri. Verificare: la 55 de ani, $35,8$ cm; la 56 de ani, $36,38$ cm.

6. a) Panta, 0,018 mm pe °C, arată cât se lungește bara la fiecare grad în plus; ordonata la origine, 1 499,64 mm, e lungimea la 0 °C. b) $L(45)=0,018\cdot 45+1499,64=1500,45$ mm. c) $0,018T+1499,64=1500,9$ dă $T=\frac{1,26}{0,018}=70$ °C. d) $0,018\cdot (80-20)=1,08$ mm. Verificare: $L(20)=0,018\cdot 20+1499,64=1500,00$ mm și $L(80)=0,018\cdot 80+1499,64=1501,08$ mm, a căror diferență e 1,08 mm.

7. a) $30y=2400-48x$, deci $y=-1,6x+80$: panta $-1,6$ arată că fiecare m² de tablă în plus înseamnă 1,6 kg de electrozi mai puțin. b) Pentru $x=0$ rezultă $y=80$: toată suma pe electrozi, 80 kg. Pentru $y=0$ rezultă $x=50$: toată suma pe tablă, 50 m². c) $y=-1,6\cdot 35+80=24$ kg de electrozi. Verificare: $48\cdot 35+30\cdot 24=1680+720=2400$ lei.

8. a) 30 de minute înseamnă 0,5 h, deci avem punctul $(0,5;91)$ și panta 76: $y-91=76(t-0,5)$, adică $y=76t+53$. b) Depozitul e la $t=0$, adică la borna 53. c) Borna 281 se atinge când $76t+53=281$, deci $t=3$ h. Verificare: $76\cdot 0,5+53=91$ și $76\cdot 3+53=281$.

9. $m=\frac{14-5}{8-(-4)}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$. Din $y-5=\frac{3}{4}(x+4)$ rezultă $y=\frac{3}{4}x+8$. Verificare: pentru $B$, $\frac{3}{4}\cdot 8+8=14$, ordonata lui $B$.

10. Punctul $A$ e pe dreaptă dacă $2a+9=7a-16$. Atunci $25=5a$, deci $a=5$. Verificare: $A(5;19)$ și $7\cdot 5-16=19$.

11. Mijlocul segmentului $AB$ este $M\left(\frac{-8+2}{2};\frac{-3+9}{2}\right)=M(-3;3)$. Coordonatele lui $M$ verifică ecuația: $3=4\cdot (-3)+a$, deci $a=15$. Verificare: cu $a=15$, $4\cdot (-3)+15=3$, ordonata lui $M$.

12. a) $y-4=-\frac{4}{9}(x-9)$, deci $y=-\frac{4}{9}x+8$. b) Pentru $x=0$: $y=8$, punctul $(0;8)$; pentru $y=0$: $x=18$, punctul $(18;0)$. c) Lungimea e $\sqrt{18^2+8^2}=\sqrt{388}\approx 19,70$ m. Verificare: $A(9;4)$ verifică ecuația, deoarece $-\frac{4}{9}\cdot 9+8=4$.

Așa vine la Bac M3

La Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), ecuația dreptei se cere la Subiectul I, cerința 5, de 5 puncte. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 5 probe. Patru dintre ele sunt citate mai jos, fiecare cu altă formă a cerinței:

• Simularea din 2014, Subiectul I, exercițiul 5: se dau două puncte și se cere ecuația dreptei care trece prin ele, deci pașii 2 și 3 din Metodă: baremul probei scrie ecuația dreptei prin două puncte (3 puncte), apoi forma $y=x+2$ (2 puncte).
• Modelul din 2018, Subiectul I, exercițiul 5: se cere ecuația unei drepte $d$ paralele cu o dreaptă $AB$ dată prin două puncte și trecând prin mijlocul unui segment, deci pasul 3 din Metodă, după ce panta e fixată: baremul scrie panta lui $AB$ (2 puncte), apoi mijlocul segmentului și ecuația lui $d$ (3 puncte).
• Simularea din 2019, Subiectul I, exercițiul 5: se dă un punct cu coordonate care depind de un parametru, $A(a,a+1)$, aflat pe o dreaptă dată, deci pasul 5 din Metodă: baremul scrie egalitatea ordonatei lui $A$ cu valoarea din ecuație (3 puncte), apoi $a=2$ (2 puncte).
• Simularea din 2022, Subiectul I, exercițiul 5: se cere parametrul $a$ din ecuația dreptei $d$, știind că mijlocul unui segment aparține dreptei, deci pasul 5 din Metodă după ce mijlocul e aflat: baremul scrie mijlocul $M(-1,2)$ (2 puncte), apoi înlocuirea lui în ecuație și $a=4$ (3 puncte).

