Ecuații cu radicali: verifici soluțiile, tehnologic

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a X-a → ·

Frezorul care face un plan pe un arbore nu măsoară lățimea planului, ci adâncimea tăieturii, iar între ele stă un radical. Ca elev de clasa a X-a într-un liceu tehnologic, rezolvi aici ecuațiile cu radical și verifici fiecare valoare găsită, fiindcă ridicarea la pătrat poate adăuga valori care nu sunt soluții. La Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), ecuația cu radical a venit în 31 dintre probele 2013–2026.

Situația de pornire

Într-un atelier de prelucrări mecanice se strunjesc arbori din oțel cu diametrul de 40 mm, pe care un cuplaj se fixează cu un șurub de blocare. Fișa tehnologică cere, pe fiecare arbore, un plan frezat cu lățimea de 24 mm, pe care se sprijină șurubul. Frezorul coboară sania frezei cu o adâncime $h$ , măsurată pe rază, și frezează planul pe lungimea cuplajului. Înainte de serie, face trei încercări pe un semifabricat de probă, din același oțel, și măsoară cu șublerul lățimea planului, cu diviziunea de 0,1 mm.

Adâncimea planului $h$ (mm)	Lățimea planului $w$ (mm)
2	17,4
3	21,1
5	26,5

Lățimea de 24 mm nu apare în tabel, iar frezorul nu vrea să strice arbori ca să o găsească din încercări.

Întrebare: la ce adâncime $h$ are planul lățimea de 24 mm și toate valorile găsite pentru $h$ pot fi folosite în atelier?

De la situație la model

Dicționarul de mai jos leagă mărimile din atelier de literele din ecuație.

În situație	În matematică
adâncimea planului, măsurată pe rază, în mm	necunoscuta $h$
diametrul arborelui, 40 mm	raza $R = 20$ mm
distanța de la axa arborelui la plan	$20 - h$ mm
jumătate din lățimea planului	$a$ , cu $a^{2} + (20 - h)^{2} = 2 0^{2}$
lățimea cerută de fișă, 24 mm	$2 a = 24$ , deci $a = 12$

De unde vine radicalul din lățimea planului?

Secțiunea arborelui e un cerc, iar planul taie din el o coardă. Raza, distanța de la axă la plan și jumătatea lățimii formează un triunghi dreptunghic cu raza drept ipotenuză, deci $a^{2} + (20 - h)^{2} = 2 0^{2}$ (teorema lui Pitagora). Din ea, $a^{2} = 400 - (400 - 40 h + h^{2}) = h (40 - h)$ , adică lățimea e

$w = 2 h (40 - h)$

Pe trei rânduri din tabel formula dă $2 2 \cdot 38 \approx 17, 4$ , $2 3 \cdot 37 \approx 21, 1$ și $2 5 \cdot 35 \approx 26, 5$ . Cu ea, întrebarea din situație devine ecuația $2 h (40 - h) = 24$ , în care necunoscuta stă sub un radical.

Ce condiții aduce radicalul?

Radicalul de ordinul 2 este, pentru un număr $A \geq 0$ , numărul nenegativ al cărui pătrat este $A$ ; se scrie $A$ . Așadar $A$ există numai pentru $A \geq 0$ și nu iese negativ: $9 = 3$ , nu $- 3$ , deși și $(- 3)^{2} = 9$ . Funcția pătrat este bijectivă pe $[0, \infty)$ , iar radicalul e inversa ei (vezi funcția inversă: de la preț la cantitate). De aceea, pentru $c \geq 0$ , egalitatea $A = c$ spune exact că $A = c^{2}$ . Dacă $c < 0$ , ecuația nu are soluții, fiindcă un radical nu e negativ. Dacă $c > 0$ , orice $A$ din $A = c^{2}$ verifică ecuația fără alte condiții, pentru că $c^{2} = c$ .

De ce poate adăuga ridicarea la pătrat soluții?

