Formulele pentru π + x și 2π − x (M2, științe ale naturii)

O moleculă de azot care se rotește în jurul centrului ei are cei doi atomi mereu de o parte și de alta a acestui centru, la aceeași distanță. Dacă știi unde se află un atom, îl găsești pe celălalt schimbând semnul ambelor coordonate. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), această observație devine o pereche de formule de reducere, iar oglindirea față de o axă orizontală devine a doua pereche. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă de examen conține „Reducerea la primul cadran”, în capitolul „Elemente de trigonometrie”; modelul oficial publicat are la Subiectul I o cerință de trigonometrie într-un triunghi dreptunghic, fără formule de reducere.

Lecția continuă reducerea la primul cadran pentru π − x, unde ai legat cadranul al doilea de primul. Aici completăm cadranele al treilea și al patrulea. Folosim punctele simetrice construite în lecția despre cercul trigonometric și punctele asociate și definiția sinusului și cosinusului ca ordonată și abscisă. Toate calculele rămân pe intervalul $[0,2\pi ]$, cum cere programa.

Ce vei învăța

• Vei explica de ce, după încă o jumătate de tură, punctul de pe cerc are ambele coordonate opuse celor inițiale.
• Vei explica de ce parcurgerea aceluiași arc în sens invers păstrează abscisa și schimbă semnul ordonatei.
• Vei scrie un arc din cadranul al treilea ca $\pi +t$ și unul din cadranul al patrulea ca $2\pi -t$, cu $t$ din primul cadran.
• Vei deosebi semnul minus dintr-o formulă de semnul numărului obținut, mai ales când $x$ nu este în primul cadran.
• Vei folosi formulele cu valori exacte și cu valori digitale, controlând mereu cadranul.
• Vei traduce formulele în modele de rotație și de reflexie, cu intervalul de valabilitate precizat.

Hai să descoperim împreună

1. Ce punct corespunde numărului π + x?

Pe cercul trigonometric, numărului $x$ îi corespunde punctul $M(x)$, cu abscisa $\cos x$ și ordonata $\sin x$. Numărul $\pi$ reprezintă o jumătate de tură. Pentru a ajunge la $M(\pi +x)$, pornești din $M(x)$ și mai parcurgi o jumătate de cerc în sens trigonometric. Te oprești exact în capătul opus al diametrului care trece prin $M(x)$.

Punctul diametral opus este simetricul lui $M(x)$ față de origine. Construcția a fost făcută în lecția despre punctele asociate; aici o transformăm în egalități între numere.

Formulele de reducere pentru π + x sunt egalitățile $\sin (\pi +x)=-\sin x$ și $\cos (\pi +x)=-\cos x$. În clasa a IX-a le aplicăm pentru $x\in [0,\pi ]$, astfel încât și $\pi +x$ să rămână în intervalul de studiu $[0,2\pi ]$.

Figura arată trei puncte ale aceluiași cerc: punctul unui arc din primul cadran, simetricul lui față de origine și simetricul lui față de axa orizontală. Liniile punctate sunt proiecțiile pe axe; ele arată ce coordonată se păstrează și ce coordonată trece la opusul ei.

2. Cum se citesc coordonatele simetricului față de origine?

Simetricul punctului $(a,b)$ față de origine este punctul $(-a,-b)$. Originea este mijlocul segmentului care unește cele două puncte, deci fiecare coordonată a mijlocului, adică zero, este media coordonatelor corespunzătoare. Media lui $a$ și a lui $-a$ este zero, la fel pentru $b$ și $-b$.

Aplicăm regula punctului $M(x)=(\cos x,\sin x)$. Simetricul lui are coordonatele $(-\cos x,-\sin x)$. Pe de altă parte, prin definiția sinusului și cosinusului, punctul $M(\pi +x)$ are coordonatele $(\cos (\pi +x),\sin (\pi +x))$. Un punct are o singură abscisă și o singură ordonată, așa că egalăm coordonatele una câte una:

$$\cos (\pi +x)=-\cos x,\sin (\pi +x)=-\sin x.$$

Deducerea nu a folosit o valoare anume pentru $x$: simetria față de origine nu depinde de cadranul punctului. La clasa a IX-a o aplicăm numai arcelor pentru care și $\pi +x$ rămâne în $[0,2\pi ]$, adică numerelor pe care le putem așeza direct pe o tură.

Un control pe punctele de pe axe confirmă formulele. Pentru $x=\frac{\pi }{2}$, punctul este sus, pe axa verticală, iar $\pi +\frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{2}$ este jos: $\sin \frac{3\pi }{2}=-1=-\sin \frac{\pi }{2}$. Abscisele sunt amândouă zero, deci și egalitatea cosinusurilor este respectată.

