Profit maxim: funcția de gradul II la tehnologic

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a IX-a → ·

Un magazin își fixează prețul de raft: dacă e prea mic, câștigi puțin la fiecare bucată, iar dacă e prea mare, nu mai cumpără nimeni. Când cererea scade cu același număr de bucăți la fiecare leu de scumpire, profitul urcă și apoi coboară după o parabolă, graficul unei funcții de gradul al II-lea. La liceul tehnologic, clasa a IX-a îți cere să-i găsești vârful: prețul cel mai bun și profitul maxim. Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) a avut o cerință despre această funcție în 27 de probe din 2013–2026.

Situația de pornire

Un magazin mare de bricolaj și grădinărie vinde pulverizatoare de 5 l, cumpărate de la furnizor cu 19 lei bucata. Ca să afle prețul de raft potrivit, administratorul l-a schimbat în fiecare săptămână și a notat, din bonurile casei de marcat, profitul săptămânal: încasările minus prețul de achiziție al pulverizatoarelor vândute. Nicio săptămână nu a avut același preț cu alta, iar restul condițiilor au rămas la fel. Tabelul arată cele șapte săptămâni de probă.

Preț de raft, $p$ (lei/buc)	Profit pe săptămână, $P (p)$ (lei)
27	1200
33	1848
39	2280
45	2496
51	2496
57	2280
63	1848

Administratorul vrea să fixeze prețul cu cel mai mare profit și să știe între ce prețuri magazinul nu pierde bani.

Întrebare: la ce preț de raft este profitul maxim, cât este el și între ce prețuri profitul nu e negativ?

De la situație la model

În situație	În matematică
prețul de raft, în lei	argumentul $x$ (aici $p$ ), pe axa $O x$
profitul săptămânal, în lei	valoarea funcției, $f (x)$ (aici $P (p)$ ), pe axa $O y$
prețul de achiziție, 19 lei	un zero al funcției: $f (19) = 0$
prețul la care nu mai cumpără nimeni	celălalt zero, $x_{2}$ , cu $f (x_{2}) = 0$
cel mai bun preț și profitul maxim	vârful parabolei, $V (x_{V}; f (x_{V}))$ , punctul de maxim
„magazinul nu pierde bani”	inecuația $f (x) \geq 0$ : partea graficului aflată pe axa $O x$ sau deasupra ei

Funcția de gradul al II-lea este o funcție $f : R \to R$ de forma $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , cu $a$ , $b$ , $c$ numere reale și $a \neq = 0$ . Graficul ei este o parabolă. Dacă $a < 0$ , ramurile ei merg în jos și parabola are un punct cel mai înalt, **vârful**; dacă $a > 0$ , ramurile merg în sus și vârful este cel mai de jos punct. Dreapta verticală $x = x_{V}$ care trece prin vârf este axa de simetrie: două puncte ale parabolei aflate la aceeași înălțime sunt la aceeași distanță de ea.

Cum recunoști parabola într-un tabel de profit?

Citește coloana profitului de sus în jos: crește până la un punct și apoi scade. Mai important, valorile se repetă în oglindă: 2 496 apare la 45 și la 51, 2 280 la 39 și la 57, 1 848 la 33 și la 63. Presupunem că profitul este o funcție de gradul al II-lea. Atunci mijlocul comun al acestor perechi este pe axa ei de simetrie. Aici el este la 48, între 45 și 51, deși nicio săptămână de probă nu a avut prețul acesta.

De ce mijlocul a două valori egale este abscisa vârfului?

Axa de simetrie trece prin mijlocul oricărui segment orizontal cu capetele pe parabolă, deci $x_{V} = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}$ când $f (x_{1}) = f (x_{2})$ . Pentru funcția scrisă ca $a x^{2} + b x + c$ obții și o formulă. Din $f (x_{1}) = f (x_{2})$ rezultă $a (x_{1}^{2} - x_{2}^{2}) + b (x_{1} - x_{2}) = 0$ , adică $(x_{1} - x_{2}) (a (x_{1} + x_{2}) + b) = 0$ . Cum $x_{1} \neq = x_{2}$ , avem $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ , deci

$x_{V} = - \frac{b}{2 a}$

Ordonata vârfului o afli înlocuind: $y_{V} = f (x_{V})$ . Dacă $a < 0$ , $y_{V}$ este valoarea maximă a funcției; dacă $a > 0$ , este valoarea minimă.