Pătratul șterge semnul: $B$ și $- B$ au același pătrat. Din $A = B$ ajungi la $A = B^{2}$ , dar $A = B^{2}$ se potrivește și cu $A = - B$ . Când $B$ conține pe $x$ , valorile găsite după ridicare se compară cu condiția $B \geq 0$ , iar cele care n-o îndeplinesc se numesc soluții străine. Radicalul de ordinul 3 nu are această problemă: $3 A = B$ înseamnă exact $A = B^{3}$ , fiindcă un cub își păstrează semnul.

Când «nu convine» vine din algebră și când din meserie?

Sunt două feluri de «nu convine». Cel din algebră: valoarea nu verifică ecuația inițială, cu radicalul scris întreg. Cel din meserie: valoarea verifică ecuația, dar situația o refuză, ca o adâncime mai mare decât raza. Le scrii separat, fiecare cu motivul ei.

Metoda pas cu pas

Scrie condițiile: pentru fiecare radical de ordinul 2, numărul de sub el trebuie să fie cel puțin 0. Dacă membrul drept conține pe $x$ , notează și că el trebuie să fie cel puțin 0, ca în $x - 3 \geq 0$ . Dacă membrul drept e un număr negativ, ecuația nu are soluții și te oprești; nu are rost să ridici la pătrat o egalitate imposibilă.
Izolează radicalul într-un membru, singur, fără alți termeni lipiți de el: la $2 h (40 - h) = 24$ împarți la 2 și obții $h (40 - h) = 12$ .
Ridică la pătrat ambii membri, sau la cub, dacă radicalul e de ordinul 3: $h (40 - h) = 144$ . Scrie fiecare trecere pe rând nou, ca să se vadă ce regulă ai folosit.
Rezolvă ecuația fără radical, de gradul I sau de gradul II, cu discriminantul din lecția despre ecuația de gradul II. Uneori termenii se reduc între membri, ca în exemplul 4, unde rămâne $x^{2} = 49$ .
Compară fiecare valoare cu condițiile de la pasul 1 și notează lângă ea verdictul, «convine» sau «nu convine», cu motivul: valoarea face negativ membrul drept sau face negativ un radicand.
Verifică în ecuația inițială, nu în cea ridicată la pătrat, fiindcă acolo o valoare străină trece fără probleme. Apoi controlează situația: unitatea, ordinul de mărime, faptul că adâncimea, lungimea sau înălțimea nu sunt negative.

Când radicalul apare de mai multe ori și poate fi înlocuit cu o necunoscută ajutătoare, ca $t = x$ , continuă cu ecuațiile rezolvate prin substituție. Toate lecțiile acestei clase le găsești grupate pe unități în hubul clasei a X-a de la tehnologic.

Fișa de buzunar

$A = c ⟺ A = c^{2} (c \geq 0)$

$A = B ⟺ A = B^{2} ș i B \geq 0$

$3 A = B ⟺ A = B^{3}$

La ordinul 2, $A \geq 0$ și radicalul nu e negativ; la ordinul 3 nu ai nicio condiție. Dacă $c > 0$ , soluția din $A = c^{2}$ convine de la sine, fiindcă $c^{2} = c$ . Verificare rapidă: pune valoarea în ecuația inițială, cu radical cu tot, și compară cei doi membri.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Adâncimea planului pe arbore

Domeniu: mecanica.

Enunț. Reia arborele din situația de pornire: diametrul de 40 mm, lățimea planului $w = 2 h (40 - h)$ , iar fișa cere $w = 24$ mm. a) Care este adâncimea $h$ a planului? b) Ce cotă peste plan, adică distanța dintre plan și partea opusă a arborelui, trebuie să arate micrometrul?

