Funcția exponențială și deprecierea, tehnologic

Un autoturism de serviciu nu pierde aceeași sumă în fiecare an, ci același procent din valoarea de la începutul anului. Pierderea în lei se micșorează de la un an la altul, iar valoarea nu ajunge niciodată la zero. Așa arată funcția exponențială. Pe un caz din contabilitate, la clasa a IX-a tehnologic, afli valoarea la orice vârstă, chiar la 30 de luni, și o compari cu o regulă liniară. Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) o cuprinde în programă doar în parte, la clasa a X-a.

Situația de pornire

O firmă de instalații termice a cumpărat un autoturism de serviciu cu 61 800 lei. Contabila pregătește bugetul pe cinci ani și vrea să știe cât ar putea primi firma dacă ar vinde mașina la o anumită vârstă. Casa de evaluări îi trimite valorile de revânzare, în lei, pentru vârste în ani întregi. Contabila observă că valoarea nu scade cu aceeași sumă în fiecare an: în primul an pierde 8 652 lei, în al doilea 7 441 lei, în al treilea 6 399 lei.

Regula firmei: mașina se vinde înainte ca valoarea ei să coboare sub 40 000 lei. Tabelul nu are însă o linie pentru 30 de luni, când se încheie contractul de lucrări pentru care firma a cumpărat mașina.

Întrebare: ce valoare de revânzare are autoturismul la 30 de luni și în ce moment trece valoarea sub 40 000 lei?

De la situație la model

Cum ai aflat factorul? Împarte fiecare valoare la cea de la vârsta dinainte: $53148:61800\approx 0,860$, $45707:53148\approx 0,860$, $39308:45707\approx 0,860$, $33805:39308\approx 0,860$ și $29072:33805\approx 0,860$. Raportul e același, deci în fiecare an valoarea se înmulțește cu 0,86, adică se pierde 14 % din valoarea de la începutul anului.

Funcția exponențială este $f(x)=a^x$, cu baza $a>0$ și $a\ne 1$; domeniul ei este mulțimea numerelor reale, iar valorile ei sunt toate pozitive. Valoarea autoturismului este această funcție înmulțită cu valoarea inițială: $f(x)=V_0\cdot a^x$. Dacă $0<a<1$, funcția este strict descrescătoare, ca aici. Dacă $a>1$, este strict crescătoare, iar graficul urcă din ce în ce mai abrupt: așa arată creșterea exponențială, pe care o vei vedea la Exemplul 2. La funcția radical creșterea era, dimpotrivă, tot mai lentă.

Cum afli valoarea la 30 de luni?

Pentru exponent întreg, $0,86^3$ înseamnă 0,86 înmulțit de trei ori cu el însuși. Pentru o jumătate de an, factorul este numărul care, înmulțit cu el însuși, dă 0,86, adică $\sqrt{0,86}\approx 0,9274$: două jumătăți de an fac un an. De aceea $0,86^{2,5}=0,86^2\cdot \sqrt{0,86}\approx 0,7396\cdot 0,9274\approx 0,6859$. Calculatorul îl dă direct, cu tasta de putere ($x^y$). Rezultatul trebuie să cadă între $0,86^2=0,7396$ și $0,86^3\approx 0,6361$, pentru că funcția scade. Atunci $f(2,5)=61800\cdot 0,86^{2,5}\approx 42387$ lei.

Cum arată graficul?

Graficul trece prin $(0;61800)$, singurul punct de pe $Oy$. Pe $Ox$ nu are niciun punct, fiindcă $0,86^x$ nu iese niciodată 0. Dreapta $y=0$ este asimptotă orizontală: curba se apropie tot mai mult de ea, fără s-o atingă. Mulțimea valorilor, pentru vârste $x\ge 0$, este $(0;61800]$. Cu cât mașina e mai veche, cu atât pierde mai puțin în lei, deși procentul rămâne 14 %.

Ce este numărul e?

Numărul e este un număr irațional, $e\approx 2,71828$, cu zecimale fără sfârșit și fără perioadă, ca $\pi$. Calculatoarele au pentru el tasta $e^x$. Orice funcție exponențială poate fi scrisă cu baza $e$. Programul casei de evaluări scrie valoarea autoturismului ca $V(x)=61800\cdot e^{-0,1508x}$: tasta $e^x$ dă $e^{-0,1508}\approx 0,8600$, adică același factor 0,86. La $x=2,5$ rezultă $61800\cdot e^{-0,377}\approx 42390$ lei, aproape ca $42387$; diferența vine din rotunjirea lui 0,1508.

