Funcția inversă: preț și cantitate, tehnologic

Factura de apă arată cât plătești pentru un consum cunoscut, dar contabila vrea de obicei contrariul: are bugetul și caută consumul. Pentru asta se răstoarnă funcția: rezolvi ecuația după $x$ și obții inversa ei. Când se poate și cum se face afli pe tarife, diluții și termistori, în clasa a X-a de la tehnologic. Funcțiile inversabile sunt în programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic).

Situația de pornire

Contabila unei firme de confecții analizează factura de apă. Contractul cu furnizorul are tarif pe trepte: primii 40 m³ consumați într-o lună se plătesc cu 5,60 lei/m³, iar fiecare metru cub peste 40 costă 8,00 lei. În registru are trei luni, cu consumul și factura, fără taxe fixe. Ea vrea o formulă care să dea consumul pentru orice sumă, nu o socoteală separată pentru fiecare lună.

Pentru ianuarie, firma a rezervat în buget 392 lei pentru apă. Contabila nu mai întreabă cât costă un consum dat, ci ce consum poate acoperi suma rezervată, și vrea să știe dacă tariful pe trepte lasă această întrebare cu un singur răspuns.

Întrebare: ce consum acoperă un buget de 392 lei și cum se scrie, în general, consumul în funcție de factură?

De la situație la model

Notează cu $x$ consumul într-o lună, în m³. Factura este o funcție $f$ de consum, iar întrebarea contabilei cere să te întorci de la valoarea facturii la consumul care a produs-o.

Pe prima treaptă factura este $f(x)=5,6x$, pentru $0\le x\le 40$, deci $f(40)=224$. Peste prag fiecare m³ în plus costă 8 lei: $f(x)=224+8(x-40)=8x-96$, pentru $x>40$. Funcția inversabilă este o funcție $f:A\to B$ pentru care există o funcție $g:B\to A$ cu $g(f(x))=x$ pentru orice $x\in A$ și $f(g(y))=y$ pentru orice $y\in B$. Funcția $g$ se numește inversa lui $f$ și se notează $f^{-1}$. Notația $f^{-1}$ nu înseamnă $\frac{1}{f}$. Când factura are mai multe operații la rând, ca într-un lanț de adaosuri și reduceri, inversa se scrie în ordine opusă; compunerea funcțiilor o ai în lecția despre lanțul de conversii, de la filiera tehnologică.

De ce se poate întoarce factura la consum?

O funcție este inversabilă exact atunci când este bijectivă: injectivitatea îi spune inversei „din ce valoare vin?”, iar surjectivitatea îi dă un răspuns pentru orice valoare din $B$. Factura crește strict cu consumul, deci este injectivă, iar graficul ei nu are goluri și urcă fără limită, deci acoperă tot intervalul $[0;+\infty )$. Funcția $f:[0;+\infty )\to [0;+\infty )$ este bijectivă, deci are inversă. Dacă două consumuri diferite ar da aceeași factură, inversa n-ar ști pe care să-l aleagă. Atunci restrângi domeniul până când fiecare valoare vine dintr-un singur punct, cum vei face la timpul de coacere din Exemplul 2. Cum verifici injectivitatea, vezi la testul injectivității.

Cum scrii consumul în funcție de factură?

Scrii $y=f(x)$ și rezolvi ecuația în $x$. Pe prima treaptă, $y=5,6x$ dă $x=y:5,6$. Pe a doua, $y=8x-96$ dă $x=(y+96):8$. Alegi ramura după valoarea lui $y$ față de $f(40)=224$: pentru $y\le 224$ prima, pentru $y>224$ a doua. La 392 lei, ramura a doua dă $(392+96):8=61$ m³.

Ce se întâmplă cu domeniul și cu graficul?

