Funcții periodice la tehnologic: cicluri

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a IX-a → ·

Un temporizator repetă, zi și noapte, același program: ventilatorul unei sere pornește, trece la turație mică, se oprește și apoi o ia de la capăt. La clasa a IX-a, în filiera tehnologică, afli cu un singur număr după cât timp se repetă programul și ce face aparatul peste o oră, o zi sau o lună. Periodicitatea figurează în programa pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic).

Situația de pornire

Într-o seră de legume, ventilatorul de aerisire e comandat de un temporizator care repetă fără oprire același program. Fermierul notează în caiet momentele de comutare, în minute după ora 6:00, când a început să cronometreze, și debitul de aer din fiecare etapă.

Momentul $x$ (min)	Ce face ventilatorul	Debitul (m³/h)
0	pornește la turație mare	2400
6	trece la turație mică	900
15	se oprește	0
35	pornește la turație mare	2400
41	trece la turație mică	900
50	se oprește	0
70	pornește la turație mare	2400

Fermierul vrea să știe ce debit are ventilatorul la 17:50 și câți metri cubi de aer mută între 6:00 și 6:00 din ziua următoare, fără să cronometreze o zi întreagă.

Întrebare: după cât timp se repetă programul, ce debit are ventilatorul la 17:50 și câți metri cubi de aer mută într-o zi?

De la situație la model

În situație	În matematică
momentul, în minute după 6:00	numărul real $x$
debitul de aer la momentul $x$	valoarea $f (x)$
programul se repetă la fiecare 35 min	$f (x + 35) = f (x)$ : perioada $T = 35$
un ciclu de lucru	intervalul $[0; 35)$
momentul 710 față de începutul ciclului	$710 = 35 \cdot 20 + 10$ , restul $r = 10$

O funcție $f$ definită pe $R$ este periodică dacă există un număr $T > 0$ cu $f (x + T) = f (x)$ pentru orice $x$ real; $T$ se numește perioadă. Perioada principală este cea mai mică perioadă pozitivă. Temporizatorul merge fără oprire, deci îl socotim definit pe toată axa timpului, și înainte de 6:00. Doar un program fixat de aparat se repetă exact; vremea sau recolta nu sunt funcții periodice.

Cum afli perioada principală dintr-un tabel sau de pe un grafic?

Cauți cel mai scurt interval după care tabelul se reia identic, nu două momente cu aceeași valoare. Debitul e 2400 la 0 și la 5, dar 5 nu e perioadă: $f (1) = 2400$ , iar $f (6) = 900$ . Dacă 35 e perioadă, orice multiplu al lui, deci și 70, e perioadă, dar nu cea principală. Pe grafic, desenul periodic este același bloc repetat. Perioada este distanța dintre două puncte care ocupă același loc în bloc, de pildă două începuturi de ciclu, nu dintre oricare două puncte de aceeași înălțime.

Ce face ventilatorul la o oră oarecare?

Împarți momentul la perioadă: $x = n T + r$ , cu $0 \leq r < T$ . Programul din momentul $x$ e același ca în momentul $r$ al primului ciclu, deci $f (x) = f (r)$ . La 17:50, adică $x = 710$ min: $710 = 35 \cdot 20 + 10$ , deci $r = 10$ , iar în primul ciclu momentul 10 cade între 6 și 15: turație mică, 900 m³/h.

Ce faci cu momentele dinainte de 6:00?

Același lucru, cu $n$ negativ. La 5:30, adică $x = - 30$ : $- 30 = 35 \cdot (- 1) + 5$ , deci $r = 5$ și $f (- 30) = 2400$ . Restul rămâne între 0 și 34, nu iese negativ.

Ce perioadă au două programe puse împreună?

Dacă un program se reia la $T_{1}$ minute și altul la $T_{2}$ minute, amândouă se reiau deodată la multiplii comuni ai celor două numere. Programul combinat are deci perioada $c.m.m.m.c. (T_{1}, T_{2})$ , cel mai mic dintre acești multipli. Produsul $T_{1} T_{2}$ e și el o perioadă, dar de obicei nu cea mai mică. Rar, nici c.m.m.m.c. nu e perioada principală, de aceea o verifici ca la pasul 2 al metodei.