Când sunt egale curba și o dreaptă?

Un vânzător folosește o regulă liniară: valoarea scade cu 7 200 lei pe an, deci $g(x)=61800-7200x$. Pentru valoarea de revânzare $f(x)=g(x)$, adică unde se întâlnesc graficele, citești abscisa punctului comun. Curba pornește de la aceeași valoare ca dreapta, scade mai repede la început și mai încet după aceea, așa că o taie și trece deasupra ei. Cum afli momentul, vezi la Exemplul 1.

Metoda pas cu pas

1. Citește valoarea inițială $V_0$ și procentul $p$ cu care se schimbă mărimea într-o perioadă, aici un an (alteori o lună sau o zi). Scrie factorul $a=1-p:100$ la scădere și $a=1+p:100$ la creștere: o pierdere de 14 % dă $a=0,86$, iar o scumpire de 4,2 % dă $a=1,042$. Procentul nu e factorul: 14 și 0,86 sunt numere diferite. La o creștere de 9 % pe lună, perioada e luna și $a=1,09$.
2. Verifică în tabel că împărțirea a două valori vecine, luate la perioade egale, dă mereu același factor $a$; la autoturism, $39308:45707\approx 0,860$. Dacă rapoartele diferă, mărimea nu urmează o funcție exponențială; dacă diferențele sunt egale, scăderea e liniară. Aici diferențele nu sunt egale: 8 652, 7 441, 6 399 lei.
3. Scrie $f(x)=V_0\cdot a^x$, cu $x$ în aceeași unitate ca perioada. Convertește timpul înainte de calcul: 30 de luni înseamnă $30:12=2,5$ ani, nu 3 ani.
4. Calculează $f(x)$ cu tasta de putere și rotunjește la leu: $61800\cdot 0,86^{2,5}\approx 42387$ lei. Pentru $x$ întreg ai o verificare: înmulțește pas cu pas cu factorul, pornind de la valoarea inițială.
5. Pentru „când ajunge la valoarea $m$?” citește orizontala $y=m$ pe grafic, încadrează $x$ între doi ani întregi din tabel și strânge intervalul prin încercări cu tasta de putere, de pildă din zecime în zecime, pentru $m=40000$. Încadrarea îți spune între ce două vârste se petrece trecerea.
6. Verifică: valoarea trebuie să cadă între cele două valori vecine din tabel, în lei, iar la scădere să fie mai mică decât valoarea de la vârsta dinainte. Scrie răspunsul cu unitatea și spune în cuvinte ce înseamnă el pentru contabilă.

Fișa de buzunar

$$f(x)=V_0\cdot a^x,a>0,a\ne 1$$

$$a=1-\frac{p}{100}\text{(sca˘dere)},a=1+\frac{p}{100}\text{(creștere)}$$

Pentru $0<a<1$ funcția scade, pentru $a>1$ crește; $f(0)=V_0$, iar graficul nu taie niciodată $Ox$. Se aplică numai când mărimea se schimbă cu același procent la perioade egale. La vârste care nu sunt întregi folosești tasta de putere, nu o medie a valorilor vecine. Verificare rapidă: raportul $f(x+1):f(x)$ trebuie să dea $a$.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Autoturismul de serviciu

Domeniu: economic.

Enunț. Reia autoturismul din situația de pornire: $f(x)=61800\cdot 0,86^x$. a) Ce valoare are la 30 de luni? b) Între ce două vârste, citite din 0,1 în 0,1 ani, trece valoarea sub 40 000 lei? c) Un vânzător folosește regula liniară $g(x)=61800-7200x$. Între ce vârste, citite din 0,1 în 0,1 ani, dau cele două reguli aceeași valoare, în afară de momentul cumpărării?

