Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Funcții periodice: perioadă, cicluri

Cum aflu după cât timp se repetă un program?

Perioada este cel mai scurt interval după care programul se reia identic, adică după ce au trecut toate fazele ciclului. Exemplu: o pompă de irigat merge $14$ min, trece $9$ min la turație mică și stă $11$ min, deci $14 + 9 + 11 = 34$ . Proba: la momentele $x$ și $x + 34$ pompa face același lucru, iar la un interval mai scurt, de pildă $23$ , valorile nu coincid peste tot.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a IX-a → ·

O funcție este periodică, de perioadă $T$ , dacă la fiecare $x$ și $x + T$ ia aceeași valoare: $f (x + T) = f (x)$ . Perioada principală este cea mai mică dintre ele și corespunde unui ciclu de lucru complet: toate fazele, în ordine, apoi totul începe din nou. Două momente cu aceeași valoare nu dovedesc o perioadă; toate valorile dintre cele două momente trebuie să coincidă.

Pentru un moment oarecare împarți la perioadă: $x = n T + r$ , cu $0 \leq r < T$ . Valoarea la momentul $x$ este cea de la momentul $r$ al primului ciclu. La momente negative alegi $n$ negativ, ca restul să rămână între $0$ și $T$ ; dacă restul este $0$ , te afli chiar la începutul ciclului.

Pentru o durată lungă afli totalul unui ciclu, îl înmulțești cu numărul ciclurilor întregi și adaugi partea neterminată de la sfârșit. Câtul nu se rotunjește în sus. Două programe puse împreună se reiau la cel mai mic multiplu comun al perioadelor; produsul perioadelor funcționează și el, însă rareori este cel mai mic moment comun.

Probă: $n T + r$ trebuie să dea chiar $x$ , iar totalul unui ciclu să se potrivească cu fazele enumerate. În meserie închei cu unitatea: minute, secunde, kWh sau metri cubi.

De reținut

$f (x + T) = f (x)$ ; perioada principală este cea mai mică $T > 0$
$x = n T + r$ , cu $0 \leq r < T$ , dă $f (x) = f (r)$
momentul comun al două programe este primul multiplu comun al perioadelor lor

Greșeala tipică

Se ia drept perioadă distanța dintre două momente cu aceeași valoare. În jurnalul $7, 9, 7, 8, 7, 9, 7, 8$ valoarea $7$ apare la pozițiile $0$ și $2$ , dar $2$ nu este perioadă, fiindcă $9$ și $8$ nu coincid; perioada este $4$ .

Exerciții din această mini-lecție

Un semafor de șantier, aflat lângă macara, repetă fără oprire același ciclu: verde $35$ s, galben $5$ s, roșu $50$ s. Care este perioada principală a ciclului, în secunde?
- a) $50$ s
- b) $40$ s
- c) $85$ s
- d) $90$ s
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $90$ s

Programul se reia abia după ce au trecut toate fazele: $35 + 5 + 50 = 90$ s. Varianta $50$ s ia numai faza cea mai lungă, $40$ s adună doar verdele și galbenul, iar $85$ s uită galbenul.
Un panou publicitar dintr-un magazin repetă un program de $18$ s: promoția A, promoția B, apoi sigla magazinului. Ciclul are secundele $0, 1, \dots, 17$ . Panoul a pornit acum $250$ s. La a câta secundă din ciclu se află acum?
- a) $16$
- b) $2$
- c) $34$
- d) $13$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $16$

Împarți la perioadă: $250 = 18 \cdot 13 + 16$ , deci au trecut $13$ cicluri întregi, iar poziția în ciclu este $16$ . Varianta $2$ rotunjește câtul în sus, la $14$ cicluri, și ia diferența. Varianta $34$ este un rest necomplet, mai mare decât perioada, iar $13$ este chiar câtul, nu restul.
Într-un salon de coafură, sterilizatorul pornește singur la fiecare $14$ min, iar uscătorul de prosoape la fiecare $21$ min. Ambele au pornit împreună la momentul $0$ . După câte minute pornesc din nou împreună pentru prima dată?
- a) $294$ min
- b) $7$ min
- c) $42$ min
- d) $35$ min
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $42$ min

Pornesc împreună la momentele care sunt multipli și ai lui $14$ , și ai lui $21$ ; primul este cel mai mic multiplu comun, $42$ , fiindcă $42 = 14 \cdot 3 = 21 \cdot 2$ . Varianta $294$ este produsul, tot un moment comun, dar nu primul. Varianta $7$ este cel mai mare divizor comun, iar $35$ este suma perioadelor.

Întrebări conexe

Cum calculez momentele de dinaintea pornirii?

Folosești un $n$ negativ, astfel încât restul să fie între $0$ și $T - 1$ . Pentru perioada $30$ și momentul $- 25$ min avem $- 25 = 30 \cdot (- 1) + 5$ , deci restul este $5$ , nu $25$ : aparatul făcea cu $25$ min înainte de pornire ce face la minutul $5$ al ciclului.

Ce fac dacă ciclul nu a pornit la momentul zero?

Scazi momentul de pornire din momentul cerut, ca să obții timpul scurs de la începutul primului ciclu, apoi împarți la perioadă. Pentru un ciclu de $45$ min pornit la minutul $20$ și momentul $340$ , timpul scurs este $340 - 20 = 320$ , iar $320 = 45 \cdot 7 + 5$ : aparatul e la minutul $5$ al unui ciclu.

Merge x = nT + r dacă timpul e în ore?

Da, dar $x$ și $T$ trebuie să aibă aceeași unitate. Pentru un ciclu de $90$ min și momentul $7$ ore, treci mai întâi $7$ ore în $420$ min; apoi $420 = 90 \cdot 4 + 60$ , deci poziția în ciclu este $60$ min.

Ce înseamnă restul zero la împărțirea la perioadă?

Momentul cade exact la începutul unui ciclu, nu la sfârșitul celui dinainte. Pentru $T = 40$ și momentul $200$ min, $200 = 40 \cdot 5 + 0$ , deci aparatul face ce făcea la minutul $0$ al ciclului, adică prima fază.

Cum recunosc un program periodic dintr-un jurnal?

Cauți un interval după care valorile se repetă pe toată durata notată, nu doar în două puncte. Jurnalul $5, 9, 7, 5, 9, 7, 5, 9$ arată perioada $3$ : fiecare valoare este egală cu cea de trei locuri mai încolo, de la început până la sfârșit.

Oamenii mai întreabă și: perioada unui program care se repetă · după cât timp se reia un ciclu · cum aflu perioada principală dintr-un tabel · perioada unui temporizator