Rezolvare. a) Ecuația este $2 h (40 - h) = 24$ , cu condiția $h (40 - h) \geq 0$ , adică $0 \leq h \leq 40$ . Împarți la 2: $h (40 - h) = 12$ . Cum $12 > 0$ , ridici la pătrat: $h (40 - h) = 144$ , adică $h^{2} - 40 h + 144 = 0$ . Discriminantul este $Δ = 1600 - 576 = 1024 = 3 2^{2}$ , deci $h = \frac{40 \pm 32}{2}$ , adică $h_{1} = 4$ și $h_{2} = 36$ . Ambele verifică ecuația inițială: $2 4 \cdot 36 = 2 \cdot 12 = 24$ și $2 36 \cdot 4 = 24$ . Totuși $h_{2} = 36$ nu convine în atelier: planul nu poate fi mai adânc decât raza, de 20 mm, fiindcă din arbore ar rămâne o felie de 4 mm. Cele două valori adunate dau 40: adâncimile $h$ și $40 - h$ taie aceeași coardă, văzută de la cele două capete ale diametrului. Răspuns: $h = 4$ mm. b) Cota peste plan este $40 - 4 = 36$ mm.

Capcană. Cine uită factorul 2 din lățime scrie $h (40 - h) = 24$ . Ajunge la $h^{2} - 40 h + 576 = 0$ , cu $Δ = 1600 - 2304 < 0$ , și crede că planul de 24 mm nu se poate freza. Dar tabelul arată că la 3 mm lățimea e 21,1 mm, iar la 5 mm e 26,5 mm, deci 24 mm se află între ele.

Verificare. Pe alt drum, prin Pitagora: la $h = 4$ mm, planul stă la $20 - 4 = 16$ mm de axă, iar jumătatea lățimii are $2 0^{2} - 1 6^{2} = 12$ mm, deci planul are 24 mm. Valoarea $h = 4$ cade între 3 și 5 mm din tabel, cum trebuie.

Exemplul 2 — Dulapul care se ridică sub tavan

Domeniu: lemn.

Enunț. Un atelier de mobilă face un dulap înalt de 2,40 m pentru o cameră cu tavanul la 2,50 m. Corpul se asamblează culcat pe podea și apoi se ridică în picioare, rotit peste muchia de jos; în timpul ridicării, diagonala peretelui lateral trebuie să încapă sub tavan. Ce adâncime poate avea cel mult dulapul, dacă atelierul mai lasă și o rezervă de 2 cm?

Rezolvare. Fie $x$ adâncimea, în metri. Diagonala laterală este $2, 4^{2} + x^{2} = 5, 76 + x^{2}$ , iar adâncimea cea mai mare dă diagonala egală cu înălțimea camerei: $5, 76 + x^{2} = 2, 5$ . Membrul drept e pozitiv, deci ridici la pătrat: $5, 76 + x^{2} = 6, 25$ , adică $x^{2} = 0, 49$ , cu $x = 0, 7$ sau $x = - 0, 7$ . O adâncime nu e negativă, deci limita este 0,7 m, adică 70 cm. Cu rezerva de 2 cm, atelierul face corpul adânc de cel mult 68 cm.

Capcană. Cine compară doar înălțimea dulapului cu tavanul, 2,40 m sub 2,50 m, crede că merge orice adâncime. Un corp adânc de 80 cm are însă diagonala $5, 76 + 0, 64 = 6, 4 \approx 2, 53$ m și se blochează în tavan la ridicare.

Verificare. Pe alt drum, în decimetri: 7, 24 și 25 verifică $7^{2} + 2 4^{2} = 49 + 576 = 625 = 2 5^{2}$ . La 68 cm diagonala este $5, 76 + 0, 4624 = 6, 2224 \approx 2, 494$ m, sub tavan.

Exemplul 3 — Foișorul de pază din pădure

Domeniu: mediu.

Enunț. Pentru paza unei păduri de câmpie împotriva incendiilor, ocolul silvic ridică un foișor de observare. Pe teren plat, orizontul se vede până la distanța $d = 2 R h$ , unde $R = 6371$ km este raza Pământului, iar $h$ este înălțimea ochiului observatorului; $d$ , $R$ și $h$ se scriu în aceeași unitate (formulă geometrică, fără refracția aerului). Ocolul vrea ca orizontul să fie la cel puțin 22 km. La ce înălțime trebuie să stea observatorul?