3. Ce punct corespunde numărului 2π − x?

Numărul $2\pi -x$ se poate citi ca o tură completă din care lipsește arcul $x$. Pe cerc, asta înseamnă să pornești din punctul $(1,0)$ și să parcurgi arcul $x$ în sens orar. Regula a fost stabilită tot la punctele asociate: o rotație în sens orar cu $s$, pornind din $(1,0)$, duce în $M(2\pi -s)$.

Cele două drumuri, arcul $x$ în sens trigonometric și același arc în sens orar, sunt imagini în oglindă față de axa orizontală. Prin urmare, $M(2\pi -x)$ este simetricul lui $M(x)$ față de axa $Ox$. Simetricul punctului $(a,b)$ față de această axă este $(a,-b)$: prima coordonată nu se modifică, a doua trece la opusul ei.

Comparând coordonatele punctului $M(2\pi -x)$, citite o dată din definiție și o dată din simetrie, obținem

$$\cos (2\pi -x)=\cos x,\sin (2\pi -x)=-\sin x,$$

pentru orice $x\in [0,2\pi ]$. Aici se schimbă o singură coordonată. Nu există nicio regulă „ascunsă” de memorat: dacă îți amintești ce axă servește drept oglindă, știi ce coordonată se păstrează.

4. Formulele merg și când x nu este în primul cadran?

Da, fiindcă nicio simetrie nu întreabă unde se află punctul. Să luăm un număr din cadranul al doilea, $x=2,7$, între $\frac{\pi }{2}\approx 1,5708$ și $\pi \approx 3,1416$. Un calculator setat în radiani dă $\sin 2,7\approx 0,4274$ și $\cos 2,7\approx -0,9041$.

Numărul $\pi +2,7\approx 5,8416$ se află între $\frac{3\pi }{2}\approx 4,7124$ și $2\pi \approx 6,2832$, deci în cadranul al patrulea, nu în al treilea. Formulele dau $\sin (\pi +2,7)=-\sin 2,7\approx -0,4274$ și $\cos (\pi +2,7)=-\cos 2,7\approx 0,9041$. Cosinusul a ieșit pozitiv, deși în formulă apare un minus.

Rezultatul este corect: punctul este în cadranul al patrulea, unde abscisa este pozitivă. Minusul din formulă înseamnă „opusul lui $\cos x$”, iar opusul unui număr negativ este pozitiv. Semnul final îl dă cadranul în care ajunge punctul, iar formula îl produce automat, dacă o aplici fără scurtături.

De aceea, înainte de a scrie un semn, localizează punctul. Afirmația „$\pi +x$ este în cadranul al treilea” este adevărată numai pentru $x$ din primul cadran; pentru $x$ din al doilea cadran, $\pi +x$ ajunge în al patrulea.

5. Trei simetrii, un singur tablou

Ai acum trei formule de reducere, fiecare legată de o simetrie a cercului. Prima vine din lecția precedentă, celelalte două sunt ale acestei lecții.

Citește tabloul pe coloane. Abscisa, adică cosinusul, se păstrează numai la oglindirea față de axa orizontală. Ordonata, adică sinusul, se păstrează numai la oglindirea față de axa verticală. La simetria față de origine nu se păstrează niciuna dintre ele.

Niciuna dintre cele trei simetrii nu apropie și nu depărtează punctul de axe; ea îl mută doar de cealaltă parte a unei axe sau a amândurora. De aici vine utilitatea „reducerii”: cifrele unei valori se caută o singură dată, pentru un arc din primul cadran, iar poziția punctului în desen decide dacă scriem valoarea sau opusul ei.

6. Cum alegi forma potrivită pentru un arc dat?

Un arc din cadranul al treilea, adică între $\pi$ și $\frac{3\pi }{2}$, se scrie ca $\pi +t$, cu $t$ între $0$ și $\frac{\pi }{2}$. Un arc din cadranul al patrulea se scrie ca $2\pi -t$, cu $t$ tot în primul cadran. În grade, scrierile corespunzătoare sunt $180^{\circ }+t$ și $360^{\circ }-t$.

Iată drumul pe arcul $\frac{21\pi }{20}$. El depășește $\pi =\frac{20\pi }{20}$ cu $\frac{\pi }{20}$, deci $\frac{21\pi }{20}=\pi +\frac{\pi }{20}$ și $\sin \frac{21\pi }{20}=-\sin \frac{\pi }{20}$. Valoarea lui $\sin \frac{\pi }{20}$ nu este o valoare de bază; o iei dintr-un tabel sau dintr-o aplicație, iar reducerea îți spune semnul și unde să cauți.

Același arc se poate scrie și ca $2\pi -\frac{19\pi }{20}$. Formula pentru $2\pi -x$ este corectă și aici, dar te lasă cu $\sin \frac{19\pi }{20}$, un arc din cadranul al doilea, care mai cere un pas de reducere. Forma cea mai scurtă este cea în care arcul rămas este din primul cadran; celelalte nu sunt greșite, doar mai lungi.