Rezolvare. a) $x=30:12=2,5$ ani, iar $f(2,5)=61800\cdot 0,86^{2,5}\approx 42387$ lei. Valoarea cade între 45 707 lei și 39 308 lei, cum cere graficul.

b) Tabelul arată că la 2 ani valoarea e 45 707 lei, iar la 3 ani e 39 308 lei, deci trecerea sub 40 000 e în al treilea an. Prin încercări: $f(2,8)\approx 40512$ lei, încă peste 40 000, iar $f(2,9)\approx 39906$ lei, sub 40 000. Trecerea are loc între 2,8 și 2,9 ani.

c) La $x=0$ ambele reguli dau 61 800 lei, prețul de cumpărare; căutăm a doua întâlnire. La $x=3,5$: $f(3,5)\approx 36453$ lei și $g(3,5)=36600$ lei, deci curba e încă sub dreaptă. La $x=3,6$: $f(3,6)\approx 35907$ lei și $g(3,6)=35880$ lei, deci curba e deasupra. Valorile se egalează între 3,5 și 3,6 ani.

Capcană. Cine consideră că pierderea de 14 % din 61 800 lei, adică 8 652 lei, se repetă în fiecare an, obține la 30 de luni $61800-2,5\cdot 8652=40170$ lei. E cu circa 2 200 lei sub valoarea corectă, 42 387 lei, pentru că a doua pierdere e de 14 % din valoarea mai mică de la începutul anului.

Verificare. Pe alt drum: media valorilor de la 2 și de la 3 ani este $(45707+39308):2=42507,5$ lei, puțin peste 42 387, fiindcă o curbă care scade tot mai lent stă sub coarda dintre punctele vecine. Iar tabelul confirmă locul întâlnirii: la 3 ani curba dă 39 308 lei, sub cei $61800-21600=40200$ lei ai dreptei, iar la 4 ani dă 33 805 lei, peste cei 33 000 lei ai dreptei; punctul comun e deci între 3 și 4 ani.

Exemplul 2 — Prețul cimentului

Domeniu: constructii.

Enunț. O firmă de construcții cumpără ciment cu 396 lei tona. Contractul cu furnizorul indexează prețul la începutul fiecărei luni, astfel încât într-un an el crește cu 4,2 %: prețul pe tonă este $P(x)=396\cdot 1,042^x$, cu $x$ în ani. a) Cât costă tona peste 18 luni, rotunjit la 0,1 lei? b) Bugetul permite cel mult 480 lei pe tonă: după câte luni de la semnare trece prețul de buget?

Rezolvare. a) Factorul este $1+0,042=1,042$. Pentru 18 luni, $x=18:12=1,5$ ani, deci $P(1,5)=396\cdot 1,042^{1,5}\approx 421,2$ lei pe tonă. b) $P(4)\approx 466,8$ lei, sub 480, și $P(5)\approx 486,4$ lei, peste 480, deci depășirea vine între luna 48 și luna 60. Prin încercări, după 56 de luni $P(56:12)\approx 479,8$ lei, încă sub limită, iar după 57 de luni $P(57:12)\approx 481,5$ lei, peste limită: bugetul se depășește după 57 de luni, adică 4 ani și 9 luni.

Capcană. Cine adună 4,2 % din 396 lei pe an, ca pe o sumă fixă, obține după 57 de luni $396\cdot (1+0,042\cdot 4,75)\approx 475,0$ lei și ar crede că bugetul mai ține; în realitate prețul e 481,5 lei, peste limită.

Verificare. Prețul trebuie să urce de la un an la următorul cu același factor 1,042: $412,6:396\approx 1,042$ și $486,4:466,8\approx 1,042$. Iar $P(1,5)\approx 421,2$ cade între 412,6 lei, la un an, și valoarea de la doi ani, $396\cdot 1,042^2\approx 430,0$ lei.

Exemplul 3 — Încălzirea unui transformator

Domeniu: electric.

Enunț. Un electrician verifică încălzirea unui transformator de forță, după punerea lui pe sarcină. Fișa dă încălzirea uleiului din partea de sus a cuvei față de aerul din încăpere: $\theta (x)=64(1-e^{-0,31x})$ K, cu $x$ în ore de la pornire. Încălzirea e stabilizată când trece de 95 % din valoarea ei finală. a) Cât este după 90 de minute? b) Care este prima oră întreagă după care e stabilizată?

