Funcții mărginite și funcții pare, tehnologic

Un tehnician nu se uită doar la valorile izolate ale unui semnal. Vrea să știe între ce limite rămâne tensiunea și dacă jumătatea din dreapta a ecranului repetă, în oglindă, jumătatea din stânga. Lecția, scrisă pentru clasa a IX-a de la filiera tehnologică, te învață să citești aceste două lucruri direct de pe grafic. Lectura pe grafic a mărginirii și a parității este cuprinsă în programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic).

Situația de pornire

La un atelier de întreținere a automatizărilor, un tehnician verifică circuitul de protecție de la intrarea unui automat programabil. Intrarea acceptă tensiuni între −9,1 V și 9,1 V; un limitator cu două diode Zener legate în opoziție taie ce depășește aceste limite. Tehnicianul trimite un semnal de test triunghiular și vede pe osciloscop două curbe pe aceleași axe: tensiunea de la intrare, $u$, și cea de la ieșirea circuitului, $v$. Aparatul e reglat ca $t=0$ să cadă la mijlocul ecranului, care arată 8 ms: de la $t=-4$ ms la $t=4$ ms. Tabelul dă tensiunile din dreptul fiecărei diviziuni.

Întrebare: între ce valori rămâne tensiunea de la ieșire, este curba ei oglinda sa față de axa verticală sau față de origine, și în ce momente cele două curbe coincid?

De la situație la model

Tabelul traduce ce vede tehnicianul în limbajul funcțiilor; $t$ este momentul citit pe ecran, față de mijlocul lui.

O funcție este mărginită dacă graficul ei încape între două orizontale: există numerele $m$ și $M$ astfel încât $m\le f(x)\le M$ la orice $x$ din domeniu. O funcție este pară dacă domeniul ei este simetric față de $0$ și $f(-x)=f(x)$ pentru orice $x$ din domeniu, și impară dacă domeniul este simetric și $f(-x)=-f(x)$. Domeniul simetric față de $0$ conține odată cu orice $x$ și opusul lui, $-x$.

Cum recunoști pe grafic o funcție mărginită?

Cauți cea mai joasă și cea mai înaltă parte a curbei. Intrarea $u$ coboară până la −13 V și urcă până la 13 V, deci $-13\le u(t)\le 13$. Ieșirea $v$ stă între −9,1 V și 9,1 V, iar 9,1 V e atins pe $[1,4;2,6]$: e cea mai mare valoare. Dacă graficul urcă fără oprire, nu există margine superioară: un condensator încărcat cu curent constant dă $r(t)=3,6t$ volți pentru $t\ge 0$ ms, iar curba depășește orice orizontală; în aparat, tensiunea se oprește la cea de alimentare.

Cum se vede pe grafic o funcție pară?

Alegi un punct $(a;b)$ al curbei, cu coordonatele citite ca în lecția despre reperul cartezian, și cauți punctul de la momentul opus, $-a$. La o funcție pară perechea lui este $(-a;b)$: aceeași înălțime, abscise opuse, deci punctele sunt simetrice față de axa $Oy$. O pereche care se potrivește nu dovedește paritatea, dar una care nu se potrivește o respinge.

Cum se vede pe grafic o funcție impară?

Perechea lui $(a;b)$ este acum $(-a;-b)$: abscisă și înălțime opuse. Punctele sunt simetrice față de origine, iar curba rămâne la fel dacă o rotești cu $180^{\circ }$ în jurul ei. La $v$, punctul $(2;9,1)$ are perechea $(-2;-9,1)$, iar $(1;6,5)$ are perechea $(-1;-6,5)$. Dacă $0$ e în domeniu, o funcție impară are acolo valoarea $0$, fiindcă singurul număr egal cu opusul lui este zero. Invers nu merge: o curbă care trece prin origine nu e neapărat impară. O dreaptă prin origine, ca graficul din lecția despre funcția de gradul I, este însă impară: din $f(x)=ax$ rezultă $f(-x)=-ax=-f(x)$.

De ce contează fereastra ecranului?

Dacă ecranul ar arăta de la −3 ms la 5 ms, domeniul n-ar fi simetric: conține 5, dar nu conține −5. Atunci nu există $f(-5)$ de comparat, iar funcția nu este nici pară, nici impară. Generatorul $r(t)=3,6t$ doar pentru $t\ge 0$ nu este impar; aceeași formulă pe $[-4;4]$ ar fi.

