Ecuații cu t = ceva: substituția la tehnologic

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a X-a → ·

Ecuația care dă grosimea unui strat de zinc are în ea timpul și rădăcina lui pătrată. Se rezolvă ocolit: notezi rădăcina cu o literă nouă, iar ecuația devine una pe care o știi. Alegerea notației potrivite, respingerea valorilor fără sens și întoarcerea la necunoscuta de la început sunt pașii acestei lecții, scrisă pentru clasa a X-a din liceele tehnologice. Substituția face parte din programa Bacalaureatului M3 (M_tehnologic).

Situația de pornire

Laboratorul unei fabrici de piese metalice verifică zincarea la cald. Piesele din oțel, curățate în soluție de acid, se scufundă într-o baie de zinc topit, iar la suprafață se formează un strat de aliaj fier–zinc, a cărui grosime depinde de timpul de imersie. Caietul de sarcini cere în jur de 600 g de zinc pe metru pătrat, adică un strat de aproximativ 84 µm, la densitatea zincului de 7,14 g/cm³ (valori din exemplu). Laboratorul a ținut trei epruvete în baie, pe rând, pentru timpi diferiți, și a măsurat pe fiecare grosimea stratului cu un aparat magnetic pentru straturi de acoperire, la o precizie de 1 µm.

Timpul în baie $t$ (min)	Grosimea stratului $δ$ (µm)
1	16
4	44
16	136

Pe aceste date, laboratorul a potrivit modelul $δ (t) = 10 t + 6 t$ , valabil între 1 și 20 de minute.

Întrebare: cât timp trebuie ținute piesele în baie ca stratul să atingă 84 µm, și ce notație alegi ca să rezolvi ecuația?

De la situație la model

Tabelul traduce cerința laboratorului în matematică.

În situație	În matematică
timpul în baie, în minute	variabila $t$ , cu $1 \leq t \leq 20$
grosimea stratului, în µm	valoarea $δ (t) = 10 t + 6 t$
stratul cerut, 84 µm	ecuația $10 t + 6 t = 84$
rădăcina pătrată a timpului	o notație nouă, $u = t$ , cu $u \geq 0$
timpul căutat	$t = u^{2}$ , după ce afli $u$

De ce notezi rădăcina cu o literă nouă?

În ecuație apar $t$ și $t$ , iar $t = (t)^{2}$ . Cu $u = t$ , ecuația devine $10 u + 6 u^{2} = 84$ , adică o ecuație de gradul II în $u$ , pe care o rezolvi ca în lecția despre ecuația de gradul II. Substituția este această schimbare de necunoscută: înlocuiești o expresie care se repetă cu o literă nouă, rezolvi în noua literă și revii la necunoscuta de la început.

Cum ajungi la o ecuație de gradul II?

Ecuația ascunde un pătrat, iar regulile puterilor îl scot la iveală. Pentru $x^{4}$ scrii $x^{4} = (x^{2})^{2}$ . Pentru $9^{n}$ folosești $9 = 3^{2}$ și regula puterii unei puteri din lecția despre puteri cu exponent real: $9^{n}$ este pătratul lui $3^{n}$ . Pentru $t$ scrii $t = (t)^{2}$ , iar pentru $l g^{2} x$ pătratul e deja vizibil. După ce ai găsit pătratul, înlocuiești baza lui cu litera nouă, iar restul termenilor, care conțineau baza la puterea întâi, trec și ei în litera nouă.

Cum alegi notația?

Notația se alege după ce se repetă în ecuație, și anume după perechea în care o expresie este pătratul celeilalte. Aici $t$ este pătratul lui $t$ . În această lecție vezi patru perechi: $x^{4}$ și $x^{2}$ , puterile $a^{2 x}$ și $a^{x}$ , $x$ și $x$ , $l g^{2} x$ și $l g x$ . Fiecare pereche cere altă literă nouă și alt control asupra valorilor ei, ca în tabelul din Metodă.

De ce contează condiția pe litera nouă?