Domeniul inversei este mulțimea valorilor lui $f$, iar mulțimea valorilor inversei este domeniul lui $f$. Punctele graficului lui $f^{-1}$ se obțin schimbând coordonatele: din $(a;b)$ pe graficul lui $f$ rezultă $(b;a)$ pe al inversei. Dacă pe ambele axe unitatea și scara sunt aceleași, cele două grafice sunt simetrice față de dreapta $y=x$. Aici axele sunt în m³ și în lei, deci simetria nu se vede; pe hârtie inversa înseamnă să citești același grafic pe orizontală, de la factură la consum. Vezi și funcția putere și radicalul de ordin 3, unde ridicarea la cub și radicalul se desfac reciproc.

Metoda pas cu pas

1. Verifică dacă funcția este bijectivă: strict crescătoare sau strict descrescătoare pe tot domeniul și cu mulțimea valorilor egală cu mulțimea de sosire. La factură, prețul pe metru cub este pozitiv în ambele trepte, deci factura crește strict. Dacă funcția nu este bijectivă, restrânge domeniul sau codomeniul până devine, cum faci la timpul de coacere.
2. Scrie $y=f(x)$, pe fiecare ramură dacă funcția are mai multe, și notează intervalul de valori al lui $y$ pe fiecare ramură. La factură sunt $[0;224]$ și $(224;+\infty )$.
3. Rezolvă ecuația în $x$. Dacă apare o rădăcină pătrată, alege semnul care păstrează soluția în domeniul lui $f$; dacă apar mai multe operații, desface-le în ordinea opusă celei în care au fost făcute, ca la prețul de raft.
4. Scrie inversa pe ramuri: ce formulă folosești pentru ce valori ale lui $y$. Domeniul ei este mulțimea valorilor lui $f$, iar mulțimea ei de valori este domeniul lui $f$.
5. Alege formula după valoarea dată: compară mai întâi suma cu valoarea din punctul de schimbare, ca 392 cu 224 la factura de apă, și abia apoi calculezi.
6. Verifică: calculează $f(f^{-1}(y))$ pe una sau două valori, controlează unitățile și vezi dacă soluția stă în domeniul lui $f$. Trebuie să regăsești $y$.

Dacă funcția este dată printr-un tabel, pașii 2–4 se reduc la a schimba între ele cele două coloane; între două rânduri vecine aproximezi graficul printr-un segment. Dacă domeniul nu este tot $\mathbb{R}$, notează-l la început și la sfârșit, ca să vezi unde are voie să cadă soluția. O funcție strict descrescătoare, ca rezistența unui termistor, are o inversă tot strict descrescătoare.

Fișa de buzunar

$$f^{-1}(f(x))=xf(f^{-1}(y))=y$$

$$f(x)=ax+b,a\ne 0\Rightarrow f^{-1}(y)=\frac{y-b}{a}$$

Condiții: prima pereche de reguli cere ca $f$ să fie bijectivă; a doua merge pentru orice $a\ne 0$, pe $\mathbb{R}$. La o funcție cu două ramuri, inversa are tot două ramuri. Verificare rapidă: calculează $f$ în valoarea găsită, ca la factura de 392 lei: $f(61)=8\cdot 61-96=392$.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Factura de apă și bugetul

Domeniu: economic.

Enunț. Reia contractul din situația de pornire. a) Cât costă un consum de 52 m³? b) Ce consum acoperă un buget de 392 lei? c) Ce consum corespunde facturii de 150,64 lei? d) Care este domeniul lui $f^{-1}$? e) Cu câți m³ crește consumul acoperit, dacă bugetul crește de la 392 la 432 lei?

Rezolvare. a) Cum $52>40$, folosești a doua ramură: $f(52)=8\cdot 52-96=320$ lei. b) $f(40)=224$ și $392>224$, deci a doua ramură: $x=(392+96):8=61$ m³. c) $150,64<224$, deci prima ramură: $x=150,64:5,6=26,9$ m³. d) Factura poate fi orice sumă pozitivă sau zero, deci $f^{-1}$ este definită pe $[0;+\infty )$, mulțimea valorilor lui $f$. e) $f^{-1}(432)=(432+96):8=66$ m³, față de 61 m³: cu 5 m³ mai mult. Pe a doua ramură inversa are panta $\frac{1}{8}$, adică 8 lei în plus aduc 1 m³ în plus, iar 40 de lei aduc 5.

