Un atelier de tâmplărie calculează costul unui lot după regula $$g(x) = 4\,(x - 9)$$: întâi scade $$9$$ din $$x$$, apoi înmulțește rezultatul cu $$4$$. Care este funcția inversă $$g^{-1}$$?

$$g^{-1}(y) = \dfrac{y}{4} + 9$$

$$g^{-1}(y) = \dfrac{y}{4} - 9$$

$$g^{-1}(y) = \dfrac{1}{g(y)}$$

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Funcția inversă pe ramuri

Cum aflu consumul dintr-o factură cu trepte?

Calculezi factura la pragul dintre trepte și o compari cu suma dată, apoi folosești inversa treptei potrivite. Exemplu: primii $30$ m³ costă $6$ lei/m³, iar restul $9$ lei/m³, deci pragul costă $180$ lei. Pentru $351$ de lei, peste prag, consumul este $30 + \frac{351 - 180}{9} = 49$ m³. Proba: $180 + 19 \cdot 9 = 351$ .

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a X-a → ·

O funcție $f : A \to B$ este inversabilă dacă există $g : B \to A$ cu $g (f (x)) = x$ și $f (g (y)) = y$ ; atunci $g = f^{- 1}$ . Inversa există numai pentru o funcție bijectivă: fiecare valoare vine dintr-un singur punct și toate valorile din $B$ sunt atinse. Notația $f^{- 1}$ nu înseamnă $\frac{1}{f}$ .

Ca s-o scrii, pui $y = f (x)$ și rezolvi ecuația în $x$ . Dacă funcția are mai multe ramuri, obții câte o formulă pentru fiecare, iar ramura se alege după valoarea lui $y$ față de punctul de schimbare. La un lanț de operații, inversa le desface în ordine opusă.

Domeniul inversei este mulțimea valorilor lui $f$ , iar valorile inversei acoperă domeniul lui $f$ . Graficele se obțin unul din altul prin schimbarea coordonatelor fiecărui punct. Dacă $f$ nu e injectivă, restrângi domeniul până devine.

Verifici calculând $f$ în valoarea găsită: trebuie să regăsești numărul de la care ai pornit. Greșelile frecvente sunt o singură formulă folosită pentru toate ramurile, operațiile desfăcute în aceeași ordine și soluțiile din afara domeniului.

De reținut

$f^{- 1} (f (x)) = x$ și $f (f^{- 1} (y)) = y$
la o funcție pe ramuri compari întâi suma cu valoarea din prag
domeniul inversei este mulțimea valorilor lui $f$

Greșeala tipică

Se folosește aceeași formulă pentru orice sumă, deși tariful are trepte: pentru $351$ de lei prima formulă ar da $351 : 6 = 58, 5$ m³ în loc de $49$ m³. Corect, compari mai întâi suma cu $180$ de lei, factura la prag.

Exerciții din această mini-lecție

Un atelier de tâmplărie calculează costul unui lot după regula $g (x) = 4 (x - 9)$ : întâi scade $9$ din $x$ , apoi înmulțește rezultatul cu $4$ . Care este funcția inversă $g^{- 1}$ ?
- a) $g^{- 1} (y) = \frac{y}{4} + 9$
- b) $g^{- 1} (y) = \frac{y}{4} - 9$
- c) $g^{- 1} (y) = 4 y + 9$
- d) $g^{- 1} (y) = \frac{1}{g ( y )}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $g^{- 1} (y) = \frac{y}{4} + 9$

Inversa desface operațiile în ordine opusă: întâi împarți la $4$ , apoi adaugi $9$ , deci $g^{- 1} (y) = \frac{y}{4} + 9$ . Verificare: $g (g^{- 1} (y)) = 4 (\frac{y}{4} + 9 - 9) = y$ . Varianta cu $- 9$ scade în loc să adune. Varianta $4 y + 9$ înmulțește cu $4$ în loc să împartă. Varianta $\frac{1}{g ( y )}$ confundă inversa cu inversul numărului $g (y)$ .
Un serviciu de curierat percepe pentru o livrare de $x$ km suma $C (x) = 4 x$ lei dacă $0 \leq x \leq 10$ și $C (x) = 3 x + 10$ lei dacă $x > 10$ . Cât de departe poate fi livrat un colet cu $70$ de lei?
- a) $17, 5$ km
- b) $20$ km
- c) $23, 3$ km
- d) $26, 7$ km
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $20$ km

