Evenimente compuse: Venn și arbore la tehnologic

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a X-a → ·

Contoarele de energie electrică ajung periodic în laboratorul de metrologie, iar fiecare contor poate ieși din verificare în mai multe feluri. La tehnologic, programa de clasa a X-a îți cere să descrii asemenea rezultate ca evenimente: le definești, le numeri pe o diagramă, le deosebești. Programa Bacalaureatului M3 (M_tehnologic) numește doar evenimentele aleatoare egal probabile și evenimentul compus din ele, deci lecția e în programa de examen numai în parte.

Situația de pornire

Laboratorul de metrologie al unui operator de distribuție verifică un lot de contoare monofazate de energie electrică, cu inducție, demontate la scadența verificării periodice. Metrologul așază fiecare contor pe standul de probă și îi compară indicația cu cea a unui contor etalon, la două încărcări: la curent mic, 5 % din curentul de bază, și la curentul de bază. Contorul trece proba dacă eroarea lui nu depășește ±2 % (valori din exemplu). Regula laboratorului: se acceptă contoarele care trec ambele probe, iar celelalte se reglează și se verifică din nou. Pentru controlul de supraveghere, inspectorul scrie seria fiecărui contor pe un bilet, amestecă biletele într-o cutie, trage unul și controlează contorul respectiv.

Rezultatul verificării	Număr de contoare (buc.)
trece ambele probe	26
trece numai proba la curent mic	3
trece numai proba la curentul de bază	7
nu trece nicio probă	2

Întrebare: cum scrii, ca evenimente, „contorul tras se acceptă” și „contorul tras se reverifică”, câte contoare are fiecare și pot avea loc amândouă în aceeași tragere?

De la situație la model

Matematica numește astfel elementele situației:

În situație	În matematică
cele 38 de contoare din lot	mulțimea rezultatelor posibile $Ω$ , cu 38 de elemente
contorul pe care îl trage inspectorul	un rezultat al experimentului
„trece proba la curent mic”, 29 de contoare	evenimentul $A$
„trece proba la curentul de bază”, 33 de contoare	evenimentul $B$
„trece ambele probe”, cuvântul „și”	intersecția $A \cap B$
„trece cel puțin o probă”, cuvântul „sau”	reuniunea $A \cup B$

Experimentul aleator este tragerea unui bilet: nu poți ști ce contor iese, dar știi toate contoarele care pot ieși. Biletele amestecate dau fiecărui contor aceeași șansă, deci rezultatele sunt egal probabile. Un eveniment este o propoziție despre contorul tras, despre care afli după tragere dacă e adevărată sau falsă; îl identifici cu mulțimea contoarelor pentru care e adevărată, chiar și atunci când mulțimea are toate contoarele sau niciunul.

Ce fel de evenimente există?

Un eveniment cu un singur rezultat, ca „se trage contorul cu seria 40291”, este elementar. Unul cu mai multe rezultate, ca $A$ sau $A \cap B$ , este compus. Evenimentul sigur are loc la orice tragere și este chiar $Ω$ : „contorul tras face parte din lot”. Evenimentul imposibil nu are loc la nicio tragere, se notează $\emptyset$ și nu are niciun contor: „contorul tras este trifazat”, când lotul are numai contoare monofazate. Evenimentul contrar lui $A$ , scris $\overline{A}$ , are loc exact când $A$ nu are loc.

Mulțimea evenimentelor posibile ale unui experiment cuprinde toate submulțimile lui $Ω$ , cu tot cu $Ω$ și $\emptyset$ . La trei contoare $c_{1}, c_{2}, c_{3}$ sunt opt: $\emptyset$ , trei elementare, trei cu două contoare și $Ω$ .

Cum citești o diagramă Venn?