Cum scrii formula din zerouri sau din vârf?

Când cunoști cele două zerouri, $x_{1}$ și $x_{2}$ , funcția este produsul dintre un număr $a$ și diferențele dintre $x$ și fiecare zero; numărul $a$ rezultă dintr-un singur punct cunoscut. Zerourile sunt egal depărtate de axă, deci $x_{V} = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}$ . Când cunoști vârful, funcția este valoarea din vârf plus $a$ înmulțit cu pătratul distanței de la $x$ la axă; $a$ se află tot dintr-un punct. În situația de față, prețul de achiziție dă un zero. Cu un preț de vânzare egal cu cel de achiziție, magazinul nu câștigă nimic, deci profitul este 0. Al doilea zero este simetricul lui față de axa $x = 48$ și îl afli din mijloc. Când zerourile nu se văd din tabel, le afli rezolvând ecuația $f (x) = 0$ , la care te ajută lecția despre ecuația de gradul II.

Ce spun monotonia, mulțimea valorilor și ecuația $f (x) = m$ ?

Pentru $a < 0$ , funcția este strict crescătoare până la vârf și strict descrescătoare după el; pentru $a > 0$ , invers. Definițiile sunt cele din lecția citirea graficului. Mulțimea valorilor este $(- \infty; y_{V}]$ la $a < 0$ și $[y_{V}; + \infty)$ la $a > 0$ . La $a < 0$ , o valoare $m$ sub maxim este luată de două ori, în puncte simetrice față de axă; maximul însuși este luat o singură dată, în vârf. Intersecția cu axa $O y$ este punctul $(0; c)$ : la $x = 0$ , funcția dă termenul liber. Pe $O x$ , punctele de intersecție sunt zerourile, adică soluțiile ecuației $f (x) = 0$ . Spre deosebire de dreapta din lecția funcția de gradul I, parabola nu urcă și nu coboară cu același ritm: la fiecare pas, schimbarea ei este alta.

Metoda pas cu pas

Stabilește ce înseamnă $x$ și $f (x)$ . Notează unitățile și valorile pe care le poate lua $x$ în practică: prețuri întregi, un număr de piese sau o doză măsurată cu pasul instrumentului. Dacă primești un tabel, caută perechi de valori $x$ cu același $f (x)$ și verifică dacă mijlocul lor e același pentru toate perechile.
Găsește abscisa vârfului. Ia mijlocul a două valori egale, sau mijlocul celor două zerouri, sau $x_{V} = - \frac{b}{2 a}$ dacă ai formula $a x^{2} + b x + c$ . Semnul lui $a$ spune dacă vârful e maxim ( $a < 0$ ) sau minim ( $a > 0$ ).
Scrie formula, dacă nu o ai. Din zerouri, scrii produsul dintre $a$ și diferențele dintre $x$ și zerouri; din vârf, scrii valoarea din vârf plus $a$ înmulțit cu pătratul distanței la axă. Află $a$ dintr-un punct dat și controlează semnul: pentru un profit pozitiv între zerouri, $a$ trebuie să fie negativ.
Răspunde la întrebare. Pentru valoarea maximă calculezi $f (x_{V})$ , prin înlocuire. Pentru „profit cel puțin $m$ ” folosești simetria față de $x_{V}$ . Pentru $f (x) = g (x)$ egalezi cele două formule, aduci totul într-o parte și descompui în factori. Dacă $x_{V}$ nu e o valoare permisă în practică, compari valorile funcției în cele două valori permise vecine lui; câștigă cea mai apropiată de axă.
Verifică pe alt drum. Valorile la stânga și la dreapta vârfului trebuie să fie mai mici decât maximul, iar punctele din tabel trebuie să se potrivească cu formula. Scrie unitatea și compară rezultatul cu un ordin de mărime plauzibil: un profit negativ la prețul optim ar arăta o greșeală.