Rezolvare. Aduci totul la kilometri: ecuația este $2 \cdot 6371 \cdot h = 22$ , adică $12742 h = 22$ , cu $h$ în km. Cum $22 > 0$ , ridici la pătrat: $12742 h = 484$ , deci $h = 484 : 12742 \approx 0, 037985$ km, adică aproximativ 37,98 m. Cererea e «cel puțin», așa că rotunjești în sus: ochiul observatorului trebuie să fie la 38 m.

Capcană. Cine pune $h$ în metri lângă $R$ în kilometri obține tot $h \approx 0, 038$ , dar îl citește în metri: un foișor de 3,8 cm. Iar cine rotunjește în jos, la 37,9 m, obține $12742 \cdot 0, 0379 \approx 21, 98$ km, sub cei 22 km ceruți.

Verificare. La 38 m, adică 0,038 km: $12742 \cdot 0, 038 = 484, 196 \approx 22, 004$ km, cu puțin peste cerință.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: necunoscuta și în membrul drept

Domeniu: constructii.

Enunț. Printre formele cerinței 3 din Subiectul I, în probele 2013–2026, a fost și cea cu necunoscuta în ambii membri; cu alte numere decât în probe, o cerință de acest tip arată așa: „Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2 x^{2} - 4 x - 45 = x - 2$ .” Ca lungime, $x - 2$ poate fi partea rămasă dintr-o bară de armătură de $x$ metri după ce se taie 2 m, deci nu poate fi negativă.

Rezolvare. Pasul 1 cere $x - 2 \geq 0$ , adică $x \geq 2$ . Ridici la pătrat: $2 x^{2} - 4 x - 45 = x^{2} - 4 x + 4$ . Termenii $- 4 x$ se reduc, iar rămâne $x^{2} = 49$ , deci $x_{1} = 7$ și $x_{2} = - 7$ . Compari cu $x \geq 2$ : valoarea 7 convine, iar $- 7$ nu convine. Radicandul nu cere o condiție separată, fiindcă ajunge să fie egal cu $(x - 2)^{2}$ , deci nu e negativ. Soluția este $x = 7$ .

Capcană. Valoarea $- 7$ verifică ecuația ridicată la pătrat, dar în ecuația inițială dă $98 + 28 - 45 = 81 = 9$ , iar $x - 2 = - 9$ : membrii sunt opuși. Cine o păstrează alături de 7 n-a încheiat rezolvarea.

Verificare. Pentru $x = 7$ radicandul este $98 - 28 - 45 = 25$ , iar $25 = 5 = 7 - 2$ , deci ecuația inițială se verifică.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Pe arborele de 40 mm din situație, calculează, cu formula din model, lățimea planului pentru adâncimile de 1 mm, 8 mm și 12 mm. Rotunjește la 0,1 mm.

2. Rezolvă ecuația $5 x + 19 = 8$ și verifică soluția în ecuația inițială.

3. a) Pentru ce valori ale lui $m$ are soluție ecuația $x + 5 = m$ ? Câte soluții are? b) Rezolvă ecuațiile $3 5 x - 8 = 3$ și $3 5 x - 8 = - 3$ .

4. Figura arată graficul funcției $f (x) = 3 x + 9$ și al dreptei $g (x) = x - 3$ .

a) Citește coordonatele punctului în care se întâlnesc graficele. b) Arată prin calcul că abscisa lui verifică $f (x) = g (x)$ . c) Ridicarea la pătrat a ecuației $3 x + 9 = x - 3$ mai dă o valoare. Care este și de ce nu convine?