Metoda pas cu pas

Scrie programul pe un ciclu: momentele de comutare, valoarea funcției pe fiecare interval și unitatea de măsură, precum și unitatea timpului (minute, secunde, ore), fiindcă perioada se exprimă în ea. La ventilator: $[0; 6)$ cu 2400, $[6; 15)$ cu 900 și $[15; 35)$ cu 0, în m³/h.
Află perioada principală: caută cel mai scurt interval după care tabelul sau graficul se reia exact și verifică pe cel puțin două cicluri; pe grafic, citește-o ca distanța dintre două începuturi de ciclu. Două momente cu aceeași valoare nu dovedesc nimic; trebuie să se potrivească toate valorile dintre ele. Controlează că nu merge nicio fracțiune a ei, $T /2$ , $T /3$ și așa mai departe. La un tabel, compară fiecare valoare cu cea aflată la distanța $T$ de ea, de la început până la sfârșit.
Împarte momentul $x$ la perioadă și scrie $x = n T + r$ , cu $0 \leq r < T$ : $n$ este numărul de cicluri întregi, iar $r$ este poziția în ciclu. La $x$ negativ alege $n$ negativ, ca restul să iasă tot între $0$ și $T$ .
Citește $f (r)$ din primul ciclu: intervalul în care cade $r$ spune valoarea. Un $r$ egal cu capătul din stânga al unui interval intră în acel interval. Dacă $r = 0$ , citești valoarea de la începutul ciclului, adică prima valoare din program, nu pe cea de la sfârșitul lui.
Pentru o durată lungă, calculează întâi totalul pe un ciclu, înmulțește-l cu numărul de cicluri întregi și adaugă partea rămasă, socotită de la începutul ciclului până la $r$ .
Verifică: $n T + r$ trebuie să dea $x$ , iar totalul pe un ciclu să se potrivească cu etapele enumerate. Nu rotunji numărul de cicluri, iar la două programe folosește cel mai mic multiplu comun.

Fișa de buzunar

$f (x + T) = f (x), x = n T + r, 0 \leq r < T \Rightarrow f (x) = f (r)$

$T_{comun} = c.m.m.m.c. (T_{1}, T_{2})$

$T$ este perioada principală când nu merge niciunul dintre numerele $T /2$ , $T /3$ , $T /4$ , …; ea este cea mai mică perioadă pozitivă. Prima relație se aplică funcțiilor definite pe $R$ care se repetă exact; c.m.m.m.c. dă o perioadă a programului combinat, nu neapărat pe cea principală. Verificare rapidă: $n T + r$ trebuie să dea chiar momentul $x$ , iar restul $r$ să fie mai mic decât $T$ .

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Ventilatorul serei, într-o zi

Domeniu: agricol.

Enunț. Folosește tabelul din situația de pornire. a) Care e perioada principală? b) Ce debit are ventilatorul la 17:50? c) Câți metri cubi de aer mută între 6:00 și 6:00 din ziua următoare?

Rezolvare. a) Programul se reia la 35 min: etapele de la 35, 41 și 50 repetă pe cele de la 0, 6 și 15, la fel ca cele de la 70. Deci $T = 35$ min. Nu e 5 min, deși debitul e 2400 și la 0, și la 5: $f (1) = 2400$ , dar $f (6) = 900$ .

b) Ora 17:50 este la 11 h 50 min după 6:00, adică $x = 710$ min. Din $710 = 35 \cdot 20 + 10$ rezultă $r = 10$ , între 6 și 15: turație mică, 900 m³/h.

c) O zi are $1440$ min, iar $1440 = 35 \cdot 41 + 5$ : 41 de cicluri întregi și 5 min. Un ciclu mută $\frac{2400}{60} \cdot 6 + \frac{900}{60} \cdot 9 = 40 \cdot 6 + 15 \cdot 9 = 375$ m³. Cele 5 min rămase sunt la începutul unui ciclu, la turație mare: $40 \cdot 5 = 200$ m³. Total: $41 \cdot 375 + 200 = 15575$ m³.

Capcană. Cine împarte $1440 : 35 \approx 41, 14$ și rotunjește în sus la 42 de cicluri obține $42 \cdot 375 = 15750$ m³, cu 175 m³ prea mult: după 41 de cicluri mai rămân doar 5 min, nu un ciclu întreg.

