Bac tehnologic: ecuații exponențiale și logaritmice

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a X-a → ·

Concentrația de hidrocarburi dintr-un sol tratat scade de patru ori în fiecare lună, iar tehnicianul de mediu vrea să afle după câte luni ajunge la ținta firmei. Numărul de luni stă în exponentul unei puteri, deci ecuația e exponențială, iar răspunsul se scrie ca logaritm. La clasa a X-a, pe filiera tehnologică, înveți să rezolvi ambele feluri de ecuații și să pui condițiile de existență. La Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), tema a venit în Subiectul I în 51 dintre probele 2013–2026.

Situația de pornire

La un depozit de carburanți dintr-o comună, rezervorul subteran de motorină a pierdut lichid în sol. Depozitul se închide, iar pe teren se va amenaja un parc. Firma de intervenție a scos stratul cel mai poluat, predat ca deșeu unui operator autorizat, și tratează pe loc restul solului: îl afânează, îl udă și îi adaugă nutrienți, ca hidrocarburile să se descompună. La sfârșitul fiecărei luni, tehnicianul de mediu ia probe, iar laboratorul măsoară poluantul în miligrame la fiecare kilogram de sol uscat. Fiindcă parcul va avea un loc de joacă, contractul cere ca solul să coboare sub valoarea normală de 100 mg/kg; firma lucrează cu ținta de 90 mg/kg, ca să rămână o rezervă de 10 % pentru incertitudinea analizei (valori din exemplu). Tehnicianul observă că, în primele luni, concentrația se micșorează de același număr de ori în fiecare lună.

Luna	Concentrația la sfârșitul lunii (mg/kg)	De câte ori e mai mică decât la început
0 (înainte de tratament)	23 040	1
1	5 760	4
2	1 440	16

Întrebare: dacă ritmul se păstrează, după câte luni de tratament ajunge concentrația la ținta de 90 mg/kg?

De la situație la model

Privește ultima coloană a tabelului: 1, 4, 16. De la o lună la alta numărul se înmulțește cu 4, deci după $n$ luni concentrația este de $4^{n}$ ori mai mică decât la început.

În situație	În matematică
numărul de luni de tratament	exponentul $n$
„de 4 ori mai mică în fiecare lună”	după $n$ luni, împărțirea la $4^{n}$
concentrația după $n$ luni	$C_{n} = 23040 : 4^{n}$
ținta firmei, 90 mg/kg	ecuația $23040 : 4^{n} = 90$
„de câte ori trebuie să se micșoreze?”	$23040 : 90 = 256$ , deci $4^{n}$ trebuie să fie 256
„după câte luni?”	$n = lo g_{4} 256$ : exponentul la care ridici 4 ca să obții 256

Când necunoscuta stă în exponentul unei puteri, ca $n$ în $23040 : 4^{n} = 90$ , ecuația se numește exponențială. Întrebarea „la ce exponent?” are un nume: logaritmul în baza $a$ al numărului $b$ , scris $lo g_{a} b$ , este exponentul la care ridici $a$ ca să obții $b$ . Deci $lo g_{4} 256 = 4$ , fiindcă $4^{4} = 256$ . Pe scurt:

$lo g_{a} b = c ⟺ a^{c} = b, a > 0, a \neq = 1, b > 0$

Când baza este 10, în loc de $lo g_{10}$ se scrie $l g$ . Dacă necunoscuta se află în argumentul unui logaritm, adică în numărul scris după $lo g_{a}$ , ecuația se numește logaritmică.

Cele două grafice sunt simetrice față de dreapta $y = x$ : punctul $(2; 9)$ e pe graficul puterii, iar $(9; 2)$ e pe al logaritmului. Puterea duce exponentul în rezultat, iar logaritmul duce rezultatul înapoi în exponent: din raportul 256 ai aflat 4 luni. Fiecare valoare pozitivă $b$ vine dintr-un singur exponent $c$ , deci funcția exponențială $f : R \to (0, \infty)$ este bijectivă și are o inversă, logaritmul (vezi funcția inversă: de la preț la cantitate).

