Debitul de lapte $$f$$ (în litri pe minut) al unei instalații de muls dintr-o fermă de vaci, la momentele $$t = -8, -4, 0, 4, 8$$ minute față de vârful mulsului, este $$9; 14; 18; 14; 10$$. Domeniul este $$\{-8, -4, 0, 4, 8\}$$. Ce se poate spune despre funcția $$f$$?

Nu este nici pară, nici impară: valorile de la $$\pm 8$$ min diferă, $$9$$ și $$10$$

Este pară, fiindcă valorile de la $$\pm 4$$ min sunt egale

Este pară, fiindcă $$f(0) = 18$$ este diferit de $$0$$

Este impară, fiindcă domeniul este simetric

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Funcții mărginite, pare, impare

Cum citesc limitele unei funcții mărginite?

Identifici punctul graficului aflat cel mai jos și pe cel aflat cel mai sus; ordonatele lor sunt $m$ și $M$ cu $m \leq f (x) \leq M$ pe tot domeniul. Exemplu: linia frântă prin $(- 3; 2)$ , $(0; 9)$ , $(2; - 4)$ și $(5; 6)$ are punctul cel mai jos la $- 4$ și cel mai de sus la $9$ , deci $- 4 \leq f \leq 9$ . Proba: toate vârfurile au ordonate între $- 4$ și $9$ .

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a IX-a → ·

Mărginită se numește funcția al cărei grafic poate fi închis între două orizontale: există $m$ și $M$ cu $m \leq f (x) \leq M$ pe tot domeniul. Le citești căutând cel mai jos și cel mai sus punct al curbei și le scrii cu unitatea. Dacă graficul urcă sau coboară fără oprire, într-o parte nu există margine.

Paritatea cere întâi un domeniu simetric față de $0$ : odată cu fiecare număr trebuie să fie în domeniu și opusul lui. Apoi cauți perechea fiecărui punct $(a; b)$ la momentul opus. Dacă este $(- a; b)$ , funcția este pară, iar graficul e simetric față de axa $O y$ ; dacă este $(- a; - b)$ , funcția este impară, iar graficul e simetric față de origine.

Verificarea se face pe mai multe perechi, nu pe una, iar valorile se compară cu semnul lor: valori de același modul, dar de semne diferite, nu fac funcția pară. Dacă $0$ aparține domeniului, o funcție impară trebuie să dea acolo exact $0$ , dar reciproca nu e adevărată. Pe un domeniu nesimetric nu judeci paritatea.

Răspunsul final îl scrii cu unități, de pildă «între $- 9$ V și $9$ V, impară», și îl verifici: valorile extreme trebuie să fie ordonatele unor puncte de pe grafic.

De reținut

$m \leq f (x) \leq M$ pe tot domeniul
limitele se citesc la cel mai jos și la cel mai sus punct al graficului
o limită poate fi atinsă sau nu; valoarea atinsă este cea mai mare, respectiv cea mai mică

Greșeala tipică

Se ia cea mai mare valoare dintr-un tabel drept maximul funcției, deși între două puncte curba poate urca mai sus. Limitele se citesc pe grafic sau se justifică printr-o formulă.

Exerciții din această mini-lecție

Debitul de lapte $f$ (în litri pe minut) al unei instalații de muls dintr-o fermă de vaci, la momentele $t = - 8, - 4, 0, 4, 8$ minute față de vârful mulsului, este $9; 14; 18; 14; 10$ . Domeniul este ${- 8, - 4, 0, 4, 8}$ . Ce se poate spune despre funcția $f$ ?
- a) Este pară, fiindcă valorile de la $\pm 4$ min sunt egale
- b) Nu este nici pară, nici impară: valorile de la $\pm 8$ min diferă, $9$ și $10$
- c) Este pară, fiindcă $f (0) = 18$ este diferit de $0$
- d) Este impară, fiindcă domeniul este simetric
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Nu este nici pară, nici impară: valorile de la $\pm 8$ min diferă, $9$ și $10$

