Pentru $$x=2{,}5$$, din cadranul al doilea, unde se află punctul lui $$\pi+x$$ și ce semn are $$\cos(\pi+x)$$?

În cadranul al patrulea; cosinusul este pozitiv.

În cadranul al treilea; cosinusul este negativ.

În cadranul al patrulea; cosinusul este negativ.

În cadranul al treilea; cosinusul este pozitiv.

Ce coordonate are punctul lui π + x pe cerc?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Reducerea în cadranele III și IV

Punctul lui $π + x$ este diametral opus punctului lui $x$ , deci are coordonatele opuse: $(- cos x, - sin x)$ . De aici $sin (π + x) = - sin x$ și $cos (π + x) = - cos x$ . Exemplu: pentru $x = \frac{π}{6}$ , punctul $M (\frac{π}{6}) = (\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ trece în $M (\frac{7 π}{6}) = (- \frac{3}{2}, - \frac{1}{2})$ , în cadranul III, unde ambele coordonate sunt negative. Pentru $2 π - x$ , în schimb, se schimbă doar semnul sinusului.

Pe cercul trigonometric, adăugarea unei jumătăți de tură duce un punct în capătul opus al diametrului său. Coordonatele noului punct sunt opusele coordonatelor vechi, așa că sinusul lui $π + x$ este $- sin x$ , iar cosinusul lui este $- cos x$ . La programa de științe folosim egalitatea pentru arcele $x$ din intervalul $[0, π]$ .

Arcul $2 π - x$ corespunde aceluiași drum ca $x$ , parcurs însă în sensul acelor de ceasornic. Punctul obținut este reflexia în axa orizontală: abscisa rămâne, ordonata devine opusă. Rezultă $cos (2 π - x) = cos x$ și $sin (2 π - x) = - sin x$ .

Pentru un arc din cadranul al treilea scriem $π + t$ , pentru unul din al patrulea scriem $2 π - t$ , cu $t$ din primul cadran. Mărimea valorii o iei din tabelul arcelor ascuțite ori o calculezi cu o aplicație, iar semnul îl dă poziția punctului pe cerc. Minusul din formulă cere opusul valorii, care poate fi un număr pozitiv când $x$ nu se află în primul cadran.

În aplicații, două capete ale unei bare rotite în jurul mijlocului au coordonate opuse, iar o rază reflectată de o suprafață orizontală își păstrează componenta orizontală. Calculul numeric verifică un caz; demonstrația rămâne simetria cercului.

De reținut

$sin (π + x) = - sin x$ , $cos (π + x) = - cos x$
$sin (2 π - x) = - sin x$ , $cos (2 π - x) = cos x$
punctele lui $x$ și $π + x$ sunt capetele aceluiași diametru

Greșeala tipică

Se schimbă semnul doar la sinus pentru $π + x$ , ca la $2 π - x$ ; o jumătate de tură schimbă semnul ambelor coordonate.

Exerciții din această mini-lecție

Cât este $sin \frac{7 π}{6} \cdot cos \frac{5 π}{3}$ ?
- a) $- \frac{1}{4}$
- b) $\frac{1}{4}$
- c) $- \frac{3}{4}$
- d) $\frac{3}{4}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $- \frac{1}{4}$

$sin \frac{7 π}{6} = - \frac{1}{2}$ și $cos \frac{5 π}{3} = \frac{1}{2}$ , deci produsul este $- \frac{1}{4}$ .
Cât este $sin (π + \frac{π}{3})$ ?
- a) $\frac{3}{2}$
- b) $- \frac{3}{2}$
- c) $- \frac{1}{2}$
- d) $\frac{1}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- \frac{3}{2}$

O jumătate de tură în plus schimbă semnul sinusului: $- sin \frac{π}{3} = - \frac{3}{2}$ .
Pentru $x = 2, 5$ , din cadranul al doilea, unde se află punctul lui $π + x$ și ce semn are $cos (π + x)$ ?
- a) În cadranul al treilea; cosinusul este negativ.
- b) În cadranul al patrulea; cosinusul este pozitiv.
- c) În cadranul al patrulea; cosinusul este negativ.
- d) În cadranul al treilea; cosinusul este pozitiv.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) În cadranul al patrulea; cosinusul este pozitiv.

$π + 2, 5 \approx 5, 6416$ este între $\frac{3 π}{2}$ și $2 π$ . Cum $cos 2, 5 < 0$ , opusul lui este pozitiv.

Întrebări conexe

Unde ajung atomii unei molecule rotite cu o jumătate de tură?

Dacă molecula se rotește în jurul mijlocului, un atom aflat în $(0, 12; 0, 05)$ nm ajunge după o jumătate de tură în $(- 0, 12; - 0, 05)$ nm. Rotirea cu $π$ schimbă semnul ambelor coordonate, exact ca trecerea de la $x$ la $π + x$ pe cerc.

Cum reduc la primul cadran arcul de $4$ radiani?

Numărul $4$ este între $π$ și $\frac{3 π}{2}$ , deci scrii $4 = π + (4 - π) \approx π + 0, 858$ . Atunci $sin 4 = - sin 0, 858 \approx - 0, 757$ și $cos 4 = - cos 0, 858 \approx - 0, 654$ . Ambele sunt negative, cum cere cadranul III. Controlul cu formula fundamentală: $0, 75 7^{2} + 0, 65 4^{2} \approx 1$ .

Ce direcție are o rază de lumină reflectată de o oglindă orizontală?

Reflexia în axa orizontală păstrează abscisa și schimbă semnul ordonatei, adică trece direcția $x$ în $2 π - x$ . O rază care coboară sub unghiul $\frac{π}{6}$ față de orizontală, direcția $\frac{11 π}{6}$ , pleacă după reflexie pe direcția $\frac{π}{6}$ .

Cât face $sin \frac{4 π}{3} + cos \frac{7 π}{6}$ ?

Scrii $\frac{4 π}{3} = π + \frac{π}{3}$ și $\frac{7 π}{6} = π + \frac{π}{6}$ . Atunci $sin \frac{4 π}{3} = - \frac{3}{2}$ și $cos \frac{7 π}{6} = - \frac{3}{2}$ . Suma este $- 3$ . Ambele valori sunt negative, fiindcă punctele sunt în cadranul III, iar formula pentru o jumătate de tură se aplică separat fiecărui termen.

De ce minusul din $cos (π + x) = - cos x$ poate da un număr pozitiv?

Minusul cere opusul valorii, nu un rezultat negativ. Pentru $x = \frac{2 π}{3}$ , $cos x = - \frac{1}{2}$ , deci $cos \frac{5 π}{3} = - (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$ , pozitiv. Punctul lui $\frac{5 π}{3}$ este în cadranul IV, unde cosinusul este pozitiv.

Oamenii mai întreabă și: punctul diametral opus pe cercul trigonometric · sin de pi plus x · cos de pi plus x · coordonatele lui pi plus x