Condiția vine din ce poate fi noua mărime. O rădăcină pătrată nu e negativă, deci $t \geq 0$ . Pătratul $x^{2}$ nu e negativ. O putere $a^{x}$ cu baza pozitivă nu iese nici 0, nici negativă. Logaritmul $l g x$ , în schimb, poate fi orice număr real, fiindcă $x$ poate fi oricât de aproape de 0. Valorile ecuației în litera nouă care încalcă condiția se aruncă. Mai contează și câte valori ale necunoscutei de la început corespund unei singure valori a notației: $x^{2} = 9$ dă două, $x = 3$ dă una.

Metoda pas cu pas

Caută ce se repetă în ecuație și verifică dacă o expresie este pătratul celeilalte: $x^{4}$ față de $x^{2}$ , $9^{n}$ față de $3^{n}$ , $t$ față de $t$ . Dacă expresiile se repetă, dar nu sunt una pătratul celeilalte, mai întâi aduci ecuația la o formă în care sunt.
Alege notația din tabelul de mai jos și scrie condiția ei. Dacă litera obișnuită, $t$ , este deja folosită în problemă pentru timp, ia alta, de pildă $u$ , și scrie ce înseamnă.
Rescrie ecuația în litera nouă, ca ecuație de gradul II, și rezolv-o cu discriminantul. Dacă ai un factor comun al coeficienților, simplifică ecuația înainte de a calcula $Δ$ , ca să lucrezi cu numere mai mici.
Păstrează numai valorile care respectă condiția notației și spune pentru fiecare dacă o păstrezi sau o respingi.
Revino la necunoscuta inițială, cu regula din ultima coloană a tabelului. În problemele de meserie spune cu cuvinte ce mărime ai obținut, de pildă timpul în minute, nu doar valoarea lui $u$ .
Verifică în ecuația inițială, nu în cea cu litera nouă, apoi controlează unitățile și limitele din situație.

Dacă ecuația are…	atunci notezi…	condiția pe $t$	fiecare $t$ păstrat dă…
$x^{4}$ și $x^{2}$	$t = x^{2}$	$t \geq 0$	două valori, $x = \pm t$ (una dacă $t = 0$ )
$a^{2 x}$ și $a^{x}$ , cu $a > 0$ , $a \neq = 1$	$t = a^{x}$	$t > 0$	o valoare, $x = lo g_{a} t$
$x$ și $x$	$t = x$	$t \geq 0$	o valoare, $x = t^{2}$
$l g^{2} x$ și $l g x$	$t = l g x$	orice $t$ real	o valoare, $x = 1 0^{t}$

Pentru ecuațiile cu puteri care se rezolvă și fără notație nouă, vezi ecuațiile exponențiale și logaritmice. Pentru celelalte unități ale clasei, mergi în hubul clasei a X-a de la tehnologic.

Fișa de buzunar

$t = x^{2}, t = a^{x}, t = x, t = l g x$

$t^{2} + pt + q = 0, t trebuie s \overset{a}{˘} respecte condi ț ia nota ț iei$

Notația funcționează când ecuația se scrie ca pătrat plus termen de gradul I în litera nouă: condiția pe $t$ este $t \geq 0$ , $t > 0$ , $t \geq 0$ și, respectiv, oricare, iar întoarcerea la $x$ urmează tabelul din Metodă. Verificare rapidă: pune valoarea găsită pentru $x$ în ecuația inițială și compară cei doi membri.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Timpul în baia de zinc

Domeniu: chimie.

Enunț. Reia modelul din situația de pornire, $δ (t) = 10 t + 6 t$ , cu $δ$ în µm și $t$ în minute. Cât timp trebuie ținute piesele în baie ca stratul să ajungă la 84 µm?

Rezolvare. Ecuația este $10 t + 6 t = 84$ , iar $t$ este pătratul lui $t$ . Notezi $u = t$ , cu $u \geq 0$ , și obții $6 u^{2} + 10 u - 84 = 0$ , adică $3 u^{2} + 5 u - 42 = 0$ . Discriminantul este $Δ = 25 + 504 = 529 = 2 3^{2}$ , deci $u = \frac{- 5 \pm 23}{6}$ , adică $u_{1} = 3$ și $u_{2} = - \frac{14}{3}$ . Condiția $u \geq 0$ respinge a doua valoare. Revii la timp: $t = 3$ , deci $t = 9$ minute, în intervalul 1–20 de minute al modelului.