Dreptunghiul este $Ω$ , iar fiecare cerc este un eveniment. Două cercuri care se suprapun împart lotul în patru regiuni: numai în $A$ , în $A \cap B$ , numai în $B$ și în afara ambelor. Tabelul situației dă direct regiunile: 3, 26, 7 și 2. Un cerc întreg adună două regiuni: $A$ are $3 + 26 = 29$ de contoare. Două evenimente sunt disjuncte dacă nu au niciun rezultat comun, adică dacă cercurile lor nu au nicio porțiune comună. „Numai proba mică” și „numai proba de bază” sunt disjuncte, dar $A$ și $B$ nu, fiindcă 26 de contoare trec ambele probe.

Cum arată aceleași contoare pe un arbore?

Arborele pune verificările pe etape. Din rădăcină pornesc două ramuri, pentru proba la curent mic: trecută de 29 de contoare sau picată de 9. La capătul fiecărei ramuri pornesc alte două, pentru proba la curentul de bază. Pe ramuri scrii numărul contoarelor, iar frunzele sunt 26, 3, 7 și 2, ca regiunile diagramei.

Frunzele nu sunt rezultate egal probabile: inspectorul trage un bilet, nu o frunză, iar frunza cu 26 de contoare adună de 13 ori mai multe contoare decât cea cu 2.

Metoda pas cu pas

Spune ce se alege la întâmplare și scrie $Ω$ : lista rezultatelor, cu numărul lor. Verifică dacă alegerea dă fiecărui rezultat aceeași șansă; o tragere de bilete amestecate o garantează, o alegere „la vedere” nu.
Scrie evenimentul în cuvinte și tradu-l: „și” înseamnă ambele, „sau” înseamnă cel puțin unul, „nu” înseamnă tot restul lui $Ω$ . Pune toate valorile în aceeași unitate. La „peste” și „sub” valoarea de la limită nu intră, la „cel puțin” și „cel mult” intră.
Alege desenul. La două proprietăți ale aceluiași obiect, fă o diagramă Venn și completează regiunile din date. La verificări sau alegeri una după alta, desenează un arbore și scrie pe ramuri numărul de obiecte; un obiect scos din flux la o etapă nu mai are ramuri după ea.
Citește evenimentul pe desen: adună regiunile sau frunzele lui și spune dacă e elementar (un rezultat), compus (mai multe), sigur (toate) sau imposibil (niciunul). Două evenimente sunt disjuncte dacă nu au nicio regiune comună.
Verifică pe alt drum: regiunile diagramei și frunzele arborelui adună cât $Ω$ , fiecare cerc adună cât spune tabelul, iar același eveniment numărat pe diagramă și pe arbore dă același număr. Dacă o regiune iese negativă, datele nu pot fi adevărate.

Probabilitățile calculate sunt în lecțiile Probabilitatea la tehnologic: controlul calității și Reuniunea și intersecția evenimentelor. Operațiile cu mulțimi le-ai exersat la liste de clienți, iar numărul de variante ale unui arbore, la arbori de variante. Locul lecției în clasă îl vezi în traseul clasei a X-a, filiera tehnologică.

Fișa de buzunar

$A \cap B = „ ș i”, A \cup B = „sau”, \overline{A} = „nu”$

$card (A \cup B) = card (A) + card (B) - card (A \cap B)$

Condiții: toate evenimentele sunt luate din același $Ω$ , iar $A$ și $B$ sunt disjuncte când $A \cap B = \emptyset$ , caz în care ultimul termen al formulei este 0. Verificare rapidă: regiunile adună cât $Ω$ , iar un cerc nu poate avea mai multe elemente decât $Ω$ .

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Se acceptă sau se reverifică

Domeniu: electric.

Enunț. Reia lotul din situația de pornire: 38 de contoare, cu 26, 3, 7 și 2 în cele patru categorii ale tabelului. Inspectorul trage un bilet. a) Scrie evenimentele „contorul se acceptă” și „contorul se reverifică” și spune câte contoare are fiecare. b) Pot avea loc amândouă la aceeași tragere? c) Ce fel de eveniment este „se trage contorul cu seria 40291”?