Verificare. Pe alt drum, numărând minutele: la turație mare $41 \cdot 6 + 5 = 251$ min, la turație mică $41 \cdot 9 = 369$ min. Rezultă $251 \cdot 40 + 369 \cdot 15 = 10040 + 5535 = 15575$ m³.

Exemplul 2 — Cursa unui poanson

Domeniu: mecanica.

Enunț. La o presă, înălțimea $h$ a poansonului, în mm, la momentul $t$ , în secunde, are graficul periodic format din segmentele prin $(0; 84)$ , $(2; 0)$ , $(2, 8; 0)$ , $(4, 4; 84)$ și $(5, 4; 84)$ , apoi se reia. a) Citește perioada. b) Ce înălțime are poansonul la $t = 100$ s? c) Câte curse complete se termină în prima oră?

Rezolvare. a) Ciclul începe cu poansonul sus, care coboară; următorul început identic este la 5,4 s, deci $T = 5, 4$ s.

b) $100 = 5, 4 \cdot 18 + 2, 8$ , deci $r = 2, 8$ . În primul ciclu, momentul 2,8 s este capătul stânga al segmentului de urcare, cu poansonul încă jos: $h (100) = 0$ mm.

c) O oră are $3600$ s, iar $3600 = 5, 4 \cdot 666 + 3, 6$ : 666 de curse complete și 3,6 s dintr-o cursă neterminată. Se termină 666 de curse.

Capcană. Pe grafic, $t = 0$ și $t = 4, 4$ au aceeași înălțime, 84 mm, dar $4, 4$ nu e perioadă: $h (1) = 84 - 42 = 42$ mm, iar $h (1 + 4, 4) = h (5, 4) = 84$ mm.

Verificare. $666 \cdot 5, 4 = 3596, 4$ s, mai puțin de 3600, iar $667 \cdot 5, 4 = 3601, 8$ s, mai mult. Pe cursa coborâtoare, $84 : 2 = 42$ mm pe secundă, deci $h (1) = 42$ mm.

Exemplul 3 — Camera de dospire a unei brutării

Domeniu: alimentar.

Enunț. Într-o cameră de dospire, două aparate lucrează după programe fixe, date de temporizatoare. Umidificatorul, de 1,2 kW, e pornit în primele 3 minute ale fiecărui ciclu de 9 minute, iar rezistența de încălzire, de 2,6 kW, în primele 4 minute ale fiecărui ciclu de 12 minute. Ambele pornesc la $x = 0$ , iar puterea cerută $p (x)$ , în kW, e suma puterilor aparatelor pornite. a) Care e perioada lui $p$ ? b) Ce putere cere camera la 1 h 49 min după pornire? c) Câtă energie consumă cele două aparate într-o zi de 24 h, în kWh?

Rezolvare. a) Umidificatorul se reia din 9 în 9 minute, încălzirea din 12 în 12, deci amândouă se reiau deodată la multiplii comuni ai lui 9 și 12; primul este 36. Un interval mai scurt nu merge: în fiecare ciclu de 36 min, ambele aparate sunt pornite, cu $1, 2 + 2, 6 = 3, 8$ kW, doar pe $[0; 3)$ și pe $[27; 28)$ , deci blocul de 3 min cu 3,8 kW revine abia după 36 min. Deci $T = 36$ min.

b) 1 h 49 min înseamnă $x = 109$ min, iar $109 = 36 \cdot 3 + 1$ , deci $r = 1$ : ambele aparate sunt pornite și $p (109) = 3, 8$ kW.

c) Într-un ciclu de 36 min umidificatorul merge $4 \cdot 3 = 12$ min, iar încălzirea $3 \cdot 4 = 12$ min: $1, 2 \cdot 12 + 2, 6 \cdot 12 = 45, 6$ kW·min, adică $45, 6 : 60 = 0, 76$ kWh. O zi are $1440 = 36 \cdot 40$ min, exact 40 de cicluri, deci $40 \cdot 0, 76 = 30, 4$ kWh.

Capcană. Cine ia ca perioadă ciclul mai lung, de 12 min, înmulțește consumul din primele 12 minute, $1, 2 \cdot 6 + 2, 6 \cdot 4 = 17, 6$ kW·min, cu $1440 : 12 = 120$ și obține $2112$ kW·min, adică 35,2 kWh, cu 4,8 kWh prea mult. În minutele 12–24 umidificatorul nu mai merge 6 minute, ci doar 3.

