Putere și radical de ordin 3: grafice, tehnologic

Pe cutia unei ciocolaterii scrie masa netă, iar fiecare bomboană cubică trebuie să ajute la atingerea ei; formele se cumpără însă după latura cavității, din catalog. Între cele două stă puterea a treia: masa crește cu cubul laturii, deci latura se află cu radicalul de ordinul 3. În clasa a X-a, la tehnologic, citești pe grafic aceste funcții, alături de puterile pare și de radicalul de ordinul 2. Toate fac parte din programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic).

Situația de pornire

Laboratorul de cofetărie al unei ciocolaterii din Sibiu are o comandă de la un hotel: 400 de cutii cu câte 16 bomboane cubice umplute cu ganache, cu masa netă de 232 g pe cutie. Ca fiecare cutie să aibă masa promisă, o bomboană trebuie să cântărească cel puțin 14,5 g. Bomboanele se toarnă în forme de policarbonat, care se cumpără după latura cavității. Pentru rețeta casei, tehnologul a turnat câte un lot de probă în fiecare formă din catalog și a cântărit bomboanele: la fiecare centimetru cub de cavitate revin 1,3 g de ciocolată cu umplutură (valori din exemplu).

Tehnologul a trasat curba prin cele șase puncte. Un atelier poate face și o formă la comandă, la zecimea de milimetru, la un preț de trei ori mai mare.

Întrebare: care formă din catalog dă bomboane de cel puțin 14,5 g și ce latură ar trebui să aibă o formă la comandă, ca bomboana să atingă 14,5 g cu cât mai puțină ciocolată în plus?

De la situație la model

Notează cu $a$ latura cavității, în centimetri. Volumul cavității este $a^3$ cm³, deci masa bomboanei este $m(a)=1,3a^3$ grame. Tabelul tehnologului este tabelul de valori al acestei funcții, cu latura trecută în milimetri.

Funcția putere de exponent natural $n\ge 2$ este $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^n$. Radicalul de ordinul 3 al unui număr real $y$, scris $\sqrt[3]{y}$, este singurul număr real al cărui cub este $y$; funcția $g(y)=\sqrt[3]{y}$ are domeniul $\mathbb{R}$. Radicalul de ordinul 2, $\sqrt{y}$, este numărul pozitiv sau nul al cărui pătrat este $y$ și are domeniul $[0;+\infty )$. O funcție este strict crescătoare pe un interval dacă din $x_1<x_2$ rezultă $f(x_1)<f(x_2)$. Ea este pară dacă $f(-x)=f(x)$ pentru orice $x$ din domeniu și impară dacă $f(-x)=-f(x)$.

Ce citești pe graficul maselor?

Curba urcă tot mai repede: de la 18,5 la 20,5 mm masa crește cu 3,0 g, iar de la 24,5 la 26,5 mm, tot pentru 2 mm, crește cu 5,1 g. Curba se îndoaie în sus, deci între două puncte ale tabelului ea nu este un segment. Ea este ramura din dreapta a graficului lui $x^3$, întinsă pe verticală de 1,3 ori; formula are însă sens pentru orice număr real.

Cum se poartă puterile pare și cele impare la numere negative?

Pune alături aria unei fețe, $a^2$, și volumul, $a^3$, pe tot $\mathbb{R}$.

Pătratul dă aceeași valoare la $x$ și la $-x$: graficul lui $x^2$ este simetric față de axa $Oy$, coboară pe $(-\infty ;0]$, urcă pe $[0;+\infty )$ și nu iese sub axa $Ox$. Cubul are semnul lui $x$: graficul lui $x^3$ este simetric față de origine, urcă pe tot $\mathbb{R}$ și ia orice valoare reală. De aici vin domeniile radicalilor: un număr negativ este cubul unui număr negativ, deci are radical de ordinul 3, dar nu este pătratul niciunui număr real. Graficele se întâlnesc doar în origine și în $(1;1)$, fiindcă $x^3-x^2=x^2(x-1)$. Pe $(0;1)$ cubul e sub pătrat ($0,064<0,16$), iar după 1 e deasupra. Funcția putere de ordinul 2 apare, citită invers, la funcția radical din clasa a IX-a.

Cum treci pe grafic de la masă la latură?