Dacă ordinea pașilor nu e respectată, pierzi repede firul: fără pasul 2 nu știi unde e maximul, iar fără pasul 3 nu ai cu ce să calculezi. Restul temelor clasei le găsești în traseul clasei a IX-a, filiera tehnologică.

Fișa de buzunar

$x_{V} = \frac{x _{1} + x _{2}}{2} = - \frac{b}{2 a}$

$V (x_{V}; f (x_{V})), a < 0 \Rightarrow maxim, a > 0 \Rightarrow minim$

Prima egalitate se aplică dacă $f (x_{1}) = f (x_{2})$ , mai ales când $x_{1}$ și $x_{2}$ sunt zerourile, iar a doua, dacă ai funcția scrisă ca $a x^{2} + b x + c$ . Verificare rapidă: $f (x_{V} - d) = f (x_{V} + d)$ pentru orice $d$ , iar valoarea din vârf nu e depășită de nicio valoare din tabel. Pentru un profit, $a$ este negativ, iar vârful este punctul de maxim.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Prețul optim la pulverizatoare

Domeniu: comert.

Enunț. Folosește tabelul din situația de pornire. a) Găsește perechile cu același profit și scrie abscisa vârfului. b) Scrie zerourile funcției $P$ și formula ei. c) Calculează profitul maxim. d) Între ce prețuri nu pierde magazinul bani?

Rezolvare. a) Profiturile sunt egale la 45 și 51, la 39 și 57, la 33 și 63, iar mijlocul fiecărei perechi este același: $\frac{45 + 51}{2} = 48$ . Abscisa vârfului este 48 lei.

b) Un zero este 19, prețul de achiziție. Celălalt este simetricul lui față de 48: $2 \cdot 48 - 19 = 77$ . Deci $P (p) = a (p - 19) (p - 77)$ . Din $P (27) = 1200$ obținem $a \cdot 8 \cdot (- 50) = 1200$ , deci $a = - 3$ și $P (p) = - 3 (p - 19) (p - 77)$ .

c) $P (48) = - 3 \cdot 29 \cdot (- 29) = 2523$ lei.

d) Pentru $a < 0$ , profitul nu e negativ între zerouri, adică pentru $p \in [19; 77]$ .

Capcană. Cine citește maximul direct din tabel spune 45 sau 51 lei, cu 2 496 lei. Vârful este însă între cele două rânduri, la 48 lei, și profitul acolo este mai mare, de 2 523 lei.

Verificare. Formula dă înapoi tabelul: $P (45) = - 3 \cdot 26 \cdot (- 32) = 2496$ și $P (51) = - 3 \cdot 32 \cdot (- 26) = 2496$ . Valorile vecine vârfului sunt mai mici: $P (47) = - 3 \cdot 28 \cdot (- 30) = 2520$ și $P (49) = - 3 \cdot 30 \cdot (- 28) = 2520$ .

Exemplul 2 — Dulapuri pe lună

Domeniu: lemn.

Enunț. Un atelier de tâmplărie face dulapuri. Profitul lunar, în lei, în funcție de numărul $n$ de dulapuri fabricate, are graficul unei parabole care taie axa $O x$ în $(6; 0)$ și în $(46; 0)$ și trece prin $(16; 2100)$ . a) Scrie formula profitului și forma ei $a n^{2} + bn + c$ . b) Care este profitul maxim și la câte dulapuri se atinge? c) Ce înseamnă punctul în care graficul taie axa $O y$ ?