Controlul unei scrieri se face pe două căi: arcul rămas trebuie să fie între $0$ și $\frac{\pi }{2}$, iar suma sau diferența trebuie să refacă exact arcul dat. În radiani, scrie $\pi$ și $2\pi$ ca fracții cu același numitor ca arcul și abia apoi fă scăderea.

7. Ce spun formulele despre o moleculă care se rotește?

Molecula de azot are doi atomi identici, legați la o distanță de aproximativ $110$ picometri. Când molecula se rotește într-un plan, centrul ei, aflat la mijlocul legăturii, rămâne pe loc. Alegem acest centru ca origine și notăm cu $r$ jumătatea distanței dintre atomi.

Dacă primul atom se află, la un moment dat, în direcția arcului $t$, coordonatele lui sunt $(r\cos t,r\sin t)$. Al doilea atom este în direcția opusă, adică a arcului $\pi +t$, iar coordonatele lui sunt $(r\cos (\pi +t),r\sin (\pi +t))$. Formulele lecției le transformă în $(-r\cos t,-r\sin t)$.

Concluzia fizică se citește direct: coordonatele celor doi atomi sunt opuse în orice moment, iar media lor este zero. Centrul de masă al unei molecule cu atomi identici rămâne în origine, oricât s-ar roti molecula. Modelul presupune molecula rigidă, adică neglijează vibrația legăturii, și rotația în același plan.

Pentru intervalul de studiu $[0,2\pi ]$, cerem $t\in [0,\pi ]$. Când primul atom trece de jumătatea turei, rolurile se inversează: al doilea atom devine cel descris de un arc din $[0,\pi ]$, iar primul este opusul lui. Fizic nu se schimbă nimic, se schimbă doar atomul de la care pornim numărătoarea.

8. Valori exacte și valori digitale

Pentru arcele remarcabile, reducerea dă valori exacte. Un arc din cadranul al treilea scris ca $\pi +t$ are sinusul egal cu opusul lui $\sin t$, iar $\sin t$ se citește din tabelul primului cadran. Nu memorezi valori noi: aplici semnul potrivit valorilor pe care le știi deja.

Pentru arcele oarecare, nota programei permite tabelele și mijloacele digitale. Chiar și atunci reducerea rămâne utilă. Ea îți spune dinainte semnul și ordinul de mărime, așa că o greșeală de introducere, de pildă aplicația lăsată în modul grade când lucrezi în radiani, se observă imediat.

Un calcul digital nu este însă o demonstrație. Dacă aplicația arată aceleași patru zecimale pentru două expresii, ai o verificare pe un caz, nu o dovadă pentru toate numerele. Dovada formulelor este cea din secțiunile 2 și 3, prin simetrie. Valorile aproximative se rotunjesc, nu se trunchiază, iar semnul $\approx$ se păstrează până la răspuns.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Valori exacte în radiani

Calculează $\sin \frac{4\pi }{3}+\cos \frac{7\pi }{6}$.

Rezolvare. Ambele arce sunt în cadranul al treilea. Scriem $\frac{4\pi }{3}=\pi +\frac{\pi }{3}$ și $\frac{7\pi }{6}=\pi +\frac{\pi }{6}$. Atunci $\sin \frac{4\pi }{3}=-\sin \frac{\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ și $\cos \frac{7\pi }{6}=-\cos \frac{\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Suma este $\sin \frac{4\pi }{3}+\cos \frac{7\pi }{6}=-\sqrt{3}$. Ambii termeni sunt negativi, cum trebuie în cadranul al treilea, unde și abscisa, și ordonata sunt negative.

Exemplul 2 — Un produs în grade

Calculează $\cos 300^{\circ }\cdot \sin 315^{\circ }$.

Rezolvare. Ambele unghiuri sunt în cadranul al patrulea. Scriem $300^{\circ }=360^{\circ }-60^{\circ }$ și $315^{\circ }=360^{\circ }-45^{\circ }$. Cosinusul se păstrează, sinusul își schimbă semnul: $\cos 300^{\circ }=\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ și $\sin 315^{\circ }=-\sin 45^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Produsul este $\cos 300^{\circ }\cdot \sin 315^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{4}$. Semnul minus vine dintr-un singur factor, sinusul, fiindcă în cadranul al patrulea numai ordonata este negativă.

Exemplul 3 — Găsește greșeala

Un elev scrie: $\sin \left(\pi +\frac{\pi }{4}\right)=\sin \pi +\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Unde greșește și care este valoarea corectă?

