Pentru care dintre ecuațiile de mai jos poți folosi o singură notație $$t$$ ca să ajungi la o ecuație de gradul al doilea în $$t$$?

$$16^{x} - 20 \cdot 4^{x} + 64 = 0$$

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Substituția: notezi, rezolvi, revii

Cum aleg notația t la o ecuație cu radical?

Alegi ca literă nouă expresia care se repetă și al cărei pătrat apare în ecuație; la un radical notezi $u = t$ , cu $u \geq 0$ . Exemplu: masa unui lot de purcei, $3 t + 2 t = 44$ kg, devine $2 u^{2} + 3 u - 44 = 0$ , cu $u = 4$ sau $u = - 5, 5$ . Păstrezi $u = 4$ , deci $t = 16$ săptămâni. Proba: $3 \cdot 4 + 2 \cdot 16 = 44$ .

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a X-a → ·

Substituția este o schimbare de necunoscută: o expresie care se repetă în ecuație primește o literă nouă, iar ecuația devine una de gradul al doilea, pe care o știi rezolva. Notația se alege după o pereche în care o expresie este pătratul celeilalte: $x^{4}$ și $x^{2}$ , $a^{2 x}$ și $a^{x}$ , $x$ și $x$ , $l g^{2} x$ și $l g x$ . Dacă expresiile nu se leagă așa, o singură literă nu ajută.

Fiecare notație are condiția ei. Pătratul $x^{2}$ și radicalul $x$ nu sunt negative, o putere $a^{x}$ cu baza pozitivă este strict pozitivă, iar $l g x$ poate lua orice valoare reală. Valorile literei noi care încalcă condiția se aruncă. Dacă litera obișnuită este deja ocupată în problemă, de pildă de timp, alegi alta și spui ce înseamnă.

Apoi revii la necunoscuta de la început, cu regula notației: din $t = x^{2}$ iese $x = \pm t$ , din $t = a^{x}$ iese $x = lo g_{a} t$ , din $t = x$ iese $x = t^{2}$ , iar din $t = l g x$ iese $x = 1 0^{t}$ . Capcana este să te oprești la valoarea literei noi sau să aplici aceeași condiție la toate notațiile.

Verifici în ecuația de la început, nu în cea transformată, iar în probleme de meserie scrii mărimea cu unitatea ei.

De reținut

notezi expresia al cărei pătrat apare în ecuație și scrii condiția pe litera nouă
$l g x$ poate lua orice valoare, dar $x^{2}$ , $x$ și $a^{x}$ au condiții
după rezolvare revii la necunoscuta inițială și verifici

Greșeala tipică

Se oprește calculul la valoarea notației: la $x^{4} - 90 x^{2} + 729 = 0$ se obține $t = 9$ sau $t = 81$ și se scrie $x = 9$ sau $x = 81$ . Corect este $x^{2} = 9$ și $x^{2} = 81$ , deci $x = \pm 3$ și $x = \pm 9$ .

Exerciții din această mini-lecție

Pentru care dintre ecuațiile de mai jos poți folosi o singură notație $t$ ca să ajungi la o ecuație de gradul al doilea în $t$ ?
- a) $3^{x} + 5^{x} = 34$
- b) $x^{3} - 7 x^{2} + 12 = 0$
- c) $1 6^{x} - 20 \cdot 4^{x} + 64 = 0$
- d) $x + 5 3 x - 24 = 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $1 6^{x} - 20 \cdot 4^{x} + 64 = 0$

Numărul $1 6^{x}$ este pătratul lui $4^{x}$ , deci cu $t = 4^{x}$ , $t > 0$ , a treia ecuație devine una de gradul al doilea în $t$ . La prima, $3^{x}$ și $5^{x}$ au baze diferite și nu sunt una pătratul celeilalte. La a doua nu există pereche pătrat–rădăcină. La a patra, $t = 3 x$ dă $t^{3} + 5 t - 24 = 0$ , ecuație de gradul al treilea.
Un lăcătuș dintr-un atelier calculează săgeata unui arbore lung cu formula $f (L) = 0, 01 L^{4} + 0, 09 L^{2}$ milimetri, unde $L$ este lungimea în decimetri. Ce lungime $L$ dă o săgeată de $16, 2$ mm?
- a) $36$ dm
- b) $6$ dm
- c) $- 6$ dm și $6$ dm
- d) $6, 7$ dm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $6$ dm