Rezolvare. a) 90 de minute sunt $90:60=1,5$ ore, iar tasta $e^x$ dă $e^{-0,31\cdot 1,5}=e^{-0,465}\approx 0,6281$. Deci $\theta (1,5)\approx 64\cdot (1-0,6281)\approx 23,80$ K. b) Pentru $x$ mare, $e^{-0,31x}$ se apropie de 0, deci valoarea finală este 64 K, iar 95 % din ea e $0,95\cdot 64=60,8$ K. Prin încercări: $\theta (9)\approx 60,07$ K, încă sub 60,8, iar $\theta (10)\approx 61,12$ K, peste. Prima oră bună este a 10-a.

Capcană. Cine nu trece minutele în ore și pune $x=90$ obține $e^{-27,9}\approx 0$, adică 64 K. Ar crede că transformatorul și-a atins încălzirea finală, deși după 90 de minute are doar 23,8 K.

Verificare. Pe alt drum: $\theta (1)\approx 17,1$ K și $\theta (2)\approx 29,6$ K, iar 23,8 K cade între ele, puțin peste media lor, 23,3 K, fiindcă o curbă care urcă tot mai lent stă deasupra coardei dintre două puncte.

Exemplul 4 — Problema inversă: ritmul de depreciere

Domeniu: lemn.

Enunț. Aici procentul e necunoscutul: îl scoți din două evaluări, apoi îl folosești mai departe. Un atelier de mobilă a cumpărat acum 2 ani un centru de prelucrare CNC pentru plăci cu 84 000 lei. O firmă de evaluare îl estimează acum la 60 000 lei. Presupunând o pierdere procentuală constantă pe an, ce procent pierde utilajul în fiecare an, iar ce valoare va avea peste încă un an și jumătate?

Rezolvare. Fie $a$ factorul anual. După 2 ani, $84000\cdot a^2=60000$, deci $a^2=60000:84000\approx 0,714286$ și $a=\sqrt{0,714286}\approx 0,845154$. Utilajul pierde $1-0,845154\approx 0,1548$, adică aproximativ 15,5 % pe an. Peste încă 1,5 ani vârsta lui va fi 3,5 ani, deci valoarea este $84000\cdot 0,845154^{3,5}\approx 46618$ lei.

Capcană. Cine împarte pierderea totală la cei 2 ani obține $(84000-60000):84000:2\approx 14,3$ % pe an, adică $a\approx 0,857$, și ar calcula $84000\cdot 0,857^{3,5}\approx 48945$ lei, cu circa 2 300 lei peste valoarea corectă.

Verificare. Cu $a\approx 0,845154$ rezultă $84000\cdot 0,845154^2\approx 60000$ lei, valoarea dată.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Calculează, rotunjit la sutimi: $1,5^2$, $1,5^0$, $1,5^{-1}$ și $1,5^{2,5}$.

2. Spune cum variază funcția și compară, fără calculator: a) $f(x)=0,9^x$, $f(2)$ și $f(3)$; b) $g(x)=1,2^x$, $g(2)$ și $g(3)$.

3. Scrie factorul anual $a$ pentru: a) o pierdere de 8 % pe an; b) o creștere de 6,5 % pe an; c) o scădere de 12,5 % pe an.

4. Pentru $f(x)=300\cdot 0,8^x$ calculează $f(0)$ și $f(2)$. Taie graficul axa $Ox$?

Nivelul 2 — situații

5. La un service auto, un acumulator de 12 V nefolosit se descarcă singur. Încărcarea lui, în %, lună de lună: $x=0$ dă 98,0; $x=1$ dă 93,6; $x=2$ dă 89,4; $x=3$ dă 85,4; $x=4$ dă 81,5. a) Arată prin rapoarte că scăderea e procentuală și află factorul lunar. b) Scrie $P(x)$ și află încărcarea după 5 luni și jumătate.

6. Un suc de portocale păstrat la frigider pierde 3 % din vitamina C pe zi: $V(x)=52\cdot 0,97^x$ mg la 100 ml, cu $x$ în zile. Tabelul: $x=0$ dă 52,0 mg; $x=5$ dă 44,7; $x=8$ dă 40,8. a) Citește cantitatea la 5 zile. b) Între ce zile întregi coboară sub 40 mg? c) Ce procent din vitamina C se pierde într-o săptămână?

7. Într-o seră, fluxul luminos a două tipuri de corpuri LED e notat la fiecare 4 000 de ore. Tipul A: 3 600; 3 456; 3 318; 3 185. Tipul B: 3 600; 3 400; 3 200; 3 000. a) Care tip scade cu aceeași sumă și care cu același procent? Justifică. b) Pentru tipul cu scădere procentuală scrie $\Phi (x)$, cu $x$ în perioade de 4 000 de ore, și calculează fluxul la 20 000 de ore.

