Lecția pe scurt · clasa a X-a · Radicali: ridici și verifici

Când nu convine o soluție care verifică ecuația?

Soluția nu convine când situația o refuză, chiar dacă verifică ecuația: de exemplu, o adâncime mai mare decât raza. Exemplu: un plan frezat pe un arbore de $30$ mm are lățimea $w = 2 h (30 - h) = 24$ , deci $h (30 - h) = 12$ și $h^{2} - 30 h + 144 = 0$ , cu $h = 6$ sau $h = 24$ . Ambele verifică ecuația, dar raza arborelui este de $15$ mm, deci planul are $h = 6$ mm. Proba: $2 6 \cdot 24 = 24$ .

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a X-a → ·

O ecuație cu radical are necunoscuta sub rădăcină, de obicei într-o formulă de meserie: lățimea unei suprafețe frezate, viteza unui lichid, diagonala unei piese. Pentru ordinul $2$ , radicalul $A$ există numai pentru $A \geq 0$ și nu iese niciodată negativ. De aceea $A = c$ cu $c \geq 0$ înseamnă exact $A = c^{2}$ , iar cu $c < 0$ ecuația nu are soluții.

Metoda are patru mișcări: scrii condițiile, izolezi radicalul într-un membru, ridici ambii membri la pătrat și rezolvi ecuația rămasă, de gradul I sau II. Un coeficient din fața radicalului se împarte înainte de ridicare. Radicalul de ordin $3$ se ridică la cub și nu aduce condiții, fiindcă un cub își păstrează semnul.

Capcana este ridicarea la pătrat: ea șterge semnul și poate adăuga soluții străine, adică valori care verifică ecuația ridicată, dar nu pe cea inițială. De aceea fiecare valoare se pune în ecuația inițială, cu radicalul scris întreg, și primește verdictul «convine» sau «nu convine». Mai există un al doilea fel de «nu convine»: o valoare poate verifica ecuația și totuși să fie respinsă de situație, de pildă o adâncime care depășește raza arborelui.

La final controlezi unitatea și ordinul de mărime al rezultatului.

De reținut

izolezi radicalul, ridici la pătrat, rezolvi și verifici în ecuația inițială
$A = c$ cu $c \geq 0$ înseamnă $A = c^{2}$
o soluție a ecuației poate fi refuzată de situație, ca o adâncime mai mare decât raza

Greșeala tipică

Se uită factorul $2$ din formula lățimii: pentru $w = 24$ mm se scrie $h (30 - h) = 24$ , iar ecuația $h^{2} - 30 h + 576 = 0$ are $Δ < 0$ . Corect este $h (30 - h) = 12$ .

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre ecuațiile de mai jos nu are nicio soluție reală?
- a) $5 x - 4 = - 6$
- b) $x + 9 = 5$
- c) $3 x + 9 = - 2$
- d) $7 - x = 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $5 x - 4 = - 6$

Un radical de ordin $2$ nu este negativ, deci $5 x - 4 = - 6$ nu are soluții. Ecuația $x + 9 = 5$ are soluția $x = 16$ , iar $7 - x = 0$ are soluția $x = 7$ , fiindcă radicalul poate fi chiar $0$ . Ecuația $3 x + 9 = - 2$ are soluția $x = - 17$ : radicalul de ordin $3$ poate fi negativ.
Din orificiul de la baza unui rezervor cu soluție de acid iese lichid cu viteza $v = 20 h$ m/s, unde $h$ este înălțimea soluției deasupra orificiului, în metri. La ce înălțime $h$ viteza de ieșire este de $9$ m/s?
- a) $0, 45$ m
- b) $1620$ m
- c) $8, 1$ m
- d) $4, 05$ m
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $4, 05$ m

Ecuația este $20 h = 9$ , iar prin ridicare la pătrat $20 h = 81$ , deci $h = 4, 05$ m. Valoarea $0, 45$ m vine din $20 h = 9$ , adică din pătratul uitat. Valoarea $1620$ m înmulțește $81$ cu $20$ în loc să împartă, iar $8, 1$ m împarte $81$ la $10$ , ca și cum formula ar fi $10 h$ .
O tavă dreptunghiulară pentru cuptorul unei brutării are lungimea cu $17$ cm mai mare decât lățimea, iar diagonala ei măsoară $53$ cm. Care este lățimea tăvii?
- a) $45$ cm
- b) $28$ cm
- c) $37, 5$ cm
- d) $- 45$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $28$ cm

Cu lățimea $x$ , diagonala dă $x^{2} + (x + 17)^{2} = 53$ . Ridici la pătrat: $2 x^{2} + 34 x + 289 = 2809$ , adică $x^{2} + 17 x - 1260 = 0$ , cu $Δ = 5329 = 7 3^{2}$ și $x = \frac{- 17 \pm 73}{2}$ , deci $x = 28$ sau $x = - 45$ ; lățimea nu este negativă. Valoarea $45$ cm este lungimea, iar $37, 5$ vine din $\frac{53}{2}$ , adică din uitarea celor $17$ cm; valoarea $- 45$ este rădăcina respinsă.

Întrebări conexe

Ce unități pun în formula cu radical?

Aduci toate mărimile în aceeași unitate înainte de calcul. În $t = \frac{2 h}{g}$ , cu $g = 10$ m/s², înălțimea se pune în metri: pentru $h = 0, 45$ m, $t = 0, 09 = 0, 3$ s. Cu $h = 45$ cm pus direct s-ar obține $t = 9 = 3$ s, de zece ori mai mult.

Ce fac când radicalul este de ordin 3?

Ridici ambii membri la cub, fără condiții: din $3 2 x + 5 = - 3$ rezultă $2 x + 5 = - 27$ , deci $x = - 16$ . Cubul își păstrează semnul, așa că nu apar soluții străine; verifici totuși, fiindcă $3 - 27 = - 3$ .

Cum rezolv ecuația cu radicali în ambii membri?

Egalezi expresiile de sub radicali, dar scrii întâi condiția ca fiecare să fie cel puțin $0$ . Din $5 x - 1 = 2 x + 8$ rezultă $5 x - 1 = 2 x + 8$ , deci $x = 3$ ; ambii radicanzi sunt $14$ , pozitivi, deci $x = 3$ convine.

Cum scriu verificarea unei soluții?

Înlocuiești valoarea în ecuația inițială, cu radicalul întreg, și calculezi separat cei doi membri. Pentru $x + 13 = x - 7$ și $x = 12$ , membrul stâng este $25 = 5$ , iar cel drept $12 - 7 = 5$ . Pentru $x = 3$ ies $4$ și $- 4$ , deci $3$ nu convine.

De ce nu ridic la pătrat termen cu termen?

Pentru că pătratul unei sume nu este suma pătratelor. La $h + 2 = 7$ izolezi radicalul, $h = 5$ , apoi ridici: $h = 25$ . Termen cu termen ar ieși $h + 4 = 49$ , deci $h = 45$ , dar $45 + 2 \approx 8, 7$ , nu $7$ .

Ce formă a avut ecuația cu radical la examen?

Ecuația cu radical a apărut în 31 de probe M_tehnologic din 2013–2026, în Subiectul I. Rezolvarea cerea ridicarea la pătrat, valorile găsite și verdictul «convine» sau «nu convine» pentru fiecare.

Oamenii mai întreabă și: soluție care verifică ecuația, dar nu convine · lățimea unui plan frezat pe un arbore · ecuația cu radical dintr-o formulă de atelier · adâncimea de frezare dintr-o lățime dată