Rezolvare. a) Zerourile sunt 6 și 46, deci $P (n) = a (n - 6) (n - 46)$ . Din $P (16) = 2100$ rezultă $a \cdot 10 \cdot (- 30) = 2100$ , deci $a = - 7$ . Prin desfacere, $P (n) = - 7 (n^{2} - 52 n + 276) = - 7 n^{2} + 364 n - 1932$ .

b) Vârful este la $\frac{6 + 46}{2} = 26$ dulapuri, iar $P (26) = - 7 \cdot 20 \cdot (- 20) = 2800$ lei. Cu formula $- \frac{b}{2 a}$ : $- \frac{364}{2 \cdot ( - 7 )} = 26$ , la fel.

c) Intersecția cu $O y$ este $(0; c) = (0; - 1932)$ : dacă atelierul nu fabrică niciun dulap, pierde 1 932 lei pe lună, adică cheltuielile fixe, precum chiria și abonamentele.

Capcană. Dacă scrii $a = + 7$ , parabola ar avea ramurile în sus și profitul ar fi negativ între zerouri: ai obține $P (16) = - 2100$ . Punctul dat, $(16; 2100)$ , arată semnul corect.

Verificare. Din vârf, $P (n) = 2800 + a (n - 26)^{2}$ , iar punctul $(16; 2100)$ dă $2100 = 2800 + 100 a$ , deci tot $a = - 7$ . În plus, forma desfăcută dă $- 7 \cdot 1 6^{2} + 364 \cdot 16 - 1932 = 2100$ .

Exemplul 3 — Doza de concentrate

Domeniu: zootehnie.

Enunț. O fermă are 40 de vaci de lapte. Câștigul net zilnic al fermei din concentrate, în lei, când fiecare vacă primește $d$ kg pe zi, este $B (d) = 168 d - 15 d^{2}$ , pentru $d \in [0; 11, 2]$ . Concentratele se porționează cu o măsură de 0,5 kg. a) Care este doza ideală și câștigul maxim teoretic? b) Ce doză se poate da cu măsura de 0,5 kg și cât câștigă ferma pe zi și pe o lună de 30 de zile? c) Câte kg de concentrate se consumă pe zi?

Rezolvare. a) $d_{V} = - \frac{168}{2 \cdot ( - 15 )} = 5, 6$ kg, iar $B (5, 6) = 168 \cdot 5, 6 - 15 \cdot 5, 6^{2} = 940, 8 - 470, 4 = 470, 4$ lei pe zi.

b) Dozele permise vecine lui 5,6 sunt 5,5 și 6. $B (5, 5) = 924 - 453, 75 = 470, 25$ lei, iar $B (6) = 1008 - 540 = 468$ lei. Se alege 5,5 kg, cu 470,25 lei pe zi, adică $470, 25 \cdot 30 = 14107, 5$ lei pe lună.

c) Fiecare dintre cele 40 de vaci primește 5,5 kg: $40 \cdot 5, 5 = 220$ kg pe zi.

Capcană. Dacă rotunjești 5,6 la cel mai apropiat număr întreg, obții 6 kg și 468 lei, mai puțin decât cei 470,25 lei de la 5,5 kg. Dozele permise se compară între ele, nu cu un număr rotunjit în afara măsurii.

Verificare. Câștigul ideal, 470,4 lei, este cu $470, 4 - 470, 25 = 0, 15$ lei mai mare decât cel permis, deci pierderea față de vârf e de 4,5 lei pe lună. Simetria spune același lucru: 5,5 este la 0,1 de axă, iar 6 la 0,4, deci 5,5 e mai aproape de vârf.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: parametrul și vârful

Domeniu: economic.

Enunț. (În stilul Bac M3.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = - 2 x^{2} + (7 m - 5) x - 11$ , unde $m$ este număr real. a) Determinați numărul real $m$ pentru care vârful parabolei asociate funcției $f$ are abscisa egală cu 4. b) Pentru valoarea găsită, calculați valoarea maximă a funcției. Dacă $x$ este numărul de curse pe zi ale unei firme de transport, iar $f (x)$ este profitul zilnic, în sute de lei, spune ce înseamnă răspunsul.