Rezolvare. Notez cu $A$ proba la curent mic trecută și cu $B$ proba la curentul de bază trecută. a) „Se acceptă” înseamnă ambele probe trecute, deci $A \cap B$ , cu 26 de contoare. „Se reverifică” înseamnă că nu trece ambele probe, deci conține regiunile rămase: $3 + 7 + 2 = 12$ contoare. b) Nu: cele două evenimente nu au niciun contor comun, deci sunt disjuncte, și adună împreună tot lotul, $26 + 12 = 38$ . c) Seria arată un singur contor, deci evenimentul este elementar.

Capcană. Cine ia cele patru rânduri ale tabelului drept rezultate scrie $Ω$ cu 4 elemente: „se acceptă” ar fi atunci un singur rezultat, deci elementar, iar „se reverifică” ar avea 3. Rezultatele sunt însă cele 38 de contoare, iar „se acceptă” are 26 și este compus.

Verificare. Cercul $A$ adună $3 + 26 = 29$ de contoare, iar cercul $B$ adună $26 + 7 = 33$ , ca în model. Cele patru frunze ale arborelui dau $26 + 3 + 7 + 2 = 38$ .

Exemplul 2 — Sticlele respinse de pe linie

Domeniu: alimentar.

Enunț. Pe linia de îmbuteliere a unui mic producător de suc, sticlele trec prin trei stații, în ordine: nivelul de umplere, dopul, eticheta. O sticlă respinsă la o stație iese de pe bandă și nu mai ajunge la următoarea. Într-o oră au intrat pe linie 186 de sticle: 21 respinse la nivel, 14 la dop, 9 la etichetă, iar restul au ajuns la ambalare. a) Desenează arborele și scrie pe ramuri numărul sticlelor. b) Câte frunze are? c) Care sticle formează evenimentul „ajunge la stația de dop”? d) Sunt disjuncte „respinsă la dop” și „respinsă la etichetă”?

Rezolvare. a) Din rădăcină, 21 de sticle ies la nivel, iar $186 - 21 = 165$ merg mai departe. Din cele 165, 14 ies la dop și $165 - 14 = 151$ merg mai departe. Din cele 151, 9 ies la etichetă și $151 - 9 = 142$ ajung la ambalare. b) Arborele are 4 frunze: 21, 14, 9 și 142. c) „Ajunge la stația de dop” înseamnă că nu a fost respinsă la nivel, deci sunt 165 de sticle: un eveniment compus. d) Da: o sticlă respinsă la dop a ieșit de pe bandă și nu poate fi respinsă și la etichetă.

Capcană. Cine pune două ramuri la fiecare nod, ca și cum fiecare sticlă ar trece prin toate stațiile, obține $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ frunze. O sticlă respinsă la prima stație nu mai ajunge la a doua, deci arborele are doar 4 frunze.

Verificare. Cele patru frunze adună $21 + 14 + 9 + 142 = 186$ , adică toate sticlele care au intrat pe linie.

Exemplul 3 — Loturile de grâu de la recepție

Domeniu: agricol.

Enunț. La recepția unei cooperative agricole, 12 loturi de grâu au fost cântărite și testate.

Lotul	Masa (kg)	Umiditatea (%)
a	24 000	13,2
b	24 910	14,6
c	22 760	15,1
d	25 320	13,8
e	24 150	14,3
f	21 940	12,7
g	26 070	15,4
h	23 870	14,9
i	24 640	13,4
j	25 780	14,1
k	22 390	14,0
l	24 060	15,8

Fie $A$ evenimentul „umiditatea este peste 14 %” și $B$ evenimentul „masa este peste 24 de tone”. Se alege la întâmplare un lot. Scrie $A$ , $B$ , $A \cap B$ și numără loturile lui $A \cup B$ .