La $10$ km costul este $C (10) = 40$ lei, iar $70 > 40$ , deci se folosește a doua ramură: din $70 - 10 = 60$ și $\frac{60}{3} = 20$ rezultă $x = 20$ km. Varianta $17, 5$ împarte $70$ la $4$ , adică folosește prima ramură. Varianta $23, 3$ uită termenul $10$ . Varianta $26, 7$ adună $10$ în loc să-l scadă.
Se consideră funcția bijectivă $f : [7; + \infty) \to [5; + \infty)$ , $f (x) = (x - 7)^{2} + 5$ . Cât este $f^{- 1} (14)$ ?
- a) $4$
- b) $16$
- c) $10$
- d) $3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $10$

Din $(x - 7)^{2} + 5 = 14$ rezultă $(x - 7)^{2} = 9$ , deci $x - 7 = 3$ sau $x - 7 = - 3$ , adică $x = 10$ sau $x = 4$ . Domeniul lui $f$ este $[7; + \infty)$ , așa că rămâne $x = 10$ . Valoarea $4$ este soluția din afara domeniului. Valoarea $16$ uită rădăcina pătrată: $14 - 5 + 7$ . Valoarea $3$ uită să adune $7$ la $9$ .

Întrebări conexe

Ce fac dacă suma este exact cea de la prag?

Oricare formulă dă același consum, fiindcă la prag cele două trepte se întâlnesc. Dacă primii 60 kWh costă 0,9 lei/kWh, iar restul 1,3 lei/kWh, pragul costă 54 lei: prima treaptă dă $54 : 0, 9 = 60$ kWh, iar a doua dă $60 + \frac{54 - 54}{1 , 3} = 60$ kWh.

Când are inversa aceeași formulă ca funcția?

De exemplu la $f (x) = \frac{12}{x}$ , pentru $x \neq = 0$ : din $y = \frac{12}{x}$ rezultă $x = \frac{12}{y}$ , deci $f^{- 1} (y) = \frac{12}{y}$ . Verificare: $f (3) = 4$ și $f^{- 1} (4) = 3$ . Graficul unei astfel de funcții este simetric față de dreapta $y = x$ .

Ce fac dacă inversa dă o valoare din afara domeniului?

Înseamnă că suma dată nu este o valoare a funcției. Cererea $q (p) = 140 - 4 p$ , pentru prețuri $p \in [10; 30]$ , ia valori între $20$ și $100$ . Pentru $q = 15$ formula dă $p = 31, 25$ , în afara intervalului: nu există niciun preț din domeniu pentru care cererea să fie $15$ .

Înseamnă f la minus unu același lucru cu unu supra f?

Nu. Simbolul $f^{- 1}$ desemnează funcția inversă, iar $\frac{1}{f}$ este inversul numărului $f (x)$ . Pentru $f (x) = 4 x$ avem $f^{- 1} (8) = 2$ , dar $\frac{1}{f ( 8 )} = \frac{1}{32}$ . Valorile diferă, fiindcă prima expresie desface operația, iar a doua răstoarnă rezultatul.

De ce o reducere la cantitate poate strica inversa?

Dacă prețul pe unitate scade peste un prag, două cantități diferite pot costa la fel. La 5 lei/m sub 100 m și 4,5 lei/m de la 100 m în sus, 99 m costă $99 \cdot 5 = 495$ lei, iar 110 m costă $110 \cdot 4, 5 = 495$ lei. Din suma de 495 lei nu mai afli lungimea.

Oamenii mai întreabă și: consumul din factura de apă cu tarif pe trepte · funcția inversă pe ramuri · formula consumului în funcție de factură · cum aflu cât am consumat din suma plătită