Rezolvare. a) Abscisa vârfului este $- \frac{b}{2 a}$ , cu $a = - 2$ și $b = 7 m - 5$ , adică $\frac{7 m - 5}{4}$ . Din $\frac{7 m - 5}{4} = 4$ rezultă $7 m - 5 = 16$ și $m = 3$ .

b) Pentru $m = 3$ , $f (x) = - 2 x^{2} + 16 x - 11$ și $f (4) = - 32 + 64 - 11 = 21$ . Valoarea maximă este 21, adică 2 100 lei pe zi, la 4 curse pe zi. Fără nicio cursă, $f (0) = - 11$ : firma pierde 1 100 lei pe zi, cheltuielile fixe.

Capcană. Dacă uiți factorul 2 din $- \frac{b}{2 a}$ și scrii $- \frac{b}{a} = 4$ , obții $7 m - 5 = 8$ și $m = \frac{13}{7}$ . Pentru acest $m$ , vârful nu mai e la 4: $\frac{7 \cdot \frac{13}{7} - 5}{4} = 2$ .

Verificare. Pentru $m = 3$ , valorile $f (3) = - 18 + 48 - 11 = 19$ și $f (5) = - 50 + 80 - 11 = 19$ sunt egale, iar 4 este mijlocul dintre 3 și 5. Ambele sunt mai mici decât $f (4) = 21$ .

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Funcția $f (x) = - 2 x^{2} + 44 x - 152$ are tabelul: $(5; 18)$ , $(8; 72)$ , $(14; 72)$ , $(17; 18)$ , $(20; - 72)$ . a) Găsește perechile cu aceeași valoare și scrie axa de simetrie. b) Calculează coordonatele vârfului.

2. Pentru $f (x) = 3 x^{2} - 42 x + 165$ , află $x_{V}$ , spune dacă vârful e maxim sau minim, calculează $f (x_{V})$ și scrie mulțimea valorilor.

3. O parabolă are zerourile 3 și 11 și trece prin $(5; 24)$ . Scrie funcția, află vârful și intersecția cu axa $O y$ .

4. Pentru $f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 25$ , scrie intervalele pe care funcția este strict descrescătoare și strict crescătoare și rezolvă $f (x) = 25$ .

Nivelul 2 — situații

5. Pe o pârtie pentru începători, cablul unui teleschi trece peste un dâmb. Față de piciorul dâmbului, înălțimea terenului, în m, la $x$ m pe orizontală, este $h (x) = x - \frac{x ^{2}}{20}$ , pentru $x$ de la 0 la 20, iar cablul, întins în linie dreaptă, are înălțimea $g (x) = \frac{x + 70}{20}$ . a) În ce puncte ar atinge cablul terenul? b) Pe ce porțiune terenul stă deasupra cablului, deci dâmbul trebuie nivelat sau cablul ridicat pe un stâlp?

6. Un atelier de prelucrări mecanice frezează la comandă roți dințate pentru reductoare. Profitul zilnic este $P (n) = - 4 (n - 3) (n - 41)$ lei pentru $n$ roți pe zi, iar mașina de frezat poate face cel mult 18 roți pe zi. a) Unde e vârful parabolei? b) Care este profitul maxim cu această limită și la câte roți se atinge?

7. După turnarea unui radier, o fundație masivă de beton, căldura degajată la întărire încălzește miezul. Temperatura din miez, în °C, la $t$ ore de la turnare, este aproximată de $T (t) = 60 - 0, 03 (t - 36)^{2}$ , pentru $t$ de la 0 la 72. a) Când este temperatura maximă și cât este? b) În ce interval de timp miezul are cel puțin 48 °C, perioadă în care betonul se ține acoperit, ca diferența dintre miez și suprafață să nu-l fisureze?

8. La un centru de colectare și sortare a deșeurilor, tabelul dă profitul zilnic, în lei, după tonele sortate: $(4; 560)$ , $(8; 1040)$ , $(16; 1040)$ , $(20; 560)$ . Se știe că $P (n) = - 10 n^{2} + 240 n - 240$ . a) Care este axa de simetrie? b) Care este profitul maxim? c) Între ce valori ale lui $n$ profitul este de cel puțin 1 040 lei?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 11 x + 23$ , ia valoarea 23 în două puncte. Aflați cele două numere reale $a$ pentru care $f (a) = 23$ .