8. Un magazin online are vânzări lunare $S(x)=4200\cdot 1,09^x$ lei, cu $x$ în luni de la deschidere. a) De câte ori se înmulțesc vânzările într-un an? b) Cu ce procent cresc într-un an? c) După câte luni întregi depășesc vânzările lunare 8 000 de lei?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) La un salon, intensitatea unei vopsele de păr semipermanente scade cu 4 % la fiecare spălare: $I(n)=100\cdot 0,96^n$ %, cu $n$ numărul de spălări (valoare din exemplu). a) Arată că pierderile de la primele trei spălări formează o progresie geometrică. b) Cât din culoare se pierde în primele trei spălări? c) Clienta revine la salon când intensitatea coboară sub 70 %: după câte spălări?

10. (Sinteză.) Într-o parcare subterană, după plecarea mașinilor, ventilatoarele scad monoxidul de carbon după $C(x)=120\cdot e^{-0,15x}$ ppm, cu $x$ în minute (valori din exemplu). Ventilația forțată se oprește sub 25 ppm. a) Calculează $C(0)$, $C(5)$ și $C(10)$. b) După câte minute întregi se oprește ventilația? c) Spre ce valoare se apropie modelul?

11. (Sinteză.) Două utilaje au valorile $f(x)=84000\cdot 0,9^x$ și $g(x)=112000\cdot 0,8^x$ lei, cu $x$ în ani. a) Calculează $f(x)$ și $g(x)$ pentru $x\in \{0,1,2,3\}$. b) Între ce ani întregi se întâlnesc graficele? c) De când, citit la zecimi de an, rămâne $f$ mai mare decât $g$?

12. (Sinteză.) O freză de 5 600 lei valorează după un an 4 760 lei, cu o pierdere procentuală constantă. a) Determină factorul $a$ și funcția $f(x)=5600\cdot a^x$. b) Calculează $f(1,5)$, $f(2,5)$ și $f(3,5)$, rotunjit la leu. c) Arată că rapoartele $f(2,5):f(1,5)$ și $f(3,5):f(2,5)$ sunt egale cu $a$.

Răspunsuri și verificări

1. $1,5^2=2,25$; $1,5^0=1,00$; $1,5^{-1}\approx 0,67$; $1,5^{2,5}\approx 2,76$. Verificare: 2,76 cade între $1,5^2=2,25$ și $1,5^3=3,375$.

2. a) Baza 0,9 e sub 1: $f$ descrește, deci $f(2)>f(3)$. b) Baza 1,2 e peste 1: $g$ crește, deci $g(2)<g(3)$. Verificare: $0,81>0,729$ și $1,44<1,728$.

3. a) $a=1-0,08=0,92$. b) $a=1+0,065=1,065$. c) $a=1-0,125=0,875$. Verificare: la scădere factorul e sub 1, la creștere peste 1.

4. $f(0)=300$ și $f(2)=300\cdot 0,64=192$. Graficul nu taie $Ox$, pentru că $0,8^x>0$ pentru orice $x$. Verificare: $0,8^2=0,64$.

5. a) Rapoartele $93,6:98,0$, $89,4:93,6$, $85,4:89,4$ și $81,5:85,4$ dau toate aproximativ $0,955$, factorul lunar. b) $P(x)=98\cdot 0,955^x$ și $P(5,5)\approx 76,1$ %. Verificare: 76,1 cade între $P(5)\approx 77,8$ și $P(6)\approx 74,3$.

6. a) 44,7 mg. b) Între ziua a 8-a (40,8 mg) și a 9-a (39,5 mg). c) După 7 zile: $52\cdot 0,97^7\approx 42,0$ mg, deci se pierd $(52-42,0):52\approx 19,2$ %, nu $7\cdot 3=21$ %. Verificare: 42,0 mg cade între 40,8 mg și 44,7 mg.

7. a) B scade mereu cu 200 lm. A are diferențele $144;138;133$ lm, dar rapoartele sunt toate aproape 0,96: scade procentual. b) $\Phi (x)=3600\cdot 0,96^x$; cum $20000:4000=5$, avem $\Phi (5)\approx 2935$ lm. Verificare: $2935<3185$, valoarea de la 12 000 de ore.