Capcană. Cine folosește prima formulă pentru orice sumă obține, pentru 392 lei, $392:5,6=70$ m³. Peste 40 m³ metrul cub costă 8 lei, deci 70 m³ ar costa $8\cdot 70-96=464$ lei, cu 72 de lei peste buget.

Verificare. $f(61)=8\cdot 61-96=392$, $f(26,9)=5,6\cdot 26,9=150,64$ și $f(66)=432$. Pe alt drum: primii 40 m³ costă 224 lei, rămân 168 lei, iar la 8 lei/m³ înseamnă 21 m³, deci $40+21=61$.

Exemplul 2 — Grosimea aluatului și timpul de coacere

Domeniu: alimentar.

Enunț. Într-o brutărie, timpul în care miezul unei pâini plate ajunge la 92 °C crește cu pătratul grosimii aluatului: $t(g)=2,6g^2$ minute, cu $g$ în centimetri (valori din cuptorul brutăriei). a) Cât durează coacerea la 2,2 cm și la 4,4 cm? b) De ce funcția dată de aceeași formulă pe $\mathbb{R}$ nu are inversă, iar pe $[0;+\infty )$ are? c) Scrie $t^{-1}$. d) Ce grosime maximă, la milimetru, se coace în cel mult 20 de minute?

Rezolvare. a) $t(2,2)=2,6\cdot 4,84\approx 12,6$ minute și $t(4,4)=2,6\cdot 19,36\approx 50,3$ minute: la grosime dublă, timpul e de patru ori mai mare. b) Pe $\mathbb{R}$, $t(-2,2)=t(2,2)$, deci funcția nu este injectivă. Pe $[0;+\infty )$ ea crește strict și ia toate valorile din $[0;+\infty )$, deci este bijectivă de la $[0;+\infty )$ la $[0;+\infty )$. c) Din $y=2,6g^2$, cu $g\ge 0$, rezultă $g=\sqrt{y:2,6}$, deci $t^{-1}(y)=\sqrt{\frac{y}{2,6}}$, pentru $y\ge 0$. d) $t^{-1}(20)=\sqrt{20:2,6}\approx 2,774$ cm. O limită de sus se rotunjește în jos, deci grosimea maximă este 2,7 cm.

Capcană. Cine rotunjește la 2,8 cm obține $t(2,8)=2,6\cdot 7,84\approx 20,4$ minute, peste cele 20 de minute: pâinea iese crudă la miez.

Verificare. $t(2,7)=2,6\cdot 7,29\approx 18,95$ minute, sub 20, iar $t(t^{-1}(20))=2,6\cdot \frac{20}{2,6}=20$.

Exemplul 3 — Prețul de achiziție din prețul de raft

Domeniu: comert.

Enunț. Un magazin de scule adaugă la prețul de achiziție $p$ un adaos comercial de 30 %, apoi aplică prețului cu adaos o reducere promoțională de 10 %. a) Scrie prețul de raft $r(p)$. b) Un set de chei costă pe raft 40,95 lei: care a fost prețul de achiziție? c) De ce nu merge „scad 30 %, apoi 10 %”? Cât reprezintă adaosul și reducerea împreună?

Rezolvare. a) Cu adaos, prețul este $1,30p$, iar după reducere $0,90\cdot 1,30p=1,17p$, deci $r(p)=1,17p$. b) Inversezi în ordinea opusă: întâi anulezi reducerea, $40,95:0,90=45,50$ lei, apoi adaosul, $45,50:1,30=35$ lei. La fel, $r^{-1}(q)=q:1,17=35$. c) Procentele se aplică la prețuri diferite: 10 % din prețul redus nu înseamnă cât 10 % din prețul cu adaos. Împreună, cele două operații înmulțesc prețul cu $1,17$, adică îl măresc cu 17 %, nu cu 20 %.