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Fie funcțiile $f (x) = 2 x^{2} - 11 x + 13$ și $g (x) = 3 x + m$ , definite pe $R$ , cu $m$ real. Calculați $m$ astfel încât $f (4) = g (4)$ .

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 13 x + 37$ . Arătați că $f (2) = f (11)$ .

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Aflați numărul real $m$ pentru care graficul funcției $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} + m x + 11$ , trece prin punctul $A (2, 3)$ .

Răspunsuri și verificări

1. a) $f (8) = f (14) = 72$ și $f (5) = f (17) = 18$ ; mijlocul fiecărei perechi este 11, deci axa este $x = 11$ . b) $f (11) = - 2 \cdot 121 + 484 - 152 = 90$ , deci vârful este $V (11; 90)$ . Verificare: $- \frac{44}{2 \cdot ( - 2 )} = 11$ .

2. $x_{V} = - \frac{- 42}{2 \cdot 3} = 7$ ; $a = 3 > 0$ , deci vârful e minim. $f (7) = 147 - 294 + 165 = 18$ și mulțimea valorilor este $[18; + \infty)$ . Verificare: $f (5) = 75 - 210 + 165 = 30$ și $f (9) = 243 - 378 + 165 = 30$ sunt egale și mai mari decât 18.

3. $f (x) = a (x - 3) (x - 11)$ ; din $f (5) = 24$ rezultă $a \cdot 2 \cdot (- 6) = 24$ , deci $a = - 2$ . Vârful este la $x = \frac{3 + 11}{2} = 7$ , cu $f (7) = - 2 \cdot 4 \cdot (- 4) = 32$ , iar $f (0) = - 2 \cdot (- 3) \cdot (- 11) = - 66$ . Verificare: $a < 0$ , deci valoarea din vârf e maximă și pozitivă, între zerouri.

4. $x_{V} = 3$ și $f (3) = 7$ . Funcția este strict descrescătoare pe $(- \infty; 3]$ și strict crescătoare pe $[3; + \infty)$ . Din $2 x^{2} - 12 x + 25 = 25$ rezultă $2 x (x - 6) = 0$ , deci $x = 0$ sau $x = 6$ . Verificare: 0 și 6 sunt simetrice față de 3.

5. a) $x - \frac{x ^{2}}{20} = \frac{x + 70}{20}$ dă, după înmulțirea cu 20, $x^{2} - 19 x + 70 = 0$ , adică $(x - 5) (x - 14) = 0$ , deci $x = 5$ și $x = 14$ ; acolo cablul ar atinge terenul, la 3,75 m și 4,2 m înălțime. b) Terenul stă deasupra cablului între cele două puncte, pentru $x \in (5; 14)$ , adică pe 9 m. Verificare: $h (10) = 10 - 5 = 5$ m, iar $g (10) = 4$ m, deci acolo terenul e cu 1 m peste cablu.

6. a) $x_{V} = \frac{3 + 41}{2} = 22$ . b) Vârful e în afara limitei de 18 roți, iar funcția crește pe $[0; 22]$ , deci maximul pe $[0; 18]$ e la 18 roți: $P (18) = - 4 \cdot 15 \cdot (- 23) = 1380$ lei. Verificare: $P (17) = - 4 \cdot 14 \cdot (- 24) = 1344 < 1380$ .

7. a) Maximul este 60 °C, la 36 h de la turnare, fiindcă $(t - 36)^{2} \geq 0$ . b) Din $60 - 0, 03 (t - 36)^{2} \geq 48$ rezultă $(t - 36)^{2} \leq 400$ , deci $t - 36$ este între $- 20$ și $20$ , adică $t \in [16; 56]$ h. Verificare: $T (16) = 60 - 0, 03 \cdot 400 = 48$ °C, iar $T (10) = 60 - 0, 03 \cdot 676 = 39, 72$ °C, sub 48 °C.