Nivelul 2 — situații

5. O fermă montează un hangar pentru utilaje din arce de oțel în formă de semicerc, cu centrul la nivelul pardoselii. Ușa din capăt trebuie să aibă 7,2 m lățime și 4,4 m înălțime, cu colțurile de sus pe arc. a) Ce rază minimă trebuie să aibă arcul? b) Producătorul livrează arce cu deschiderea de 11 m, 12 m sau 13 m. Pe care îl alegi și ce lățime poate avea la el ușa înaltă de 4,4 m?

6. Un rezistor de putere nominală 0,5 W poate primi la borne cel mult tensiunea $U = P \cdot R$ , în volți, unde $P$ e puterea în wați, iar $R$ rezistența în ohmi. a) Ce tensiune maximă suportă un rezistor de 200 Ω? b) Ce rezistență minimă trebuie să aibă rezistorul ca să suporte 12 V?

7. Într-un circuit hidraulic dintr-un atelier, uleiul trece prin două orificii montate în serie, de la pompă, la 10 bar, spre rezervor. Debitul prin primul orificiu este $Q_{1} = 3 10 - p$ , iar prin al doilea $Q_{2} = p$ , în l/min, unde $p$ este presiunea dintre orificii, în bar. Debitele sunt egale. Aflați $p$ și debitul.

8. La o autoutilitară, caroseria oscilează pe un arc cu frecvența $f = \frac{1}{2 π} \frac{k}{m}$ , în Hz, unde $k$ este rigiditatea arcului, în N/m, iar $m$ masa care apasă pe arc, în kg. Pentru confort, constructorul vrea $f = 1, 3$ Hz când pe arc apasă 380 kg. a) Ce rigiditate trebuie să aibă arcul? Rotunjește la 100 N/m. b) Cu marfă, pe arc apasă 470 kg. Ce frecvență are atunci caroseria?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $x^{2} + 6 x + 37 = 8$ .

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $5 x^{2} - 27 x - 40 = 2 x - 8$ .

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $x^{2} - 4 x - 17 = 8 x - 4$ .

12. (Sinteză.) Pe arborele de 40 mm din situație, lățimea planului depinde de adâncimea $h$ după formula din model. a) Arătați că adâncimile de 6 mm și de 34 mm dau aceeași lățime. b) Arătați că un plan de 45 mm nu se poate freza. c) Arătați că $h (40 - h) = 400 - (h - 20)^{2}$ și aflați cea mai mare lățime posibilă.

Răspunsuri și verificări

1. Pentru 1 mm: $2 1 \cdot 39 = 239 \approx 12, 5$ mm. Pentru 8 mm: $2 8 \cdot 32 = 2256 = 32$ mm. Pentru 12 mm: $2 12 \cdot 28 = 2336 \approx 36, 7$ mm. Verificare: la 8 mm planul stă la 12 mm de axă, iar $2 0^{2} - 1 2^{2} = 256 = 16$ mm e jumătatea lățimii, deci 32 mm.

2. Cum $8 > 0$ , $5 x + 19 = 64$ , deci $5 x = 45$ și $x = 9$ . Verificare: $5 \cdot 9 + 19 = 64 = 8$ .

3. a) Pentru $m < 0$ ecuația nu are soluții, fiindcă un radical nu e negativ. Pentru $m \geq 0$ are o singură soluție, $x = m^{2} - 5$ . b) $5 x - 8 = 27$ dă $x = 7$ , iar $5 x - 8 = - 27$ dă $x = - \frac{19}{5} = - 3, 8$ ; la ordinul 3 ambele convin. Verificare: pentru $m = 3$ rezultă $x = 4$ și $9 = 3$ ; $327 = 3$ și $3 - 27 = - 3$ .

4. a) Punctul este $(9; 6)$ . b) $f (9) = 36 = 6$ și $g (9) = 9 - 3 = 6$ . c) Din $3 x + 9 = (x - 3)^{2}$ rezultă $x^{2} - 9 x = 0$ , deci $x = 0$ sau $x = 9$ . Valoarea $x = 0$ nu convine: $f (0) = 3$ , dar $g (0) = - 3$ . Verificare: pe figură, punctul $(0; 3)$ e pe graficul lui $f$ , iar $(0; - 3)$ e pe dreaptă, deci graficele nu se întâlnesc la $x = 0$ .