Verificare. Pe alt drum, fiecare aparat separat: umidificatorul are într-o zi $1440 : 9 = 160$ de cicluri, deci $160 \cdot 3 = 480$ min la 1,2 kW, adică 9,6 kWh; încălzirea are $1440 : 12 = 120$ de cicluri, deci $120 \cdot 4 = 480$ min la 2,6 kW, adică 20,8 kWh. Împreună dau $9, 6 + 20, 8 = 30, 4$ kWh.

Exemplul 4 — Problema inversă: ce program are microbuzul

Domeniu: turism.

Enunț. De data aceasta programul lipsește: îl reconstitui din trei plecări notate. Un microbuz leagă o pensiune de gară la intervale egale. Un turist a notat plecările de la 7:14, 7:36 și 7:58. a) Care e perioada? b) Care este prima plecare după 6:00 și ultima înainte de 22:00? c) Câte plecări sunt între ele, inclusiv acestea două?

Rezolvare. a) Între plecări trec $7 : 36 - 7 : 14 = 22$ min și $7 : 58 - 7 : 36 = 22$ min, deci $T = 22$ min.

b) Mergem înapoi cu perioade: $7 : 14 - 3 \cdot 22$ min $= 7 : 14 - 66$ min $= 6 : 08$ , iar $6 : 08 - 22$ min $= 5 : 46$ e înainte de 6:00. Prima plecare este la 6:08. Spre seară: de la 7:14 la 22:00 sunt $14 \cdot 60 + 46 = 886$ min, iar $886 = 22 \cdot 40 + 6$ , deci ultima este $7 : 14 + 40 \cdot 22$ min $= 21 : 54$ .

c) De la 6:08 la 21:54 sunt $15 \cdot 60 + 46 = 946 = 22 \cdot 43$ min, adică 43 de intervale. Sunt $43 + 1 = 44$ plecări.

Capcană. Cine împarte $960 : 22 \approx 43, 6$ , cât au 16 ore de la 6:00 la 22:00, și ia 43 numără cu una mai puțin: 43 de intervale înseamnă 44 de plecări, pentru că ambele capete sunt plecări.

Verificare. Cele 44 de plecări pornesc de la $6 : 08 + k \cdot 22$ min, cu $k = 0, \dots, 43$ ; pentru $k = 43$ : $6 : 08 + 946$ min $= 21 : 54$ , iar $k = 44$ ar da $22 : 16$ , după 22:00.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Funcția $f$ este periodică de perioadă 7, iar pe un ciclu valorile ei la $x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ sunt $14; 9; 5; 5; 11; 20; 8$ . Calculează $f (100)$ și $f (- 3)$ .

2. Care e perioada principală a repetării: a) $3; 8; 5; 3; 8; 5; 3; 8; 5$ ? b) $4; 7; 4; 9; 4; 7; 4; 9$ ? c) $6; 1; 6; 1; 6; 1$ ?

3. Graficul unei funcții periodice pe $[0; 8]$ unește punctele $(0; 2)$ , $(4; 10)$ , $(6; 10)$ și $(8; 2)$ și se reia. Citește perioada și calculează $f (37)$ și $f (- 6)$ .

4. Un aspersor rotativ de pe un teren de legume trece prin dreptul unui răsad la fiecare 45 s, prima dată la momentul 0. De câte ori trece în primele 50 de minute, inclusiv la momentul 0?

Nivelul 2 — situații

5. O autobasculantă încarcă 9 min la carieră, merge încărcată 14 min până la 10,5 km, descarcă 6 min și revine în 14 min. Graficul distanței $d (t)$ față de carieră, în km, unește punctele $(0; 0)$ , $(9; 0)$ , $(23; 10, 5)$ , $(29; 10, 5)$ și $(43; 0)$ și se reia; $t$ e în minute după 6:00. a) Citește perioada. b) Unde e la 15:09? c) De câte ori ajunge la 10,5 km între 6:00 și 14:00?

6. Un dozator de reactiv pornește 6 s la fiecare 31 s, la început de ciclu, și debitează 1,8 mL pe secundă cât e pornit. Tabelul jurnalului arată pornirile la 0, 31, 62 și 93 s. Câți mL debitează în prima oră? Scrie răspunsul și în litri.