8. a) $1,09^{12}\approx 2,813$ ori. b) Cu $2,813-1=1,813$, adică 181,3 %, nu $12\cdot 9=108$ %. c) $S(7)\approx 7678$ lei, sub 8 000, iar $S(8)\approx 8369$ lei, peste: după 8 luni. Verificare: 8 369 : 7 678 $\approx 1,09$.

9. a) Pierderile sunt $100\cdot 0,04=4$, $96\cdot 0,04=3,84$ și $92,16\cdot 0,04\approx 3,69$ puncte procentuale; fiecare e 0,96 din precedenta: progresie geometrică cu rația 0,96. b) $4+3,84+3,69\approx 11,53$ % din culoare. c) $I(8)\approx 72,14$ %, încă peste 70 %, iar $I(9)\approx 69,25$ %, sub: după 9 spălări. Verificare: $I(3)=100\cdot 0,96^3\approx 88,47$ %, iar $100-88,47=11,53$, ca la b).

10. a) $C(0)=120$ ppm, $C(5)=120\cdot e^{-0,75}\approx 56,7$ ppm, $C(10)=120\cdot e^{-1,5}\approx 26,8$ ppm. b) $C(10)\approx 26,8$ ppm, încă peste 25, iar $C(11)=120\cdot e^{-1,65}\approx 23,0$ ppm, sub: oprirea vine după 11 minute. c) Modelul se apropie de 0, iar $y=0$ e asimptotă; în realitate rămâne nivelul aerului de afară. Verificare: la fiecare 5 minute concentrația se înmulțește cu $e^{-0,75}\approx 0,472$, iar $56,7\cdot 0,472\approx 26,8$.

11. a) Pentru $f$: $84000;75600;68040;61236$. Pentru $g$: $112000;89600;71680;57344$. b) La 2 ani $f<g$, la 3 ani $f>g$: graficele se întâlnesc între 2 și 3 ani. c) Raportul $f(x):g(x)=0,75\cdot 1,125^x$ crește cu $x$, fiindcă baza e peste 1. La $x=2,4$ este $0,995<1$, iar la $x=2,5$ este $1,007>1$: de la 2,5 ani încolo, $f$ rămâne mai mare. Verificare: la 3 ani, $61236>57344$.

12. a) $a=4760:5600=0,85$, deci $f(x)=5600\cdot 0,85^x$. b) $f(1,5)\approx 4389$ lei, $f(2,5)\approx 3730$ lei, $f(3,5)\approx 3171$ lei. c) $3730:4389\approx 0,85$ și $3171:3730\approx 0,85$. Verificare: 4 389 cade între $f(1)=4760$ și $f(2)=4046$.

Așa vine la Bac M3

Funcția exponențială $a^x$ e cuprinsă în programa de examen la clasa a X-a, dar nu a apărut în probele 2013–2026, nici ca temă principală, nici ca temă secundară a vreunei cerințe, după indexul făcut din cele 83 de probe oficiale. Numărul $e$ nu este numit în programa de examen; funcția $e^x$ apare totuși în probe, dar abia la Subiectul III, la limite, la derivate și la integrale, adică la clasele a XI-a și a XII-a.

Ecuațiile exponențiale sunt o altă temă, din același bloc al clasei a X-a: ele apar în probe la Subiectul I și se rezolvă algebric, în ecuațiile exponențiale și logaritmice. Fără o cerință reală pe această temă, secțiunea nu are ce cita și nu dă nici cerințe-model.

Exercițiile 9–12, marcate (Sinteză.), te pun să legi exponențiala de progresia geometrică la o vopsea de păr, să urmărești aerul dintr-o parcare până sub prag și spre asimptotă, să compari valorile a două utilaje și să scrii funcția unei freze din două valori. Traseul clasei, lecție cu lecție, e în hubul clasei a IX-a, tehnologic; lecția despre logaritmul zecimal încheie, la tehnologic, unitatea.