5. a) Colțul de sus al ușii stă la 3,6 m de axă și la 4,4 m înălțime, deci $R^{2} - 4, 4^{2} = 3, 6$ , cu $R \geq 4, 4$ . Ridici la pătrat: $R^{2} - 19, 36 = 12, 96$ , deci $R^{2} = 32, 32$ și $R \approx 5, 69$ m. b) Deschiderea de 11 m are raza de 5,5 m, prea mică; alegi deschiderea de 12 m, cu raza de 6 m, la care ușa înaltă de 4,4 m poate avea $2 36 - 19, 36 = 2 16, 64 \approx 8, 2$ m lățime. Verificare: $3, 6^{2} + 4, 4^{2} = 12, 96 + 19, 36 = 32, 32$ , iar $5, 6 9^{2} \approx 32, 38$ , puțin peste.

6. a) $U = 0, 5 \cdot 200 = 100 = 10$ V. b) Din $0, 5 R = 12$ rezultă $0, 5 R = 144$ , deci $R = 288$ Ω. Verificare: $P = U^{2} : R = 144 : 288 = 0, 5$ W, exact puterea nominală.

7. Condiția este $0 \leq p \leq 10$ . Din $3 10 - p = p$ , ambii membri nenegativi, rezultă $9 (10 - p) = p$ , deci $90 = 10 p$ și $p = 9$ bar. Debitul este $9 = 3$ l/min. Verificare: $3 10 - 9 = 3 \cdot 1 = 3$ l/min, la fel ca $Q_{2}$ .

8. a) Înmulțești cu $2 π$ : $\frac{k}{380} = 2 π \cdot 1, 3 \approx 8, 168$ , deci $\frac{k}{380} \approx 66, 72$ și $k \approx 25353$ N/m, adică 25 400 N/m. b) $f = \frac{1}{2 π} \frac{25 400}{470} \approx \frac{7 , 351}{6 , 283} \approx 1, 17$ Hz, mai puțin, fiindcă masa a crescut. Verificare: $\frac{1}{2 π} \frac{25 400}{380} \approx 1, 30$ Hz, frecvența cerută.

9. Cum $8 > 0$ , $x^{2} + 6 x + 37 = 64$ , adică $x^{2} + 6 x - 27 = 0$ . Discriminantul este $Δ = 36 + 108 = 144$ , deci $x = \frac{- 6 \pm 12}{2}$ , adică $x_{1} = 3$ și $x_{2} = - 9$ . Ambele convin. Verificare: $9 + 18 + 37 = 64$ și $81 - 54 + 37 = 64$ , iar $64 = 8$ .

10. Condiția este $2 x - 8 \geq 0$ . Ridici la pătrat: $5 x^{2} - 27 x - 40 = 4 x^{2} - 32 x + 64$ , adică $x^{2} + 5 x - 104 = 0$ . Rezultă $x_{1} = 8$ și $x_{2} = - 13$ . Cum $2 \cdot (- 13) - 8 = - 34 < 0$ , valoarea $- 13$ nu convine, iar $2 \cdot 8 - 8 = 8 \geq 0$ convine. Soluția este $x = 8$ . Verificare: $320 - 216 - 40 = 64 = 8 = 2 \cdot 8 - 8$ .

11. Din $x^{2} - 4 x - 17 = 8 x - 4$ rezultă $x^{2} - 12 x - 13 = 0$ , deci $x_{1} = 13$ și $x_{2} = - 1$ . Pentru $x = 13$ : $169 - 52 - 17 = 100$ și $8 \cdot 13 - 4 = 100$ , deci ambii radicanzi sunt pozitivi și convine. Pentru $x = - 1$ : $1 + 4 - 17 = - 12$ și $- 8 - 4 = - 12$ , deci radicanzii sunt negativi și nu convine. Soluția este $x = 13$ . Verificare: $100 = 100 = 10$ .