Metoda pas cu pas

1. Citește axele și fereastra: ce măsoară fiecare axă, în ce unități, între ce valori ale lui $t$ există graficul. Scrie domeniul, de pildă $[-4;4]$ ms.
2. Pentru mărginire, citește cea mai joasă și cea mai înaltă parte a curbei și scrie $m\le f\le M$, cu unitatea. Vezi dacă acele valori sunt atinse, adică dacă există un punct al graficului chiar la înălțimea respectivă. Dacă graficul urcă sau coboară fără oprire, funcția nu e mărginită în acel sens: oricât de departe ai trasa o orizontală, curba o depășește.
3. Pentru simetrie, verifică întâi domeniul. Dacă nu e simetric față de $0$, nu judeci paritatea: funcția nu e nici pară, nici impară, oricât de simetrică ți-ar părea curba.
4. Cu domeniul simetric, ia mai multe puncte ale curbei, de preferat vârfurile și punctele din tabel, și caută perechea fiecăruia la momentul opus. Aceeași înălțime la toate perechile înseamnă pară, înălțimi opuse la toate înseamnă impară, altfel nici una. Compară valorile cu semnul lor, nu doar mărimile, și nu te opri la prima pereche care se potrivește.
5. Scrie răspunsul cu unități, de exemplu „între −9,1 V și 9,1 V, impară”. Pentru valori între două puncte ale tabelului, unde graficul e un segment, vezi citirea graficului.
6. Verifică: la o funcție impară cu $0$ în domeniu, valoarea în $0$ trebuie să fie $0$, iar valorile extreme trebuie să fie înălțimile unor puncte de pe grafic (la o linie frântă, ale unor vârfuri). Dacă o singură pereche strică simetria, recitește tabelul: poate o măsurătoare e greșită, ca termometrul defect dintr-un cuptor. Verifică și unitatea răspunsului.

Fișa de buzunar

$$m\le f(x)\le M\text{(ma˘rginita˘)}$$

$$f(-x)=f(x)\text{(para˘)}f(-x)=-f(x)\text{(impara˘)}$$

Relațiile trebuie să fie valabile pentru orice $x$ din domeniu, iar paritatea cere domeniul simetric față de $0$. Pară înseamnă simetrie față de axa $Oy$, impară înseamnă simetrie față de origine; o funcție mărginită are graficul între două orizontale. Verificare rapidă: perechea lui $(a;b)$ este $(-a;b)$ la pară și $(-a;-b)$ la impară.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Semnalul de test și ieșirea limitatorului

Domeniu: electric.

Enunț. Folosește tabelul din situația de pornire. a) Între ce valori stă $u$ și între ce valori stă $v$? Care respectă limitele de ±9,1 V ale automatului? b) Sunt $u$ și $v$ pare, impare sau nici una? c) Când este $v(t)=u(t)$? d) Când atinge $v$ valoarea 9,1 V?

Rezolvare. a) $-13\le u(t)\le 13$ și $-9,1\le v(t)\le 9,1$. Doar $v$ respectă limitele automatului; $u$ le depășește cu $13-9,1=3,9$ V.

b) Domeniul $[-4;4]$ este simetric. Perechile ±1, ±2 și ±3 ms au valori opuse la ambele funcții, de pildă 13 și −13 la $u$, 9,1 și −9,1 la $v$, iar $u(0)=v(0)=0$. Ambele sunt impare, nu pare.

c) Curbele coincid unde $|u(t)|\le 9,1$. Pe $[-2;2]$ intrarea urcă cu 6,5 V pe ms, deci $|u(t)|\le 9,1$ pentru $|t|\le 1,4$. Între 2 și 4 ms ea coboară de la 13 V tot cu 6,5 V pe ms, deci trece de 9,1 V la $t=2,6$; simetric, la −2,6. Deci $v(t)=u(t)$ pentru $t\in [-4;-2,6]\cup [-1,4;1,4]\cup [2,6;4]$.

d) $v(t)=9,1$ pentru $t\in [1,4;2,6]$, timp de 1,2 ms.

Capcană. Cine vede la ±2 ms valorile 9,1 și −9,1, cu același modul, poate scrie că $v$ este pară. Dar $v(-2)=-9,1$, iar $v(2)=9,1$: pară ar cere valori egale. Valorile sunt opuse, deci funcția e impară.