De ce poți egala exponenții?

Puterile lui 4 urcă mereu: $4^{1} = 4$ , $4^{2} = 16$ , $4^{3} = 64$ și tot așa, fiecare de patru ori mai mare decât precedenta. Doi exponenți diferiți nu dau niciodată aceeași putere, așa că din $4^{n} = 4^{4}$ rezultă $n = 4$ . Regula merge pentru orice bază $a > 0$ cu $a \neq = 1$ :

$a^{u} = a^{v} ⟺ u = v$

Baza 1 nu ajută: o treaptă care împarte turația la 1 o lasă neschimbată, deci egalitatea $1^{u} = 1^{v}$ nu spune nimic despre $u$ și $v$ . În meserii, bazele sunt rapoarte între mărimi pozitive, iar puterile cu exponent real se folosesc numai cu baze pozitive. O putere cu bază pozitivă e și ea pozitivă: împărțirile la 4 din tabel micșorează concentrația, dar nu o aduc niciodată la zero.

De ce are logaritmul condiții de existență?

Graficul puterii $y = 3^{x}$ stă în întregime deasupra axei orizontale, fiindcă orice putere a unui număr pozitiv e pozitivă. Simetricul lui față de dreapta $y = x$ , graficul logaritmului, stă deci în întregime la dreapta axei verticale: logaritmul se calculează numai din numere strict pozitive. Expresii ca $lo g_{4} (- 20)$ sau $lo g_{4} 0$ nu au sens. Condiția „argument strict pozitiv” se scrie la început, pentru fiecare logaritm din ecuație, și se numește condiție de existență.

Cum aduci o ecuație la o formă pe care o știi?

Dacă bazele sunt puteri ale aceluiași număr, le scrii cu el: cu $8 = 2^{3}$ , $4 = 2^{2}$ și regula $(a^{m})^{n} = a^{mn}$ , puterile lui 8 și ale lui 4 devin puteri ale lui 2. Dacă într-un membru ai două puteri ale aceleiași baze, adunate sau scăzute, scoți în față puterea cu exponentul mai mic: la $3^{x + 3} - 3^{x + 1}$ rămâne $3^{x + 1} \cdot (3^{2} - 1) = 8 \cdot 3^{x + 1}$ . Dacă ai logaritmi adunați, îi unești într-unul singur cu $lo g_{a} u + lo g_{a} v = lo g_{a} (uv)$ , valabilă numai pentru $u > 0$ și $v > 0$ ; regula e explicată în logaritmul produsului.

Metoda pas cu pas

Citește ecuația și decide tipul. Dacă necunoscuta stă în exponent, ecuația e exponențială, ca $23040 : 4^{n} = 90$ . Dacă stă în argumentul unui logaritm, e logaritmică, ca $lo g_{5} x + lo g_{5} (x + 6) = lo g_{5} 55$ din exemplul 4. La logaritmi, scrie îndată condițiile de existență: fiecare argument trebuie să fie strict pozitiv.
Adu ecuația la o formă cunoscută. La puteri, scrie-le cu aceeași bază, cu regulile $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ și $(a^{m})^{n} = a^{mn}$ din lecția reguli pentru puteri reale; un număr subunitar se scrie cu exponent negativ, de exemplu $\frac{1}{16} = 4^{- 2}$ . Dacă ai sume de puteri, scoate în față puterea cu exponentul mai mic. La logaritmi, unește sumele de logaritmi într-un singur logaritm, al produsului argumentelor.
Scoate necunoscuta din exponent sau din logaritm: din $a^{u} = a^{v}$ scrie $u = v$ (la $4^{n} = 4^{4}$ obții $n = 4$ ); din $lo g_{a} f = lo g_{a} g$ scrie $f = g$ ; din $lo g_{a} f = c$ scrie $f = a^{c}$ . Fiecare trecere se scrie pe rând nou, ca să se vadă regula folosită.
Rezolvă ecuația obținută, care de obicei e de gradul I (muți termenii în părți diferite) sau de gradul II (cu discriminantul, ca în lecția ecuația de gradul II).
La logaritmi, compară fiecare valoare cu condițiile din pasul 1 și scrie pentru fiecare „convine” sau „nu convine”. La puteri cu exponentul scris fără fracții și fără radicali nu ai condiții de existență, fiindcă $a^{x}$ există pentru orice $x$ real.
Verifică în ecuația inițială, nu în cea transformată. Dacă răspunsul vine dintr-o situație practică, controlează și ordinul de mărime, unitatea și faptul că numărul de luni, de ture sau de trepte e întreg și pozitiv.

