Când o ecuație nu are nicio soluție?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Câte soluții are o ecuație

Atunci când, după toate simplificările, litera se șterge singură și în locul ei rămâne ceva fals, de pildă $8 = 3$ . Nicio valoare nu poate face adevărat așa ceva, deci mulțimea soluțiilor este vidă. Dacă în schimb rămâne o egalitate adevărată, ca $0 = 0$ , orice număr se potrivește. Iar dacă necunoscuta rămâne cu un coeficient diferit de zero, ecuația are exact o soluție.

Orice ecuație liniară adusă la forma $a x + b = 0$ are exact una dintre cele trei „sorți": o soluție unică, nicio soluție sau o infinitate de soluții. Totul se decide privind coeficienții $a$ și $b$ :

Dacă $a \neq = 0$ , împarți liniștit la $a$ și obții o singură valoare: $x = - \frac{b}{a}$ .
Dacă $a = 0$ și $b \neq = 0$ , necunoscuta dispare și rămâne o egalitate falsă (de exemplu $8 = 3$ ) — ecuația e imposibilă, $S = \emptyset$ .
Dacă $a = 0$ și $b = 0$ , rămâne o egalitate adevărată ( $0 = 0$ ) — orice număr e soluție, $S = R$ .

Exemplu minimal: la $5 x + 10 = 5 x + 10$ , scazi $5 x$ din ambii membri și rămâi cu $10 = 10$ , adevărat pentru orice $x$ , deci $S = R$ . Regula de aur: dacă necunoscuta rămâne cu coeficient nenul, ai o soluție; dacă dispare, te uiți doar la ce rămâne — adevărat sau fals.

De reținut

$a \neq = 0$ : o singură soluție, $x = - \frac{b}{a}$
$a = 0$ și $b \neq = 0$ : nicio soluție, $S = \emptyset$
$a = 0$ și $b = 0$ : orice număr real este soluție
o ecuație liniară nu poate avea exact două soluții

Greșeala tipică

Se scrie mulțimea cu zero în ea când ecuația nu are soluții. Lipsa soluțiilor se notează cu mulțimea vidă, pe când ${0}$ arată că există o soluție, chiar numărul zero.

Exerciții din această mini-lecție

Ecuația $6 x + 12 = 6 x + 5$ are:
- a) o singură soluție
- b) nicio soluție
- c) o infinitate de soluții
- d) exact două soluții
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) nicio soluție

Scăzând $6 x$ din ambii membri rămâne $12 = 5$ , o egalitate falsă fără necunoscută. Deci $a = 0$ , $b \neq = 0$ , iar $S = \emptyset$ .
Pentru ecuația $3 (x + 2) = 3 x + 6$ , mulțimea soluțiilor $S$ este:
- a) $S = {2}$
- b) $S = \emptyset$
- c) $S = R$
- d) $S = {0}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $S = R$

Desfăcând paranteza obținem $3 x + 6 = 3 x + 6$ , aceeași expresie în ambii membri. Scăzând $3 x$ rămâne $6 = 6$ , adevărat, deci $a = 0$ și $b = 0$ : identitate, $S = R$ .
Ecuația $7 x - 3 = 7 x + 4$ are:
- a) o singură soluție
- b) nicio soluție
- c) o infinitate de soluții
- d) exact două soluții
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) nicio soluție

Scăzând $7 x$ din ambii membri rămâne $- 3 = 4$ , o egalitate falsă fără necunoscută. Deci $a = 0$ , $b \neq = 0$ , iar $S = \emptyset$ .

Întrebări conexe

Ce înseamnă că am ajuns la 5 egal 12 într-o ecuație?

Înseamnă că ecuația nu are nicio soluție, nu că ai greșit. Necunoscuta s-a simplificat singură, iar ce a rămas este fals oricum ai alege numărul. Se scrie atunci că mulțimea soluțiilor este vidă.

Cum rezolv ecuația 5x plus 10 egal 5x plus 10?

Scazi $5 x$ din amândouă părțile și rămâi cu $10 = 10$ , adevărat oricare ar fi numărul pus în locul literei. Așadar orice număr real este soluție, iar mulțimea soluțiilor cuprinde toată axa.

Ce valori ale lui m fac ecuația mx egal 6 imposibilă?

Numai $m = 0$ , fiindcă atunci partea stângă devine zero, iar zero nu poate fi 6. Pentru orice altă valoare a lui $m$ ecuația are o soluție, anume $x = \frac{6}{m}$ .

Cum arată pe grafic o ecuație fără soluții?

Cele două părți ale egalității desenează două drepte paralele, care nu se întâlnesc niciodată. Punctul de întâlnire ar fi tocmai soluția, iar lipsa lui se vede cu ochiul liber. La o infinitate de soluții, cele două drepte se suprapun.

Ce înseamnă că soluția este orice număr real?

Înseamnă că egalitatea este adevărată indiferent ce număr pui în locul literei, deci nu ai de aflat nimic. Astfel de scrieri se numesc identități, iar mulțimea soluțiilor cuprinde toate numerele reale.

Unde apar în practică ecuațiile fără soluție?

Apar când condițiile din enunț se bat cap în cap: două prețuri care nu pot fi în același timp și egale, și diferite, sau două viteze care ar cere ca un drum să dureze deodată două lucruri deosebite. Rezultatul îți spune că problema, așa cum e scrisă, nu are răspuns.

Oamenii mai întreabă și: ecuație fără soluție · ecuație imposibilă · când are o ecuație o infinitate de soluții · mulțimea vidă la ecuații · cazurile unei ecuații liniare