Verificare. Prin înlocuire pe segmentele intrării: $u(1,4)=6,5\cdot 1,4=9,1$ V și $u(2,6)=13-6,5\cdot 0,6=9,1$ V. Cele două momente stau la câte 0,6 ms de o parte și de alta a vârfului de la 2 ms, cum cere forma triunghiului.

Exemplul 2 — Sarcina admisă a unei macarale

Domeniu: constructii.

Enunț. Diagrama de sarcini a unei macarale-turn dă sarcina maximă admisă $q(x)$, în tone, la raza $x$, în metri, măsurată de la axul turnului. Graficul este linia frântă prin $(4;9,6)$, $(14;9,6)$, $(26;5,4)$, $(38;3)$ și $(50;1,8)$. Pe șantier trebuie ridicate un panou prefabricat de 4,2 t și o grindă de 7,5 t. a) Între ce valori stă sarcina admisă? Este funcția mărginită? b) Până la ce rază ridică macaraua panoul și până la ce rază grinda?

Rezolvare. a) Cel mai înalt punct este 9,6 t, pe $[4;14]$, iar cel mai de jos este 1,8 t, la 50 m. Deci $1,8\le q(x)\le 9,6$ și funcția e mărginită. Domeniul $[4;50]$ nu este simetric față de $0$, deci despre paritate nici nu se pune întrebarea.

b) Pentru panou rezolvăm $q(x)=4,2$. Valoarea 4,2 e pe segmentul de la $x=26$ la $x=38$, unde sarcina scade cu $\frac{5,4-3}{12}=0,2$ t pe metru. De la 5,4 la 4,2 sunt 1,2 t, adică $1,2:0,2=6$ m, deci $x=26+6=32$ m. Panoul se ridică la razele de la 4 m până la 32 m, unde $q(x)\ge 4,2$. Pentru grindă, valoarea 7,5 e pe segmentul de la $x=14$ la $x=26$, unde sarcina scade cu $\frac{9,6-5,4}{12}=0,35$ t pe metru. De la 9,6 la 7,5 sunt 2,1 t, adică $2,1:0,35=6$ m, deci $x=14+6=20$ m.

Capcană. Cine caută 4,2 pe axa razelor, nu pe cea a sarcinilor, citește $q(4,2)=9,6$ t și crede că macaraua ridică panoul la orice rază. Sarcina de 4,2 t e o ordonată; raza căutată e abscisa punctului în care curba o atinge.

Verificare. Din celălalt capăt al segmentului: $q(32)=3+0,2\cdot (38-32)=4,2$ și $q(20)=5,4+0,35\cdot (26-20)=7,5$. Cu cât ridici mai greu, cu atât raza scade: 32 m pentru 4,2 t, 20 m pentru 7,5 t.

Exemplul 3 — Unghiul roților față de volan

Domeniu: auto.

Enunț. La un service, direcția unui autoturism se verifică pe standul de geometrie. Tehnicianul rotește volanul cu $s$ rotații, negativ spre stânga, și citește unghiul mediu al roților din față, $\alpha$, în grade. Pentru $s=-1,5$; $-1$; $-0,5$; $0$; $0,5$; $1$ și $1,5$ rotații, standul arată $\alpha =-31,8$; $-21,2$; $-10,6$; $0$; $10,6$; $21,2$ și $31,8$ grade. Volanul face cel mult 1,5 rotații în fiecare sens. a) Scrie domeniul în grade ale volanului și arată că $\alpha$ este impară. b) Între ce valori stă unghiul roților? c) De câte ori se rotește volanul mai mult decât roțile, la capătul cursei, rotunjit la un număr întreg?

Rezolvare. a) O rotație are $360^{\circ }$, deci 1,5 rotații înseamnă $1,5\cdot 360=540^{\circ }$ și domeniul este $[-540^{\circ };540^{\circ }]$, simetric față de $0$. Perechile din tabel au valori opuse, de pildă −21,2 și 21,2, iar $\alpha (0)=0$, deci $\alpha$ e impară.

b) $-31,8\le \alpha \le 31,8$ grade, cu marginile atinse la capetele cursei.

c) La capăt volanul s-a rotit cu 540°, iar roțile cu 31,8°: $540:31,8\approx 16,98$, adică aproximativ 17. La 17 grade de volan, roțile se rotesc cu un grad.