7. Un contor are tariful de noapte 0,55 lei/kWh între 22:00 și 6:00 și cel de zi 0,92 lei/kWh între 6:00 și 22:00, repetat în fiecare zi; $x$ e în ore după miezul nopții. a) Ce tarif e la $x = 100$ și la $x = - 7$ ? b) Cât costă energia unui încălzitor de 2,5 kW, pornit de la 20:00 până la 4:00 în dimineața următoare?

8. La o fermă, tabelul mulgerilor dă pentru trei mulgeri pe zi, cu numerele $n = 1, 2, 3$ la 6:00, 14:00 și 22:00, laptele obținut de la o vacă: 11,4; 9,8 și 8,6 litri, în această ordine, în fiecare zi. a) Câți litri dă mulgerea cu numărul 100? b) Câți litri dă vaca în 30 de zile?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) Funcția $f$ este periodică de perioadă 8 și pe $[0; 8]$ graficul ei unește $(0; 2)$ , $(3; 8)$ , $(5; 8)$ și $(8; 2)$ . a) Rezolvați ecuația $f (x) = 5$ pe $[0; 8)$ . b) Determinați câte soluții are ecuația $f (x) = 5$ pe $[0; 100]$ .

10. (Sinteză.) Funcția $f$ e periodică de perioadă 6, cu valorile $3; 1; 4; 1; 5; 9$ la $x = 0, \dots, 5$ , iar $g$ e periodică de perioadă 4, cu $2; 7; 1; 8$ la $x = 0, \dots, 3$ . Fie $h = f + g$ , pe numere întregi. a) Calculați $h (0), h (1), \dots, h (11)$ . b) Arătați că perioada principală a lui $h$ este 12.

11. (Sinteză.) Un mecanism are ciclul $f (x)$ de 12 min, cu graficul prin $(0; 5)$ , $(5; 13)$ , $(8; 13)$ și $(12; 5)$ , apoi repetat. Dacă merge de 3 ori mai repede, $g (x) = f (3 x)$ . a) Arătați că $g (x + 4) = g (x)$ . b) Calculați $g (50)$ .

12. (Sinteză.) Doi temporizatori pornesc simultan la $x = 0$ . Primul e pornit în primele 5 min ale fiecărui ciclu de 18 min, al doilea în primele 9 min ale fiecărui ciclu de 24 min. a) Determinați perioada programului combinat. b) Aflați cât timp sunt pornite ambele, într-o perioadă și în primele 480 min.

Răspunsuri și verificări

1. $100 = 7 \cdot 14 + 2$ , deci $f (100) = f (2) = 5$ . $- 3 = 7 \cdot (- 1) + 4$ , deci $f (- 3) = f (4) = 11$ . Verificare: $7 \cdot 14 + 2 = 100$ și $- 7 + 4 = - 3$ .

2. a) $3$ . b) $4$ , nu $2$ : la rangurile 1 și 3 apar $4$ și $4$ , dar la 2 și 4 apar $7$ și $9$ . c) $2$ . Verificare: după fiecare perioadă, șirul se reia identic.

3. $T = 8$ . $37 = 8 \cdot 4 + 5$ , deci $f (37) = f (5) = 10$ . $- 6 = 8 \cdot (- 1) + 2$ , deci $f (- 6) = f (2) = 2 + 2 \cdot 2 = 6$ . Verificare: pe $[0; 4]$ graficul urcă $\frac{10 - 2}{4} = 2$ pe unitate.

4. $50$ min $= 3000$ s, iar $3000 : 45 \approx 66, 7$ : trecerile sunt la $0, 45, \dots, 45 \cdot 66 = 2970$ s, adică $66 + 1 = 67$ de treceri. Verificare: $45 \cdot 67 = 3015 > 3000$ .

5. a) $T = 43$ min. b) $15 : 09$ înseamnă $x = 549$ , iar $549 = 43 \cdot 12 + 33$ , deci $r = 33$ , în revenire: $d = 10, 5 - 0, 75 \cdot (33 - 29) = 7, 5$ km. c) Ajunge la 10,5 km la $23 + 43 k \leq 480$ , adică $k = 0, \dots, 10$ : 11 ori. Verificare: pe $[29; 43]$ distanța scade cu $\frac{10 , 5}{14} = 0, 75$ km pe minut.