Rezolvare. Elevul a tratat sinusul ca pe o înmulțire cu un număr, care s-ar distribui peste o sumă. Sinusul unei sume nu este suma sinusurilor. Un control imediat: arcul $\pi +\frac{\pi }{4}$ este în cadranul al treilea, unde ordonata este negativă, deci un rezultat pozitiv este imposibil.

Corect, $\sin \left(\pi +\frac{\pi }{4}\right)=-\sin \frac{\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Formula lecției nu desface paranteza; ea spune ce se întâmplă cu punctul de pe cerc după o jumătate de tură.

Exemplul 4 — Raza laser reflectată de o oglindă orizontală

Un fascicul laser coboară spre o oglindă plană orizontală, spre dreapta și în jos. Direcția lui de mers este cea a punctului $M(t)$ de pe cercul trigonometric, cu $t=\frac{5\pi }{3}$. La reflexie, componenta orizontală a direcției se păstrează, iar componenta verticală își schimbă semnul. Scrie exact direcția fasciculului înainte și după reflexie.

Rezolvare. Arcul $\frac{5\pi }{3}=2\pi -\frac{\pi }{3}$ este în cadranul al patrulea. Direcția inițială are componentele $\cos \frac{5\pi }{3}=\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ și $\sin \frac{5\pi }{3}=-\sin \frac{\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$: fasciculul merge spre dreapta și în jos.

După reflexie, componentele sunt $\frac{1}{2}$ și $\frac{\sqrt{3}}{2}$, adică ale punctului $M\left(\frac{\pi }{3}\right)$. Direcția nouă corespunde arcului $2\pi -t$, exact simetria față de axa orizontală din lecție. Raza face cu oglinda același unghi, $\frac{\pi }{3}$, înainte și după reflexie. Modelul presupune o oglindă plană și legea reflexiei; el nu descrie intensitatea fasciculului.

Exemplul 5 — Valori digitale pentru arce din cadranele III și IV

Un tabel dă $\sin 58^{\circ }\approx 0,8480$ și $\cos 58^{\circ }\approx 0,5299$. Fără alt calcul, scrie valorile aproximative ale sinusului și cosinusului pentru $238^{\circ }$ și pentru $302^{\circ }$.

Rezolvare. Avem $238^{\circ }=180^{\circ }+58^{\circ }$, în cadranul al treilea, deci $\sin 238^{\circ }\approx -0,8480$ și $\cos 238^{\circ }\approx -0,5299$. Avem și $302^{\circ }=360^{\circ }-58^{\circ }$, în cadranul al patrulea, deci $\sin 302^{\circ }\approx -0,8480$ și $\cos 302^{\circ }\approx 0,5299$.

Cele patru valori au aceleași cifre ca valorile tabelului; diferă numai semnele. Dacă un calculator afișează altceva, de exemplu o valoare pozitivă pentru sinusul lui $238^{\circ }$, verifică modul de lucru și introducerea unghiului.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Arătați că ${\sin }^2(\pi +x)+\cos (2\pi -x)\cos x=1$, pentru orice $x\in [0,\pi ]$.

Rezolvare. Din formulele lecției, $\sin (\pi +x)=-\sin x$, deci ${\sin }^2(\pi +x)={\sin }^{2}x$: pătratul face să dispară semnul. Apoi $\cos (2\pi -x)=\cos x$, deci al doilea termen este ${\cos }^{2}x$.

Expresia devine ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x$, egală cu $1$ după formula fundamentală a trigonometriei. Redactarea completă are trei rânduri: cele două reduceri, apoi formula fundamentală. Enunțul este construit în stilul cerințelor „arătați că” de la Subiectul I, fără a fi preluat dintr-un subiect oficial.

Să exersăm

Scrie întâi cum descompui arcul ($\pi +t$ sau $2\pi -t$) și în ce cadran ajunge punctul, apoi aplică formula. Rezultatele exacte rămân cu radicali; cele digitale se rotunjesc la patru zecimale.

1. Calculează $\cos \frac{5\pi }{3}+\sin \frac{5\pi }{4}$.

2. Calculează $\sin 330^{\circ }\cdot \cos 225^{\circ }$.

3. O aplicație setată în radiani afișează $\cos 4,3\approx -0,4008$. Scrie numărul $4,3$ în forma $\pi +t$, află $t$ cu patru zecimale și deduce valoarea lui $\cos t$.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) Pentru orice $x\in [0,\pi ]$ are loc egalitatea $\cos (\pi +x)=\cos (2\pi -x)$.

5. Simplifică expresia $\sin (2\pi -x)-\sin (\pi +x)$, pentru $x\in [0,\pi ]$.

6. Simplifică $\frac{\sin (\pi +x)}{\sin (2\pi -x)}$, pentru $x\in (0,\pi )$, și explică de ce am exclus capetele intervalului.