8. a) Valorile 1 040 apar la 8 și 16, deci axa este $n = 12$ . b) $P (12) = - 10 \cdot 144 + 2880 - 240 = 1200$ lei. c) Parabola are ramurile în jos, iar $P (8) = P (16) = 1040$ , deci profitul e de cel puțin 1 040 lei pentru $n \in [8; 16]$ . Verificare: $P (10) = - 1000 + 2400 - 240 = 1160 \geq 1040$ și $P (6) = - 360 + 1440 - 240 = 840 < 1040$ .

9. Din $f (a) = 23$ rezultă $a^{2} - 11 a + 23 = 23$ , deci $a^{2} - 11 a = 0$ . Descompunem: $a (a - 11) = 0$ , deci $a = 0$ sau $a = 11$ . Verificare: $f (0) = 23$ și $f (11) = 121 - 121 + 23 = 23$ .

10. $f (4) = 2 \cdot 16 - 44 + 13 = 1$ și $g (4) = 12 + m$ . Din $f (4) = g (4)$ rezultă $1 = 12 + m$ , deci $m = - 11$ . Verificare: $g (4) = 12 - 11 = 1 = f (4)$ .

11. $f (2) = 4 - 26 + 37 = 15$ și $f (11) = 121 - 143 + 37 = 15$ . Cele două valori sunt egale, deci $f (2) = f (11)$ . Verificare: 2 și 11 sunt simetrice față de $x_{V} = - \frac{- 13}{2} = \frac{13}{2}$ .

12. Punctul $A (2, 3)$ este pe grafic dacă $f (2) = 3$ . Obținem $4 + 2 m + 11 = 3$ , deci $2 m = - 12$ și $m = - 6$ . Verificare: pentru $m = - 6$ , $f (2) = 4 - 12 + 11 = 3$ .

Așa vine la Bac M3

Funcția de gradul al II-lea face parte din programa Bacalaureatului M3 (M_tehnologic). În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 27 de probe, de fiecare dată la Subiectul I, cerința 2: pornind de la formulă, trebuie aflată o valoare, o soluție sau un parametru. Patru cerințe reale, din probe diferite, arată formele ei:

Modelul din 2013, Subiectul I, exercițiul 2: funcția are un parametru, iar parametrul trebuie ales astfel încât vârful parabolei să aibă o abscisă dată, deci pasul 2 din Metodă dă $- \frac{b}{2 a}$ ; baremul probei dă 2 puncte pentru abscisa vârfului scrisă cu formula, 2 puncte pentru egalarea cu valoarea dată și 1 punct pentru parametru.
Iunie 2020, Subiectul I, exercițiul 2: funcția ia o valoare dată în două puncte, iar cerința cere cele două numere $a$ pentru care $f (a)$ are valoarea respectivă, deci la pasul 4 din Metodă ecuația se reduce la una fără termen liber, pe care o descompui în factori; baremul probei dă 3 puncte pentru ecuația redusă și 2 puncte pentru cele două valori.
Simularea din 2023, Subiectul I, exercițiul 2: două funcții, una de gradul al II-lea și una de gradul I cu un parametru, trebuie să aibă aceeași valoare într-un punct dat, deci pasul 4 înseamnă calculul celor două valori și egalarea lor; baremul probei dă 3 puncte pentru valorile calculate și 2 puncte pentru parametru.
Proba specială din 2019, Subiectul I, exercițiul 2: se cere să arăți, pentru o funcție de gradul al II-lea, că suma valorilor ei în două puncte opuse este de patru ori valoarea din origine, deci pasul 4 înseamnă calculul valorilor; baremul probei dă 2 puncte pentru suma celor două valori și 3 puncte pentru rezultat.

Calculele încap în două-trei rânduri; contează ca fiecare valoare, ecuație și concluzie să stea pe rândul ei. Exercițiile 9–12 repetă aceste forme.