Dacă o ecuație cere o notație nouă, de forma $t = 3^{x}$ , vezi ecuațiile rezolvate prin substituție. Toate lecțiile clasei, pe unități, sunt în hubul clasei a X-a, filiera tehnologică.

Fișa de buzunar

$a^{u} = a^{v} ⟺ u = v (a > 0, a \neq = 1)$

$lo g_{a} f = c ⟺ f = a^{c}$

$lo g_{a} f = lo g_{a} g ⟺ f = g$

Baza este $a > 0$ , $a \neq = 1$ , iar logaritmul există numai pentru argument strict pozitiv: $f > 0$ și $g > 0$ . Dacă o putere cu bază pozitivă trebuie să fie egală cu 0 sau cu un număr negativ, ecuația nu are soluții. Sumele de logaritmi se unesc numai după ce ai pus condiția pe fiecare argument. Verificare rapidă: valoarea găsită, pusă în ecuația inițială, trebuie să dea aceeași valoare în ambii membri.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Durata tratamentului până la 90 mg/kg

Domeniu: mediu.

Enunț. Reia solul din situația de pornire: 23 040 mg/kg la început, concentrația se micșorează de 4 ori în fiecare lună, iar ținta firmei este 90 mg/kg. După câte luni de tratament se ajunge la această valoare?

Rezolvare. După $n$ luni concentrația este $23040 : 4^{n}$ , deci ecuația este $23040 : 4^{n} = 90$ . Cauți puterea: $4^{n}$ este câtul dintre 23 040 și 90, adică 256. Scrii 256 ca produs de factori egali cu 4: $256 = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^{4}$ . Ecuația devine $4^{n} = 4^{4}$ , deci $n = 4$ . Același rezultat dă logaritmul: $n = lo g_{4} 256 = 4$ . Tratamentul durează 4 luni.

Capcană. Cine se oprește la câtul 256 și scrie $n = 256$ ia raportul drept număr de luni. Ar ieși 256 de luni, adică peste 21 de ani, ceea ce nu are sens pentru un tratament de câteva luni. Numărul 256 arată de câte ori s-a micșorat concentrația, iar numărul de luni este exponentul.

Verificare. Pornește de la capăt și înmulțește: $90 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 23040$ , exact concentrația de la început. Patru înmulțiri cu 4 înseamnă patru luni.

Exemplul 2 — Reductorul unui malaxor

Domeniu: mecanica.

Enunț. Un atelier de prefabricate din beton are un malaxor cu tambur, antrenat de un motor care face 1440 de rotații pe minut printr-un reductor cu 3 trepte; în fiecare treaptă turația scade de 4 ori. Reductorul s-a uzat, iar producătorul oferă unul nou, cu trepte în care turația scade de 8 ori. Raportul total al unui reductor este produsul rapoartelor treptelor. Câte trepte trebuie să aibă reductorul nou, ca tamburul să se rotească la fel de repede?

Rezolvare. Raportul total al reductorului vechi este $4^{3}$ , iar al celui nou, cu $y$ trepte, este $8^{y}$ . Ecuația este $8^{y} = 4^{3}$ . Bazele sunt puteri ale lui 2, anume $8 = 2^{3}$ și $4 = 2^{2}$ , așa că $(2^{3})^{y} = (2^{2})^{3}$ , adică $2^{3 y} = 2^{6}$ . Egalezi exponenții: $3 y = 6$ , deci $y = 2$ . Reductorul nou are 2 trepte, cu raportul total $8^{2} = 64$ , cât are și cel vechi, $4^{3} = 64$ .

