Un service auto estimează că un autoturism valorează $$12000$$ de lei și pierde $$20$$ % din valoarea de la începutul anului în fiecare an. Care ecuație dă numărul $$n$$ de ani după care valoarea lui ajunge la $$6144$$ de lei?

$$12000 \cdot 0{,}8^{n} = 6144$$

$$12000 - 0{,}2 \cdot 12000\, n = 6144$$

$$12000 \cdot 0{,}2^{n} = 6144$$

$$12000 \cdot 1{,}2^{n} = 6144$$

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Exponențiale și logaritmice

Cum aflu turele cu o ecuație exponențială?

După $n$ ture, numărul de straturi este $a^{n}$ , unde $a$ este factorul unei ture; egalezi puterea cu numărul cerut și exponentul dă turele. Exemplu: o folie de polimer se pliază în trei la fiecare tură și trebuie să ajungă la $2187$ de straturi, deci $3^{n} = 2187 = 3^{7}$ și $n = 7$ ture. Proba: $3^{7} = 2187$ , iar cu o tură mai puțin, $3^{6} = 729$ de straturi, nu ajung.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a X-a → ·

Când necunoscuta stă în exponentul unei puteri, ecuația este exponențială; când stă în argumentul unui logaritm, ecuația este logaritmică. Cele două se leagă prin definiția logaritmului: $lo g_{a} b = c$ înseamnă $a^{c} = b$ , cu baza $a > 0$ , $a \neq = 1$ , și cu $b > 0$ . În meserii, exponentul numără etape, ture sau luni, iar raportul dintre mărimea de la început și cea de la sfârșit este o putere a bazei.

La puteri, aduci ambii membri la aceeași bază și egalezi exponenții: $a^{u} = a^{v}$ înseamnă $u = v$ . Când bazele provin din același număr, le rescrii în baza comună. La două puteri adunate, dai factor comun puterea cu exponentul mai mic. La logaritmi, din $lo g_{a} f = lo g_{a} g$ rezultă $f = g$ , iar din $lo g_{a} f = c$ rezultă $f = a^{c}$ .

Logaritmul există numai pentru argument strict pozitiv, așa că scrii condițiile de existență înainte de calcul și compari cu ele fiecare valoare găsită. Valoarea care face un argument zero sau negativ nu convine, chiar dacă verifică ecuația fără logaritmi. O putere cu bază pozitivă nu poate fi egală cu zero sau cu un număr negativ.

Când exponentul nu iese întreg, iar în situație contează un număr întreg de luni sau de ture, iei primul întreg care îndeplinește condiția. Verifici în ecuația inițială, nu în cea transformată.

De reținut

$a^{u} = a^{v}$ înseamnă $u = v$ , pentru $a > 0$ , $a \neq = 1$
$lo g_{a} f = c$ înseamnă $f = a^{c}$
argumentul unui logaritm trebuie să fie strict pozitiv

Greșeala tipică

Se unesc logaritmii adunând argumentele: din $lo g_{3} x + lo g_{3} (x + 2) = lo g_{3} 15$ nu rezultă $2 x + 2 = 15$ , ci $x (x + 2) = 15$ . Ecuația dă $x = 3$ sau $x = - 5$ , iar numai $x = 3$ convine.

Exerciții din această mini-lecție

Un service auto estimează că un autoturism valorează $12000$ de lei și pierde $20$ % din valoarea de la începutul anului în fiecare an. Care ecuație dă numărul $n$ de ani după care valoarea lui ajunge la $6144$ de lei?
- a) $12000 \cdot 0, 8^{n} = 6144$
- b) $12000 - 0, 2 \cdot 12000 n = 6144$
- c) $12000 \cdot 0, 2^{n} = 6144$
- d) $12000 \cdot 1, 2^{n} = 6144$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $12000 \cdot 0, 8^{n} = 6144$