7. Pentru un arc $x$ din primul cadran, punctul $M(\pi +x)$ are coordonatele $\left(-\frac{165}{173},-\frac{52}{173}\right)$. Scrie coordonatele punctelor $M(x)$ și $M(2\pi -x)$ și precizează cadranele lor.

8. Punctul $M(x)$ al cercului trigonometric are coordonatele $\left(-\frac{23}{265},\frac{264}{265}\right)$. Scrie coordonatele punctelor $M(\pi +x)$ și $M(2\pi -x)$ și precizează cadranele lor.

9. (Problemă aplicată.) Bara unui agitator magnetic de laborator are lungimea de $4$ cm și se rotește în jurul mijlocului ei, pe fundul unui pahar. Pe o fotografie făcută de sus alegem un reper cu originea în mijlocul barei. Într-un moment, un capăt al barei are ordonata $-1,4$ cm. Ce ordonată are celălalt capăt și cât de departe sunt capetele unul de altul pe direcția axei $Oy$?

10. Două roți dințate identice, cu raza de $5$ cm, sunt angrenate, deci se rotesc cu același unghi, în sensuri opuse. Prima se rotește în sens trigonometric cu $\frac{2\pi }{9}$, a doua în sens orar. Pe fiecare roată, un semn pornește din poziția arcului $0$ față de centrul roții. Scrie coordonatele celor două semne față de centrele roților, folosind $\cos \frac{2\pi }{9}\approx 0,7660$ și $\sin \frac{2\pi }{9}\approx 0,6428$.

11. Ordonează crescător, fără calculator, numerele $\sin 190^{\circ }$, $\sin 223^{\circ }$ și $\sin 260^{\circ }$.

12. Arată că $\sin \frac{13\pi }{10}=\sin \frac{17\pi }{10}$, scriind fiecare arc în forma potrivită.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că $\cos \frac{5\pi }{3}+\sin \frac{11\pi }{6}=0$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Calculați $4\sin \frac{4\pi }{3}\cos \frac{11\pi }{6}$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că $\sin (2\pi -x)\cos (\pi +x)=\sin x\cos x$, pentru orice $x\in [0,\pi ]$.

16. Pentru $x=\frac{5\pi }{6}$, din cadranul al doilea, calculează $\cos (\pi +x)$ și explică de ce rezultatul este pozitiv.

17. Știind că $\sin 1,3\approx 0,9636$ și $\cos 1,3\approx 0,2675$, estimează $\sin (\pi +1,3)$ și $\cos (2\pi -1,3)$ și precizează în ce cadrane se află punctele asociate.

18. (Provocare.) Pentru $x$ din primul cadran, punctele $M(x)$, $M(\pi -x)$, $M(\pi +x)$ și $M(2\pi -x)$ sunt vârfurile unui dreptunghi. Exprimă laturile lui cu $\sin x$ și $\cos x$, calculează aria pentru $x=\frac{\pi }{3}$, perimetrul pentru $x=\frac{\pi }{4}$ și află pentru ce arc din primul cadran dreptunghiul este pătrat.

Răspunsuri și explicații

1. $\frac{5\pi }{3}=2\pi -\frac{\pi }{3}$, deci $\cos \frac{5\pi }{3}=\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$, iar $\frac{5\pi }{4}=\pi +\frac{\pi }{4}$, deci $\sin \frac{5\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Suma este $\cos \frac{5\pi }{3}+\sin \frac{5\pi }{4}=\frac{1-\sqrt{2}}{2}$, un număr negativ, de aproximativ $-0,2071$: termenul negativ are modulul mai mare.

2. $330^{\circ }=360^{\circ }-30^{\circ }$ dă $\sin 330^{\circ }=-\frac{1}{2}$, iar $225^{\circ }=180^{\circ }+45^{\circ }$ dă $\cos 225^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Produsul a două numere negative este pozitiv: $\sin 330^{\circ }\cdot \cos 225^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{4}$.

3. Arcul $t=4,3-\pi \approx 1,1584$ este în primul cadran. Numărul $4,3$ se află deci în cadranul al treilea. Formula dă $\cos 4,3=\cos (\pi +t)=-\cos t$, așa că $\cos t\approx 0,4008$. Aici drumul pornește de la valoarea din cadranul al treilea și ajunge la cea din primul cadran.

4. Fals. Membrul stâng este $-\cos x$, iar membrul drept este $\cos x$. Ele sunt egale numai când $\cos x=0$, adică pentru $x=\frac{\pi }{2}$. Pentru $x=0$ avem $\cos \pi =-1$, dar $\cos 2\pi =1$.

5. $\sin (2\pi -x)-\sin (\pi +x)=-\sin x-(-\sin x)=0$. Cele două puncte, $M(2\pi -x)$ și $M(\pi +x)$, au aceeași ordonată: unul este oglindirea lui $M(x)$ față de axa orizontală, celălalt este punctul diametral opus.