Capcană. Cine egalează exponenții înainte să aducă bazele la 2 scrie $y = 3$ și comandă un reductor cu raportul $8^{3} = 512$ . Tamburul ar face atunci $1440 : 512 = 2, 8125$ rotații pe minut, de 8 ori mai încet decât trebuie.

Verificare. Turația tamburului, în rotații pe minut: cu reductorul vechi, $1440 : 4 : 4 : 4 = 22, 5$ ; cu cel nou, $1440 : 8 : 8 = 22, 5$ . Ambele dau aceeași turație.

Exemplul 3 — Turele foietajului

Domeniu: turism.

Enunț. În laboratorul de patiserie al unui hotel, foietajul se face împăturind aluatul cu unt. La o tură simplă, aluatul se pliază în trei, iar numărul straturilor de unt se triplează; la o tură dublă se pliază în patru, iar numărul lor se înmulțește cu 4. După fiecare tură, aluatul stă 25 de minute la rece. a) Fișa tehnică cere 729 de straturi de unt, numai cu ture simple. Câte ture face patiserul? b) Ca să termine mai repede, patiserul vrea să lucreze numai cu ture duble și să aibă cel puțin tot atâtea straturi. Câte ture duble îi trebuie? c) Cât timp la rece economisește?

Rezolvare. a) După $n$ ture simple sunt $3^{n}$ straturi, iar $3^{n} = 729 = 3^{6}$ dă $n = 6$ ture. b) După $m$ ture duble sunt $4^{m}$ straturi. Ecuația $4^{m} = 729$ are soluția $m = lo g_{4} 729$ , care nu e număr întreg: $4^{4} = 256 < 729 < 1024 = 4^{5}$ , deci soluția stă între 4 și 5. Turele se numără întregi: cinci ture duble ajung, fiindcă $4^{5} = 1024 \geq 729$ , iar patru nu ajung. c) Șase ture simple cer $6 \cdot 25 = 150$ de minute la rece, adică 2 ore și 30 de minute; cinci ture duble cer 125 de minute, adică 2 ore și 5 minute. Patiserul economisește 25 de minute.

Capcană. La punctul b) nu rotunji soluția în jos, la 4 ture duble: ele dau doar $4^{4} = 256$ de straturi, mai puțin de jumătate din cele 729 cerute.

Verificare. Numără straturile tură cu tură: cu ture simple 3, 9, 27, 81, 243, 729; cu ture duble 4, 16, 64, 256, 1024. Abia a cincea tură dublă trece de 729.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: suma a doi logaritmi

Domeniu: constructii.

Enunț. Cu alte numere decât în probe, cerința sună așa: „Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $lo g_{5} x + lo g_{5} (x + 6) = lo g_{5} 55$ .” Pe un șantier, $x$ ar putea fi o latură a unei platforme betonate dreptunghiulare, a cărei altă latură e cu 6 m mai mare.

Rezolvare. Condițiile de existență sunt $x > 0$ și $x + 6 > 0$ ; împreună dau $x > 0$ . Unești logaritmii: $lo g_{5} (x (x + 6)) = lo g_{5} 55$ , deci $x^{2} + 6 x = 55$ , adică $x^{2} + 6 x - 55 = 0$ . Discriminantul este $Δ = 36 + 220 = 256$ , iar $x = \frac{- 6 \pm 16}{2}$ dă $x_{1} = 5$ și $x_{2} = - 11$ . Compari cu condiția $x > 0$ : valoarea 5 convine, iar $- 11$ nu convine. Soluția este $x = 5$ . Ca laturi de platformă, 5 m și 11 m dau aria de 55 m².

Capcană. Numărul $- 11$ verifică ecuația de gradul II, dar nu ecuația cu logaritmi: ar cere $lo g_{5} (- 11)$ , care nu există. Cine îl păstrează alături de 5 n-a încheiat rezolvarea.

Verificare. Pentru $x = 5$ : $lo g_{5} 5 + lo g_{5} 11 = lo g_{5} (5 \cdot 11) = lo g_{5} 55$ , exact membrul drept. Laturile 5 m și 11 m dau aria $5 \cdot 11 = 55$ m².

