Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Procent constant: factorul a^x

Cum calculez deprecierea unui parc de utilaje?

Dacă toate utilajele pierd același procent, valoarea totală se înmulțește cu același factor ca fiecare în parte. Exemplu: trei utilaje de $30000$ , $45000$ și $25000$ lei, adică $100000$ lei în total, pierd $15$ % pe an; factorul este $0, 85$ , iar după $2$ ani valoarea parcului este $100000 \cdot 0, 8 5^{2} = 72250$ lei. Proba: $0, 7225 \cdot 30000 = 21675$ , $0, 7225 \cdot 45000 = 32512, 5$ și $0, 7225 \cdot 25000 = 18062, 5$ lei, care adunate dau tot $72250$ lei.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a IX-a → ·

Când o mărime pierde sau câștigă același procent din valoarea ei la fiecare perioadă de aceeași lungime, urmează o lege exponențială: valoarea de plecare înmulțită cu factorul $a$ la puterea $x$ , unde $x$ numără perioadele. Factorul este $1 - \frac{p}{100}$ la scădere și $1 + \frac{p}{100}$ la creștere. Dacă $a < 1$ valoarea scade, dacă $a > 1$ crește, iar graficul pornește din valoarea inițială și nu atinge axa orizontală.

Într-un tabel recunoști legea după rapoartele egale dintre valori vecine, luate la perioade egale; diferențele egale indică o scădere liniară, adică alt model. Timpul se exprimă în perioade: pentru 30 de luni, perioada fiind anul, $x$ este $2, 5$ . La un exponent care nu e întreg folosești tasta de putere, nu media a două valori.

Pentru o valoare sub un prag nu ai nevoie de logaritmi: înmulțești succesiv cu factorul sau încerci exponenți vecini și strângi intervalul. Valoarea de dinainte se află împărțind la factor, câte o dată pentru fiecare perioadă întoarsă în timp.

Capcanele sunt aceeași sumă pierdută în fiecare perioadă, procentul luat drept factor, media valorilor vecine, perioada confundată cu anul și ideea că valoarea ar ajunge la zero.

De reținut

valoarea parcului = valoarea totală de plecare ori factorul la puterea numărului de ani
bunurile cu procente diferite se calculează separat
factorul nu depinde de vârsta bunului sau de unitatea de măsură

Greșeala tipică

Se scade în fiecare an aceeași sumă, $15$ % din valoarea de la început, ca la o scădere liniară: $100000 - 2 \cdot 15000 = 70000$ lei, în loc de $72250$ lei. În al doilea an procentul se aplică valorii rămase, $85000$ lei, deci se pierd doar $12750$ lei.

Exerciții din această mini-lecție

O pensiune scade tariful camerelor cu $4$ % pe lună în extrasezon, cu același procent în fiecare lună. Prin ce număr se înmulțește tariful într-o lună?
- a) $0, 96$
- b) $4$
- c) $0, 04$
- d) $1, 04$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $0, 96$

Tariful rămâne cu $100 - 4 = 96$ % din valoarea de la începutul lunii, adică se înmulțește cu $0, 96$ . Varianta $4$ ia procentul drept factor, iar $0, 04$ este numai partea pierdută. Varianta $1, 04$ este factorul unei creșteri de $4$ %, nu al unei scăderi.
Un sistem de irigat valorează $50000$ de lei și pierde $20$ % din valoare în fiecare an, cu același procent la perioade egale. Cât valorează după $3$ ani?
- a) $20000$ lei
- b) $40000$ lei
- c) $25600$ lei
- d) $400$ lei
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $25600$ lei

Factorul anual este $0, 8$ , deci după $3$ ani valoarea este $50000 \cdot 0, 8^{3} = 50000 \cdot 0, 512 = 25600$ lei. Varianta $20000$ presupune aceeași sumă pierdută în fiecare an, adică $3 \cdot 10000$ lei. Varianta $40000$ aplică factorul o singură dată, iar $400$ ia procentul drept factor: $50000 \cdot 0, 2^{3}$ .
Un strung valorează azi $36000$ de lei, după ce a pierdut $20$ % din valoare în fiecare dintre ultimii $2$ ani. Cât a costat acum $2$ ani?
- a) $45000$ lei
- b) $50400$ lei
- c) $23040$ lei
- d) $56250$ lei
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $56250$ lei

Valoarea de dinainte se află împărțind la factor, câte o dată pentru fiecare an: $\frac{36000}{0 , 8 ^{2}} = \frac{36000}{0 , 64} = 56250$ lei. Varianta $45000$ întoarce în timp un singur an, iar $50400$ adună cele două procente: $36000 \cdot 1, 4$ . Varianta $23040$ aplică din nou scăderea, în loc s-o desfacă: $36000 \cdot 0, 64$ .

Întrebări conexe

Pot începe calculul de la valoarea de azi, nu de la cea nouă?

Da, dacă procentul rămâne același: factorul nu depinde de vârsta bunului. O motocositoare care valorează azi $30000$ lei și pierde $12$ % pe an valorează peste $2$ ani $30000 \cdot 0, 8 8^{2} = 30000 \cdot 0, 7744 = 23232$ lei. Contează doar câte perioade urmează de acum încolo.

Ce fac dacă procentul se schimbă de la un an la altul?

Înmulțești factorii anilor, fiecare o dată; nu mai ai o putere a unui singur factor. Un bun de $50000$ lei care pierde $14$ % în primul an și $10$ % în al doilea are după doi ani $50000 \cdot 0, 86 \cdot 0, 9 = 38700$ lei, nu valoarea unei scăderi constante de $12$ %.

Pot calcula împreună două bunuri cu procente diferite?

Nu cu un singur factor: calculezi fiecare bun separat și aduni. Pentru $20000$ lei cu $10$ % pe an și $30000$ lei cu $20$ % pe an, după doi ani avem $20000 \cdot 0, 9^{2} = 16200$ lei și $30000 \cdot 0, 8^{2} = 19200$ lei, adică $35400$ lei în total.

Ce înseamnă un factor sub 0,5 pe perioadă?

Înseamnă că într-o perioadă se pierde mai mult de jumătate din valoare. La factorul $0, 4$ , o valoare de $5000$ lei devine $5000 \cdot 0, 4 = 2000$ lei după prima perioadă și $2000 \cdot 0, 4 = 800$ lei după a doua: pierderea procentuală este de $60$ % în fiecare perioadă.

Se schimbă factorul dacă scriu valorile în mii de lei?

Nu: factorul este un raport între două valori și nu depinde de unitate. Pentru $48, 5$ mii lei și un factor de $0, 9$ , după doi ani avem $48, 5 \cdot 0, 9^{2} = 39, 285$ mii lei, adică $39285$ lei. Se schimbă doar scara numerelor, nu procentul.

Oamenii mai întreabă și: valoarea totală a mai multor bunuri cu același procent · parc de mașini depreciere procent anual · suma valorilor care pierd același procent · valoarea totală a flotei de mașini după ani