Capcană. Cine alege să ridice la pătrat în loc să noteze scrie $10 t = 84 - 6 t$ și ajunge la $9 t^{2} - 277 t + 1764 = 0$ , cu $t = 9$ și $t = \frac{196}{9} \approx 21, 8$ minute. A doua valoare e străină: face negativ membrul drept, $84 - 6 \cdot \frac{196}{9} < 0$ , și iese și din intervalul modelului. Cu notația $u = t$ și condiția $u \geq 0$ , ea nu mai apare deloc.

Verificare. La 9 minute, $109 + 6 \cdot 9 = 30 + 54 = 84$ µm. Masa de zinc este $84 \cdot 7, 14 = 599, 76$ g/m², practic cele 600 g/m² cerute de caietul de sarcini. Pe tabel, 9 minute stau între rândurile de 4 și de 16 minute, iar 84 µm între 44 µm și 136 µm, deci rezultatul nu iese din limitele măsurătorilor.

Exemplul 2 — Deschiderea unei grinzi de lemn lamelar

Domeniu: lemn.

Enunț. Un atelier de tâmplărie face grinzi din lemn lamelar pentru planșeul unei case. Pentru grinda aleasă, fișa tehnică dă săgeata la mijloc, sub sarcina planșeului, $f (L) = 0, 05 L^{4} + 0, 2 L^{2}$ , în mm, unde $L$ este deschiderea, în metri: primul termen vine din încovoiere, al doilea din forfecare (valori din exemplu). Sub grindă se montează un perete despărțitor de sticlă, care nu suportă o săgeată mai mare de 16 mm. Ce deschidere poate acoperi grinda cel mult?

Rezolvare. Săgeata crește odată cu deschiderea, deci deschiderea cea mai mare dă exact 16 mm: $0, 05 L^{4} + 0, 2 L^{2} = 16$ . Înmulțești cu 20: $L^{4} + 4 L^{2} - 320 = 0$ . Apar numai puteri pare, deci notezi $t = L^{2}$ , cu $t \geq 0$ : $t^{2} + 4 t - 320 = 0$ . Discriminantul este $Δ = 16 + 1280 = 1296 = 3 6^{2}$ , deci $t = \frac{- 4 \pm 36}{2}$ , adică $t_{1} = 16$ și $t_{2} = - 20$ . Condiția $t \geq 0$ respinge a doua valoare. Din $L^{2} = 16$ rezultă $L = 4$ , fiindcă o deschidere nu e negativă. Grinda acoperă cel mult 4 m.

Capcană. Cine se oprește la $t = 16$ și scrie 16 m citește pătratul deschiderii ca deschidere. O grindă de 16 m ar avea săgeata $0, 05 \cdot 65536 + 0, 2 \cdot 256 = 3328$ mm, peste 3 m.

Verificare. $f (4) = 0, 05 \cdot 256 + 0, 2 \cdot 16 = 12, 8 + 3, 2 = 16$ mm. La 4,1 m, $f = 0, 05 \cdot 282, 5761 + 0, 2 \cdot 16, 81 \approx 17, 49$ mm, peste limită, deci 4 m e chiar deschiderea maximă.

Exemplul 3 — Rama cu sticlă pentru un format A

Domeniu: comert.

Enunț. Un atelier de înrămare vinde sticla cu 120 lei/m² și bagheta de lemn cu 30 lei/m. Formatele A se obțin unul din altul tăind coala în două: A0 are 1 m², A1 jumătate, deci formatul An are aria $(\frac{1}{2})^{n}$ m². Laturile scad la fiecare tăiere de $2$ ori, așa că perimetrul lui An este $4, 06 \cdot (\frac{1}{2})^{n}$ m, unde 4,06 m e perimetrul lui A0, de 1 189 mm pe 841 mm. Un client are 100 de lei pentru sticlă și baghetă. Care este cel mai mare format A pe care și-l poate înrăma?