Într-un an valoarea se înmulțește cu $1 - 0, 2 = 0, 8$ , iar în $n$ ani cu $0, 8^{n}$ , deci ecuația este $12000 \cdot 0, 8^{n} = 6144$ ; ea dă $0, 8^{n} = 0, 512 = 0, 8^{3}$ și $n = 3$ . A doua variantă scade aceeași sumă în fiecare an, adică o scădere liniară. A treia ia factorul $0, 2$ , pierderea, în loc de $0, 8$ , iar a patra descrie o creștere.
Un coafor dintr-un salon diluează un colorant: la fiecare etapă concentrația scade de $5$ ori. Plecând de la $1250$ mg/ml, după câte etape ajunge la $2$ mg/ml?
- a) $625$
- b) $125$
- c) $5$
- d) $4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $4$

După $n$ etape concentrația este $\frac{1250}{5 ^{n}}$ . Ecuația $\frac{1250}{5 ^{n}} = 2$ dă $5^{n} = 625 = 5^{4}$ , deci $n = 4$ . Valoarea $625$ este raportul de diluare, nu numărul de etape. Valoarea $125$ este $625 : 5$ , iar $5$ este baza, nu exponentul.
Care este soluția ecuației $lo g_{5} (3 x + 4) = lo g_{5} (x + 10)$ ?
- a) $7$
- b) $1, 5$
- c) $3$
- d) $- 3, 5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $3$

Cu condițiile $3 x + 4 > 0$ și $x + 10 > 0$ , egalezi argumentele: $3 x + 4 = x + 10$ , deci $2 x = 6$ și $x = 3$ ; argumentele sunt $13$ și $13$ , pozitive. Valoarea $7$ vine din $3 x - x = 10 + 4$ , cu semnul lui $4$ greșit. Valoarea $1, 5$ adună coeficienții, $4 x = 6$ . Valoarea $- 3, 5$ egalează un argument cu opusul celuilalt.

Întrebări conexe

De ce scriu «convine» doar la ecuațiile cu logaritmi?

Pentru că o putere $a^{x}$ , cu $a > 0$ , există pentru orice $x$ , deci ecuațiile exponențiale nu au condiții. Un logaritm cere argument strict pozitiv: la $lo g_{7} (x - 11)$ trebuie $x > 11$ , iar o valoare ca $x = 10$ , chiar dacă iese din calcul, nu convine. De aceea verifici fiecare valoare la logaritmi.

Ce înseamnă lg într-o ecuație cu logaritmi?

Simbolul $l g$ este logaritmul în baza $10$ . Din $l g (x + 5) = 1$ rezultă $x + 5 = 1 0^{1}$ , deci $x = 5$ . Argumentul $x + 5 = 10$ este pozitiv, deci valoarea convine; fără bază scrisă, logaritmul din ecuație nu se citește în altă bază.

Ce fac dacă puterea trebuie să fie negativă?

O putere cu bază pozitivă este mereu pozitivă, deci ecuația nu are soluții. Ecuația $5^{x} = - 25$ nu are nicio soluție reală, oricât ai încerca exponenți, pe când $5^{x} = 25$ are soluția $x = 2$ .

Ce fac când numărul de ture nu iese întreg?

Iei primul întreg care îndeplinește condiția, nu rotunjirea obișnuită. Pentru $3^{n} \geq 1000$ rezultă $n \geq lo g_{3} 1000 \approx 6, 29$ . Cum $3^{6} = 729$ nu ajunge, iar $3^{7} = 2187$ depășește pragul, folia are nevoie de $7$ ture.

Ce înseamnă când exponentul iese negativ?

Înseamnă că valoarea cerută este mai mică decât cea de pornire, pe o scară care crește. Din $2^{n} = \frac{1}{8}$ obții $n = - 3$ : trei etape de dublare înapoi. Într-o problemă cu timp, el cere un moment dinainte de începutul măsurătorii.

În câte probe au apărut ecuațiile cu puteri și logaritmi?

Ecuațiile exponențiale și logaritmice au apărut în 52 de probe M_tehnologic din 2013–2026. Pe foaia de examen scrii ecuația transformată și valorile găsite, iar la ecuațiile cu logaritmi adaugi lângă fiecare valoare mențiunea «convine» sau «nu convine».

Oamenii mai întreabă și: numărul de ture pentru un număr dat de straturi · câte plieri dau un număr de straturi · exponentul care dă numărul de straturi · ecuație exponențială la plierea unei folii