Capcană. Cine anulează reducerea înmulțind cu 1,10 obține $40,95\cdot 1,10=45,045$ lei, iar apoi $45,045:1,30\approx 34,65$ lei, cu 35 de bani mai puțin decât prețul real.

Verificare. $35\cdot 1,30=45,50$ și $45,50\cdot 0,90=40,95$.

Exemplul 4 — Problema inversă: temperatura din rezistență

Domeniu: electric.

Enunț. Acum mergi invers: din măsurătoare afli cauza. Un termostat citește rezistența unui termistor, nu temperatura. Fișa lui dă, pentru temperatura $T$ în °C, rezistența $R$ în kΩ.

Rezistența scade când temperatura crește. Între două rânduri vecine aproximezi graficul printr-un segment, ceea ce este o simplificare. Ce temperatură arată citirile de 14,0; 5,0 și 3,0 kΩ? Depășește vreuna 45 °C?

Rezolvare. $R$ scade strict, deci este bijectivă de la $[12;82]$ la $[1,19;18,29]$, iar inversa se citește din tabel pe dos. Citirea de 14,0 kΩ este între 18,29 și 6,78 kΩ, deci $T$ este între 12 și 34 °C: $T=12+\frac{18,29-14,0}{18,29-6,78}\cdot 22\approx 20,2$ °C. Citirea de 5,0 kΩ este între 6,78 și 2,67 kΩ: $T=34+\frac{6,78-5,0}{6,78-2,67}\cdot 24\approx 44,4$ °C. Citirea de 3,0 kΩ este tot între 6,78 și 2,67 kΩ: $T=34+\frac{6,78-3,0}{6,78-2,67}\cdot 24\approx 56,1$ °C. Numai ultima citire depășește 45 °C, iar cea din mijloc rămâne sub prag cu doar 0,6 °C.

Capcană. Cine scade invers, $14,0-18,29$ în loc de $18,29-14,0$, obține $12-8,20\approx 3,8$ °C, un rezultat în afara lui $[12;34]$, intervalul rândurilor vecine. Temperatura trebuie să cadă între cele două rânduri între care stă citirea.

Verificare. Pe alt drum, direct: la 44,4 °C, $R=6,78-\frac{44,4-34}{24}\cdot 4,11\approx 5,00$ kΩ, chiar citirea dată.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. O funcție $f$ între mulțimi finite are $f(2)=11$, $f(5)=17$, $f(9)=29$ și $f(14)=50$. Scrie tabelul lui $f^{-1}$ și calculează $f^{-1}(29)$ și $f(f^{-1}(17))$.

2. Graficul unei funcții afine $f$ trece prin $(6;15)$ și $(12;33)$. Scrie două puncte ale graficului lui $f^{-1}$, apoi formulele lui $f$ și $f^{-1}$.

3. Fie $f(x)=0,25x+34$ și $g(y)=4y-136$. Arată că $g(f(x))=x$ și $f(g(y))=y$ pentru orice numere reale, apoi calculează $g(f(28))$.

4. a) Pentru $g:[0;30]\to [0;102]$, $g(x)=3,4x$, scrie domeniul și mulțimea valorilor lui $g^{-1}$. b) Un depozit dă fiecăruia dintre cele 5 rafturi ale sale unul dintre 4 coduri de culoare. Explică, numărând, de ce această regulă nu are inversă.

Nivelul 2 — situații

5. Un laborator diluează 100 L de soluție cu 30 % substanță activă, adăugând $x$ L de apă. Concentrația devine $c(x)=\frac{3000}{100+x}$ %, pentru $x\ge 0$. a) Ce cantitate de apă aduce concentrația la 24 %? b) Dar la 12 %? c) Scrie $c^{-1}$ și domeniul ei.

6. Un rezervor de 72 L dă o autonomie $a(c)=\frac{7200}{c}$ km pentru un consum de $c$ L/100 km, $c>0$. a) Ce consum dă o autonomie de 900 km? b) Arată că inversa lui $a$ are aceeași formulă. c) Ce consum dă 1 000 km?