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Rezolvă ecuația $7^{5 x - 8} = 7^{2 x + 13}$ și verifică soluția prin înlocuire.

2. Rezolvă ecuația $2 7^{x + 1} = 9^{2 x - 1}$ , aducând puterile la aceeași bază.

3. Scrie condiția de existență și rezolvă ecuația $lo g_{4} (5 x - 7) = lo g_{4} 33$ .

4. Figura arată graficele funcțiilor $f, g : R \to (0, \infty)$ , $f (x) = 2^{2 x - 5}$ și $g (x) = 2^{7 - x}$ .

a) Citește din figură coordonatele punctului în care se taie graficele. b) Arată prin calcul că abscisa lui verifică ecuația $f (x) = g (x)$ .

Nivelul 2 — situații

5. O firmă produce cartofi de sămânță. Din 7 t de sămânță de bază, recolta fiecărei generații de înmulțire este de 8 ori mai mare decât cantitatea plantată și devine sămânța generației următoare. a) După câte generații ajunge cantitatea la 3584 t? b) Câte tone se recoltează la a doua generație de înmulțire?

6. Un laborator de control al unei fabrici de detergenți verifică două soluții-etalon independente, ca să se confirme una pe alta: etalonul A are 1280 mg/l, iar etalonul B are 80 mg/l. Laborantul face cele două serii de diluții în paralel, pe două rânduri ale aceluiași stativ: la fiecare treaptă, soluția A se diluează de 4 ori, iar soluția B de 2 ori. Pe treapta la care cele două concentrații sunt egale, le citește la fotometru: dacă aparatul dă aceeași valoare, etaloanele sunt corecte. La a câta treaptă se întâmplă asta și ce concentrație au atunci?

7. Într-o fabrică de lactate, un tratament termic micșorează numărul de microorganisme de 10 ori la fiecare 2 minute. Laptele are la intrare 72 000 de microorganisme într-un mililitru. Reducerea în unități logaritmice este $l g (N_{0} : N)$ , unde $N_{0}$ este numărul de la început, iar $N$ numărul rămas. a) Ce număr rămâne după o reducere de 3 unități logaritmice? b) În câte minute se obține această reducere?

8. Un automat programabil citește semnalul unui senzor, adus între 0 și 4,096 V, printr-un convertor analog-numeric. Un convertor de $n$ biți împarte intervalul de la 0 la 4,096 V în $2^{n}$ trepte egale. a) Câți biți are convertorul dacă o treaptă are 1 mV? b) Cât are o treaptă la un convertor de 10 biți? c) Câți biți trebuie pentru trepte de 0,25 mV?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $4 9^{x - 1} = 7^{3 x - 8}$ .

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $lo g_{6} (x^{2} - 11 x + 18) = lo g_{6} (3 x - 6)$ .

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $4^{x + 1} + 4^{x - 1} = 68$ .

12. (Sinteză.) Rețeaua de apă a unui complex zootehnic pornește dintr-o conductă principală, nivelul 0. Fiecare conductă se împarte în 4 conducte, iar ultimele conducte alimentează câte o linie de adăpători. Pe nivelul $k$ sunt $4^{k}$ conducte. a) Ultimul nivel are 64 de linii de adăpători: câte niveluri are rețeaua după nivelul 0? b) Câte conducte are rețeaua în total? c) La o extindere, proiectantul scrie că rețeaua are 341 de conducte în total. Câte niveluri are atunci? (Suma $1 + 4 + 16 + \dots + 4^{k}$ este $\frac{4 ^{k + 1} - 1}{3}$ .)

Răspunsuri și verificări

1. Egalezi exponenții: $5 x - 8 = 2 x + 13$ , deci $3 x = 21$ și $x = 7$ . Verificare: $7^{27} = 7^{27}$ , fiindcă $5 \cdot 7 - 8 = 27$ și $2 \cdot 7 + 13 = 27$ .