Rezolvare. Aria este pătratul lui $(\frac{1}{2})^{n}$ , deci notezi $u = (\frac{1}{2})^{n}$ , cu $u > 0$ . Prețul este $120 u^{2} + 30 \cdot 4, 06 u = 120 u^{2} + 121, 8 u$ lei. La limita bugetului, $120 u^{2} + 121, 8 u - 100 = 0$ , cu $Δ = 14835, 24 + 48000 = 62835, 24$ și $Δ \approx 250, 67$ . Rădăcina pozitivă este $u \approx \frac{- 121 , 8 + 250 , 67}{240} \approx 0, 537$ , iar cealaltă, $\approx - 1, 55$ , nu respectă condiția $u > 0$ . Valoarea 0,537 cade între $\frac{1}{2} \approx 0, 707$ , pentru A1, și $\frac{1}{2} = 0, 5$ , pentru A2. Prețul crește odată cu $u$ , deci A1 depășește bugetul, iar A2 încape: la $u = 0, 5$ costă $30 + 60, 9 = 90, 90$ lei.

Capcană. Cine notează aria, $t = (\frac{1}{2})^{n}$ , obține $120 t + 121, 8 t = 100$ și rămâne cu un radical: notația bună e radicalul ariei. Iar cine alege formatul imediat mai mare, A1, cu $u \approx 0, 707$ , peste $0, 537$ , plătește $60 + 121, 8 \cdot 0, 7071 \approx 146, 13$ lei, peste buget.

Verificare. Pe alt drum, cu dimensiunile reale: A2 are 594 mm pe 420 mm, deci sticla de $0, 2495$ m² costă aproximativ 29,94 lei, iar bagheta de $2 \cdot (0, 594 + 0, 420) = 2, 028$ m costă 60,84 lei; împreună, 90,78 lei, sub 100 de lei. A1, de 841 mm pe 594 mm, ar costa aproximativ $59, 95 + 86, 10 = 146, 05$ lei.

Exemplul 4 — Problema inversă: modelul tasării unui rambleu

Domeniu: constructii.

Enunț. Pentru un rambleu așezat pe un teren moale, topograful măsoară tasarea $s$ , în mm, la două momente: 26 mm după 4 luni și 54 mm după 9 luni. Tasarea urmează modelul $s (t) = a t + b t$ , cu $t$ în luni. a) Află $a$ și $b$ . b) Limita admisă este de 92 mm. După câte luni se atinge?

Rezolvare. a) Cu $u = t$ modelul devine $s = a u + b u^{2}$ . La 4 luni, $u = 2$ și $2 a + 4 b = 26$ . La 9 luni, $u = 3$ și $3 a + 9 b = 54$ . Din prima, $a = 13 - 2 b$ , iar în a doua, $3 (13 - 2 b) + 9 b = 54$ , deci $39 + 3 b = 54$ , adică $b = 5$ și $a = 3$ . b) Ecuația $3 t + 5 t = 92$ devine $5 u^{2} + 3 u - 92 = 0$ , cu $u \geq 0$ . Discriminantul este $Δ = 9 + 1840 = 1849 = 4 3^{2}$ , deci $u = \frac{- 3 \pm 43}{10}$ , adică $u_{1} = 4$ și $u_{2} = - 4, 6$ . Condiția $u \geq 0$ respinge a doua valoare. Din $t = 4$ rezultă $t = 16$ luni. Limita se atinge deci abia după 16 luni, iar până atunci topograful continuă măsurătorile și compară valorile cu modelul.

Capcană. Cine citește $u = 4$ ca timp scrie 4 luni. Dar la 4 luni tasarea măsurată este doar de 26 mm, mult sub limita de 92 mm.

Verificare. $316 + 5 \cdot 16 = 12 + 80 = 92$ mm, iar modelul dă $3 \cdot 2 + 5 \cdot 4 = 26$ mm și $3 \cdot 3 + 5 \cdot 9 = 54$ mm, ca în măsurători.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Pentru fiecare ecuație, scrie notația $t$ , condiția pe $t$ și ecuația în $t$ ; nu le rezolva. a) $x^{4} - 13 x^{2} - 68 = 0$ . b) $4 9^{x} - 8 \cdot 7^{x} - 105 = 0$ . c) $x - 14 x - 51 = 0$ . d) $l g^{2} x + 13 l g x - 114 = 0$ .