Pentru drumul invers pornești de la masă, mergi pe orizontală până la curbă și cobori pe axa laturilor. Calculul face același drum: $a=\sqrt[3]{y:1,3}$. Graficele lui $x^3$ și $\sqrt[3]{x}$ își schimbă între ele coordonatele, $(p;q)$ cu $(q;p)$; desenate cu aceeași unitate pe ambele axe, ele sunt simetrice față de dreapta $y=x$. Pe foaia tehnologului o axă e în milimetri, cealaltă în grame, așa că simetria nu apare. Faptul că fiecare masă vine dintr-o singură latură e chiar injectivitatea, din lecția despre testul injectivității, iar perechea putere–radical e un caz de funcție inversă.

Metoda pas cu pas

1. Citește axele: ce mărime e pe fiecare, în ce unitate, cât valorează o linie de caroiaj și pe ce interval e desenat graficul. Dacă tabelul e în milimetri și formula în centimetri, notează conversia de la început.
2. Recunoaște funcția după formă și controlează un punct. Curba care urcă peste tot, simetrică față de origine, e un cub sau un radical de ordinul 3; cea simetrică față de axa $Oy$, cu un minim, e o putere pară; cea care pornește din origine numai spre dreapta e radicalul de ordinul 2. Punctul $(2;8)$ confirmă cubul, $(2;4)$ pătratul.
3. Citește în sensul întrebării. Pentru valoarea dintr-un punct urci pe verticală până la curbă; pentru punctul care dă o valoare mergi pe orizontala ei și notezi toate intersecțiile cu curba. La o putere pară, o orizontală deasupra axei taie curba de două ori.
4. Spune proprietatea cerută, cu unitate: domeniul, mulțimea valorilor, intersecțiile cu axele, semnul, monotonia, simetria. Apoi vezi ce păstrează situația: o latură sau un diametru nu sunt negative, dar o forță sau un curent pot avea ambele sensuri.
5. Calculează exact, fiindcă citirea e aproximativă: din $x^3=y$ rezultă $x=\sqrt[3]{y}$ pentru orice $y$; din $x^2=y$, cu $y\ge 0$, rezultă $x=\sqrt{y}$ sau $x=-\sqrt{y}$. Rotunjește în sensul situației: în sus pentru o masă minimă, în jos pentru o limită de sus.
6. Verifică: ridică rezultatul la cub sau la pătrat, compară cu datele, controlează unitățile și ordinul de mărime. La o masă minimă, valoarea regăsită trebuie să fie cel puțin cea cerută, nu doar foarte apropiată de ea.

Fișa de buzunar

$$\sqrt[3]{x^3}=x{\left(\sqrt[3]{y}\right)}^3=y$$

$$x_1<x_2⟺x_1^3<x_2^3$$

Condiții: ambele rânduri țin pentru orice numere reale, și pozitive, și negative, deci și pentru forțe sau curenți cu sens. La ordinul 2 nu mai țin: $\sqrt{x^2}=|x|$, iar $-5<3$, deși $25>9$. Verificare rapidă: ridici la cub rezultatul și trebuie să regăsești numărul de sub radical.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Forma pentru bomboanele hotelului

Domeniu: alimentar.

Enunț. Reia comanda din situația de pornire: cel puțin 14,5 g pe bomboană și formele din tabel. a) Ce formă din catalog alegi? b) Ce latură, la zecimea de milimetru, ar trebui să aibă o formă la comandă? c) Cât cântărește o cutie cu forma aleasă la a)?

Rezolvare. a) Pe grafic, orizontala de 14,5 g taie curba între 20,5 și 23,5 mm. Forma de 20,5 mm dă doar 11,2 g, iar cea de 23,5 mm dă 16,9 g, deci alegi forma de 23,5 mm. b) Din $1,3a^3=14,5$ rezultă $a^3=14,5:1,3\approx 11,154$, iar $a=\sqrt[3]{11,154}\approx 2,2343$ cm, adică 22,343 mm. Cum masa e o limită de jos, rotunjești în sus, la 22,4 mm. c) O bomboană de 23,5 mm are $1,3\cdot 2,35^3\approx 16,87$ g, deci o cutie are $16\cdot 16,87\approx 269,9$ g, cu 37,9 g peste masa netă.