Capcană. Cine împarte 31,8 la 1,5 obține 21,2 și scrie raportul 21, amestecând gradele roților cu rotațiile volanului. Rotațiile se trec întâi în grade: 1,5 rotații = 540°, iar raportul este 17.

Verificare. Valoarea de la 1,5 rotații este de trei ori cea de la 0,5 rotații: $3\cdot 10,6=31,8$. Raportul 17 dă $17\cdot 31,8=540,6$, apropiat de 540.

Exemplul 4 — Problema inversă: ce clin a pus reglajul valțurilor

Domeniu: mecanica.

Enunț. De data aceasta pornești de la măsurători și cauți ce a produs defectul. O linie de laminare ar trebui să dea tablă cu profilul grosimii simetric față de axa benzii. Controlorul măsoară grosimea $h$, în mm, la $x$ mm de axă, negativ spre stânga: pentru $x=-300$; $-200$; $-100$; $0$; $100$; $200$ și $300$ găsește $h=1,90$; $1,97$; $2,02$; $2,06$; $2,06$; $2,05$ și $2,02$. a) Este $h$ pară? b) Cu cât diferă $h(x)-h(-x)$ la distanțe egale de axă? c) Ce clin trebuie corectat la valțuri, adică cu câți mm se îngroașă tabla la fiecare 100 mm de lățime, spre dreapta?

Rezolvare. a) Domeniul $[-300;300]$ este simetric, dar perechile nu se potrivesc: $h(100)=2,06$, iar $h(-100)=2,02$. Deci $h$ nu e pară.

b) $h(100)-h(-100)=0,04$, $h(200)-h(-200)=0,08$ și $h(300)-h(-300)=0,12$ mm. Diferențele cresc proporțional cu distanța de la axă: banda are un clin, cu marginea dreaptă mai groasă.

c) Punctele $x$ și $-x$ stau la $2x$ unul de altul. Deci 0,04 mm pe 200 mm, 0,08 mm pe 400 mm și 0,12 mm pe 600 mm dau toate $0,02$ mm la fiecare 100 mm. Clinul de corectat este de 0,02 mm la 100 mm, adică 0,12 mm pe toată lățimea de 600 mm.

Capcană. Cine vede că $h$ nu e pară poate conchide că e impară. Dar $h(0)=2,06\ne 0$, iar o funcție impară cu $0$ în domeniu ar avea acolo valoarea $0$. Grosimea nu e nici pară, nici impară.

Verificare. Scoatem clinul: spre dreapta scădem 0,02 mm la fiecare 100 mm, spre stânga adunăm. Rezultă $2,06-0,02=2,02+0,02=2,04$, apoi $2,05-0,04=1,97+0,04=2,01$ și $2,02-0,06=1,90+0,06=1,96$: perechile devin egale, iar profilul rămas e simetric.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Graficul funcției $g:[-6;6]\to \mathbb{R}$ unește, în ordine, punctele $(-6;-2)$, $(-3;5)$, $(0;1)$, $(3;5)$ și $(6;-2)$. a) Citește $g(-3)$ și $g(6)$. b) Află cea mai mică și cea mai mare valoare. c) Este $g$ pară, impară sau nici una?

2. Sunt punctele fiecărei perechi simetrice față de axa $Oy$, față de origine sau față de niciuna? a) $(8;3)$ și $(-8;3)$; b) $(5;-6)$ și $(-5;6)$; c) $(7;4)$ și $(-7;-3)$.

3. Trei tabele dau valori pe $[-3;3]$, pentru $x=-3,-2,-1,0,1,2,3$. Tabelul A: $17;8;3;2;3;8;17$. Tabelul B: $-13;-6;-1;0;1;6;13$. Tabelul C: $12;5;1;0;2;7;15$. Poate fi fiecare funcție pară, impară sau nici una?

4. Este funcția mărginită? Dacă da, ce valori extreme citești? a) Pe $\mathbb{R}$, graficul e o dreaptă care urcă 3 unități la fiecare unitate. b) Pe $[-2;7]$, graficul e linia frântă prin $(-2;4)$, $(1;-3)$ și $(7;6)$. c) Pe $\mathbb{R}$, graficul rămâne între dreptele $y=-4$ și $y=11$.

