Cum desenez arborele când piesele ies din flux?

Un experiment aleator, de pildă tragerea unui bilet dintr-o cutie, are o mulțime $\Omega$ de rezultate posibile. Un eveniment este o propoziție despre rezultat și se identifică cu mulțimea rezultatelor pentru care este adevărată. Poate fi elementar, compus, sigur (tot $\Omega$) sau imposibil ($\varnothing$), iar contrarul lui $A$, notat $\overline{A}$, are loc exact când $A$ nu are loc.

Cuvintele se traduc simplu: „și” înseamnă intersecție, „sau” înseamnă reuniune, „nu” înseamnă contrar. Pe o diagramă Venn cu două cercuri apar patru regiuni, iar cardinalul reuniunii este $\mathrm{card}(A)+\mathrm{card}(B)-\mathrm{card}(A\cap B)$, fiindcă partea comună s-ar număra altfel de două ori. Evenimentele disjuncte nu au nimic în comun.

Pe un arbore pui etapele una după alta și scrii pe ramuri câte obiecte trec pe acolo. O piesă respinsă la o etapă iese din flux și nu mai apare mai departe, deci arborele nu are mereu $2^n$ frunze. Cu „peste” și „sub”, valoarea egală cu limita rămâne afară, iar „cel puțin” și „cel mult” o includ.

Verifici că regiunile sau frunzele adună tot $\Omega$ și că același eveniment numărat pe două desene dă același număr. Capcana tipică este confuzia dintre „exact unul” și „cel puțin unul”. Folosești desenele la controlul pieselor, la sortarea loturilor și în registre cu mai multe criterii.

De reținut

• o ramură de ieșire la fiecare etapă pentru obiectele respinse
• frunzele adună totalul lotului
• $\mathrm{card}(A\cup B)=\mathrm{card}(A)+\mathrm{card}(B)-\mathrm{card}(A\cap B)$

Greșeala tipică

Se desenează două ramuri din fiecare nod, deși piesa respinsă nu mai merge mai departe. La trei controale ies 8 frunze în loc de 4; corect, frunzele adună totalul lotului.

Exerciții din această mini-lecție

1. Dintr-un lot de plăci se alege una la întâmplare. Fie $A$ evenimentul „placa are grosimea de 18 mm”, $B$ evenimentul „placa are lungimea de 2,5 m” și $C$ evenimentul „placa are grosimea de 22 mm”. Care pereche este formată din evenimente disjuncte?

   • a) $A$ și $B$
   • b) $B$ și $C$
   • c) $A$ și $C$
   • d) nicio pereche
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $A$ și $C$

   Două evenimente sunt disjuncte dacă nu pot avea loc deodată. O placă nu poate avea și grosimea de 18 mm, și pe cea de 22 mm, deci $A\cap C=\varnothing$. O placă de 18 mm poate avea lungimea de 2,5 m, deci $A$ și $B$ nu sunt disjuncte, la fel ca $B$ și $C$.

2. O piesă trece prin 4 controale, unul după altul. Dacă pică la un control, este scoasă de pe linie și nu mai ajunge la următorul. Câte frunze are arborele rezultatelor?

   • a) 5
   • b) 8
   • c) 4
   • d) 16
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) 5

   Piesa poate ieși la primul, la al doilea, la al treilea sau la al patrulea control, ori poate trece de toate patru: $4+1=5$ frunze. Varianta 16 este $2^4$ și ar fi bună numai dacă piesele ar continua după un control picat. Varianta 4 uită piesa care trece de toate controalele, iar 8 este $2^3$.

3. Un service testează 8 anvelope, numerotate de la 1 la 8, și notează presiunea în bar și adâncimea profilului în mm: 1: 2,1 și 4,6; 2: 2,3 și 4,0; 3: 2,4 și 3,2; 4: 2,0 și 5,1; 5: 2,2 și 3,8; 6: 2,6 și 3,5; 7: 2,5 și 4,4; 8: 1,9 și 4,2. Fie $A$ evenimentul „presiunea este cel puțin 2,3 bar” și $B$ evenimentul „adâncimea profilului este mai mică de 4,0 mm”. Câte anvelope are evenimentul $A\cup B$?

   • a) 7
   • b) 5
   • c) 4
   • d) 2
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) 5

   $A=\{2,3,6,7\}$, fiindcă 2,3 bar intră la „cel puțin”, iar $B=\{3,5,6\}$, fiindcă 4,0 mm nu este mai mic de 4,0. Intersecția este $\{3,6\}$, deci $A\cup B=\{2,3,5,6,7\}$, adică 5 anvelope. Varianta 7 este $4+3$, fără scăderea intersecției. Varianta 4 citește „cel puțin 2,3” ca „peste 2,3”. Varianta 2 este chiar intersecția.

Întrebări conexe

Oamenii mai întreabă și: arbore de variante cu piese respinse · câte frunze are un arbore cu scoatere · arbore pentru piese scoase de pe linie · cum desenez un arbore la o linie de control