Capcană. Cine rotunjește latura la cea mai apropiată zecime, 22,3 mm, obține $1,3\cdot 2,23^3\approx 14,42$ g, sub cele 14,5 g, iar cutia de 16 bomboane ar avea doar 230,7 g în loc de 232 g.

Verificare. Ridici la cub latura aleasă: $1,3\cdot 2,24^3\approx 14,61$ g, peste 14,5 g. Pe alt drum, cu milimetri cubi: $22,4^3=11239,424$ mm³, adică aproape 11,24 cm³, iar $11,24\cdot 1,3\approx 14,61$ g.

Exemplul 2 — Suportul elastic al motorului

Domeniu: auto.

Enunț. Motorul unei autoutilitare stă pe suporturi elastice. La accelerare și la frânare motorul se înclină, iar un suport e fie comprimat ($x>0$), fie întins ($x<0$). Fișa producătorului dă, pe cursa de lucru de cel mult 9 mm în fiecare sens, forța $F(x)=1,6x^3$ newtoni, cu $x$ în milimetri (valori din exemplu). a) Ce forță apare la 6 mm și la $-6$ mm? b) Ce deformare dă o apăsare de 540 N? Dar o tragere de 540 N, adică $F=-540$? c) De ce ecuația $F(x)=-540$ are soluție, iar $1,6x^2=-540$ nu?

Rezolvare. a) $F(6)=1,6\cdot 216=345,6$ N, iar $F(-6)=1,6\cdot (-216)=-345,6$ N: aceeași mărime, în sens opus, fiindcă $F$ este impară. b) La apăsare, $x^3=540:1,6=337,5$, deci $x=\sqrt[3]{337,5}\approx 6,96$ mm. La tragere, $x^3=-337,5$, deci $x=\sqrt[3]{-337,5}\approx -6,96$ mm: suportul se întinde cu aproape 7 mm. Ambele deformări intră în cursa de 9 mm. c) Un cub poate fi negativ, deci $-337,5$ are radical de ordinul 3; un pătrat nu este negativ, deci $x^2=-337,5$ nu are soluție reală.

Capcană. Cine extrage rădăcina pătrată în loc de cea de ordinul 3 scrie $\sqrt{337,5}\approx 18,4$ mm, o deformare de două ori mai mare decât cursa suportului.

Verificare. Pe alt drum, prin încadrare: $F(6)=345,6$ N și $F(7)=1,6\cdot 343=548,8$ N, deci 540 N se obține între 6 și 7 mm, mai aproape de 7, cum arată 6,96 mm.

Exemplul 3 — Grinzile noului planșeu

Domeniu: lemn.

Enunț. Un dulgher înlocuiește grinzile unui planșeu de lemn. Grinzile vechi au 45 mm lățime și 170 mm înălțime, iar cele noi trebuie să ducă, pe aceeași deschidere, o sarcină cu 40 % mai mare. Rezistența unei grinzi crește cu lățimea înmulțită cu pătratul înălțimii, iar rigiditatea, care ține săgeata în limite, cu lățimea înmulțită cu cubul înălțimii. Depozitul are grinzi de 45 mm lățime, cu înălțimile de 170, 195, 220 și 245 mm. a) Ce înălțime minimă cere rezistența? b) Ce înălțime minimă cere rigiditatea? c) Ce grindă comandă dulgherul?

Rezolvare. Lățimea rămâne aceeași, deci se compară doar puterile înălțimii, în milimetri. a) Din $h^2\ge 1,4\cdot 170^2=40460$ rezultă $h\ge 170\sqrt{1,4}\approx 201,1$ mm. b) Din $h^3\ge 1,4\cdot 170^3=6878200$ rezultă $h\ge 170\cdot \sqrt[3]{1,4}\approx 190,2$ mm. c) Grinda trebuie să îndeplinească ambele condiții, deci $h\ge 201,1$ mm. Din depozit, prima înălțime care ajunge este 220 mm, adică grinzi de 45 mm × 220 mm.

Capcană. Cine verifică doar săgeata ia grinda de 195 mm, fiindcă $195>190,2$. Rezistența ei, $195^2=38025$, rămâne însă sub cele 40 460 cerute.