Apar numai puteri pare, deci notezi $t = L^{2}$ , cu $t \geq 0$ : $0, 01 t^{2} + 0, 09 t = 16, 2$ , adică $t^{2} + 9 t - 1620 = 0$ , cu $Δ = 6561 = 8 1^{2}$ și $t = 36$ sau $t = - 45$ . Valoarea $- 45$ nu respectă $t \geq 0$ , iar din $L^{2} = 36$ rezultă $L = 6$ dm, fiindcă o lungime nu este negativă. Valoarea $36$ citește $t$ drept $L$ , varianta cu $\pm 6$ păstrează lungimea negativă, iar $6, 7 \approx 45$ vine din rădăcina respinsă.
Într-o brutărie, o cultură de drojdie pentru aluat are două tulpini: una se împătrește în fiecare oră, alta se dublează. După $n$ ore, numărul total de celule, în milioane, este $4^{n} + 2^{n}$ . După câte ore totalul este de $72$ de milioane?
- a) $3$
- b) $8$
- c) $4, 6$
- d) $3, 2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $3$

Cu $t = 2^{n}$ , $t > 0$ , pătratul lui $t$ este $4^{n}$ , iar ecuația devine $t^{2} + t - 72 = 0$ , cu $Δ = 289$ și $t = 8$ sau $t = - 9$ . Valoarea $- 9$ nu respectă $t > 0$ , iar din $2^{n} = 8$ rezultă $n = 3$ . Valoarea $8$ ia $t$ drept $n$ . Valoarea $4, 6$ ia $4^{n}$ drept dublul lui $t$ , ceea ce nu e adevărat, iar $3, 2$ păstrează rădăcina respinsă, cu $lo g_{2} 9 \approx 3, 2$ .

Întrebări conexe

Cum revin la x după ce găsesc t?

Folosești regula notației: $t = x^{2}$ dă $x = \pm t$ , $t = 3^{x}$ dă $x = lo g_{3} t$ , $t = x$ dă $x = t^{2}$ , iar $t = l g x$ dă $x = 1 0^{t}$ . Pentru $t = 49$ obții $x = \pm 7$ la prima notație și $x = 2401$ la a treia.

Cum rezolv ecuația în t când coeficientul lui t² nu e 1?

Folosești discriminantul ecuației de gradul al doilea. Pentru $3 x - 11 x + 6 = 0$ notezi $u = x$ și obții $3 u^{2} - 11 u + 6 = 0$ , cu $Δ = 121 - 72 = 49$ și $u = \frac{11 \pm 7}{6}$ , adică $u = 3$ sau $u = \frac{2}{3}$ . Ambele sunt nenegative, deci $x = 9$ sau $x = \frac{4}{9}$ .

Ce fac dacă ambele valori ale lui t sunt negative?

Ecuația nu are soluții reale. Din $x^{4} + 12 x^{2} + 11 = 0$ rezultă $t^{2} + 12 t + 11 = 0$ , deci $t = - 1$ sau $t = - 11$ , dar $t = x^{2}$ nu poate fi negativ. Ambele valori se resping, iar mulțimea soluțiilor este vidă.

Pot nota cu t o paranteză care se repetă?

Da, dacă paranteza apare întreagă de fiecare dată. La $(x^{2} + 3 x)^{2} - 22 (x^{2} + 3 x) + 72 = 0$ notezi $t = x^{2} + 3 x$ și obții $t^{2} - 22 t + 72 = 0$ , cu soluțiile 4 și 18. Revii rezolvând câte o ecuație de gradul al doilea pentru fiecare valoare a lui $t$ și obții patru soluții: 1, −4, 3 și −6.

Cum verific o soluție găsită cu notație?

Calculezi ambii membri ai ecuației primite, cu valoarea găsită, și compari rezultatele, termen cu termen. Pentru $x - 7 x + 10 = 0$ ai găsit $x = 4$ și $x = 25$ : $4 - 14 + 10 = 0$ și $25 - 35 + 10 = 0$ , deci ambele verifică ecuația.

Oamenii mai întreabă și: notația t la ecuații cu radical · substituția u egal rădăcină din t · cum rezolv o ecuație cu radical prin notație · ce condiție pun pe litera nouă