7. Rezistența unui senzor Pt100, în ohmi, la temperatura $T$ în °C, este aproximativ $R(T)=100+0,385T$, pentru $T\in [0;150]$. a) Scrie domeniul și mulțimea valorilor lui $R$. b) Scrie $R^{-1}$. c) Ce temperatură arată o rezistență de 119,25 Ω?

8. O agenție dă reducere de grup: prețul pe persoană este $p(n)=130-2n$ lei pentru un grup de $n$ persoane, cu $n\in \{10,11,\dots ,30\}$. a) Scrie mulțimea valorilor lui $p$. b) Scrie inversa și domeniul ei. c) Ce grup plătește 88 lei pe persoană? Dar 89 lei?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) Un abonament se scumpește de două ori la rând, de fiecare dată după regula $f(x)=1,1x+2$, în lei. După cele două scumpiri costă 28,40 lei. Află prețul inițial prin $f^{-1}$, aplicată de două ori, și apoi prin compunerea $f\circ f$.

10. (Sinteză.) La o casă de schimb valutar, pentru $x$ euro primești $V(x)=4,93x$ lei, iar pentru $y$ lei primești $E(y)=y:5,04$ euro (valori din exemplu). a) Scrie inversa lui $V$. b) Calculează $E(V(250))$ și spune dacă $E$ este inversa lui $V$. c) Ce parte din bani, în procente, pierde cine schimbă 250 de euro în lei și imediat înapoi?

11. (Sinteză.) Un magazin ambalează cadourile și aplică prețului $p$ regula $f(p)=0,85p+6$, în lei. a) Scrie $f^{-1}$. b) Află prețul $p$ pentru care $f(p)=p$. c) Arată că punctele $(10;14,5)$ și $(14,5;10)$ sunt pe graficele lui $f$ și $f^{-1}$ și explică de ce aici cele două grafice sunt simetrice față de dreapta $y=x$.

12. (Sinteză.) Mărimea europeană a încălțămintei se socotește din lungimea calapodului, $1,5\cdot L$, cu $L$ în centimetri, iar calapodul e cu 1,2 cm mai lung decât talpa. Pentru talpa de $t$ cm, mărimea exactă este $M(t)=1,5(t+1,2)$. a) Scrie $M^{-1}$. b) Ce talpă corespunde exact mărimii 42? c) Magazinul vinde numai mărimi întregi și dă mărimea exactă rotunjită în sus. Mai are regula rotunjită inversă? Ce tălpi primesc mărimea 42?

Răspunsuri și verificări

1. Tabelul lui $f^{-1}$: $f^{-1}(11)=2$, $f^{-1}(17)=5$, $f^{-1}(29)=9$, $f^{-1}(50)=14$. Deci $f^{-1}(29)=9$ și $f(f^{-1}(17))=f(5)=17$. Verificare: $f(9)=29$.

2. Punctele sunt $(15;6)$ și $(33;12)$. Panta lui $f$ este $\frac{33-15}{12-6}=3$, deci $f(x)=3x-3$ și $f^{-1}(y)=\frac{y+3}{3}$. Verificare: $f(6)=15$ și $f^{-1}(33)=12$.

3. $g(f(x))=4(0,25x+34)-136=x+136-136=x$ și $f(g(y))=0,25(4y-136)+34=y-34+34=y$. Apoi $f(28)=41$ și $g(41)=28$. Verificare: $4\cdot 0,25=1$.

4. a) Domeniul lui $g^{-1}$ este $[0;102]$, iar mulțimea valorilor este $[0;30]$. b) Cinci rafturi nu pot primi patru coduri diferite, deci două rafturi au același cod: regula nu e injectivă, nici bijectivă, și nu are inversă. Verificare: $g(30)=3,4\cdot 30=102$.