6. Numărătorul este $-\sin x$, iar numitorul este tot $-\sin x$, deci $\frac{\sin (\pi +x)}{\sin (2\pi -x)}=1$. Pentru $x=0$ și $x=\pi$ avem $\sin x=0$, iar numitorul s-ar anula; de aceea lucrăm pe $(0,\pi )$.

7. Din $\cos (\pi +x)=-\cos x$ și $\sin (\pi +x)=-\sin x$ rezultă $\cos x=\frac{165}{173}$ și $\sin x=\frac{52}{173}$, deci $M(x)=\left(\frac{165}{173},\frac{52}{173}\right)$, în primul cadran. Oglindirea în axa $Ox$ dă $M(2\pi -x)=\left(\frac{165}{173},-\frac{52}{173}\right)$, în cadranul al patrulea. Datele sunt compatibile: $52^2+165^2=173^2$.

8. $M(\pi +x)=\left(\frac{23}{265},-\frac{264}{265}\right)$, în cadranul al patrulea, fiindcă ambele coordonate își schimbă semnul. $M(2\pi -x)=\left(-\frac{23}{265},-\frac{264}{265}\right)$, în cadranul al treilea, fiindcă se schimbă numai ordonata. Punctul $M(x)$ era în cadranul al doilea, aproape de vârful cercului, iar datele sunt compatibile: $23^2+264^2=265^2$.

9. Capetele barei sunt diametral opuse față de centru, la $2$ cm de el. Dacă un capăt este în direcția arcului $t$, ordonata lui este $2\sin t$, iar a celuilalt este $2\sin (\pi +t)=-2\sin t$. Primul capăt are ordonata $-1,4$ cm, deci al doilea are ordonata $1,4$ cm. Distanța dintre capete pe direcția axei $Oy$ este $1,4-(-1,4)=2,8$ cm. Modelul presupune bara dreaptă, rotația în planul fundului paharului și reperul fix față de pahar; numai centrul barei rămâne pe loc.

10. Semnul primei roți ajunge în direcția arcului $\frac{2\pi }{9}$, cu abscisa $5\cos \frac{2\pi }{9}\approx 5\cdot 0,7660=3,8300$ cm și ordonata $5\sin \frac{2\pi }{9}\approx 5\cdot 0,6428=3,2140$ cm. A doua roată se rotește în sens orar cu același arc, deci semnul ei ajunge în direcția arcului $2\pi -\frac{2\pi }{9}$, cu aceeași abscisă și ordonata opusă: aproximativ $(3,8300;-3,2140)$ cm.

11. $\sin 190^{\circ }=-\sin 10^{\circ }$, $\sin 223^{\circ }=-\sin 43^{\circ }$ și $\sin 260^{\circ }=-\sin 80^{\circ }$. Pe primul cadran sinusul crește, deci $\sin 10^{\circ }<\sin 43^{\circ }<\sin 80^{\circ }$, iar opusele sunt în ordine inversă. Ordinea crescătoare este $\sin 260^{\circ }<\sin 223^{\circ }<\sin 190^{\circ }$.

12. $\frac{13\pi }{10}=\pi +\frac{3\pi }{10}$, în cadranul al treilea, și $\frac{17\pi }{10}=2\pi -\frac{3\pi }{10}$, în cadranul al patrulea. Amândouă au sinusul egal cu $-\sin \frac{3\pi }{10}$. Punctele sunt simetrice față de axa $Oy$, deci au aceeași ordonată.

13. $\cos \frac{5\pi }{3}=\cos \left(2\pi -\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$ și $\sin \frac{11\pi }{6}=-\sin \frac{\pi }{6}=-\frac{1}{2}$. Suma este $\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$.

14. $\sin \frac{4\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, fiindcă arcul este $\pi +\frac{\pi }{3}$, iar $\cos \frac{11\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, fiindcă arcul este $2\pi -\frac{\pi }{6}$. Produsul cerut este $4\sin \frac{4\pi }{3}\cos \frac{11\pi }{6}=4\cdot \left(-\frac{3}{4}\right)=-3$.

15. $\sin (2\pi -x)=-\sin x$ și $\cos (\pi +x)=-\cos x$, deci produsul are doi factori cu semnul schimbat: $(-\sin x)(-\cos x)=\sin x\cos x$. Egalitatea are loc pentru orice $x$ din interval.

16. $\pi +\frac{5\pi }{6}=\frac{11\pi }{6}$, în cadranul al patrulea. Formula dă $\cos (\pi +x)=-\cos \frac{5\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Rezultatul este pozitiv fiindcă $\cos \frac{5\pi }{6}$ este negativ, iar opusul lui este pozitiv; în cadranul al patrulea abscisa este pozitivă.