2. $27 = 3^{3}$ și $9 = 3^{2}$ , deci $3^{3 (x + 1)} = 3^{2 (2 x - 1)}$ . De aici $3 x + 3 = 4 x - 2$ și $x = 5$ . Verificare: $2 7^{6} = 3^{18}$ și $9^{9} = 3^{18}$ .

3. Condiția: $5 x - 7 > 0$ , adică $x > \frac{7}{5}$ . Egalezi argumentele: $5 x - 7 = 33$ , deci $x = 8$ , iar $8 > \frac{7}{5}$ convine. Verificare: $5 \cdot 8 - 7 = 33$ , deci în ambii membri e $lo g_{4} 33$ .

4. a) Graficele se taie în punctul $(4; 8)$ . b) $f (x) = g (x)$ înseamnă $2 x - 5 = 7 - x$ , deci $3 x = 12$ și $x = 4$ . Verificare: $f (4) = 2^{3} = 8$ și $g (4) = 2^{3} = 8$ , la fel ca în figură.

5. a) Cantitatea după $n$ generații este $7 \cdot 8^{n}$ , iar $7 \cdot 8^{n} = 3584$ dă $8^{n} = 512 = 8^{3}$ , deci $n = 3$ generații. b) După două generații: $7 \cdot 8^{2} = 448$ t. Verificare: 7, 56, 448, 3584 t, adică trei înmulțiri succesive cu 8.

6. După $x$ trepte, soluția A are $1280 : 4^{x}$ , iar soluția B are $80 : 2^{x}$ . Cele două concentrații sunt egale când $1280 : 4^{x} = 80 : 2^{x}$ . La început raportul A : B este $1280 : 80 = 16$ , iar la fiecare treaptă el se împarte la $4 : 2 = 2$ , fiindcă A se micșorează de 4 ori, iar B de 2 ori. Raportul devine 1 când $16 : 2^{x} = 1$ , adică $2^{x} = 16 = 2^{4}$ , deci la treapta a 4-a. Concentrația comună este $80 : 2^{4} = 5$ mg/l. Verificare: $1280 : 4^{4} = 1280 : 256 = 5$ mg/l.

7. a) Din $l g (72000 : N) = 3$ rezultă $72000 : N = 1 0^{3}$ , deci $N = 72$ de microorganisme într-un mililitru. b) Trei reduceri de câte 10 ori, fiecare de 2 minute, înseamnă 6 minute. Verificare: $72000 : 1 0^{3} = 72$ .

8. a) 4,096 V înseamnă 4096 mV, deci sunt 4096 de trepte de 1 mV: $2^{n} = 4096 = 2^{12}$ și $n = 12$ biți. b) $4096 : 2^{10} = 4096 : 1024 = 4$ , deci o treaptă are 4 mV. c) $4096 : 0, 25 = 16384 = 2^{14}$ , deci trebuie 14 biți. Verificare: $16384 \cdot 0, 25 = 4096$ mV, adică exact 4,096 V.

9. $49 = 7^{2}$ , deci $7^{2 (x - 1)} = 7^{3 x - 8}$ . Egalezi exponenții: $2 x - 2 = 3 x - 8$ , deci $x = 6$ . Verificare: $4 9^{5} = 7^{10}$ și $7^{3 \cdot 6 - 8} = 7^{10}$ .

10. Condițiile: $x^{2} - 11 x + 18 > 0$ și $3 x - 6 > 0$ . Egalezi argumentele: $x^{2} - 11 x + 18 = 3 x - 6$ , adică $x^{2} - 14 x + 24 = 0$ , cu soluțiile $x_{1} = 12$ și $x_{2} = 2$ . Pentru $x = 12$ : $144 - 132 + 18 = 30 > 0$ și $3 \cdot 12 - 6 = 30 > 0$ , deci convine. Pentru $x = 2$ : $4 - 22 + 18 = 0$ și $3 \cdot 2 - 6 = 0$ , iar $lo g_{6} 0$ nu există, deci nu convine. Soluția este $x = 12$ . Verificare: în ambii membri e $lo g_{6} 30$ .