Verificare. Pe alt drum, cu rapoarte: ${\left(\frac{220}{170}\right)}^2\approx 1,67$ și ${\left(\frac{220}{170}\right)}^3\approx 2,17$, ambele peste 1,4, pe când ${\left(\frac{195}{170}\right)}^2\approx 1,32$ e sub 1,4.

Exemplul 4 — Problema inversă: bilele fără etichetă

Domeniu: mecanica.

Enunț. Acum mergi invers: din cântărire afli mărimea căutată. În magazia unui atelier de întreținere au rămas trei pungi cu bile de oțel pentru rulmenți, fără etichetă. Magazionerul cântărește câte 50 de bile din fiecare pungă: 1,422 kg, 0,421 kg și 2,253 kg. O bilă de oțel cu diametrul $d$ cm are masa $4,11d^3$ grame. Catalogul are bile de 9,525; 12,7; 15,875; 19,05; 22,225 și 25,4 mm. a) Ce diametru are bila din fiecare pungă? b) Ce mărime din catalog este? c) Cu cât se schimbă diametrul dacă cântarul greșește masa cu 2 %?

Rezolvare. a) O bilă din prima pungă are $1422:50=28,44$ g, deci $d^3=28,44:4,11\approx 6,920$ și $d=\sqrt[3]{6,920}\approx 1,9056$ cm, adică 19,06 mm. La a doua, $421:50=8,42$ g dau $d\approx 12,70$ mm, iar la a treia, $2253:50=45,06$ g dau $d\approx 22,22$ mm. b) Cele mai apropiate mărimi din catalog sunt 19,05 mm, 12,7 mm și 22,225 mm. c) Diametrul vine dintr-un radical de ordinul 3, deci o masă cu 2 % mai mare dă un diametru de $\sqrt[3]{1,02}\approx 1,0066$ ori mai mare, cu doar 0,66 %.

Capcană. Cine împarte masa a 50 de bile direct la 4,11, fără să o împartă întâi la 50, obține pentru prima pungă $\sqrt[3]{1422:4,11}\approx 7,02$ cm, o bilă de 70 mm, care nu e în catalog.

Verificare. Pe alt drum, de la catalog spre cântar: 50 de bile de 19,05 mm cântăresc $50\cdot 4,11\cdot 1,905^3\approx 1420,7$ g, aproape 1 422 g, iar 50 de bile de 15,875 mm ar cântări doar circa 822 g.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Calculează, fără calculator: a) $\sqrt[3]{-3375}$; b) $\sqrt[3]{0,000729}$; c) $\sqrt[3]{\frac{512}{1331}}$; d) $\sqrt{0,0196}$.

2. Completează tabelul de valori pentru $x^3$ și $x^4$ în $x=-1,2;-0,5;0;0,5;1,2$ și trasează graficele prin aceste puncte. Care funcție e pară? Unde, în tabel, este $x^4<x^3$?

3. Graficul funcției $f(x)=x^n$, cu $n$ natural, $n\ge 2$, trece prin punctul $(-3;81)$. Află $n$, spune dacă $f$ este pară sau impară, scrie încă un punct al graficului cu ordonata 81 și calculează $f(0,2)$.

4. Care dintre expresiile $\sqrt{-27}$, $\sqrt[3]{-27}$, $\sqrt{0,36}$ și $\sqrt[3]{-0,008}$ au sens în mulțimea numerelor reale? Calculează-le pe cele care au.

Nivelul 2 — situații

5. La o fermă de vaci, balotiera presează fân în baloți rotunzi lați de 1,2 m, cu masa de aproximativ $141,4d^2$ kg la diametrul de $d$ metri (valori din exemplu).

a) Citește din tabel masa unui balot de 1,3 m. b) Încărcătorul tractorului ridică cel mult 320 kg: ce diametru maxim, la centimetru, se fixează la balotieră? c) De ce masa crește de peste 2,5 ori de la 1,15 m la 1,85 m?

6. La o stație de sortare, merele se împart după diametru; un măr de $d$ cm din soiul livezii cântărește aproximativ $0,42d^3$ grame (valori din exemplu).

a) Citește din tabel masa unui măr de 75 mm. b) Între ce diametre din tabel e un măr de 130 g? c) De la ce diametru, la milimetru, intră un măr în lotul de cel puțin 140 g cerut de un supermarket?