12. a) $6 \cdot 34 = 204$ și $34 \cdot 6 = 204$ , deci ambele adâncimi dau $w = 2204 \approx 28, 6$ mm. b) Din $2 h (40 - h) = 45$ rezultă $h (40 - h) = 506, 25$ , adică $h^{2} - 40 h + 506, 25 = 0$ , cu $Δ = 1600 - 2025 < 0$ , deci nicio adâncime nu dă 45 mm. c) $400 - (h - 20)^{2} = 400 - h^{2} + 40 h - 400 = h (40 - h)$ . Cum $(h - 20)^{2} \geq 0$ , produsul e cel mult 400, iar lățimea cel mult $2400 = 40$ mm, atinsă la $h = 20$ mm. Verificare: 40 mm e chiar diametrul arborelui.

Așa vine la Bac M3

Ecuația cu radical a apărut în 31 dintre cele 83 de probe oficiale din 2013–2026, de fiecare dată la cerința 3 din Subiectul I. Patru dintre ele, din probe diferite, acoperă formele principale:

August 2026, rezervă, Subiectul I, exercițiul 3: ecuația $6 x + 7 = 5$ are radicalul egal cu un număr pozitiv, deci pasul 3 din Metodă dă direct egalitatea sub radical; primele 3 puncte din barem sunt pentru $6 x + 7 = 25$ , iar ultimele 2 pentru „ $x = 3$ , care convine”.
August 2017, Subiectul I, exercițiul 3: sub radical stă un trinom, $x^{2} + x + 1 = 1$ , deci după pasul 3 rezultă două valori; în barem, 2 puncte merg la $x^{2} + x + 1 = 1$ , iar 3 puncte la „ $x = - 1$ sau $x = 0$ , care convin”.
Simularea din 2021, Subiectul I, exercițiul 3: necunoscuta stă și în membrul drept, $3 - x = 2 x$ , deci pasul 1 pune condiția $2 x \geq 0$ ; baremul acordă 3 puncte pentru $3 - x = 4 x^{2}$ și 2 puncte pentru „ $x = - 1$ , care nu convine; $x = \frac{3}{4}$ , care convine”.
Simularea din 2026, Subiectul I, exercițiul 3: radicali în ambii membri, $4 x - x^{2} = 3 x$ , deci pasul 3 egalează radicanzii; baremul dă 2 puncte pentru $4 x - x^{2} = 3 x$ și 3 puncte pentru „ $x = 0$ sau $x = 1$ , care convin”.

Cea mai des întâlnită formă, rădăcina pătrată dintr-o expresie de gradul I egală cu un număr, a venit în 22 de probe; o exersezi la exercițiul 2. O expresie de gradul al doilea sub radical, egală cu un număr, a venit în 4 probe, necunoscuta și în membrul drept în alte 4, iar radicali în ambii membri într-una. Niciuna dintre cele 31 de ecuații nu are radical de ordinul 3, deși programa de examen îl așază lângă cel de ordinul 2; îl exersezi la exercițiul 3 b). Pe foaia de examen scrie ecuația ridicată la pătrat, valorile găsite și, pentru fiecare, «convine» sau «nu convine». Exercițiile 9–11 repetă trei dintre forme. Pentru celelalte cerințe din Subiectul I, vezi hubul clasei a X-a de la tehnologic.