17. $\sin (\pi +1,3)=-\sin 1,3\approx -0,9636$, iar punctul este în cadranul al treilea, fiindcă $\pi +1,3\approx 4,4416$. $\cos (2\pi -1,3)=\cos 1,3\approx 0,2675$, iar punctul este în cadranul al patrulea, fiindcă $2\pi -1,3\approx 4,9832$.

18. Punctele $M(x)$ și $M(\pi -x)$ au aceeași ordonată și abscise opuse, deci latura orizontală are lungimea $2\cos x$. Punctele $M(x)$ și $M(2\pi -x)$ au aceeași abscisă și ordonate opuse, deci latura verticală are lungimea $2\sin x$. Aria este $4\sin x\cos x$; pentru $x=\frac{\pi }{3}$ ea este $4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\sqrt{3}$. Perimetrul este $4\cos x+4\sin x$; pentru arcul $\frac{\pi }{4}$ el este $4\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+4\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$. Dreptunghiul este pătrat când $\sin x=\cos x$, adică exact pentru arcul $\frac{\pi }{4}$, cel de la perimetru. Diagonalele sunt diametre, de lungime $2$, ceea ce se vede și din $(2\cos x{)}^2+(2\sin x{)}^2=4$.

De reținut

• Formulele lecției sunt $\sin (\pi +x)=-\sin x$, $\cos (\pi +x)=-\cos x$ (punctul diametral opus) și $\sin (2\pi -x)=-\sin x$, $\cos (2\pi -x)=\cos x$ (oglindirea în axa $Ox$).
• La clasa a IX-a lucrăm pe $[0,2\pi ]$: formula pentru $\pi +x$ se aplică pentru $x\in [0,\pi ]$, iar arcul $2\pi -x$ este arcul $x$ parcurs în sens orar.
• Minusul din formulă înseamnă „opusul valorii”, nu „număr negativ”; semnul final îl dă cadranul în care ajunge punctul.
• Pentru valori oarecare, tabelul sau aplicația dau cifrele, iar reducerea dă semnul și controlul; o verificare digitală nu este o demonstrație.
• Într-un model, formulele descriu poziții opuse față de un centru sau oglindite față de o dreaptă orizontală, numai în condițiile declarate: corp rigid, oglindă plană, reper fix.

Greșeli frecvente

• Sinusul distribuit peste o sumă. Scrierea $\sin (\pi +x)=\sin \pi +\sin x$ tratează sinusul ca pe o înmulțire. Formula corectă vine din simetria punctelor, nu din desfacerea parantezei.
• Cadranul lui π + x luat mereu drept al treilea. Numai pentru $x$ din primul cadran; pentru $x$ din al doilea cadran, $\pi +x$ ajunge în al patrulea. Localizează punctul înainte să scrii semnul.
• Grade și radiani amestecați în aceeași sumă. Un elev scrie $\pi +30$ în loc de $\pi +\frac{\pi }{6}$ sau de $180^{\circ }+30^{\circ }$. Alege o unitate și păstreaz-o în toată expresia.
• Minusul din formulă citit ca rezultat negativ. $\sin (2\pi -x)=-\sin x$ este pozitiv când $\sin x$ este negativ, de exemplu pentru $x$ din cadranul al treilea. Calculează opusul, nu presupune semnul.
• O verificare digitală luată drept demonstrație. Aceleași zecimale pe ecran pentru două expresii nu dovedesc o identitate; dovada este simetria cercului, iar calculul numeric doar o confirmă pe un caz.

Aplică acasă

1. Deschide o aplicație de geometrie dinamică și desenează cercul de rază $1$. Pune un punct pe cerc, legat de un cursor pentru arc, și construiește simetricul lui față de origine și față de axa $Ox$. Mută cursorul și notează, pentru patru poziții, coordonatele celor trei puncte. Verifică în fiecare rând ce coordonată s-a păstrat și ce coordonată a trecut la opus.
2. Scrie pe opt cartonașe câte un arc din cadranele al treilea și al patrulea, jumătate în grade și jumătate în radiani, fără valori de bază printre ele. Amestecă-le, trage câte unul și spune, în zece secunde, forma $\pi +t$ sau $2\pi -t$, cu $t$ din primul cadran, și semnele sinusului și cosinusului. Notează ce cartonașe te-au încurcat și reia-le a doua zi.
3. Desenează pe hârtie de calc două axe și un cerc, apoi marchează un punct pe cerc, în primul cadran. Împăturește foaia după axa $Ox$ și înțeapă punctul cu vârful unui creion: urma de pe cealaltă jumătate este punctul lui $2\pi -x$. Desfă foaia, înfige un ac în origine și rotește foaia cu o jumătate de tură peste o a doua foaie: urma este punctul lui $\pi +x$. Compară coordonatele citite cu formulele lecției.