7. Rezistența de încălzire a unui boiler are 26,4 Ω. La curentul de $i$ amperi puterea este $P(i)=26,4i^2$ wați, iar în curent alternativ $i$ își schimbă semnul de 100 de ori pe secundă. Graficul lui $P$ trece prin $(-6;950,4)$, $(0;0)$ și $(6;950,4)$. a) Citește puterea la $-6$ A și la 6 A. De ce sunt egale? b) La ce curenți puterea este de 2 000 W? c) De ce $P$ nu are inversă pe $\mathbb{R}$, dar are pe $[0;+\infty )$?

8. Un magazin de mobilă vinde covoare rotunde din același material.

a) Calculează din tabel aria, $\frac{\pi d^2}{4}$, și prețul pe m²: care e mai avantajos? b) Ce diametru are un covor cât două de 1,4 m? c) Ce diametru, la centimetru, are un covor de 2,5 m²?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) Fie $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=\sqrt[3]{x^2+19}$. a) Arată că $g$ este pară. b) Arată că cea mai mică valoare a lui $g$ este $\sqrt[3]{19}$ și spune unde e atinsă. c) Rezolvă ecuațiile $g(x)=3$ și $g(x)=2$.

10. (Sinteză.) Un cofetar estimează masa unei bomboane de 22 mm prin media maselor de la formele de 20,5 mm și 23,5 mm din situația de pornire. a) Ce dă estimarea? b) Ce dă formula $1,3a^3$? c) Arată că, pentru $0<p<q$, $\frac{p^3+q^3}{2}-{\left(\frac{p+q}{2}\right)}^3=\frac{3(p+q)(q-p{)}^2}{8}$ și explică de ce media dă mereu prea mult.

11. (Sinteză.) La ardere, o placă de gresie se micșorează la fel pe fiecare direcție: lungimea arsă este 94 % din cea crudă (valori din exemplu). a) Cu cât la sută scade volumul plăcii? b) Ce latură trebuie să aibă placa crudă, la milimetru, ca placa arsă să aibă 333 mm? c) Altă argilă pierde 12 % din volum la ardere: ce contracție pe lungime are?

12. (Sinteză.) Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=125x^3-225x^2+135x-25$. a) Arată că $f(x)=(5x-3{)}^3+2$. b) Deduce că $f$ este strict crescătoare. c) Rezolvă ecuațiile $f(x)=11,261$ și $f(x)=0,669$.

Răspunsuri și verificări

1. a) $-15$; b) $0,09$; c) $\frac{8}{11}$; d) $0,14$. Verificare: $(-15{)}^3=-3375$ și $0,14^2=0,0196$.

2. Pentru $x^3$: $-1,728$; $-0,125$; $0$; $0,125$; $1,728$. Pentru $x^4$: $2,0736$; $0,0625$; $0$; $0,0625$; $2,0736$. Pară este $x^4$. Din tabel, $x^4<x^3$ numai la $x=0,5$. Verificare: $0,5^4=0,0625<0,125$, iar $1,2^4=2,0736>1,728$.

3. $n=4$, funcția este pară, punctul $(3;81)$ e pe grafic, iar $f(0,2)=0,0016$. Verificare: $(-3{)}^4=81$, iar $(-3{)}^3=-27$ și $(-3{)}^5=-243$ nu dau 81.

4. $\sqrt{-27}$ nu are sens; $\sqrt[3]{-27}=-3$; $\sqrt{0,36}=0,6$; $\sqrt[3]{-0,008}=-0,2$. Verificare: $(-0,2{)}^3=-0,008$.

5. a) 239,0 kg. b) $d\le \sqrt{320:141,4}\approx 1,504$ m; limita e de sus, deci 1,50 m. c) Masa crește cu pătratul diametrului: ${\left(\frac{1,85}{1,15}\right)}^2\approx 2,59$. Verificare: $141,4\cdot 1,5^2\approx 318,2$ kg, iar la 1,51 m ar fi 322,4 kg.

6. a) 177,2 g. b) Între 66 mm și 71 mm. c) $d\ge \sqrt[3]{140:0,42}\approx 6,934$ cm; rotunjit în sus, 70 mm. Verificare: $0,42\cdot 7^3\approx 144,1$ g, iar la 69 mm doar 138,0 g.