11. Dai factor comun $4^{x - 1}$ : $4^{x - 1} (4^{2} + 1) = 68$ , deci $17 \cdot 4^{x - 1} = 68$ . Rezultă $4^{x - 1} = 4$ , deci $x - 1 = 1$ și $x = 2$ . Verificare: $4^{3} + 4^{1} = 64 + 4 = 68$ .

12. a) $4^{k} = 64 = 4^{3}$ , deci $k = 3$ : rețeaua are 3 niveluri după nivelul 0. b) În total sunt $\frac{4 ^{4} - 1}{3} = 85$ de conducte. c) $\frac{4 ^{k + 1} - 1}{3} = 341$ dă $4^{k + 1} = 1024 = 4^{5}$ , deci $k + 1 = 5$ și $k = 4$ : rețeaua are 4 niveluri după nivelul 0. Verificare: $1 + 4 + 16 + 64 = 85$ , iar adăugând nivelul 4, cu 256 de conducte, ajungi la 341.

Așa vine la Bac M3

În probele oficiale 2013–2026, ecuațiile exponențiale și cele logaritmice au apărut în 52 de probe: 29 exponențiale și 23 logaritmice. În 51 dintre probe ecuația este a treia cerință din Subiectul I, iar în iunie 2016 ea apare în Subiectul al II-lea, problema 1, punctul c), într-o egalitate de matrice. Patru cerințe reale, din probe diferite, arată patru dintre formele în care a venit:

Iunie 2026, Subiectul I, exercițiul 3: ecuația are aceeași bază în ambii membri, $7^{3 - x} = 7^{4 x - 2}$ , deci pasul 3 din Metodă dă direct egalitatea exponenților; baremul probei scrie $3 - x = 4 x - 2$ (3 puncte), apoi $x = 1$ (2 puncte).
Simularea din 2017, Subiectul I, exercițiul 3: bazele sunt diferite, $8^{x} = 4^{2 x + 1}$ , deci pasul 2 le aduce la baza 2; baremul probei scrie $2^{3 x} = 2^{4 x + 2} \Leftrightarrow 3 x = 4 x + 2$ (3 puncte), apoi $x = - 2$ (2 puncte).
Proba specială din 2019, Subiectul I, exercițiul 3: o ecuație cu logaritmi egali, în care $x$ stă în ambele argumente, $lo g_{8} (x^{2} - 27) = lo g_{8} (x - 3)^{2}$ , unde în dreapta logaritmul se ia din pătratul numărului $x - 3$ ; la pasul 3 argumentele se egalează, iar baremul probei ajunge de aici la o ecuație de gradul I (3 puncte), apoi scrie „ $x = 6$ , care convine” (2 puncte).
Modelul din 2023, Subiectul I, exercițiul 3: o sumă de logaritmi în aceeași bază, $lo g_{4} x + lo g_{4} (3 x) = lo g_{4} 12$ ; la pasul 2 logaritmii se unesc, baremul probei scrie $3 x^{2} = 12$ (3 puncte), apoi „ $x = - 2$ , care nu convine; $x = 2$ , care convine” (2 puncte).

Cea mai des întâlnită formă logaritmică, $lo g_{a} f (x) = lo g_{a} b$ , cu $x$ într-un singur argument, a venit în 12 probe; o exersezi la exercițiul 3. Pe foaia de examen scrie ecuația transformată, apoi valoarea sau valorile și, la logaritmi, verdictul „convine” sau „nu convine” pentru fiecare valoare. Exercițiile 9 și 10 repetă două dintre aceste forme, iar exercițiul 11 are puteri adunate, ca în două dintre cele 52 de probe. Celelalte teme ale Subiectului I le găsești în lecțiile clasei a X-a, filiera tehnologică.