2. Rezolvă în $R$ ecuația $x^{4} - 53 x^{2} + 196 = 0$ .

3. Rezolvă în $R$ ecuația $4^{x} + 7 \cdot 2^{x} - 78 = 0$ .

4. Rezolvă în $R$ ecuația $x + 11 x - 152 = 0$ .

Nivelul 2 — situații

5. O platformă de beton pătrată, de arie $A$ în m², costă $62 A$ lei pentru betonul turnat, plus $20$ lei pe metru liniar pentru cofrajul de pe cele patru margini. Costul total este deci $62 A + 80 A$ lei. Bugetul este de $1950$ lei. Aflați aria și latura platformei.

6. La stâna unei ferme de oi, fântâna nu are sondă de nivel. Ciobanul lasă să cadă o piatră și aude pleoscăitul după $3, 13$ s. Dacă apa e la $h$ metri, piatra cade în $\frac{h}{5}$ secunde (cu $g \approx 10$ m/s²), iar sunetul urcă înapoi în $\frac{h}{340}$ secunde. a) Notează $s = \frac{h}{5}$ și scrie ecuația în $s$ . b) Află adâncimea apei, rotunjită la 0,1 m. c) Cât ar ieși adâncimea dacă s-ar neglija drumul sunetului?

7. La o grădină de legume, umiditatea solului, $θ$ în %, depinde de sucțiunea apei din sol, $h$ în centimetri coloană de apă, după modelul $θ = 40 - 2 l g h - 1, 6 l g^{2} h$ , valabil pentru $1 \leq h \leq 3162$ (agronomii notează $l g h$ cu pF; valori din exemplu). Irigarea pornește când umiditatea scade la $25$ %. a) La ce sucțiune se întâmplă asta? b) Ce arată atunci tensiometrul, în kPa, dacă 1 cm coloană de apă înseamnă $0, 098$ kPa?

8. Profilul unei anvelope noi de autoutilitară are $7, 6$ mm, iar limita legală este $1, 6$ mm. Service-ul estimează uzura cu modelul $u (s) = 0, 4 s + 0, 1 s$ , în mm, cu $s$ în mii de kilometri (valori din exemplu). După câți kilometri trebuie schimbată anvelopa?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) Pentru ecuația $2 \cdot 4^{x} - 13 \cdot 2^{x} + 20 = 0$ , Ana notează $t = 4^{x}$ , iar Mihai notează $u = 2^{x}$ . a) Ce ecuație obține fiecare? b) Care notație duce direct la o ecuație de gradul al doilea și de ce? c) Rezolvați ecuația.

10. (Sinteză.) Stratul de zinc din situație are grosimea $δ (t) = 10 t + 6 t$ , pentru $1 \leq t \leq 20$ . a) Cu $u = t$ , scrieți $δ$ ca funcție de gradul al doilea de $u$ și arătați că este strict crescătoare pentru $u \geq 0$ . b) Deduceți că fiecărei grosimi dintre $δ (1)$ și $δ (20)$ îi corespunde un singur timp. c) Calculați $δ (20)$ și spuneți ce grosimi nu poate da modelul.

11. (Sinteză.) O colegă rezolvă $l g^{2} x + 9 l g x - 22 = 0$ cu $t = l g x$ și respinge rădăcina negativă a ecuației în $t$ , «fiindcă $t$ trebuie să fie pozitiv». Rezolvați ecuația și spuneți ce soluție pierde ea.

12. (Sinteză.) Pentru aceeași valoare $t = 9$ , spuneți câte valori ale lui $x$ dă fiecare notație din tabelul din Metodă: pătratul lui $x$ , puterea $2^{x}$ , rădăcina pătrată a lui $x$ și logaritmul zecimal al lui $x$ egale cu $9$ , și scrieți-le.

Răspunsuri și verificări

1. a) $t = x^{2}$ , $t \geq 0$ , $t^{2} - 13 t - 68 = 0$ . b) $t = 7^{x}$ , $t > 0$ , $t^{2} - 8 t - 105 = 0$ . c) $t = x$ , $t \geq 0$ , $t^{2} - 14 t - 51 = 0$ . d) $t = l g x$ , $t$ real, $t^{2} + 13 t - 114 = 0$ . Verificare: în fiecare ecuație, primul termen este pătratul expresiei notate.