Nivelul 2 — situații

5. Un cuptor-tunel pentru biscuiți are două zone identice, așezate simetric față de mijloc. Tabelul dă temperaturile, în °C, la $x=-6,-4,-2,0,2,4,6$ m de mijloc, negativ spre intrare: $148;197;236;243;236;179;148$. a) Este funcția pară? b) Un termometru portabil confirmă citirea de la −4 m. Care termocuplu e defect și ce ar trebui să arate? c) Între ce temperaturi stă funcția, corectată?

6. Concentrația $c(x)$ a unui poluant, în $\mu$g/m³, se măsoară de-a curmezișul panei de fum a unui coș, la $x$ metri de axa ei, negativ în stânga. Graficul unește $(-300;11)$, $(-150;38)$, $(0;74)$, $(150;38)$ și $(300;11)$; limita admisă e $50$ $\mu$g/m³. a) Este $c$ pară sau impară? b) Între ce valori stă? c) Rezolvă $c(x)=50$. d) Unde depășește limita?

7. Pe osciloscop se citește tensiunea $z$, în V, la $t=-3,-2,-1,0,1,2,3$ ms: $-1,5;-3,9;-7,1;0,9;8,9;5,7;3,3$. Fără defect, semnalul ar fi impar. a) Este $z$ pară sau impară? b) Ce tensiune continuă s-a suprapus? c) Între ce valori stă semnalul după ce o scazi?

8. Temperatura unui amestec dintr-un reactor, în °C, la $t$ minute după pornire, are graficul prin $(0;24)$, $(13;63)$, $(29;95)$, $(41;95)$ și $(59;41)$. Reactivul se dizolvă la cel puțin $77$ °C. a) Între ce valori stă temperatura? b) Când e de $77$ °C? c) Are sens să întrebi dacă funcția e pară?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) Funcția $h:[-6;6]\to \mathbb{R}$ este impară. Pe $[0;6]$ graficul ei este linia frântă prin $(0;0)$, $(2;7)$, $(4;7)$ și $(6;1)$. a) Calculați $h(-4)$ și $h(-6)$. b) Determinați mulțimea valorilor lui $h$. c) Rezolvați ecuația $h(x)=7$.

10. (Sinteză.) Semnalul impar $u$ al unui generator are pe $[0;4]$ graficul prin punctele $(0;0)$, $(1;6)$, $(3;-4)$ și $(4;0)$. Un redresor dă $r(t)=|u(t)|$, pentru $t\in [-4;4]$. a) Calculați $r(1)$, $r(-1)$, $r(3)$ și $r(-3)$. b) Arătați că $r$ este pară. c) Determinați cea mai mică și cea mai mare valoare a lui $r$.

11. (Sinteză.) Un senzor dă tensiunea $p(x)=0,85x$ volți, unde $x\in [-8;8]$ este poziția cursorului, în cm, față de mijlocul cursei. a) Arătați că $p$ este impară. b) Aflați cea mai mică și cea mai mare tensiune. c) După o reglare greșită, aparatul dă $q(x)=0,85x+1,7$. Mai este $q$ impară? Aflați $x$ pentru care $q(x)=0$.

12. (Sinteză.) Un generator dă $s(t)=5,2$ V pentru $|t|<1,5$ ms, $s(t)=-5,2$ V pentru $1,5<|t|\le 3$ ms și $s(\pm 1,5)=0$. a) Arătați că $s$ este pară. b) Determinați mulțimea valorilor lui $s$. c) Determinați intervalul pe care $s(t)\ge 0$.

Răspunsuri și verificări

1. a) $g(-3)=5$, $g(6)=-2$. b) $-2$ la $x=\pm 6$ și $5$ la $x=\pm 3$. c) Pară, nu impară, fiindcă $g(0)=1\ne 0$. Verificare: perechile $(\pm 3;5)$ și $(\pm 6;-2)$ au aceeași înălțime.

2. a) $Oy$. b) Origine. c) Niciuna: $4\ne -3$ și $4\ne 3$. Verificare: mijlocul de la a) e $(0;3)$, pe $Oy$.

3. A pară, nu impară, fiindcă $A(0)=2\ne 0$. B impară: valori opuse la $\pm 1,\pm 2,\pm 3$ și $B(0)=0$. C nici una: la $\pm 1$ apar $1$ și $2$, deși $C(0)=0$. Verificare: $A(-2)=A(2)=8$ și $B(-2)+B(2)=0$.