5. a) La 24 %: $x=\frac{3000}{24}-100=25$ L. b) La 12 %: $x=\frac{3000}{12}-100=150$ L. c) $c^{-1}(y)=\frac{3000}{y}-100$, pentru $y\in (0;30]$. Verificare: $c(25)=\frac{3000}{125}=24$.

6. a) $c=\frac{7200}{900}=8$ L/100 km. b) Din $a=\frac{7200}{c}$ rezultă $c=\frac{7200}{a}$, aceeași formulă. c) $\frac{7200}{1000}=7,2$ L/100 km. Verificare: $a(8)=900$.

7. a) Domeniul este $[0;150]$, iar valorile sunt în $[100;157,75]$. b) $R^{-1}(y)=\frac{y-100}{0,385}$. c) $\frac{119,25-100}{0,385}=50$ °C. Verificare: $R(50)=100+19,25=119,25$.

8. a) Valorile sunt $\{70,72,\dots ,110\}$. b) $p^{-1}(q)=\frac{130-q}{2}$, cu domeniul $\{70,72,\dots ,110\}$. c) Pentru 88 lei: $n=21$. Pentru 89 lei nu există grup, fiindcă 89 nu este în mulțimea valorilor. Verificare: $p(21)=130-42=88$.

9. $f^{-1}(y)=\frac{y-2}{1,1}$. Atunci $f^{-1}(28,4)=24$, iar $f^{-1}(24)=20$: prețul inițial este 20 lei. Pe alt drum: $(f\circ f)(x)=1,1(1,1x+2)+2=1,21x+4,2$, iar $1,21x+4,2=28,4$ dă $x=20$. Verificare: $f(20)=24$ și $f(24)=28,4$.

10. a) $V^{-1}(y)=\frac{y}{4,93}$: din suma în lei afli câți euro a cumpărat casa. b) $V(250)=1232,5$ lei, iar $E(1232,5)=1232,5:5,04\approx 244,54$ euro, nu 250. Deci $E(V(x))\ne x$ și $E$ nu este inversa lui $V$: casa cumpără euro mai ieftin decât îi vinde. c) Pierderea este $250-244,54=5,46$ euro, adică $1-\frac{4,93}{5,04}\approx 2,18\%$. Verificare: $244,54\cdot 5,04\approx 1232,5$ lei.

11. a) $f^{-1}(q)=\frac{q-6}{0,85}$. b) $0,85p+6=p$ dă $p=40$. c) $f(10)=14,5$, iar $f^{-1}(14,5)=10$. Ambele axe sunt în lei, cu aceeași scară, deci graficele sunt simetrice față de $y=x$, iar punctul $(40;40)$ este comun. Verificare: $f(40)=40$.

12. a) Împarți la 1,5 și scazi 1,2: $M^{-1}(y)=\frac{y}{1,5}-1,2$. b) $M^{-1}(42)=28-1,2=26,8$ cm. c) Nu: rotunjirea dă aceeași mărime pentru o infinitate de tălpi, deci regula rotunjită nu e injectivă. Mărimea 42 o primesc tălpile cu $41<1,5(t+1,2)\le 42$, adică cele mai lungi de $\frac{392}{15}\approx 26,13$ cm și de cel mult 26,8 cm. Verificare: $M(26,8)=42$, iar $M(26,1)=40,95$ se rotunjește la 41.

Așa vine la Bac M3

Inversa unei funcții nu a apărut în probele 2013–2026, cu toate că programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) o cere în blocul „Funcții și ecuații” al clasei a X-a: definiția funcției inversabile, proprietățile ei grafice și condiția necesară și suficientă a inversabilității. În indexul celor 83 de probe oficiale nicio cerință nu are această temă, nici principală, nici secundară. Cuvintele „inversa” și „inversabilă” se găsesc totuși în șase enunțuri, de fiecare dată la o matrice, niciodată la o funcție.

Antrenamentul rămâne în exercițiile 9–12, marcate (Sinteză.), care leagă inversa de temele vecine: două scumpiri la rând, cursurile unei case de schimb, un punct fix și mărimile de încălțăminte rotunjite. La filiera tehnologică, unitatea continuă cu funcțiile trigonometrice inverse, iar restul clasei este în hubul clasei a X-a de la tehnologic.