2. Cu $t = x^{2} \geq 0$ : $t^{2} - 53 t + 196 = 0$ , $Δ = 2809 - 784 = 2025 = 4 5^{2}$ , deci $t = \frac{53 \pm 45}{2}$ , adică $t_{1} = 49$ și $t_{2} = 4$ . Ambele convin, iar fiecare dă două valori: $x \in {- 7, - 2, 2, 7}$ . Verificare: pentru $x = 2$ , $16 - 53 \cdot 4 + 196 = 16 - 212 + 196 = 0$ .

3. Cu $t = 2^{x} > 0$ : $t^{2} + 7 t - 78 = 0$ , $Δ = 49 + 312 = 361$ , deci $t = \frac{- 7 \pm 19}{2}$ , adică $t_{1} = 6$ și $t_{2} = - 13$ . Valoarea $- 13$ nu convine, iar $2^{x} = 6$ dă $x = lo g_{2} 6 \approx 2, 58$ . Verificare: pentru $2^{x} = 6$ , puterea $4^{x}$ este pătratul lui 6, adică 36, iar $36 + 42 - 78 = 0$ .

4. Cu $t = x \geq 0$ : $t^{2} + 11 t - 152 = 0$ , $Δ = 121 + 608 = 729$ , deci $t = \frac{- 11 \pm 27}{2}$ , adică $t_{1} = 8$ și $t_{2} = - 19$ . Valoarea $- 19$ nu convine, iar $x = 8$ dă $x = 64$ . Verificare: $64 + 11 \cdot 8 - 152 = 0$ .

5. Cu $u = A \geq 0$ : $62 u^{2} + 80 u - 1950 = 0$ , adică $31 u^{2} + 40 u - 975 = 0$ , cu $Δ = 1600 + 120900 = 122500 = 35 0^{2}$ . Rezultă $u = \frac{- 40 \pm 350}{62}$ , adică $u_{1} = 5$ și $u_{2} = - \frac{195}{31}$ , care nu convine. Latura este $5$ m, iar aria $25$ m². Verificare: $62 \cdot 25 + 80 \cdot 5 = 1550 + 400 = 1950$ lei.

6. a) Cum $h = 5 s^{2}$ , ecuația este $s + \frac{5 s ^{2}}{340} = 3, 13$ , adică $s^{2} + 68 s - 212, 84 = 0$ . b) $Δ = 4624 + 851, 36 = 5475, 36$ , iar rădăcina pozitivă este $s \approx \frac{- 68 + 73 , 996}{2} \approx 2, 998$ s, deci $h = 5 s^{2} \approx 44, 9$ m. c) Fără sunet, $h = 5 \cdot 3, 1 3^{2} \approx 49, 0$ m, cu aproximativ 4 m prea mult. Verificare: $44, 9 : 5 + 44, 9 : 340 \approx 2, 997 + 0, 132 \approx 3, 13$ s.

7. a) Cu $t = l g h$ , orice real: $40 - 2 t - 1, 6 t^{2} = 25$ , adică $8 t^{2} + 10 t - 75 = 0$ , cu $Δ = 100 + 2400 = 2500$ și $t = \frac{- 10 \pm 50}{16}$ , adică $2, 5$ sau $- 3, 75$ . Notația permite și valori negative, dar $t = - 3, 75$ ar da $h < 1$ , în afara modelului, deci $t = 2, 5$ , adică pF-ul de 2,5, și $h = 1 0^{2, 5} \approx 316$ cm. b) Aproximativ $316 \cdot 0, 098 \approx 31$ kPa. Verificare: $40 - 2 \cdot 2, 5 - 1, 6 \cdot 6, 25 = 40 - 5 - 10 = 25$ %.

8. Uzura admisă este $7, 6 - 1, 6 = 6$ mm, deci $0, 1 s + 0, 4 s = 6$ , adică $s + 4 s - 60 = 0$ . Cu $v = s \geq 0$ : $v^{2} + 4 v - 60 = 0$ , cu $v = 6$ sau $v = - 10$ , care nu convine. Rezultă $s = 36$ , adică 36 de mii de kilometri. Verificare: $0, 4 \cdot 6 + 0, 1 \cdot 36 = 2, 4 + 3, 6 = 6$ mm, iar $7, 6 - 6 = 1, 6$ mm.