Rezolvare. Masa se compară în aceeași unitate: 24 de tone înseamnă 24 000 kg. Umiditatea peste 14 % o au loturile b, c, e, g, h, j și l, deci $A = {b, c, e, g, h, j, l}$ . Masa peste 24 000 kg o au loturile b, d, e, g, i, j și l, deci $B = {b, d, e, g, i, j, l}$ . Au ambele proprietăți loturile b, e, g, j și l, deci $A \cap B$ are 5 loturi. Reuniunea are 9 loturi: toate, în afară de a, f și k.

Capcană. „Peste” nu include limita. Cine îl citește ca „cel puțin” adaugă lotul a, cu exact 24 000 kg, la $B$ și lotul k, cu exact 14,0 %, la $A$ . Ar număra câte 8 loturi în fiecare eveniment, în loc de 7.

Verificare. Numără pe regiuni: numai $A$ are loturile c și h, numai $B$ are loturile d și i, iar în afara cercurilor sunt a, f și k. Se obține $5 + 2 + 2 + 3 = 12$ , adică toate loturile.

Exemplul 4 — Problema inversă: ce regulă a aplicat atelierul

Domeniu: lemn.

Enunț. Un atelier de tâmplărie a executat 45 de ferestre din lemn stratificat. Fiecare fereastră trece prin proba de etanșeitate la aer și prin cea la apă. Registrul arată 38 de ferestre trecute la aer, 36 trecute la apă și 32 trecute la amândouă. Fișa de livrare spune că au plecat la client, fără reverificare, 42 de ferestre, dar nu spune după ce regulă au fost alese. Ce eveniment formează ferestrele livrate și a respectat atelierul regula „ambele probe trecute”?

Rezolvare. Notez cu $A$ ferestrele trecute la aer și cu $B$ pe cele trecute la apă. Caut evenimentul cu exact 42 de ferestre: $A \cap B$ are 32, $A$ are 38, $B$ are 36, iar reuniunea are $38 + 36 - 32 = 42$ . Au plecat deci ferestrele trecute la cel puțin o probă, $A \cup B$ , nu cele din $A \cap B$ : atelierul trebuie să cheme înapoi $42 - 32 = 10$ ferestre picate la o probă.

Capcană. Cine confundă „exact o probă picată” cu „ambele probe picate” socotește ferestrele de chemat înapoi ca $45 - 42 = 3$ . Cele 3 sunt însă ferestrele picate la amândouă, iar la client au plecat 10 ferestre cu o probă picată.

Verificare. Regiunile sunt: numai aer $38 - 32 = 6$ , numai apă $36 - 32 = 4$ , ambele 32 și niciuna $45 - 42 = 3$ . Suma lor este $6 + 4 + 32 + 3 = 45$ , iar ferestrele livrate sunt $6 + 4 + 32 = 42$ .

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Un tablou are 8 circuite, numerotate 1–8; se alege unul la întâmplare. Ce fel de eveniment e și câte circuite are: a) „circuitul 6”; b) „un circuit cu număr par”; c) „un circuit al tabloului”; d) „circuitul 11”?

2. Din 41 de relee, 27 trec proba termică, 22 proba la vibrații, iar 15 le trec pe amândouă. Completează diagrama Venn; câte relee trec cel puțin o probă și câte niciuna?

3. Un service primește frigidere, mașini de spălat și aspiratoare, în garanție sau nu. Sunt disjuncte: a) „frigider” și „mașină de spălat”? b) „frigider” și „în garanție”? c) „în garanție” și „în afara garanției”?

4. Tablourile au siguranță automată sau fuzibilă și diferențial de 30, 100 sau 300 mA. Desenează arborele variantelor; scrie „siguranță automată” ca mulțime.

Nivelul 2 — situații

5. Registrul utilajelor unui șantier:

Utilajul	$V_{1}$	$V_{2}$	$V_{3}$	$V_{4}$	$V_{5}$
Funcționare (mii h)	11	3	9	14	6
Vechimea (ani)	9	3	6	12	8

Scrie ca liste $A$ = „peste 8 mii h”, $B$ = „cel mult 6 ani”, $A \cap B$ , $A \cup B$ și „nici $A$ , nici $B$ ”. Sunt $A$ și $B$ disjuncte?