Greșeli care costă puncte

• Folosești prima formulă pentru orice factură → pentru 392 lei ar ieși 70 m³, deși 70 m³ costă 464 lei; cum o prinzi: compari suma cu $f(40)=224$ înainte să alegi ramura.
• Aplici formula inversei la o valoare care nu e preț posibil → pentru 89 lei pe persoană ar ieși $n=\frac{130-89}{2}=20,5$ persoane, un grup care nu există (exercițiul 8); cum o prinzi: verifici că rezultatul e număr întreg din $\{10,11,\dots ,30\}$.
• Anulezi reducerea de 10 % înmulțind cu 1,10 → prețul de achiziție ar ieși 34,65 lei, nu 35; cum o prinzi: refaci drumul înainte, $34,65\cdot 1,30\cdot 0,90\approx 40,54$, nu 40,95.
• Scazi invers diferențele la interpolare → temperatura ar fi 3,8 °C pentru o citire dintre 12 și 34 °C; cum o prinzi: rezultatul trebuie să cadă între cele două rânduri vecine.
• Rotunjești în sus grosimea maximă a aluatului → la 2,8 cm coacerea ar cere aproape 20,4 minute, peste limita de 20; cum o prinzi: o limită de sus se rotunjește în jos, apoi verifici $t(2,7)\approx 18,95$ minute.

Programa și examenul

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: determinarea funcției inverse a unei funcții bijective face parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a X-a), deși programa nouă a clasei a X-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu o conține sau o conține doar în parte. În probele oficiale 2013–2026 nu a apărut încă; fiind în programă, poate fi cerută. Pentru Bacalaureatul din 2030 (MAT_P3–MAT_P6) tema nu este în programa de examen.

Întrebări frecvente

Ce consum corespunde exact facturii de 224 de lei?

Exact 40 m³, oricare formulă a inversei ai folosi: $224:5,6=40$ și $(224+96):8=40$. Cele două ramuri se întâlnesc în pragul de 40 m³, deci graficul facturii nu are salt, iar inversa nu sare nici ea: o sumă puțin peste 224 de lei dă un consum puțin peste 40 m³.

Ce se schimbă dacă furnizorul trece a doua treaptă la 7,20 lei/m³?

Factura peste 40 m³ devine $224+7,2(x-40)$, deci inversa este $x=40+(y-224):7,2$ pentru $y>224$. Pentru 392 lei rezultă $40+168:7,2\approx 63,3$ m³, adică cu 2,3 m³ mai mult decât la 8 lei/m³: treapta mai ieftină lasă bani pentru mai mult consum.

Cum se schimbă formula dacă factura are în plus o taxă fixă de 15 lei?

Factura devine $f(x)+15$, deci mai întâi scazi taxa din sumă și abia apoi aplici inversa: $f^{-1}(y-15)$. La 392 lei obții $f^{-1}(377)=(377+96):8\approx 59,1$ m³. Regula e aceeași ca la lanțul din magazin: inversezi operațiile în ordinea opusă celei în care s-au făcut.

Cum verifică contabila că furnizorul a aplicat corect pragul de 40 m³?

Trece facturile din registru prin inversă și compară rezultatul cu indexul contorului. Pentru noiembrie, $(272+96):8=46$ m³, chiar consumul citit; pentru octombrie, $179,20:5,6=32$ m³. Dacă inversa ar da alt consum decât contorul, factura ar ascunde altă treaptă sau o taxă.

Cum apare „inversa” în enunțurile de la Bacalaureatul M3, dacă inversa unei funcții n-a apărut?

Cuvintele „inversa” și „inversabilă” se găsesc în șase dintre cele 83 de probe 2013–2026, de fiecare dată la matrice, niciodată la o funcție. Programa de examen M_tehnologic cere totuși funcțiile inversabile la clasa a X-a, deci o cerință despre inversa unei funcții este posibilă.