6. $3600 = 31 \cdot 116 + 4$ : 116 cicluri și 4 s dintr-un ciclu, pornit. Timp pornit: $116 \cdot 6 + 4 = 700$ s, adică $700 \cdot 1, 8 = 1260$ mL $= 1, 26$ L. Verificare: $116 \cdot 31 = 3596$ s.

7. a) $100 = 24 \cdot 4 + 4$ , deci ora 4:00: noapte, 0,55 lei/kWh; $- 7 = 24 \cdot (- 1) + 17$ , deci ora 17:00: zi, 0,92 lei/kWh. b) De la 20:00 la 22:00 sunt $2 \cdot 2, 5 = 5$ kWh la 0,92, adică 4,60 lei; de la 22:00 la 4:00 sunt $6 \cdot 2, 5 = 15$ kWh la 0,55, adică 8,25 lei. Total: 12,85 lei. Verificare: $20$ kWh în total, pentru 8 ore.

8. a) $100 = 3 \cdot 33 + 1$ , deci ca mulgerea 1: 11,4 litri. b) O zi dă $11, 4 + 9, 8 + 8, 6 = 29, 8$ litri, iar în 30 de zile $30 \cdot 29, 8 = 894$ litri. Verificare: 30 de zile au $90$ de mulgeri, adică 30 din fiecare fel.

9. a) Pe $[0; 3]$ funcția urcă cu $2$ pe unitate, deci $f (x) = 5$ la $x = 1, 5$ . Pe $[5; 8]$ coboară cu $2$ pe unitate, deci $f (x) = 5$ la $x = 6, 5$ . b) Într-o perioadă sunt 2 soluții. $[0; 96)$ cuprinde 12 perioade, deci 24 de soluții; mai apare $96 + 1, 5 = 97, 5$ , iar $96 + 6, 5 = 102, 5 > 100$ . În total sunt 25 de soluții. Verificare: $97, 5 < 100$ .

10. a) Valorile $h (0), \dots, h (11)$ sunt $5; 8; 5; 9; 7; 16; 4; 9; 6; 8; 6; 17$ . b) 12 este multiplu al lui 6 și al lui 4, deci $h (x + 12) = h (x)$ . Divizorii mai mici ai lui 12 nu merg: pentru $T = 1, 3, 4, 6$ avem $h (T) = 8, 9, 7, 4$ , toate diferite de $h (0) = 5$ , iar pentru $T = 2$ , $h (3) = 9 \neq = 8 = h (1)$ . Perioada principală e 12. Verificare: $h (12) = f (0) + g (0) = 5 = h (0)$ .

11. a) $g (x + 4) = f (3 x + 12) = f (3 x) = g (x)$ , fiindcă 12 e perioadă a lui $f$ . b) $g (50) = f (150)$ , iar $150 = 12 \cdot 12 + 6$ , deci $g (50) = f (6)$ . Momentul 6 e între 5 și 8, pe segmentul orizontal, deci $g (50) = 13$ . Verificare: $12 \cdot 12 + 6 = 150$ .

12. a) Programul combinat se repetă la $c.m.m.m.c. (18; 24) = 72$ min. b) Primul e pornit pe $[0; 5)$ , $[18; 23)$ , $[36; 41)$ și $[54; 59)$ , al doilea pe $[0; 9)$ , $[24; 33)$ și $[48; 57)$ . Ambele sunt pornite pe $[0; 5)$ și pe $[54; 57)$ : $5 + 3 = 8$ min într-o perioadă. În 480 min: $480 = 72 \cdot 6 + 48$ , deci $6 \cdot 8 = 48$ min, plus $5$ min din primii 48; total 53 min. Verificare: $[54; 57)$ nu intră în primii 48 min.

Așa vine la Bac M3

Programa de examen cuprinde periodicitatea funcțiilor, însă tema nu a apărut în probele 2013–2026. Lista conținuturilor Bacalaureatului M3 (M_tehnologic) o încheie pe cea a proprietăților introduse prin lectură grafică, la clasa a IX-a, în blocul „Funcții; lecturi grafice”: mărginire, monotonie, paritate/imparitate și periodicitate, al treilea punct de conținut.

Indexul făcut din cele 83 de probe oficiale nu găsește perioada unei funcții ca subiect principal sau secundar al vreunei cerințe, iar niciun enunț nu folosește cuvintele „perioadă” sau „periodică”. Nu există deci trimiteri la probe reale și nici cerințe-model aici.