Greșeli care costă puncte

Uiți factorul 2 din lățimea planului: din $2 h (40 - h) = 24$ scrii $h (40 - h) = 24$ și obții o ecuație fără soluții → cum o prinzi: lățimea maximă e diametrul, 40 mm, deci 24 mm se poate freza, iar tabelul o arată între 3 și 5 mm.
Compari doar înălțimea dulapului cu tavanul → un corp adânc de 80 cm pare bun, dar diagonala lui, 2,53 m, se blochează în tavanul de 2,50 m; cum o prinzi: calculezi diagonala laterală și o compari cu tavanul.
Pui $h$ în metri lângă $R$ în kilometri și ajungi la un foișor de 3,8 cm → cum o prinzi: scrii toate lungimile din formulă în aceeași unitate și compari rezultatul cu un foișor real, de zeci de metri.
Rotunjești în jos o înălțime minimă: 37,9 m dă orizontul la 21,98 km, sub cei 22 km ceruți → cum o prinzi: pui valoarea rotunjită în ecuația inițială și compari cu cerința.
La radicali în ambii membri egalezi radicanzii și nu mai verifici semnul lor: la exercițiul 11, valoarea $- 1$ face ambii radicanzi egali cu $- 12$ → cum o prinzi: calculezi radicanzii pentru fiecare valoare. La simularea din 2026, cu radicali în ambii membri, trei din cele cinci puncte au fost pentru rândul cu valorile găsite și «care convin».

Programa și examenul

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: rezolvarea ecuațiilor cu radicali face parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a X-a), deși programa nouă a clasei a X-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu o conține sau o conține doar în parte. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 31 de probe, la Subiectul I. În programa Bacalaureatului din 2030 tema reapare, parțial, în unitatea IX.4 (funcții, lecturi grafice) la toate cele patru profiluri (MAT_P3–MAT_P6).

Întrebări frecvente

Ce lățime are planul dacă frezorul coboară 10 mm pe arborele de 40 mm? Din formula $w = 2 h (40 - h)$ , la $h = 10$ rezultă $2 10 \cdot 30 = 2300 \approx 34, 6$ mm. Valoarea e mai mare decât cea de 26,5 mm de la 5 mm adâncime, dar nu dublă: lățimea crește tot mai încet, pe măsură ce planul se apropie de axa arborelui, unde ajunge la 40 mm.

Ce adâncime dă un plan de 20 mm pe un arbore de 52 mm? Raza e 26 mm, iar ecuația este $2 h (52 - h) = 20$ , deci $h (52 - h) = 100$ și $h^{2} - 52 h + 100 = 0$ . Discriminantul $2704 - 400 = 2304$ dă $h = \frac{52 \pm 48}{2}$ , adică 2 mm sau 50 mm. Valoarea de 50 mm depășește raza arborelui, deci în atelier rămâne adâncimea de 2 mm, cea care convine și ecuației, și situației.

Cum verifică frezorul pe piesă adâncimea de 4 mm? Măsoară cu micrometrul cota peste plan și compară-o cu $40 - 4 = 36$ mm, apoi măsoară cu șublerul lățimea planului și compară-o cu 24 mm. Dacă cota iese 35,8 mm, planul e cu 0,2 mm prea adânc, iar lățimea lui trece de 24 mm: formula dă 24,5 mm la 4,2 mm adâncime.

Cât de precis trebuie reglată adâncimea, dacă lățimea poate fi 24 ± 0,5 mm? Din aceeași ecuație, lățimea de 23,5 mm cere $h \approx 3, 82$ mm, iar 24,5 mm cere $h \approx 4, 19$ mm, luând de fiecare dată valoarea mai mică de 20 mm. Adâncimea trebuie ținută între 3,82 și 4,19 mm, adică cam ±0,19 mm: toleranța de ±0,5 mm pe lățime devine de peste două ori și jumătate mai strânsă pe adâncime.

De câte ori a trebuit respinsă o valoare la ecuațiile cu radical de la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic)? O singură dată în cele 31 de probe din 2013–2026: la simularea din 2021, unde $x = - 1$ făcea negativ membrul drept. În celelalte, toate valorile găsite au fost bune, dar rezolvările oficiale au scris lângă fiecare «care convine» sau «care verifică ecuația». Verificarea se scrie deci și când nu respinge nimic.