7. a) 950,4 W în ambele cazuri: puterea depinde de pătratul curentului, deci $P$ este pară. b) $i^2=2000:26,4$, deci $i\approx 8,70$ A sau $i\approx -8,70$ A, câte unul în fiecare sens. c) Pe $\mathbb{R}$ două valori opuse dau aceeași putere; pe $[0;+\infty )$, $i=\sqrt{P:26,4}$. Verificare: $26,4\cdot 8,7^2\approx 1998$ W.

8. a) Ariile sunt aproximativ 1,539 m², 3,142 m² și 4,524 m², iar prețurile pe metru pătrat sunt 168,2 lei, 155,7 lei și 154,5 lei: covorul de 2,4 m. b) Aria dublă cere diametrul de $\sqrt{2}$ ori mai mare: $1,4\sqrt{2}\approx 1,98$ m. c) $d=\sqrt{\frac{4\cdot 2,5}{\pi }}\approx 1,784$ m, adică 178 cm. Verificare: $\frac{\pi \cdot 1,98^2}{4}\approx 3,08$ m², cât două covoare de 1,539 m².

9. a) $g(-x)=\sqrt[3]{(-x{)}^2+19}=\sqrt[3]{x^2+19}=g(x)$, deci $g$ este pară. b) $x^2+19\ge 19$, iar radicalul de ordinul 3 e strict crescător, deci $g(x)\ge \sqrt[3]{19}$, cu egalitate numai la $x=0$. c) $g(x)=3$ înseamnă $x^2+19=27$, deci $x=2\sqrt{2}$ sau $x=-2\sqrt{2}$. $g(x)=2$ ar cere $x^2=-11$, deci nu are soluție. Verificare: $\sqrt[3]{19}\approx 2,668>2$.

10. a) $\frac{11,20+16,87}{2}\approx 14,04$ g. b) $1,3\cdot 2,2^3\approx 13,84$ g. c) Dezvoltând, $\frac{p^3+q^3}{2}-\frac{(p+q{)}^3}{8}=\frac{3p^3+3q^3-3p^{2}q-3p{q}^2}{8}=\frac{3(p+q)(q-p{)}^2}{8}>0$: curba se îndoaie în sus, iar segmentul stă deasupra ei. Verificare: $1,3\cdot \frac{3\cdot 4,4\cdot 0,3^2}{8}\approx 0,19$ g, chiar diferența $14,04-13,84$.

11. a) Volumul ars este $0,94^3\approx 0,8306$ din cel crud, deci scade cu aproximativ 16,9 %. b) $333:0,94\approx 354,3$ mm, deci 354 mm. c) Lungimea se înmulțește cu $\sqrt[3]{0,88}\approx 0,9583$, deci contracția pe lungime e de aproximativ 4,2 %. Verificare: $0,9583^3\approx 0,880$.

12. a) $(5x-3{)}^3+2=125x^3-225x^2+135x-27+2=125x^3-225x^2+135x-25$. b) Din $x_1<x_2$ rezultă $5x_1-3<5x_2-3$, apoi cuburile păstrează ordinea, deci $f(x_1)<f(x_2)$. c) Prima ecuație cere un cub egal cu $9,261=2,1^3$, deci $x=(3+2,1):5=1,02$; a doua cere un cub egal cu $-1,331=(-1,1{)}^3$, deci $x=(3-1,1):5=0,38$. Verificare: $5\cdot 1,02-3=2,1$, iar $2,1^3+2=11,261$.

Așa vine la Bac M3

Legătura dintre funcția putere de gradul al treilea și funcția radical de ordin 3 nu a apărut în probele 2013–2026, deși este cuprinsă în programa de examen. În programa pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), funcția putere $x^n$ și funcțiile radical de ordinul 2 și 3 deschid lista de conținuturi a blocului „Funcții și ecuații” din clasa a X-a, înaintea exponențialei și a logaritmului; tot acolo e fixat domeniul radicalului: $\mathbb{R}$ la ordinul 3, $[0;+\infty )$ la ordinul 2. Printre cerințele celor 83 de probe oficiale, strânse în indexul nostru, niciuna nu are această temă, nici ca temă principală, nici ca temă secundară. Radicalul de ordinul 2 a ajuns totuși în probe, pe alt drum: în 31 de probe, cerința 3 din Subiectul I a fost o ecuație cu radical, pe care o lucrezi în lecția despre ecuații cu radicali și verificarea soluțiilor.