6. Din 120 de ardei, 84 sunt mari, 60 dintre ei roșii; din cei 36 mici, 15 sunt roșii. Desenează arborele (calibru, apoi culoare). Câți ardei sunt mari sau roșii? Dar mici și galbeni?

7. Se alege unul dintre electricienii P, Q, R, S; P și R au permis pentru spații închise. Scrie $Ω$ , evenimentul „are permis”, câte un eveniment elementar, sigur și imposibil și numărul evenimentelor.

8. Regula unui șantier (din exemplu): fiecare schelă are plasă sau copertină. Din 36 de schele, 22 au plasă, 17 copertină, 12 ambele. Câte respectă regula? Dar regula „exact una”? Câte n-au niciuna?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) La o benzinărie, din 480 de clienți, 35 % au card de fidelitate, 25 % card bancar, iar 10 % ambele. Câți au fiecare card, câți cel puțin unul, câți exact unul?

10. (Sinteză.) Cele 40 de opriri ale unei linii de ambalare, pe clase de durată (minute): $[0; 5)$ cu 14, $[5; 10)$ cu 12, $[10; 15)$ cu 8, $[15; 20)$ cu 6. $A$ = „sub 10 minute”, $B$ = „cel puțin 5 minute”. Din ce clase se compun, câte opriri are $A \cap B$ , sunt disjuncte?

11. (Sinteză.) Șase role de cablu măsoară 49,8; 50,1; 49,7; 50,3; 50,0 și 49,9 m; se alege una la întâmplare. Ce fel de eveniment este: a) „cel puțin 49,7 m”; b) „peste 50,3 m”; c) „exact 50,0 m”; d) „între 49,9 și 50,1 m, inclusiv”?

12. (Sinteză.) 58 de arbori din trei mărci de oțel, încercați la duritate:

Oțelul	A	B	C
trece duritatea	17	14	11
pică duritatea	4	6	6

Câți arbori are „oțel B sau trece duritatea”? Dar „nu e oțel A și nu trece”? Sunt disjuncte „oțel A” și „trece duritatea”?

Răspunsuri și verificări

1. a) elementar, 1 circuit; b) compus, 4 circuite; c) sigur, 8; d) imposibil, 0. Verificare: tabloul are 8 circuite, deci circuitul 11 nu există.

2. Numai termică 12, numai vibrații 7, ambele 15, niciuna 7; cel puțin o probă trec 34 de relee. Verificare: $12 + 7 + 15 + 7 = 41$ .

3. a) disjuncte; b) nu, un frigider poate fi în garanție; c) disjuncte. Verificare: un aparat nu e totodată în garanție și în afara ei.

4. $2 \cdot 3 = 6$ variante; „siguranță automată” are 3, câte una pentru fiecare diferențial. Verificare: cele 3 cu fuzibilă completează cele 6.

5. $A = {V_{1}, V_{3}, V_{4}}$ , $B = {V_{2}, V_{3}}$ , $A \cap B = {V_{3}}$ , $A \cup B = {V_{1}, V_{2}, V_{3}, V_{4}}$ , iar „nici $A$ , nici $B$ ” este ${V_{5}}$ ; $A$ și $B$ nu sunt disjuncte, fiindcă $V_{3}$ (9 mii h, 6 ani) le are pe amândouă. Verificare: $3 + 2 - 1 = 4$ și $4 + 1 = 5$ .

6. Mari: 60 roșii, 24 galbeni; mici: 15 roșii, 21 galbeni. Mari sau roșii: $84 + 15 = 99$ ; mici și galbeni: 21. Verificare: $60 + 24 + 15 + 21 = 120$ .