Greșeli care costă puncte

Egalezi exponenții înainte să aduci bazele la una singură: din $8^{y} = 4^{3}$ (exemplul 2) scrii $y = 3$ → cum o prinzi: înlocuiești, $8^{3} = 512$ , dar $4^{3} = 64$ ; scrii întâi ambele baze ca puteri ale lui 2 (pasul 2 din Metodă) și obții $y = 2$ .
Scrii condiția cu „ $\geq 0$ ” în loc de „ $> 0$ ”: la exercițiul 10 păstrezi $x = 2$ , care face ambele argumente egale cu 0 → cum o prinzi: argumentul trebuie să fie strict pozitiv, iar $lo g_{6} 0$ nu există.
Păstrezi o valoare care nu convine: la modelul din 2023, două din cele cinci puncte erau pentru rândul care scrie ambele valori, fiecare cu verdictul ei → cum o prinzi: pui valoarea în fiecare argument și vezi dacă ies numere pozitive.
Unești logaritmii adunând argumentele: din $lo g_{3} x + lo g_{3} (x + 12) = lo g_{3} 45$ scrii $2 x + 12 = 45$ și $x = 16, 5$ → cum o prinzi: unirea cere produsul argumentelor, nu suma; $x (x + 12) = 45$ dă $x = 3$ , iar verificarea $3 \cdot 15 = 45$ iese.
Rotunjești în jos un număr de ture sau de luni care nu iese întreg → cum o prinzi: verifici cu puterea, de exemplu $4^{4} = 256 < 729$ , deci patru ture duble nu ajung.

Programa și examenul

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: rezolvarea ecuațiilor exponențiale și logaritmice face parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a X-a), deși programa nouă a clasei a X-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu o conține sau o conține doar în parte. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 52 de probe, la Subiectul I și Subiectul al II-lea. În programa Bacalaureatului din 2030 tema reapare, parțial, în unitatea IX.4 (funcții, lecturi grafice) la toate cele patru profiluri (MAT_P3–MAT_P6).

Întrebări frecvente

Ce se schimbă dacă tratamentul micșorează concentrația de doar 3 ori pe lună? Ecuația devine $23040 : 3^{n} = 90$ , deci puterea căutată este 256. Numărul 256 nu e putere a lui 3, fiindcă $3^{5} = 243$ și $3^{6} = 729$ , deci soluția stă între 5 și 6. După 5 luni mai sunt 94,8 mg/kg, încă peste țintă, iar după 6 luni 31,6 mg/kg: concentrația coboară sub țintă în a șasea lună.

Cum își dă seama tehnicianul că ritmul s-a păstrat? Împarte fiecare valoare la cea din luna dinainte: 23 040 : 5 760 = 4 și 5 760 : 1 440 = 4. La sfârșitul lunii a treia, modelul prevede 1 440 : 4 = 360 mg/kg. Dacă laboratorul raportează mult mai mult, de exemplu 600 mg/kg, raportul a scăzut la 2,4, iar termenul de 4 luni nu mai ține, iar calculul se reface cu valorile noi.

Cât durează tratamentul într-o zonă a terenului care pornește de la 5 760 mg/kg? Câtul devine $5760 : 90 = 64$ , iar $64 = 4^{3}$ , deci 3 luni: cu o lună mai puțin decât zona cea mai poluată. Motivul se vede în tabel: 5 760 mg/kg este chiar valoarea la care zona principală ajunge după prima lună. Verificare: 5 760, 1 440, 360, 90 mg/kg, adică trei împărțiri la 4.

Ce se schimbă dacă laboratorul ia probe doar o dată la două luni? Termenul rămâne același. În două luni concentrația se micșorează de $4 \cdot 4 = 16$ ori. Cu $p$ perioade de câte două luni, ecuația devine $23040 : 1 6^{p} = 90$ , deci $1 6^{p} = 256 = 1 6^{2}$ și $p = 2$ perioade, adică tot 4 luni. Numai că tehnicianul ar afla abia la final dacă ritmul s-a păstrat.

Ce forme au avut ecuațiile la Bacalaureatul M3 în probele din 2022–2026? În cele 15 probe din 2022–2026 care au avut tema au venit 8 ecuații exponențiale și 7 logaritmice. Șapte dintre cele exponențiale aveau aceeași bază în ambii membri, iar una cerea aducerea la aceeași bază. Dintre cele logaritmice, patru egalau doi logaritmi, două egalau un logaritm cu un număr, iar una avea o sumă de logaritmi.