Așadar aici nu stă nicio cerință reală, iar locul ei nu îl ia una inventată. Exercițiile 9–12, notate (Sinteză.), leagă radicalul de ordinul 3 de paritate, de convexitatea curbei, de contracția gresiei la ardere și de cubul unui binom. Lecțiile vecine le găsești pe pagina clasei a X-a de la tehnologic.

Greșeli care costă puncte

• Folosești latura în milimetri în formula maselor → $1,3\cdot 23,5^3\approx 16871$ g, adică aproape 17 kg pentru o bomboană; cum o prinzi: treci latura în centimetri și controlezi ordinul de mărime, fiindcă o bomboană are câteva grame.
• Rotunjești latura formei la comandă la cea mai apropiată zecime → la 22,3 mm bomboana are 14,42 g, sub cele 14,5 g; cum o prinzi: ridici la cub latura rotunjită și compari cu masa cerută.
• Pierzi semnul la tragerea suportului și scrii $\sqrt[3]{-337,5}=6,96$ → suportul ar părea comprimat, nu întins; cum o prinzi: $6,96^3$ e pozitiv, nu $-337,5$.
• Verifici grinda numai la săgeată → alegi 195 mm, deși rezistența cere cel puțin 201,1 mm; cum o prinzi: calculezi ambele înălțimi minime și iei maximul.

Programa și examenul

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: legătura dintre funcția putere de gradul al treilea și funcția radical de ordin 3 face parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a X-a), deși programa nouă a clasei a X-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu o conține sau o conține doar în parte. În probele oficiale 2013–2026 nu a apărut încă; fiind în programă, poate fi cerută. Pentru Bacalaureatul din 2030 (MAT_P3–MAT_P6) tema nu este în programa de examen.

Întrebări frecvente

Ce formă din catalog alegi pentru bomboane de cel puțin 17 g?

Forma de 24,5 mm, care dă 19,1 g; cea de 23,5 mm dă doar 16,9 g. Latura exactă pentru 17 g este $\sqrt[3]{17:1,3}\approx 2,356$ cm, adică 23,6 mm, deci la forma de 24,5 mm fiecare bomboană are peste 2 g în plus.

Cum verifică ciocolateria că bomboanele ies cât spune formula?

Cântărește 20 de bomboane dintr-un lot turnat în forma de 23,5 mm și compară cu $20\cdot 16,87\approx 337$ g. Dacă ies mai ușoare, de pildă 326 g, ganache-ul a prins aer sau formele nu s-au umplut; coeficientul rețetei scade atunci la $16,3:2,35^3\approx 1,26$ g/cm³ și latura minimă se recalculează.

De câte ori crește folia de decor când treci de la forma de 20,5 mm la cea de 26,5 mm?

Aria unei fețe crește cu pătratul laturii, deci de ${\left(\frac{26,5}{20,5}\right)}^2\approx 1,67$ ori, iar masa crește cu cubul ei, de ${\left(\frac{26,5}{20,5}\right)}^3\approx 2,16$ ori. Raportată la ciocolată, folia scade la formele mari, fiindcă fiecare gram de bomboană primește mai puțină folie.

Cât costă ciocolateria comanda dacă alege forma de 23,5 mm în loc de una la comandă?

Cu forma de 23,5 mm o cutie are 269,9 g, iar cu cea de 22,4 mm ar avea $16\cdot 14,61\approx 233,8$ g. Cei 36,2 g în plus pe cutie fac, la 400 de cutii, aproape 14,5 kg de ciocolată cu umplutură, de pus alături de prețul triplu al formelor la comandă.

Ce spune programa Bacalaureatului M3 (M_tehnologic) despre funcția radical de ordinul 3?

O pune pe primul rând de conținuturi al blocului „Funcții și ecuații” din clasa a X-a, împreună cu funcția putere și cu regula domeniului: tot $\mathbb{R}$ la ordinul 3, numai $[0;+\infty )$ la ordinul 2. După indexul celor 83 de probe din 2013–2026, nicio cerință nu a avut-o ca temă; fiind în programă, poate fi cerută.