7. $Ω = {P, Q, R, S}$ ; „are permis” este ${P, R}$ ; elementar ${Q}$ , sigur $Ω$ , imposibil „se alege un al cincilea electrician”; $2^{4} = 16$ evenimente. Verificare: $4 + 6 + 4 + 2 = 16$ .

8. Cel puțin una: $22 + 17 - 12 = 27$ de schele; exact una: $10 + 5 = 15$ schele; niciuna: $36 - 27 = 9$ schele. Verificare: $10 + 5 + 12 + 9 = 36$ .

9. Fidelitate 35 %: $0, 35 \cdot 480 = 168$ ; bancar $0, 25 \cdot 480 = 120$ ; ambele $0, 10 \cdot 480 = 48$ de clienți. Numai fidelitate $168 - 48 = 120$ , numai bancar $120 - 48 = 72$ . Cel puțin un card au $120 + 72 + 48 = 240$ de clienți, iar exact unul $120 + 72 = 192$ . Verificare: $240 + 240 = 480$ , cu 240 fără niciun card.

10. $A$ are clasele $[0; 5)$ și $[5; 10)$ , deci $14 + 12 = 26$ de opriri; $B$ are $[5; 10)$ , $[10; 15)$ și $[15; 20)$ , deci $12 + 8 + 6 = 26$ . $A \cap B$ este clasa $[5; 10)$ , cu 12 opriri, deci $A$ și $B$ nu sunt disjuncte. Verificare: $26 + 26 - 12 = 40$ , adică toate opririle.

11. a) Sigur: cea mai scurtă rolă are exact 49,7 m, valoare inclusă de „cel puțin”. b) Imposibil: cea mai lungă are 50,3 m, iar „peste” exclude limita. c) Elementar, cu o rolă; d) compus, cu 3 role: 49,9, 50,0 și 50,1 m. Verificare: cu „cel puțin 50,3 m”, b) ar avea o rolă, deci cuvântul de la limită schimbă felul evenimentului.

12. Oțelul B are $14 + 6 = 20$ de arbori, iar cei care trec din A și C sunt $17 + 11 = 28$ : împreună, 48. Pică în B și C: $6 + 6 = 12$ arbori. „Oțel A” și „trece duritatea” nu sunt disjuncte: 17 arbori din A trec. Verificare: contrariul primului eveniment are $4 + 6 = 10$ arbori, iar $48 + 10 = 58$ .

Așa vine la Bac M3

Clasificarea evenimentelor nu a apărut în probele 2013–2026 nici măcar o dată; programa de examen o numește doar în parte. Blocul T-X.4, «Matematici financiare», al programei M_tehnologic scrie: „evenimente aleatoare egal probabile; probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile”. Restul lecției nu e în programa de examen M_tehnologic: evenimentele elementare, sigure, imposibile și disjuncte, diagrama Venn și arborele nu sunt numite, iar intersecția și reuniunea apar doar ca operații cu mulțimi, la clasa a IX-a. La profilul pedagogic e altfel: programa M_pedagogic numește explicit „operații cu evenimente”, deci acolo reuniunea și intersecția evenimentelor sunt materie de examen. Cerințele de probabilitate din probe folosesc evenimente fără să le numească: în niciunul dintre enunțurile indexului (83 de probe, 1 494 de cerințe) nu apar cuvintele „eveniment”, „diagramă” sau „arbore”, iar niciunul nu cere felul unui eveniment; calculul acelor probabilități e în lecția Probabilitatea la tehnologic: controlul calității. Secțiunea nu are trimiteri la probe sau cerințe imitate; antrenamentul stă în exercițiile 9–12, sinteze proprii cu procente, clase de durată, limite de măsurare și un registru pe mărci de oțel.