Programa de examen așază ecuația dreptei determinată de un punct și o direcție dată și de două puncte distincte la clasa a X-a. Exercițiile 9, 10 și 11 din lecție reiau prima, a treia și a patra formă, cu alte numere, iar al 12-lea le leagă de intersecțiile cu axele.

Greșeli care costă puncte

• Calculezi panta cu diferențele în ordine diferită sus și jos, de pildă $y_B-y_A$ împărțit la $x_A-x_B$. → Cum o prinzi: semnul pantei trebuie să spună dacă prețul crește sau scade; la skipass, un preț care crește are pantă pozitivă.
• Uiți partea fixă și scrii $y=mx$, ca la o dreaptă prin origine. → Cum o prinzi: pune în ecuație cele două puncte date; la skipass, $125\cdot 2=250$, nu 289.
• Scrii $y-y_A=m(x-x_A)$ cu $x_B$ în loc de $x_A$, adică amesteci coordonatele celor două puncte. → Cum o prinzi: cele două coordonate ale aceluiași punct stau mereu împreună, $A$ cu $A$.
• Înlocuiești coordonatele punctului în ordine inversă, $x$ cu ordonata și $y$ cu abscisa. → Cum o prinzi: abscisa e întâi; la mijlocul $M(-1;8)$, $x=-1$.
• Verifici ecuația doar cu punctul folosit la construcție. → Cum o prinzi: folosește și al doilea punct, sau un al treilea dat; o ecuație cu panta greșită poate trece prin primul punct.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru trunchiul comun, filiera tehnologică (OMEC 6930/2025, Anexa 3), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și la clasa a X-a din 2027–2028. Elevii intrați în clasa a IX-a din 2026–2027 încoace dau Bacalaureatul din 2030 încolo, unde matematica este una dintre disciplinele la alegere (OMEC 4138/2026), pe programa de examen MAT_P3, MAT_P4, MAT_P5 sau MAT_P6, după profil și domeniu (OMEC 5077/2026). Elevii intrați în clasa a IX-a în 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026 sunt pe programele vechi și dau Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 2027, 2028 și 2029 (programa de examen OMEN 4430/2014); pentru ei, ecuația dreptei face parte din programa de examen (Subiectul I; programa de examen o așază în clasa a X-a). În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 5 probe.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă cartela în ecuația skipass-ului?

E ordonata la origine: în $y=125x+39$, numărul 39 e prețul pentru zero zile, adică partea fixă din fiecare preț. Nu poți cumpăra un skipass pe zero zile, dar 39 lei e chiar valoarea cartelei, iar restul prețului, 125 lei, crește cu fiecare zi în plus.

Pot afla prețul pentru 4 zile direct din afiș, fără ecuație?

Da, prin proporție între primele două prețuri. Din 2 zile în 5 zile prețul crește cu 375 lei, adică 125 lei pe zi. Ziua a patra e la 2 din cele 3 zile dintre ele, deci $289+2\cdot 125=539$ lei, același preț ca în ecuație. Proporția e panta, cu alte cuvinte.

Cum își dă seama recepționera că un preț de pe afiș e tipărit greșit?

Pune fiecare rând din tabel în ecuație. Dacă pe afiș ar scrie 941 lei pentru 7 zile, ecuația dată de primele două prețuri ar cere $125\cdot 7+39=914$ lei, deci cele trei puncte n-ar mai sta pe aceeași dreaptă. Atunci un preț e greșit sau tariful pe zi nu e același, iar recepționera întreabă casa de bilete înainte de ofertă.

Ce schimb dacă iau punctele (2; 289) și (7; 914) în loc de (2; 289) și (5; 664)?

Nimic din rezultat. Panta e $\frac{914-289}{7-2}=125$, aceeași, iar ecuația iese tot $y=125x+39$. Orice două puncte de pe aceeași dreaptă dau aceeași ecuație, iar al treilea punct de pe afiș e tocmai verificarea. Alegi, deci, punctele cu calculele cele mai simple.

Plătește un grup de 6 colegi cartela o singură dată?

Nu. Fiecare schior primește cartela lui, deci partea fixă intră în prețul fiecărei persoane. Pentru 4 zile, un skipass costă $125\cdot 4+39=539$ lei, iar grupul plătește $6\cdot 539=3234$ lei. Cine pune cartela o singură dată obține $6\cdot 500+39=3039$ lei, cu 195 lei mai puțin decât trebuie.

Se cere ecuația dreptei la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic)?

Da. În 5 din cele 83 de probe oficiale 2013–2026 a apărut o cerință pe această temă, întotdeauna la Subiectul I, cerința 5, de 5 puncte: ecuația dreptei prin două puncte, o dreaptă paralelă cu alta, un punct sau mijlocul unui segment aflat pe o dreaptă cu parametru. Metoda din lecție le acoperă pe toate.