9. a) Ana obține $2 t - 13 t + 20 = 0$ , iar Mihai $2 u^{2} - 13 u + 20 = 0$ . b) Notația lui Mihai, fiindcă $4^{x}$ este pătratul lui $2^{x}$ ; la Ana rămâne perechea $t$ și $t$ , care cere încă o notație. c) $Δ = 169 - 160 = 9$ , deci $u = \frac{13 \pm 3}{4}$ , adică $4$ sau $2, 5$ , ambele pozitive: $x = 2$ sau $x = lo g_{2} 2, 5 \approx 1, 32$ . Verificare: pentru $x = 2$ , $32 - 52 + 20 = 0$ ; pentru $2^{x} = 2, 5$ , $12, 5 - 32, 5 + 20 = 0$ .

10. a) $δ = 6 u^{2} + 10 u$ , cu $u \geq 0$ . Ambii termeni cresc când $u$ crește, deci $δ$ e strict crescătoare; vârful parabolei e la $u = - \frac{5}{6}$ , în afara domeniului. b) Și $u = t$ crește odată cu $t$ , deci doi timpi diferiți dau grosimi diferite: fiecare grosime dintre 16 µm și $δ (20)$ vine dintr-un singur timp. c) $δ (20) = 1020 + 120 \approx 164, 7$ µm, deci modelul nu dă grosimi sub 16 µm sau peste 164,7 µm. Verificare: $δ (16) = 136 < 164, 7$ .

11. Cu $t = l g x$ , orice real: $t^{2} + 9 t - 22 = 0$ , $Δ = 81 + 88 = 169$ , deci $t = \frac{- 9 \pm 13}{2}$ , adică $t_{1} = 2$ și $t_{2} = - 11$ . Ambele convin: $x = 1 0^{2} = 100$ și $x = 1 0^{- 11}$ . Colega pierde $x = 1 0^{- 11}$ , fiindcă $l g x$ poate fi negativ pentru $0 < x < 1$ . Verificare: $l g^{2} 1 0^{- 11} + 9 l g 1 0^{- 11} - 22 = 121 - 99 - 22 = 0$ .

12. Pentru pătratul lui $x$ : două valori, $x = 3$ și $x = - 3$ . Pentru $2^{x}$ : o valoare, $x = lo g_{2} 9$ . Pentru rădăcina pătrată: o valoare, $x = 81$ . Pentru logaritmul zecimal: o valoare, $x = 1 0^{9}$ . Verificare: $3^{2} = 9$ , $2^{l o g_{2} 9} = 9$ , $81 = 9$ și $l g 1 0^{9} = 9$ .

Așa vine la Bac M3

Rezolvarea ecuațiilor prin substituție este în programa de examen, dar nu a apărut în probele 2013–2026. Substituția stă în blocul «Funcții și ecuații» al clasei a X-a, unde programa M_tehnologic trece «ecuații exponențiale, ecuații logaritmice, utilizarea unor substituții care conduc la rezolvarea de ecuații algebrice». Indexul cerințelor celor 83 de probe oficiale nu etichetează nicio cerință cu această temă, ca subiect principal sau secundar. Cuvântul «substituție» nu apare în niciun enunț indexat. În cele 52 de probe cu ecuații exponențiale sau logaritmice, rezolvările oficiale nu au folosit o notație nouă: au egalat exponenții sau argumentele ori au trecut logaritmul într-o putere. Singurele două ecuații cu puteri adunate, din 2019 și din 2021, s-au rezolvat dând factor comun. Nicio ecuație din Subiectul I nu este bipătrată și niciuna nu are $l g^{2} x$ .

Fiindcă nu avem o cerință reală de citat, secțiunea nu poartă jetoane și nu propune cerințe-model. Exercițiile 9–12, marcate (Sinteză.), antrenează alegerea notației, condiția pe litera nouă și întoarcerea la necunoscută. Pentru ecuațiile care au apărut efectiv în Subiectul I, vezi lecția despre ecuațiile exponențiale și logaritmice.