4. a) Nu. b) Da, minimul $-3$ la $x=1$, maximul $6$ la $x=7$. c) Da, între $-4$ și $11$, dar valorile extreme nu se citesc din bandă. Verificare: la b) vârfurile sunt în $[-3;6]$.

5. a) Nu: $197$ °C la $-4$ m, $179$ °C la $4$ m. b) Termocuplul de la $x=4$ m; ar trebui $197$ °C. c) Între $148$ și $243$ °C. Verificare: $236=236$ și $148=148$ se potrivesc deja.

6. a) Pară: $c(-150)=c(150)=38$, iar $c(0)=74\ne 0$. b) Între $11$ și $74$ $\mu$g/m³. c) Pe $[0;150]$ scade cu $\frac{74-38}{150}=0,24$ pe metru, iar de la $74$ la $50$: $24:0,24=100$, deci $x=\pm 100$ m. d) Pe $(-100;100)$, lat de $200$ m. Verificare: $c(100)=74-0,24\cdot 100=50$.

7. a) Nici una: $z(-1)=-7,1$ și $z(1)=8,9$ nu sunt nici egale, nici opuse. b) Un semnal impar are în $0$ valoarea $0$, iar aici $z(0)=0,9$: tensiunea continuă e de $0,9$ V. c) Rămân $-2,4;-4,8;-8;0;8;4,8;2,4$, între $-8$ V și $8$ V. Verificare: valorile rămase sunt opuse două câte două.

8. a) Între $24$ și $95$ °C. b) Pe $[13;29]$ urcă cu $\frac{95-63}{16}=2$ °C pe minut: de la $63$ la $77$ trec $7$ min, deci $t=20$. Pe $[41;59]$ scade cu $\frac{95-41}{18}=3$ °C pe minut: de la $95$ la $77$ trec $6$ min, deci $t=47$. c) Nu: domeniul $[0;59]$ nu conține $-59$. Verificare: $63+2\cdot 7=77$ și $95-3\cdot 6=77$.

9. a) $h(-4)=-h(4)=-7$ și $h(-6)=-h(6)=-1$. b) Pe $[0;6]$ valorile umplu $[0;7]$, iar pe $[-6;0]$ sunt opusele lor, deci mulțimea valorilor este $[-7;7]$. c) Valoarea $7$ e pe segmentul orizontal: $x\in [2;4]$. Verificare: $h(2)=h(3)=h(4)=7$.

10. a) $r(1)=|6|=6$, $r(-1)=|-6|=6$, $r(3)=|-4|=4$, $r(-3)=|4|=4$. b) Domeniul $[-4;4]$ este simetric, iar $r(-t)=|u(-t)|=|-u(t)|=|u(t)|=r(t)$. c) Minimul $0$, de pildă la $t=0$; maximul $6$, la $t=\pm 1$. Verificare: $|-4|=4<6$.

11. a) Domeniul este simetric, iar $p(-x)=-0,85x=-p(x)$. b) Fiind crescătoare, $p$ ia minimul $-6,8$ V la $x=-8$ și maximul $6,8$ V la $x=8$. c) $q(0)=1,7\ne 0$, deci $q$ nu e impară; nici pară, fiindcă $q(-1)=0,85$, iar $q(1)=2,55$. Din $0,85x+1,7=0$ rezultă $x=-2$ cm. Verificare: $q(-2)=-1,7+1,7=0$.

12. a) Domeniul $[-3;3]$ este simetric, iar condițiile pe $|t|$ nu se schimbă când $t$ devine $-t$, deci $s(-t)=s(t)$. b) Mulțimea valorilor este $\{-5,2;0;5,2\}$. c) $s(t)\ge 0$ pe $[-1,5;1,5]$. Verificare: $s(-1)=s(1)=5,2$ și $s(-2)=s(2)=-5,2$.

Așa vine la Bac M3

Programa de examen cuprinde lectura pe grafic a mărginirii și a parității, însă tema nu a apărut în probele 2013–2026. În programa pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), tema stă în blocul „Funcții; lecturi grafice” al clasei a IX-a, în al treilea punct de conținut, printre proprietățile funcțiilor numerice introduse prin lectură grafică: mărginire, monotonie, paritate/imparitate (simetria graficului față de axa $Oy$ sau origine) și periodicitate.