Greșeli care costă puncte

Iei cele patru rânduri ale tabelului drept rezultate: la Exemplul 1, „se acceptă” ar fi un singur rezultat, deci elementar → cum o prinzi: numeri contoarele, nu rândurile; $Ω$ are 38 de elemente, iar „se acceptă” are 26.
Desenezi câte două ramuri la fiecare nod, deși o sticlă respinsă iese de pe linie: la Exemplul 2 ai 8 frunze în loc de 4 → cum o prinzi: verifici că frunzele adună cât lotul, $21 + 14 + 9 + 142 = 186$ , și că niciun obiect nu e în două frunze.
Citești „peste” ca „cel puțin”: la Exemplul 3 pui lotul de exact 24 000 kg în $B$ → cum o prinzi: compari valorile de la limită cu enunțul, în aceeași unitate; 24 000 kg nu e peste 24 de tone.
Confunzi „exact o probă picată” cu „ambele probe picate”: la Exemplul 4 chemi înapoi 3 ferestre în loc de 10 → cum o prinzi: scrii toate regiunile, $6 + 4 + 32 + 3 = 45$ ; ferestrele cu o singură probă picată sunt părțile proprii ale cercurilor, nu regiunea din afara lor.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru trunchiul comun, filiera tehnologică (OMEC 6930/2025, Anexa 3), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și la clasa a X-a din 2027–2028. Elevii intrați în clasa a IX-a din 2026–2027 încoace dau Bacalaureatul din 2030 încolo, unde matematica este una dintre disciplinele la alegere (OMEC 4138/2026), pe programa de examen MAT_P3, MAT_P4, MAT_P5 sau MAT_P6, după profil și domeniu (OMEC 5077/2026). Elevii intrați în clasa a IX-a în 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026 sunt pe programele vechi și dau Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 2027, 2028 și 2029 (programa de examen OMEN 4430/2014); pentru ei, clasificarea evenimentelor face parte din programa de examen doar în parte: sunt numite numai evenimentele egal probabile și evenimentul compus din ele. În probele oficiale 2013–2026 nu a apărut încă; fiind în programă, poate fi cerută.

Întrebări frecvente

Ce se schimbă dacă inspectorul trage un bilet numai dintre cele 12 contoare reverificate? Mulțimea rezultatelor posibile are acum 12 elemente, nu 38. Evenimentul „trece proba la curent mic” are numai 3 contoare, nu 29: un eveniment depinde de $Ω$ , așa că la schimbarea lotului numeri din nou fiecare eveniment.

Cum afli câte contoare au picat exact o probă? Aduni regiunile în care doar unul dintre cercuri are contorul: $3 + 7 = 10$ contoare. Același număr iese din contoarele care nu trec ambele probe, 12, fără cele 2 care nu trec niciuna: $12 - 2 = 10$ . Evenimentul „exact o probă picată” are deci 10 contoare.

Cum verifici o diagramă Venn completată de altcineva? Aduni cele patru regiuni și trebuie să obții numărul contoarelor din lot, 38. Apoi aduni regiunile fiecărui cerc și compari cu tabelul: $3 + 26 = 29$ și $26 + 7 = 33$ . Dacă o regiune iese negativă sau suma depășește lotul, datele sunt greșite.

Ce se schimbă dacă regula laboratorului cere doar proba la curentul de bază? S-ar accepta contoarele evenimentului $B$ , adică 33, nu 26, iar la reverificare ar rămâne cele din $\overline{B}$ : $3 + 2 = 5$ contoare. Regula se schimbă, lotul nu: aceleași regiuni dau alte evenimente, deci „se acceptă” nu mai este o intersecție, ci un cerc întreg.

Ce din lecția aceasta poate fi cerut la Bacalaureatul M3? Programa de examen M_tehnologic numește evenimentele aleatoare egal probabile și evenimentul compus din ele. Indexul probelor 2013–2026 (83 de probe) nu are nicio cerință care să întrebe felul unui eveniment; evenimentele au apărut doar în calculul probabilităților. Clasificarea poate fi totuși cerută, fiind în programă. Diagramele Venn și arborii nu sunt numiți acolo.