Care este ordonarea corectă, în ordine crescătoare, a numerelor $$\sqrt[3]{-30}$$, $$-3$$ și $$\sqrt[3]{-20}$$?

$$\sqrt[3]{-30} < -3 < \sqrt[3]{-20}$$

$$\sqrt[3]{-20} < -3 < \sqrt[3]{-30}$$

$$-3 < \sqrt[3]{-20} < \sqrt[3]{-30}$$

$$\sqrt[3]{-30} < \sqrt[3]{-20} < -3$$

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Cubul și radicalul de ordin 3

Cum rotunjesc latura când masa are un minim?

La o masă minimă rotunjești latura în sus, apoi verifici ridicând la cub. Exemplu: un cub de aluminiu trebuie să cântărească cel puțin $100$ g, la densitatea $2, 7$ g/cm³. Atunci $a \geq 3 100 : 2, 7 \approx 3, 33$ cm. La $3, 3$ cm masa este $97, 0$ g, prea puțin, iar la $3, 4$ cm este $106, 1$ g, suficient.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a X-a → ·

Graficul funcției putere $f (x) = x^{n}$ este simetric față de axa $O y$ dacă $n$ este par și față de origine dacă $n$ este impar. Puterile pare nu coboară sub axa $O x$ , pe când cubul ia orice valoare reală și crește pe tot $R$ .

Radicalul de ordinul 3, $3 y$ , este acel număr real care, ridicat la cub, dă $y$ ; el există pentru orice $y$ , inclusiv negativ. Radicalul de ordinul 2 cere $y \geq 0$ . Cubul și radicalul de ordinul 3 se desfac unul pe altul: $3 x^{3} = x$ .

De la un volum sau o masă la o latură mergi astfel: scrii formula $y = k x^{3}$ , o rezolvi în $x$ cu radicalul de ordinul 3 și treci rezultatul în unitatea cerută. Pe grafic faci același drum pe orizontală, dar citirea rămâne aproximativă.

Controlul constă în ridicarea rezultatului la cub. Dacă limita este de jos, rotunjești în sus; dacă este de sus, în jos. Urmărești unitățile: o latură în milimetri pusă într-o formulă scrisă pentru centimetri strică ordinul de mărime.

De reținut

$3 x^{3} = x$ pentru orice număr real $x$
masa sau volumul cresc cu cubul laturii
la o limită minimă rotunjești latura în sus

Greșeala tipică

Se rotunjește latura la cea mai apropiată zecime, nu în sensul condiției: la $3, 3$ cm masa este $97, 0$ g, sub cele $100$ g cerute. Corect, se rotunjește în sus, la $3, 4$ cm.

Exerciții din această mini-lecție

Un traductor de forță dă perechile (deformarea $x$ în mm; forța $F$ în N): $(- 2; - 16)$ , $(1; 2)$ și $(3; 54)$ . Care formulă se potrivește tuturor celor trei perechi?
- a) $F = 2 x^{2}$
- b) $F = 2 x^{3}$
- c) $F = 8 x$
- d) $F = 2 x^{4}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $F = 2 x^{3}$

Forța are semnul deformării, deci funcția este impară; $2 x^{3}$ dă $2 \cdot (- 8) = - 16$ , $2 \cdot 1 = 2$ și $2 \cdot 27 = 54$ . Variantele $2 x^{2}$ și $2 x^{4}$ dau valori pozitive pentru $x = - 2$ . Varianta $8 x$ se potrivește numai la $x = - 2$ , fiindcă la $x = 1$ ar da $8$ .
Un container cubic pentru semințe are volumul de $2, 197$ m³. Ce latură are containerul?
- a) $1, 3$ m
- b) $1, 48$ m
- c) $0, 73$ m
- d) $13$ m
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $1, 3$ m

Latura $a$ verifică $a^{3} = 2, 197$ , deci $a = 3 2, 197 = 1, 3$ m, fiindcă $1, 3^{3} = 2, 197$ . Varianta $1, 48$ este radicalul de ordinul 2. Varianta $0, 73$ împarte volumul la $3$ . Varianta $13$ mută virgula cu un loc, iar $1 3^{3}$ este de o mie de ori mai mare decât volumul.
Care este ordonarea corectă, în ordine crescătoare, a numerelor $3 - 30$ , $- 3$ și $3 - 20$ ?
- a) $3 - 20 < - 3 < 3 - 30$
- b) $- 3 < 3 - 20 < 3 - 30$
- c) $3 - 30 < - 3 < 3 - 20$
- d) $3 - 30 < 3 - 20 < - 3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $3 - 30 < - 3 < 3 - 20$

Scrii $- 3 = 3 - 27$ . Radicalul de ordinul 3 este strict crescător, iar $- 30 < - 27 < - 20$ , deci $3 - 30 < - 3 < 3 - 20$ . Ordinea cu $3 - 20$ primul pleacă de la valorile absolute. Ordinea cu $- 3$ primul pune radicalii în ordinea numerelor de sub ei, $20$ înaintea lui $30$ . Ordinea cu $- 3$ ultimul compară pe $- 3$ direct cu $- 30$ și $- 20$ , fără radical.

Întrebări conexe

Cum arată graficul cubului față de cel al pătratului?

Cele două grafice se întâlnesc în origine și în $(1; 1)$ . Pe $(0; 1)$ cubul stă sub pătrat: la $x = 0, 5$ , $x^{3} = 0, 125$ , iar $x^{2} = 0, 25$ . După $1$ cubul trece deasupra: la $x = 2$ , $x^{3} = 8$ , iar $x^{2} = 4$ .

Cu cât se mărește latura dacă volumul se dublează?

Latura se înmulțește cu $32 \approx 1, 26$ , nu cu $2$ . Un cub de $10$ cm are $1000$ cm³; la volumul de $2000$ cm³ latura devine $32000 \approx 12, 6$ cm. Proba: $12, 6^{3} \approx 2000$ , deci latura crește cu circa $26 %$ , nu cu $100 %$ .

Ce valori ia un cub pentru numere negative?

Cubul păstrează semnul numărului: $(- 1, 5)^{3} = - 3, 375$ și $(- 0, 5)^{3} = - 0, 125$ . Pătratul, în schimb, dă valori pozitive. De aceea un cub ia orice valoare reală, iar o forță proporțională cu cubul își schimbă sensul odată cu deformarea.

Cum trec din milimetri în centimetri înainte de cub?

Treci latura în centimetri înainte să ridici la cub. Un cub de $25$ mm are latura $2, 5$ cm și volumul $2, 5^{3} = 15, 625$ cm³. Dacă ridici direct $2 5^{3}$ , obții $15625$ , adică de o mie de ori prea mult.

Cum estimez un radical de ordinul 3 fără calculator?

Îl încadrezi între cuburi perfecte. Pentru $340$ : $27 < 40 < 64$ , deci rezultatul este între $3$ și $4$ . Apoi încerci $3, 4^{3} = 39, 304$ , puțin sub $40$ , și $3, 4 2^{3} \approx 40, 0$ , deci $340 \approx 3, 42$ .

Oamenii mai întreabă și: latura minimă a unui cub pentru o masă dată · rotunjire în sus la radical de ordinul 3 · forma cavității după masa cerută · radical de ordin 3 din raportul dintre masă și densitate