Domeniul este simetric, deci verifici perechile una câte una. La $\pm 4$ min valorile coincid, dar la $\pm 8$ min sunt $9$ și $10$ , diferite, deci funcția nu este pară; nu este nici impară, fiindcă $f (0) = 18 \neq = 0$ . Prima variantă se oprește la prima pereche care se potrivește. A treia confundă $f (0) \neq = 0$ cu paritatea, iar a patra presupune că un domeniu simetric ajunge pentru imparitate.
Profilul unei plăci de lemn este simetric față de axa ei mediană. Înălțimea plăcii, în mm, la distanța $x$ cm de axă, cu $x \in [- 5; 5]$ , este o funcție pară $h$ . Pe partea dreaptă, pentru $0 \leq x \leq 5$ , avem $h (x) = 3 x + 2$ . Cât este $h (- 4)$ ?
- a) $- 14$ mm
- b) $14$ mm
- c) $- 10$ mm
- d) $2$ mm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $14$ mm

Funcția este pară, deci $h (- 4) = h (4) = 3 \cdot 4 + 2 = 14$ mm. Valoarea $- 14$ mm ar corespunde unei funcții impare. Valoarea $- 10$ mm rezultă din aplicarea formulei $3 x + 2$ pe partea stângă, unde ea nu mai este dată. Valoarea $2$ mm este $h (0)$ .
Profitul lunar $P$ al unei firme, în mii de lei, respectă $3, 2 \leq P \leq 7, 6$ . Venitul patronului este $V = 850 P - 1200$ lei: $850$ de lei din fiecare mie de lei profit, minus o taxă fixă de $1200$ de lei. Între ce limite se află $V$ ?
- a) $[3, 2; 7, 6]$ lei
- b) $[2720; 6460]$ lei
- c) $[5260; 1520]$ lei
- d) $[1520; 5260]$ lei
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $[1520; 5260]$ lei

Formula $P \mapsto 850 P - 1200$ este crescătoare, deci limitele se transformă în același sens: $850 \cdot 3, 2 - 1200 = 1520$ și $850 \cdot 7, 6 - 1200 = 5260$ . Intervalul $[3, 2; 7, 6]$ nu transformă limitele. Intervalul $[2720; 6460]$ uită taxa fixă de $1200$ de lei, iar $[5260; 1520]$ pune limitele în ordine inversă.

Întrebări conexe

Se schimbă mărginirea dacă restrâng domeniul?

Da. Pe o parte mai mică a domeniului valorile pot rămâne între două limite. Funcția $f (x) = 3 x$ nu este mărginită pe $R$ , dar pe $[- 2; 5]$ ia valori între $- 6$ și $15$ , deci acolo este mărginită.

Dau valorile dintr-un tabel limitele funcției?

Nu întotdeauna. Pentru valorile $17, 38, 23, 8$ și $45$ cea mai mică este $8$ , iar cea mai mare $45$ , dar între două puncte ale tabelului graficul poate ieși din aceste limite. Le poți afirma sigur numai dacă știi forma curbei sau ai o formulă.

Cum compar două funcții mărginite după bandă?

Lățimea benzii este $M - m$ , adică distanța dintre cele două limite. Pentru $- 7 \leq f \leq 6$ ea este $6 - (- 7) = 13$ , iar pentru $3 \leq g \leq 15$ este $15 - 3 = 12$ . Funcția $g$ variază mai puțin, chiar dacă valorile ei sunt mai mari.

Cum scriu limitele unei mărimi cu unitate?

Pui cea mai mică valoare în stânga și cea mai mare în dreapta, apoi unitatea la fiecare sau la ambele. Temperatura unui cuptor care stă între $180$ și $240$ de grade se scrie $180^{\circ} C \leq T \leq 240^{\circ} C$ . Unitatea trebuie să fie aceeași la ambele limite.

Unde apar limitele unei funcții liniare pe interval?

La capetele intervalului, fiindcă o funcție liniară este fie crescătoare, fie descrescătoare pe tot domeniul. Pentru $f (x) = - 2 x + 5$ pe $[1; 6]$ , valorile de la capete sunt $f (1) = 3$ și $f (6) = - 7$ , deci $- 7 \leq f \leq 3$ ; între capete valorile stau între aceste două numere.

Oamenii mai întreabă și: cum citesc minimul și maximul de pe grafic · funcție mărginită citită pe grafic · între ce valori se află o funcție · cum văd că o curbă încape între două orizontale