Cum rezolv inecuația |2x-3|≥ 5?

Un modul cel puțin egal cu 5 înseamnă că expresia este fie cel mult -5, fie cel puțin 5. Din 2x-3≤ -5 rezultă x≤ -1, iar din 2x-3≥ 5 rezultă x≥ 4. Soluția este (-∞,-1]∪[4,+∞), o reuniune.

Cum discut ecuația (m-1)x=m²-1 după parametrul m?

Pentru m≠ 1 împarți și obții x= ((m-1)(m+1))/(m-1)=m+1, o singură soluție. Pentru m=1 ecuația devine 0· x=0, adevărată pentru orice număr real. Cazul care anulează coeficientul lui x se tratează separat.

Cum se face tabelul de semn la ax + b?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a IX-a → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Gradul I: ecuații și inecuații

Afli rădăcina $x_{0} = - \frac{b}{a}$ și o scrii pe primul rând, între $- \infty$ și $+ \infty$ . Pe al doilea rând pui $0$ sub rădăcină, semnul contrar lui $a$ la stânga și semnul lui $a$ la dreapta. Pentru $f (x) = - 3 x + 6$ : rădăcina este $2$ , iar $a = - 3 < 0$ , deci funcția e pozitivă pentru $x < 2$ și negativă pentru $x > 2$ . Proba cu o valoare: $f (0) = 6 > 0$ , în acord cu tabelul.

Cu $a \neq = 0$ , ecuația $a x + b = 0$ are o singură soluție, $x = - \frac{b}{a}$ . Dacă în coeficientul necunoscutei intră un parametru, cazul $a = 0$ se cercetează aparte: la $(m - 2) x = m - 2$ împărțirea grăbită dă $x = 1$ , însă pentru $m = 2$ împărțirea este interzisă, iar acolo orice număr real verifică egalitatea. De aceea, la un enunț cu parametru, prima întrebare caută valoarea care anulează coeficientul din fața necunoscutei.

Semnul funcției de gradul I se deduce din scrierea $f (x) = a (x - x_{0})$ , deci nu trebuie ținut minte: înaintea rădăcinii semnul e contrar lui $a$ , după ea coincide cu al lui $a$ . Tabelul are două rânduri, iar celulele din dreptul lui $\pm \infty$ rămân goale.

Inecuațiile. Sensul nu se clatină nici când adaugi același număr în cei doi membri, nici când înmulțești cu un factor pozitiv; un factor negativ îl răstoarnă, iar acolo se strecoară cele mai multe greșeli. Când scapi de numitori, numărătorul intră în paranteză: minusul din fața fracției se răsfrânge asupra lui întreg.

Cu modul, la $c > 0$ : scrierea $∣ u ∣ \leq c$ revine la $- c \leq u \leq c$ , iar $∣ u ∣ \geq c$ revine la $u \leq - c$ sau $u \geq c$ . Iar capătul se notează cu grijă — pentru $x \geq 2$ mulțimea soluțiilor este $[2, + \infty)$ .

De reținut

rădăcina lui $a x + b$ este $x_{0} = - \frac{b}{a}$
la stânga rădăcinii semnul este contrar lui $a$ , la dreapta este semnul lui $a$
$∣ u ∣ \geq c$ , cu $c > 0$ , înseamnă $u \leq - c$ sau $u \geq c$

Greșeala tipică

Se trece în tabel semnul lui $a$ la stânga rădăcinii; la $- 3 x + 6$ ar ieși negativ înainte de $2$ , deși $f (0) = 6$ este pozitiv.

