Producția de salată dintr-o seră depinde de numărul de plante pe metru pătrat printr-o funcție de gradul al doilea cu ramurile în jos. Se știe că densitățile de $$7$$ și de $$15$$ plante pe metru pătrat dau aceeași producție. La ce densitate este producția maximă?

$$22$$ de plante pe metru pătrat

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Parabola: vârful și maximul

Cât pierd dacă nu aleg exact prețul optim?

Pierderea față de profitul maxim crește cu pătratul abaterii de la prețul optim: $∣ a ∣ d^{2}$ , unde $a$ este coeficientul lui $p^{2}$ și $d$ este abaterea. Exemplu: la profitul $P (p) = - 4 (p - 14) (p - 62)$ vârful este la $p = 38$ , cu $P (38) = 2304$ lei; la $p = 40$ profitul este $2288$ lei, adică $4 \cdot 2^{2} = 16$ lei mai puțin, iar la $p = 44$ este $2160$ lei, adică $4 \cdot 6^{2} = 144$ lei mai puțin. Proba: $P (44) = - 4 \cdot 30 \cdot (- 18) = 2160$ .

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a IX-a → ·

O funcție de gradul al doilea are forma $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , cu $a \neq = 0$ , iar graficul ei este o parabolă. Dacă $a < 0$ , ramurile merg în jos și vârful este punctul cel mai înalt; dacă $a > 0$ , vârful este punctul cel mai de jos. Dreapta verticală prin vârf este axa de simetrie.

Abscisa vârfului se află în trei feluri. Dacă două valori ale lui $x$ dau aceeași valoare a funcției, ea este media lor. Dacă ai ambele zerouri, este mijlocul lor. Dacă ai formula $a x^{2} + b x + c$ , este $- \frac{b}{2 a}$ . Ordonata se obține înlocuind abscisa în formulă și este valoarea maximă sau minimă.

Dintr-un tabel de profit, vârful poate cădea între rânduri, deci maximul real poate depăși cel mai mare număr din tabel. Din zerouri și un punct afli funcția: o scrii ca $a$ înmulțit cu câte o diferență $x - z$ pentru fiecare zerou $z$ , iar $a$ rezultă din punct; pentru un profit pozitiv între zerouri, $a$ iese negativ.

Când $x$ ia numai valori permise cu un pas fix, vârful poate să nu fie permis: compari funcția în valorile permise vecine, care uneori dau chiar același rezultat. Capcanele sunt maximul citit din tabel, $- \frac{b}{a}$ în loc de $- \frac{b}{2 a}$ și semnul lui $a$ ignorat.

De reținut

pierderea față de maxim este $∣ a ∣ d^{2}$ , cu $d$ abaterea de la abscisa vârfului
o constantă adăugată sau un factor pozitiv nu mută vârful pe orizontală
profitul este produsul dintre câștigul pe bucată și cantitatea vândută

Greșeala tipică

Se crede că pierderea crește proporțional cu abaterea: dacă la abaterea $2$ se pierd $16$ lei, la abaterea $6$ ar urma $48$ lei. Corect este $4 \cdot 6^{2} = 144$ lei, fiindcă abaterea se ridică la pătrat.

Exerciții din această mini-lecție

Producția de salată dintr-o seră depinde de numărul de plante pe metru pătrat printr-o funcție de gradul al doilea cu ramurile în jos. Se știe că densitățile de $7$ și de $15$ plante pe metru pătrat dau aceeași producție. La ce densitate este producția maximă?
- a) $8$ plante pe metru pătrat
- b) $22$ de plante pe metru pătrat
- c) $11$ plante pe metru pătrat
- d) $4$ plante pe metru pătrat
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $11$ plante pe metru pătrat