Greșeli care costă puncte

Oprești calculul la valoarea notației: la rambleu, $u = 4$ citit ca 4 luni; dar la 4 luni tasarea măsurată e 26 mm, nu 92 mm → cum o prinzi: revii cu $t = u^{2}$ și pui timpul în model.
Ridici la pătrat în loc să notezi: la zincare apare și $t = \frac{196}{9} \approx 21, 8$ minute, o valoare străină → cum o prinzi: notezi $u = t$ , cu $u \geq 0$ , sau verifici fiecare valoare în ecuația inițială.
Păstrezi o valoare care nu respectă condiția notației: $(\frac{1}{2})^{n} \approx - 1, 55$ sau $x = - 19$ nu au soluții → cum o prinzi: scrii condiția pe litera nouă chiar la pasul 2 și compari fiecare rădăcină cu ea.
Aplici condiția « $t > 0$ » și la $t = l g x$ : la exercițiul 11 pierzi soluția $x = 1 0^{- 11}$ → cum o prinzi: te întrebi ce valori poate lua notația aleasă, nu ce valori are prima ta ecuație.
Citești valoarea lui $t$ ca necunoscută la ecuația bipătrată: $t = 16$ de la grindă ar însemna 16 m și o săgeată de 3 328 mm → cum o prinzi: scoți $L = t$ și refaci săgeata cu $L$ .

Programa și examenul

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: rezolvarea ecuațiilor prin schimbarea de necunoscută face parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a X-a), deși programa nouă a clasei a X-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu o conține sau o conține doar în parte. În probele oficiale 2013–2026 nu a apărut încă; fiind în programă, poate fi cerută. Pentru Bacalaureatul din 2030 (MAT_P3–MAT_P6) tema nu este în programa de examen.

Întrebări frecvente

Cum verifici modelul stratului pe rândul de 136 µm din tabel? Ecuația $10 t + 6 t = 136$ devine, cu $u = t$ , $6 u^{2} + 10 u - 136 = 0$ , adică $3 u^{2} + 5 u - 68 = 0$ . Discriminantul $25 + 816 = 841 = 2 9^{2}$ dă $u = 4$ , iar cealaltă rădăcină, $- \frac{17}{3}$ , nu convine fiindcă o rădăcină pătrată nu e negativă. Rezultă $t = 16$ minute, exact rândul din tabel, deci modelul reproduce chiar măsurătoarea făcută de laborator.

De ce în ecuația stratului ai folosit litera u, nu t? Fiindcă $t$ era deja timpul în minute, iar două lucruri diferite nu pot purta aceeași literă. Noua mărime este $u = t$ . La ecuațiile fără o literă deja ocupată, poți nota direct cu $t$ . Contează doar să scrii la început ce reprezintă litera nouă și să revii la necunoscută la sfârșit.

Ce timp în baie dă un strat de 60 µm? Ecuația $10 t + 6 t = 60$ devine, cu $u = t$ , $3 u^{2} + 5 u - 30 = 0$ , cu $Δ = 25 + 360 = 385$ , număr care nu e pătrat perfect. Rădăcina pozitivă este $u = \frac{- 5 + 385}{6} \approx 2, 44$ , deci $t = u^{2} \approx 5, 9$ minute. Controlezi în ecuația inițială: ies aproape 60 µm, iar 5,9 minute e în intervalul modelului. Rădăcina negativă se respinge.

Ce se întâmplă dacă piesele ies din baie după 8 minute, nu după 9? Grosimea ar fi $108 + 6 \cdot 8 \approx 28, 3 + 48 = 76, 3$ µm, adică aproximativ $76, 3 \cdot 7, 14 \approx 545$ g de zinc pe metru pătrat. Stratul ar fi cu aproape 8 µm mai subțire decât cei 84 µm ceruți, deci piesele nu ar trece recepția. Un singur minut lipsă scoate din strat aproape o zecime din grosime.

Ce metodă au folosit rezolvările oficiale de Bacalaureat M3 (M_tehnologic) la ecuațiile cu două puteri adunate? Factorul comun, nu o notație nouă: la modelele din 2019 și din 2021, din cele două puteri adunate ale aceleiași baze s-a scos factor comun puterea mai mică. Programa de examen trece substituția la clasa a X-a, lângă ecuațiile exponențiale și logaritmice; după indexul celor 83 de probe 2013–2026 nu a fost încă cerută, dar, fiind în programă, poate fi cerută.