În indexul făcut din cele 83 de probe oficiale, niciun enunț nu cere mărginirea sau paritatea unei funcții, iar nicio cerință nu are aceste teme ca subiect principal sau secundar. De aceea nu găsești aici trimiteri la probe reale și nici cerințe-model.

Exercițiile 9–12 sunt sinteze: pun laolaltă graficele, tabelele și intervalele, fără să imite o cerință de examen. Pentru exercițiul 10 ai nevoie de valoarea absolută; alte teme ale clasei găsești în lecțiile clasei a IX-a, filiera tehnologică.

Greșeli care costă puncte

• Declari pară o funcție pentru că valorile de la momente opuse au același modul, de pildă $v(-2)=-9,1$ și $v(2)=9,1$ → pară cere valori egale; cum o prinzi: scrii perechea cu semnele ei și vezi dacă ordonatele sunt egale (pară) sau opuse (impară).
• Conchizi că funcția e impară pentru că nu e pară, ca la grosimea tablei cu $h(0)=2,06$ → o funcție impară cu $0$ în domeniu are acolo valoarea $0$; cum o prinzi: verifici mai întâi valoarea în $0$, apoi toate perechile.
• Judeci paritatea pe o fereastră nesimetrică, de la −3 ms la 5 ms → nu există $f(-5)$ de comparat; cum o prinzi: scrii domeniul la pasul 1 și vezi dacă are și opusul fiecărui număr.
• Iei orice margine drept cea mai mare valoare, de pildă 20 V pentru ieșirea $v$ → curba nu ajunge la 20 V; cum o prinzi: cea mai mare valoare e ordonata celui mai înalt punct, aici 9,1 V, scrisă cu unitatea ei.

Programa și examenul

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: lectura pe grafic a mărginirii și a parității funcțiilor face parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a IX-a), deși programa nouă a clasei a IX-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu o conține sau o conține doar în parte. În probele oficiale 2013–2026 nu a apărut încă; fiind în programă, poate fi cerută. Pentru Bacalaureatul din 2030 (MAT_P3–MAT_P6) tema nu este în programa de examen.

Întrebări frecvente

Dacă o valoare de pe tabel stă chiar pe limita de 9,1 V, mai e semnalul mărginit? Da. Mărginirea cere $-9,1\le v(t)\le 9,1$, cu egalitate permisă. Valoarea 9,1 V e atinsă pe $[1,4;2,6]$, deci e cea mai mare valoare, nu doar o margine. Cu un cerculeț gol la 9,1 V, ar rămâne margine, dar n-ar fi atinsă.

Rămâne ieșirea impară dacă cele două diode ale limitatorului au praguri diferite? Nu. Cu pragurile 9,1 V și −6,2 V, ieșirea stă între −6,2 V și 9,1 V: e tot mărginită, dar $v(2)=9,1$, iar $v(-2)=-6,2$, valori care nu sunt opuse. Semnalul de test rămâne impar; doar tăierea inegală strică simetria față de origine.

Ce arată ieșirea dacă semnalul de test urcă până la 20 V în vârf? Tot între −9,1 V și 9,1 V: limitatorul ține ieșirea mărginită oricât de mare e intrarea. Cu vârful de 20 V la 2 ms, intrarea urcă 10 V pe ms, deci ieșirea stă pe 9,1 V de la 0,91 ms la 3,09 ms. Tăierea e aceeași în ambele sensuri, deci ieșirea rămâne impară.

Cât din fereastra de 8 ms stă ieșirea chiar la limite? Ieșirea stă pe 9,1 V pe $[1,4;2,6]$ și pe −9,1 V pe $[-2,6;-1,4]$, câte 1,2 ms: în total 2,4 ms din 8, adică 30 % din fereastră. Atât timp funcția are cea mai mare, respectiv cea mai mică valoare a ei.

Sunt mărginirea și paritatea în programa pentru Bacalaureatul M3? Da, în blocul clasei a IX-a despre funcții, la proprietățile citite pe grafic. După indexul făcut din cele 83 de probe oficiale, niciuna nu a apărut ca temă a vreunei cerințe, dar, fiind în programă, pot fi cerute. De aceea exercițiile 9–12 le repetă în forme scurte, cu grafice și tabele.