Exercițiile 9–12 sunt sinteze: amestecă citirea unui grafic, ecuațiile și intervalele. Pentru intervale vezi ordonarea și intervalele, iar citirea graficului te ajută la ecuația $f (x) = 5$ . Despre mărginirea unei funcții vezi funcțiile mărginite și funcțiile pare. La filiera tehnologică, blocul continuă cu compunerea funcțiilor într-un lanț de conversii; celelalte teme sunt în lecțiile clasei a IX-a, filiera tehnologică.

Greșeli care costă puncte

Iei ca perioadă diferența dintre două momente cu aceeași valoare, de pildă 4,4 s la poanson → graficul nu se reia identic; cum o prinzi: verifici o a doua valoare, $h (1) = 42$ față de $h (5, 4) = 84$ .
Rotunjești numărul de cicluri în sus, de la 41,14 la 42 → obții 15 750 m³ în loc de 15 575 m³; cum o prinzi: scrii $1440 = 35 \cdot 41 + 5$ și socotești separat cele 5 minute rămase.
Pentru un moment negativ, ca −30 min, iei restul lui 30 → citești momentul 30, oprit, în loc de 5, turație mare; cum o prinzi: verifici că $35 \cdot (- 1) + 5 = - 30$ .
Iei ca perioadă a programului combinat ciclul mai lung, de 12 min → 35,2 kWh pe zi în loc de 30,4 kWh; cum o prinzi: compari $p (0) = 3, 8$ kW cu $p (12) = 2, 6$ kW și vezi că programul nu s-a reluat.
La $x = 70$ iei restul 35, nu 0 → citești sfârșitul ciclului, debit 0, în loc de începutul lui, 2400 m³/h; cum o prinzi: restul este strict mai mic decât perioada, deci $70 = 35 \cdot 2 + 0$ .

Programa și examenul

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: lectura pe grafic a periodicității funcțiilor face parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a IX-a), deși programa nouă a clasei a IX-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu o conține sau o conține doar în parte. În probele oficiale 2013–2026 nu a apărut încă; fiind în programă, poate fi cerută. Pentru Bacalaureatul din 2030 (MAT_P3–MAT_P6) tema nu este în programa de examen.

Întrebări frecvente

Este 70 de minute o perioadă a ventilatorului, dacă la 70 debitul e 2400, ca la 0? Da, dar nu cea principală. Programul se repetă și după 70 de minute, fiindcă 70 este dublul lui 35, iar perioada principală e cea mai mică, 35. Valoarea 2400 apare și la 5 minute, dar acolo programul nu se reia: la 6 minute debitul scade.

Cât aer mută ventilatorul într-o săptămână? O săptămână are 10 080 de minute, iar $10080 = 35 \cdot 288$ , fără rest: exact 288 de cicluri. Un ciclu mută 375 m³, deci săptămâna dă $288 \cdot 375 = 108000$ m³. Spre deosebire de o zi, nu mai rămâne nicio bucată de ciclu de adăugat la sfârșit.

Rămâne programul periodic dacă se oprește curentul zece minute? Nu. Funcția a fost periodică doar cât timp temporizatorul a mers fără oprire. După pană, aparatul poate relua programul de la început, deci debitul urmează alt ciclu, decalat. Modelul periodic e valabil pentru programele fixate de aparat, nu pentru evenimente, cum sunt vremea sau o pană.

Ce se schimbă dacă fermierul lungește pauza la 25 de minute? Perioada devine $6 + 9 + 25 = 40$ de minute. La 17:50, $710 = 40 \cdot 17 + 30$ , deci minutul 30 al ciclului cade în pauză: debitul e 0, nu 900 m³/h. O zi are exact 36 de astfel de cicluri, deci ventilatorul mută $36 \cdot 375 = 13500$ m³ de aer.

Apar funcțiile periodice în programa pentru Bacalaureatul M3? Da, la proprietățile citite pe grafic ale funcțiilor numerice din clasa a IX-a, în programa M_tehnologic. După indexul făcut din cele 83 de probe oficiale, periodicitatea nu a apărut în probe, dar, fiind în programă, poate fi cerută. Exercițiile 9–12 o exersează în forme scurte, cu tabele și grafice.