Greșeli care costă puncte

• Aplici de fiecare dată aceeași sumă pierdută, 8 652 lei → la 30 de luni ai scrie 40 170 lei, în loc de 42 387 lei; cum o prinzi: verifică dacă raportul dintre două valori vecine rămâne 0,86, nu diferența.
• Iei procentul drept factor, 14 în loc de 0,86 → valoarea ar ieși mai mare decât prețul de cumpărare; cum o prinzi: la scădere factorul e sub 1.
• Faci media valorilor de la 2 și de la 3 ani pentru 30 de luni → 42 507,5 lei în loc de 42 387 lei; cum o prinzi: calculezi cu tasta de putere și vezi că rezultatul cade între vecini.
• Convertești 30 de luni în 3 ani → ai citi 39 308 lei în loc de 42 387 lei; cum o prinzi: 30 : 12 = 2,5.
• Spui că valoarea ajunge la 0 după destui ani → $0,86^x$ nu iese niciodată 0; cum o prinzi: graficul nu taie $Ox$, dreapta $y=0$ e asimptotă.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru trunchiul comun, filiera tehnologică (OMEC 6930/2025, Anexa 3), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și la clasa a X-a din 2027–2028. Elevii intrați în clasa a IX-a din 2026–2027 încoace dau Bacalaureatul din 2030 încolo, unde matematica este una dintre disciplinele la alegere (OMEC 4138/2026), pe programa de examen MAT_P3, MAT_P4, MAT_P5 sau MAT_P6, după profil și domeniu (OMEC 5077/2026). Elevii intrați în clasa a IX-a în 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026 sunt pe programele vechi și dau Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 2027, 2028 și 2029 (programa de examen OMEN 4430/2014); pentru ei, funcția exponențială face parte din programa de examen doar în parte: $a^x$ e în programă la clasa a X-a, iar $e$ nu e numit acolo. În probele oficiale 2013–2026 nu a apărut încă; fiind în programă, poate fi cerută.

Întrebări frecvente

Cum calculez valoarea autoturismului la 30 de luni, dacă tabelul are numai ani întregi?

Transformi 30 de luni în 2,5 ani și folosești tasta de putere: $61800\cdot 0,86^{2,5}\approx 42387$ lei. Rezultatul trebuie să cadă între 45 707 lei, la 2 ani, și 39 308 lei, la 3 ani. Dacă iese în afara lor, ai greșit conversia sau factorul.

Cât valorează mașina dacă firma o vinde după 3 ani și 4 luni?

Sunt 40 de luni, adică $\frac{40}{12}=\frac{10}{3}$ ani, iar $61800\cdot 0,86^{10/3}\approx 37381$ lei. Valoarea a coborât sub 40 000 lei încă dinainte de 2,9 ani, deci regula firmei cerea vânzarea mai devreme. Rezultatul cade între 39 308 lei, la 3 ani, și 33 805 lei, la 4 ani.

Programul de evaluare scrie $e^{-0,1508x}$: e aceeași funcție ca $0,86^x$?

Da, până la rotunjire. Tasta $e^x$ dă $e^{-0,1508}\approx 0,8600$, deci în fiecare an valoarea se înmulțește tot cu 0,86. La 2,5 ani cele două forme dau 42 390 lei și 42 387 lei, cu 3 lei diferență din cauza rotunjirii lui 0,1508.

Ce se schimbă dacă mașina pierde 18 % pe an, nu 14 %?

Factorul devine 0,82. La 30 de luni valoarea e $61800\cdot 0,82^{2,5}\approx 37629$ lei, cu aproape 4 760 lei sub 42 387 lei. Graficul pornește din același punct, dar coboară mai repede, iar pragul de 40 000 lei se trece între 2,1 și 2,2 ani, nu între 2,8 și 2,9 ani.

Ce parte din funcția exponențială intră în programa pentru Bacalaureatul M3?

Funcția $a^x$, cu $a>0$ și $a\ne 1$, e în programa M_tehnologic la clasa a X-a, dar în probele din 2013–2026 nu a apărut ca temă a unei cerințe. Numărul $e$ nu e numit în programă, iar $e^x$ apare la Subiectul III. Fiind în programă, poate fi cerută.

Cât a pierdut mașina în primele 30 de luni?

A pierdut $61800-42387=19413$ lei, adică aproximativ 31,4 % din prețul de cumpărare. Procentul îl dă direct factorul: $1-0,86^{2,5}\approx 1-0,6859=0,3141$. Cea mai mare pierdere în lei a fost în primul an, 8 652 lei, fiindcă procentul se aplică atunci valorii celei mai mari.