Exerciții din această mini-lecție

Care este mulțimea soluțiilor inecuației $- 4 x < 12$ ?
- a) $x < - 3$
- b) $x > - 3$
- c) $x < 3$
- d) $x > 3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $x > - 3$

Împarți la $- 4$ , un număr negativ, deci sensul se răstoarnă: $x > - 3$ . Încercuiește semnul coeficientului lui $x$ înainte de ultima împărțire — acolo se strecoară cele mai multe greșeli.
Cum se scrie ca interval mulțimea soluțiilor condiției $x \geq 2$ ?
- a) $(2, + \infty)$
- b) $[2, + \infty)$
- c) $[2, + \infty]$
- d) $(- \infty, 2]$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $[2, + \infty)$

Inegalitatea e nestrictă, deci $2$ aparține mulțimii: paranteză dreaptă la stânga. La infinit paranteza rămâne rotundă întotdeauna, pentru că $+ \infty$ nu e un număr — de aceea c) e greșită.
Cu ce este echivalentă inecuația $∣ 3 x - 1 ∣ \leq 8$ ?
- a) $3 x - 1 \leq 8$
- b) $- 8 \leq 3 x - 1 \leq 8$
- c) $3 x - 1 \geq - 8$
- d) $3 x - 1 = 8$ sau $3 x - 1 = - 8$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- 8 \leq 3 x - 1 \leq 8$

Un modul cel mult egal cu $8$ înseamnă că expresia stă între $- 8$ și $8$ : o încadrare, nu o singură inegalitate. Variantele a) și c) păstrează fiecare doar câte o jumătate din soluție.

Întrebări conexe

Cum rezolv inecuația $∣2 x - 3∣ \geq 5$ ?

Un modul cel puțin egal cu $5$ înseamnă că expresia este fie cel mult $- 5$ , fie cel puțin $5$ . Din $2 x - 3 \leq - 5$ rezultă $x \leq - 1$ , iar din $2 x - 3 \geq 5$ rezultă $x \geq 4$ . Soluția este $(- \infty, - 1] \cup [4, + \infty)$ , o reuniune.

Cum discut ecuația $(m - 1) x = m^{2} - 1$ după parametrul $m$ ?

Pentru $m \neq = 1$ împarți și obții $x = \frac{( m - 1 ) ( m + 1 )}{m - 1} = m + 1$ , o singură soluție. Pentru $m = 1$ ecuația devine $0 \cdot x = 0$ , adevărată pentru orice număr real. Cazul care anulează coeficientul lui $x$ se tratează separat.

Când este pozitiv produsul $(x - 1) (3 - x)$ ?

Faci tabelul de semn pentru fiecare factor: $x - 1$ este pozitiv după $1$ , iar $3 - x$ este pozitiv înainte de $3$ . Produsul este pozitiv acolo unde factorii au același semn, adică pentru $x \in (1, 3)$ . În afara intervalului produsul este negativ, iar în $1$ și $3$ se anulează.

După cât timp depășește $50$ °C un lichid încălzit după legea $T = 20 + 4 t$ ?

Temperatura este în grade Celsius, iar $t$ în minute. Rezolvi $20 + 4 t > 50$ , adică $4 t > 30$ , deci $t > 7, 5$ min. Coeficientul lui $t$ este pozitiv, așa că sensul inegalității rămâne același la împărțire.

Ce semn are expresia $a x + b$ când $a = 0$ ?

Expresia devine constanta $b$ și are același semn pentru orice $x$ . Dacă $b \neq = 0$ , nu are nicio rădăcină, iar tabelul de semn are un singur semn pe tot rândul. Dacă $b = 0$ , expresia este nulă peste tot.

Oamenii mai întreabă și: tabelul de semn al funcției de gradul I · semnul funcției ax + b · cum fac tabelul de semn · semnul lui ax plus b

Cum se face tabelul de semn la ax + b?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Cum rezolv inecuația ∣2x−3∣≥5?

Cum discut ecuația (m−1)x=m2−1 după parametrul m?

Când este pozitiv produsul (x−1)(3−x)?

După cât timp depășește 50 °C un lichid încălzit după legea T=20+4t?

Ce semn are expresia ax+b când a=0?

Continuă cu

Cum rezolv inecuația $∣2 x - 3∣ \geq 5$ ?

Cum discut ecuația $(m - 1) x = m^{2} - 1$ după parametrul $m$ ?

Când este pozitiv produsul $(x - 1) (3 - x)$ ?

După cât timp depășește $50$ °C un lichid încălzit după legea $T = 20 + 4 t$ ?

Ce semn are expresia $a x + b$ când $a = 0$ ?