Pentru părinți și profesori

Lecția completează formulele de reducere cerute de programa de științe: după $\pi -x$ urmează $\pi +x$ și $2\pi -x$, fiecare argumentată pe cercul trigonometric, cum cere nota programei. Accentul cade pe legătura dintre o simetrie și semnele coordonatelor, nu pe o listă de formule. Un elev care a înțeles lecția poate reconstrui oricare dintre cele trei formule dintr-un desen de câteva secunde.

Merită urmărite două deprinderi. Prima este localizarea punctului înainte de calcul, mai ales pentru arcele din afara primului cadran, unde minusul din formulă poate produce un număr pozitiv. A doua este diferența dintre o demonstrație și o verificare numerică: aplicațiile digitale sunt permise de programă pentru valori, dar nu înlocuiesc argumentul geometric. Întrebări utile: „În ce cadran ajunge punctul?”, „Ce coordonată se păstrează la această simetrie?”, „De ce ai pus acest semn?”.

Programa și examenul. Formulele pentru $\pi +x$ și $2\pi -x$ sunt cerute explicit în programa școlară de matematică pentru științe ale naturii (OMEC nr. 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030, cu nota „Toate formulele vor fi argumentate utilizând cercul trigonometric”. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 (programa din anexa 4.2 la OMEC nr. 5077/2026) tema aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă de examen (OMEN nr. 4430/2014) conține „Reducerea la primul cadran” în capitolul „Elemente de trigonometrie”. Modelul oficial publicat pentru 2026 are la Subiectul I o cerință de trigonometrie într-un triunghi dreptunghic și nu conține o formulă de reducere; exercițiile marcate aici sunt construite în stilul Subiectului I, nu preluate dintr-un subiect oficial.

Pentru o recapitulare a simetriilor din plan, se poate relua lecția de gimnaziu despre reprezentarea punctelor în plan, cadrane și simetrii. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: formulele pentru π + x și 2π − x are alt parcurs și alte exemple; tot ce trebuie pentru exercițiile de aici se află pe această pagină. Lecția următoare, despre formulele cu π/2 − x, leagă sinusul de cosinus. Pentru antrenament la nivelul unității, folosiți testul M2 de trigonometrie și aplicații în geometrie.

Întrebări frecvente

Ce diferă la aceste formule între M2 și M1?

Formulele sunt aceleași, dar la științe ale naturii programa le cere pe intervalul $[0,2\pi ]$, argumentate pe cerc, și le aplică în contexte practice. Lecția M1 lucrează și cu unghiuri mai mari decât o tură, după o strategie în trei pași pentru orice unghi. Aici ai tot ce îți trebuie pentru M2; pagina M1 rămâne o comparație opțională, nu materie în plus.

La ce subiect de bacalaureat M2 pot apărea formulele pentru π + x și 2π − x?

Programa de examen pentru 2027–2029 conține reducerea la primul cadran în capitolul de trigonometrie, iar în modelul oficial trigonometria apare la Subiectul I. Modelul publicat pentru 2026 nu conține însă o formulă de reducere, deci nu putem spune ce cerință exactă va apărea. La proba MAT_P2 din 2030, tema intră în domeniul „Geometrie. Trigonometrie”.

Ce legătură are arcul 2π − x cu o rotație în sens orar?

Pornind din punctul $(1,0)$, o rotație în sens orar cu arcul $x$ te duce exact unde te-ar duce o rotație în sens trigonometric cu $2\pi -x$, fiindcă cele două drumuri împreună fac o tură întreagă. De aceea poziția unui obiect care se rotește în sens orar, ca a doua roată dintr-un angrenaj, se descrie cu formulele pentru $2\pi -x$.

Dacă x este în cadranul al doilea, mai pot folosi formulele?

Da. Deducerea prin simetrie nu depinde de cadran. Trebuie doar să urmărești unde ajunge punctul: pentru $x$ din cadranul al doilea, $\pi +x$ ajunge în cadranul al patrulea, iar cosinusul lui iese pozitiv. Minusul din formulă aplicat unui cosinus negativ produce un număr pozitiv, în acord cu desenul.

Pot verifica formulele cu un calculator științific?

Poți verifica un caz: alegi un arc, calculezi ambii membri și compari zecimalele, cu aparatul setat în unitatea corectă. O astfel de verificare prinde greșelile de semn, dar nu demonstrează formula pentru toate arcele. Demonstrația este simetria punctelor de pe cerc, pe care programa o cere explicit.

Unde se folosesc formulele în științe?

Oriunde două poziții sunt legate printr-o jumătate de tură sau printr-o oglindire orizontală: atomii unei molecule care se rotește, capetele unei bare care se învârte în jurul mijlocului, o rază reflectată de o suprafață orizontală. Formulele spun exact care coordonată se păstrează și care își schimbă semnul, fără alt calcul.