Axa de simetrie trece prin mijlocul celor două densități, deci vârful este la $\frac{7 + 15}{2} = 11$ plante pe metru pătrat. Varianta $22$ este suma, la care lipsește împărțirea la $2$ , iar $8$ este diferența dintre cele două densități. Varianta $4$ este jumătatea diferenței, adică distanța de la mijloc la fiecare dintre ele.
La strungul unui atelier, timpul de prelucrare al unei piese din oțel, în minute, depinde de viteza de așchiere $v$ , în m/min, prin $t (v) = 0, 02 v^{2} - 2, 4 v + 90$ , pentru $v \in [20; 120]$ . La ce viteză este timpul de prelucrare minim?
- a) $60$ m/min
- b) $120$ m/min
- c) $- 60$ m/min
- d) $18$ m/min
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $60$ m/min

Funcția are $a = 0, 02 > 0$ , deci vârful este un minim, la $v = - \frac{- 2 , 4}{2 \cdot 0 , 02} = 60$ m/min. Varianta $120$ uită factorul $2$ din $- \frac{b}{2 a}$ , iar $- 60$ pierde semnul lui $b$ . Varianta $18$ este chiar timpul minim, $t (60) = 18$ minute, nu viteza la care se atinge.
Profitul lunar $P (n)$ al unui service auto, în sute de lei, în funcție de numărul $n$ de mecanici angajați, este $P (n) = - 2 n^{2} + 36 n - 100$ . Care este profitul lunar maxim, în sute de lei?
- a) $9$
- b) $- 100$
- c) $162$
- d) $62$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $62$

Abscisa vârfului este $- \frac{36}{2 \cdot ( - 2 )} = 9$ , iar $P (9) = - 162 + 324 - 100 = 62$ sute de lei. Varianta $9$ este numărul de mecanici, nu profitul. Varianta $- 100$ se obține din vârful greșit $- \frac{b}{a} = 18$ , pentru care $P (18) = - 100$ , iar $162$ uită termenul liber $- 100$ .

Întrebări conexe

Ce fac dacă și prețul optim dă pierdere?

Vârful rămâne punctul cel mai avantajos, chiar dacă ordonata lui e negativă. Pentru $P (p) = - 3 p^{2} + 120 p - 1300$ vârful este la $p = 20$ , cu $P (20) = - 100$ lei: nu există zerouri, iar $- 100$ este cea mai mică pierdere posibilă. Orice alt preț pierde mai mult.

Se schimbă prețul optim dacă cresc cheltuielile fixe?

Nu: o cheltuială fixă scade profitul cu aceeași sumă la orice preț, deci coboară parabola fără s-o mute pe orizontală. Pentru $P (p) = - 5 (p - 10) (p - 50)$ , vârful este la $p = 30$ , cu $P (30) = 2000$ lei. După o chirie nouă de $300$ lei, vârful rămâne la $p = 30$ , iar maximul devine $1700$ lei.

Se schimbă prețul optim dacă măsor profitul pe lună?

Nu: înmulțirea cu un număr pozitiv mărește toate valorile, dar nu mută vârful. Pentru profitul săptămânal $- 3 (p - 18) (p - 46)$ , maximul este la $p = 32$ și are $588$ lei. Pe patru săptămâni profitul devine $4 \cdot 588 = 2352$ lei, tot la $p = 32$ .

De ce profitul din vânzări este o parabolă?

Pentru că este produsul dintre câștigul pe bucată și cantitatea vândută, iar cantitatea scade liniar cu prețul. Cu costul de $20$ lei și cantitatea $360 - 6 p$ , profitul este $(p - 20) (360 - 6 p) = - 6 (p - 20) (p - 60)$ : zerourile sunt $20$ și $60$ , vârful este la $p = 40$ , cu $2400$ lei.

Cum apare funcția de gradul al doilea în probele oficiale?

Funcția de gradul al doilea a apărut în 27 de probe M_tehnologic din 2013–2026, în Subiectul I. Cerințele pornesc de la formula funcției: două valori egale, un parametru sau un punct al graficului. Calculul încape pe trei rânduri, iar fiecare rezultat se verifică prin înlocuire.

Oamenii mai întreabă și: cât pierd față de profitul maxim · profitul când prețul nu e chiar cel optim · cât scade profitul dacă mă abat de la vârf · pierderea la o abatere de la prețul optim