Greșeli care costă puncte

Iei cel mai mare profit din tabel drept maxim → cum o prinzi: caută două valori egale; când ele sunt vecine în tabel, vârful este la mijlocul lor, între rânduri, iar profitul acolo e mai mare decât cel din tabel.
Scrii $- \frac{b}{a}$ în loc de $- \frac{b}{2 a}$ → cum o prinzi: verifică prin simetrie, cu două valori egale ale funcției.
Uiți semnul lui $a$ și iei un minim drept maxim → cum o prinzi: verifică un punct dat; pentru profit pozitiv între zerouri, $a$ trebuie să fie negativ.
Rotunjești abscisa vârfului la un număr întreg, deși valorile permise au alt pas, cum e măsura de 0,5 kg a concentratelor → cum o prinzi: scrii întâi valorile permise vecine vârfului și compari funcția în ele; câștigă cea mai apropiată de axă, iar la egalitate, cea mai ieftină.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru trunchiul comun, filiera tehnologică (OMEC 6930/2025, Anexa 3), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și la clasa a X-a din 2027–2028. Elevii intrați în clasa a IX-a din 2026–2027 încoace dau Bacalaureatul din 2030 încolo, unde matematica este una dintre disciplinele la alegere (OMEC 4138/2026), pe programa de examen MAT_P3, MAT_P4, MAT_P5 sau MAT_P6, după profil și domeniu (OMEC 5077/2026). Elevii intrați în clasa a IX-a în 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026 sunt pe programele vechi și dau Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 2027, 2028 și 2029 (programa de examen OMEN 4430/2014); pentru ei, funcția de gradul al doilea face parte din programa de examen (Subiectul I; programa de examen o așază în clasa a IX-a). În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 27 de probe.

Întrebări frecvente

De ce aleg prețul 48 și nu 45 sau 51, care au profitul cel mai mare din tabel?

Tabelul are doar șapte prețuri de probă, iar maximul real poate sta între ele. Profitul e același la 45 și la 51, deci vârful este la mijloc, la 48, și acolo profitul este de 2 523 lei. La 45 sau la 51 este de 2 496 lei, cu 27 lei mai puțin pe săptămână.

Ce înseamnă că profitul este 0 la prețul de 19 lei?

La 19 lei, prețul de vânzare este egal cu cel de achiziție, deci magazinul recuperează doar banii cheltuiți pe marfă. Zeroul din stânga este chiar prețul de achiziție. Sub el profitul este negativ, fiindcă vinzi cu pierdere. Al doilea zero, 77 lei, e prețul peste care modelul nu mai prevede câștig.

Câte pulverizatoare se vând pe săptămână la prețul optim?

La 48 lei, câștigul pe bucată este 48 − 19 = 29 lei, iar profitul este de 2 523 lei, deci se vând 2 523 : 29 = 87 de bucăți. Din tabel, la 45 lei se vând 2 496 : 26 = 96 de bucăți, iar la 51 lei, 2 496 : 32 = 78. Cu fiecare leu de scumpire se vând cu 3 bucăți mai puțin.

Cum se schimbă prețul optim dacă pulverizatorul se scumpește la achiziție, de la 19 la 23 de lei?

Dacă cererea rămâne aceeași, primul zero se mută la 23, iar al doilea rămâne la 77. Vârful este la mijloc: $\frac{23 + 77}{2} = 50$ lei, adică prețul optim crește cu 2 lei, jumătate din scumpire. Profitul maxim scade la $3 \cdot 27 \cdot 27 = 2187$ lei.

Când folosesc mijlocul a două valori egale și când formula cu $- \frac{b}{2 a}$ ?

Folosești mijlocul când ai un tabel sau un grafic, cu două valori egale ale lui $f$ . Folosești formula când ai funcția scrisă ca $a x^{2} + b x + c$ . Ambele dau același rezultat, așa că pot fi folosite una ca verificare pentru cealaltă, cum s-a văzut la dulapurile din atelierul de tâmplărie.

Ce se cere în probele M_tehnologic despre parabolă și vârful ei?

Din cele 83 de probe oficiale 2013–2026, 27 au o cerință pe tema funcției de gradul al II-lea, de fiecare dată ca a doua cerință din Subiectul I. Se cer valori ale funcției, soluțiile unei ecuații sau un parametru; una singură cere abscisa vârfului, niciuna valoarea maximă. Când ecuația nu se descompune ușor în factori, folosești formula din lecția despre ecuația de gradul al II-lea.